Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka

Transkrypt

1 lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz trspozycję mcerzy ( ) dl mcerzy symetryczej: slr [ ] [mcerz ( )] jest zwsze symetryczy: [ ] [ ] Dl -wymrowego wetor olumowego : (wersz rzy olum) to slr - sum wdrtów elemetów wetor. (olum rzy wersz) to mcerz symetrycz stop zwerjąc w -tym werszu j-tej olume loczyy pr j dl -wymrowego wetor zwerjącego tylo jedy: dl -wymrowego wetor : dl -wymrowych wetorów olumowych b : b b ; b b WYZNCZNIK MCIERZY RZĄD MCIERZY MCIERZ ODWROTN Wyzcz mcerzy [oz. det() ] to slr ucj mcerzy wdrtowej. Jeżel jest mcerzą ( ) tj. [ ] do det()

2 Dl mcerzy ( ) det( ). Dl mcerzy (3 3) moż wylczyć wyzcz stępująco: det Mcerz odwrot do mcerzy wdrtowej (stop ) - jeżel steje - to mcerz róweż wdrtow stop (oz. - ) mjąc włsość: - - I Mcerz odwrot jest wyzczo jedozcze. Mcerz odwrot steje dl mcerzy tzw. eosoblwych czyl mjących włsość det () 0. by wylczyć mcerz odwrotą do pewej dej mcerzy możemy posłużyć sę metodą dopełeń (do odwrc mcerzy stop 3). Kro w tej metodze są stępujące:. Wylczmy mcerz dopełeń D o typowym elemece (w -tym werszu j-tej olume): d j (-) j M j gdze M j to wyzcz mcerzy powstłej przez wyreślee z -tego wersz j- tej olumy.. Wylczmy wyzcz mcerzy czyl det() żeby mcerz dło sę odwrócć mus wyjść róży od zer. Mjąc mcerz dopełeń możemy wylczyć det() wyberjąc dowoly wersz lub olumę D możymy przez odpowed wersz (olumę) mcerzy elemet po elemece ): det ( ) j d j co może być szybsze ż metody pode wyżej edy już mmy D. 3. Wylczmy osttecze: D det( ) czyl: /(wyzcz ) rzy mcerz dopełeń TRNSPONOWN (o czym łtwo zpomeć). Rząd mcerzy (eoecze wdrtowej) [ oz. rz() ] to stopeń jwęszego ezerowego podwyzcz powstłego przez wyreślee dowolych olum / werszy. Jest to msyml lczb lowo ezleżych olum (werszy) mcerzy. Oczywśce rząd e może być węszy od mejszego wymru mcerzy. Rząd jest zerowy gdy mcerz zwer wyłącze zer. Rozmte włsośc mcerzy (złdjąc że wszyste dzł d sę wyoć):

3 . (B) B ; (BC) C B (przeprszm le j to psłem to e było jeszcze CB to był eutrly przyłd). (B) - B - - ; (BC) - C - B rz (B) m [ rz() rz(b) ] 4. rz (B B) rz (BB ) rz (B) 5. det(cd) det(c) det(d) Dl mcerzy wdrtowej ( ) jeśl z 0 dl pewego wetor z 0 to det() 0. Dl mcerzy X (T ) jeśl Xz 0 dl pewego wetor z 0 to olumy mcerzy X e są lowo ezleże węc rz(x) <. Jeśl rz(x) to rz(x X) węc det(x X) 0 e steje z 0 t że (X X)z 0. FORMY KWDRTOWE; OKREŚLONOŚĆ MCIERZY Dl symetryczej mcerzy stop rozwżmy ucję -wymrowego wetor olumowego o postc: () zwą ormą wdrtową. Przyłd: [ ] Kryterum oreśloośc mcerzy jest z ormy wdrtowej dl DOWOLNEGO ezerowego : Jeżel > 0 to mcerz jest dodto oreślo Jeżel R /{ 0}: < 0 to mcerz jest ujeme oreślo Jeżel 0 orz 0 to mcerz jest dodto półoreślo Jeżel 0 orz 0 to mcerz jest ujeme półoreślo Jeżel jest dodto oreślo lub dodto półoreślo mówmy że jest eujeme oreślo. Jeżel jest ujeme oreślo lub ujeme półoreślo mówmy że jest edodto oreślo. Kżd mcerz dodto półoreślo lub ujeme półoreślo jest osoblw jej wyzcz jest zerowy poewż soro 0 dl ezerowego to 0 > olumy e są lowo ezleże węc det() 0. Przyłd: Dl mcerzy F ( m) rozwżmy oreśloość mcerzy symetryczej F F ( ). Form wdrtow z ezerowym wetorem m tu postć: F F () F F (F) F c c dl wetor c F poewż c c (c c c ) to sum wdrtów jest zwsze eujem. Soro t mcerz F F jest eujeme oreślo dl dowolego F ( mocy ostrucj). T

4 orm wdrtow może przyberć wrtość zerową dl ezerowego wtedy tylo wtedy gdy F 0 co mpluje rz(f)<m. Jeśl rz(f) m F 0 orm wdrtow przyjmuje tylo wrtośc dodte węc F F jest dodto oreślo gdy rz(f) m. Zstosowe: w dowodze twerdze Guss-Mrow mcerz eujeme oreśloą zpsujemy F F. Dl X spełjącego złoże KMRL X X jest dodto oreślo co przydje sę p. w wyzu że estymtor MNK mmlzuje sumę wdrtów reszt. POCHODNE CZĄSTKOWE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH w NOTCJI MCIERZOWEJ Dl y () - różczowlej rzeczywstej ucj zmeych (-wymrowego wetor ) rozwżmy -wymrowy wetor perwszych pochodych (grdet) mcerz wdrtową stop drugch pochodych (Hess) w otcj mcerzowej: ; D przyłdy: dl -wymrowego wetor wdrtowej mcerzy stop (to tylo stwerdzee tu że pochod cząstow ucj lowej olejo po to olejo ) z ole pochode ormy wdrtowej przyjmują postć: OPTYMLIZCJ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Wruem oeczym ste estremum lolego różczowlej ucj w puce (*) jest zerowe sę w tym puce wetor perwszych pochodych cząstowych (grdetu). Dodtowym wruem wystrczjącym by optmum było globle jest by ucj był wlęsł (wypuł) co zleży od oreśloośc mcerzy drugch pochodych cząstowych (Hessu). Jeśl t mcerz jest dodto oreślo dl żdego zlezoy put zerow grdetu (*) to mmum; jeśl ujeme oreślo to msmum.

5 Przyłd: bde ucj () c B (gdze wetory c orz mcerz symetrycz BB to pewe stłe). ( B B ) B ( B B ) B Zuwżmy że oreśloość Hessu jest t sm j oreśloość mcerzy B jest t sm dl żdego ; wruem wystrczjącym dl ste estremum w puce (*) (mmum lub msmum to zleży od oreśloośc B) jest zerowe grdetów węc by B (*) -. Przyłd rozwęce: zbdjmy estremum sumy wdrtów reszt MNK jo ucj b: S(b) y y y Xbb X Xb S(b) to ucj wetor b z prmetrm y orz X t ucj to szczególy przypde () c B Tutj słd y y e zleży od b węc moż go pomąć wetor y X to zś X X to B. Bdmy perwsze pochode: S( b) X y ( X X )b b węc wrue zerow perwszych pochodych m postć (X X)b X y [zuwżmy że w () występuje tomst w pochodej ( ) węc w pochodej y X przechodz w X y ]. Wrue wystrczjący globlego estremum sprowdz sę do zbd oreśloośc (X X): S( b) ( X X ) bb tór jest t sm dl dowolego b bo e zleży od b. powyżej pozo że (X X) jest dodto oreślo gdy rz(x). Osttecze wrue mmlzcj sumy wdrtów reszt m postć: (X X)b X y co prowdz do wzoru estymtor MNK (por. Zjęc ) Wru oreśloośc mcerzy: Kryterum wyzczowe: Wodący mor główy stop (ledg prcpl mor o order ) mcerzy to wyzcz podmcerzy stop obejmującej elemety od do. Mcerz wdrtow stop m wodących morów głowych. Ozczmy je przez M (). Przyłd: 3 3 ; M( ) ; M ( ) ; M 3( ) det( )

6 Formę wdrtową oprtą mcerzy moż przedstwć stępująco: M ( ) M ( ) M ( ) M ( ) M ( ) () () gdze dołd postć ezerowego wyrże () e jest stot. T reprezetcj wyrźe sugeruje że wruem oeczym wystrczjącym dodtej oreśloośc mcerzy (czyl dodtośc ormy wdrtowej dl dowolego ezerowego ) jest dodtość wszystch wodących morów główych mcerzy. Wobec tego wyzcz mcerzy dodto oreśloej jest zwsze dodt. Wruem oeczym wystrczjącym ujemej oreśloośc jest by M () był ujemy oleje mory M () M 3 () td. zmeły z (czyl M () był dodt M 3 () ujemy td.) Wru wyzczowe półoreśloośc są brdzej złożoe e będą tu przedstwe. Kryterum wyorzystujące wrtośc włse: Mcerz jest dodto oreślo wszyste jej wrtośc włse są dodte. Mcerz jest ujeme oreślo wszyste jej wrtośc włse są ujeme. Mcerz jest dodto półoreślo wszyste jej wrtośc włse są eujeme przyjmej jed jest rów 0. Mcerz jest ujeme półoreślo wszyste jej wrtośc włse są edodte przyjmej jed jest rów 0. Mcerz wdrtow stop m wrtośc włsych. Wrtośc włse mcerzy symetryczej są zwsze rzeczywste.