Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Transkrypt

1 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5

2 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja efektywośd estymatora : twerdzee Gaussa-Markowa 4. Estymator waracj łędu losowego

3

4 Krok. Stawamy hpotezę zerową H0: Brak podstaw do odrzucea tej hpotezy ozacza że zmee są łącze estote powy zostad usuęte z modelu. Model ez ograczeo Model z ograczeam 0 0 : 3 0 H K K x x x y 3 3 x x 3 K K x x x y 3 3 K K x x y 4 4

5 Krok. Przy założeu że postawoa hpoteza zerowa jest prawdzwa wyzaczamy statystykę testową z rozkładu F: F e e R R ee / ee / K g R RR g R / K Gdze: R e e ozaczają współczyk determacj sumę kwadratów reszt dla modelu ez ograczeo R R e R e R to te sama welkośc ale dla modelu z ograczeam g ozacza lczę ograczeo K lośd szacowaych parametrów w modelu ez ograczeo lcza oserwacj

6 Krok 3. Odczytujemy z talc rozkładu F wartośd krytycza α - pozom stotośc F* F g K

7 Krok 4. Podjęce decyzj Dystryuata rozkładu F-Sedecora ff 0 F* F F F * - odrzucamy hpotezę zerowa rówae regresj jest łącze stote. F < F * - e ma podstaw do odrzucea hpotezy zerowej rówae regresj jest łącze estote.

8

9

10

11

12 . Zwązek pomędzy zmeą zależą a zmeym ezależym opsay jest rówaem: y x x x K K x x... x 3. Zmee ojaśające są elosowe dla K 3. Wartośd oczekwaa łędu losowego jest rówa zeru: E Zaurzea losowe ε są sferycze. Ozacza to że warukowa macerz waracj-kowaracj wektora zaurzeo przy daej macerzy X ma postad: I gdze I ozacza macerz jedostkową.

13 Założee sferyczośc zaurzeo ozacza: po perwsze że waracje kolejych zaurzeo elemety a dagoalej są take same dla wszystkch oserwacj rówe gdze jest ezaą dodatą stałą; po druge że elemety pozadagoale które są kowaracjam zaurzeo dla różych oserwacj są rówe zero a węc zaurzea dla różych oserwacj są ze soą eskorelowae. I

14

15 Stałośd waracj zaurzeo azywamy homoskedastyczoścą zaurzeo. Ozacza to że zaurzea losowe są jedakowo rozproszoe wokół zerowej wartośc oczekwaej. Jeśl waracje e yłyy jedakowe to sytuację taką azywamy heteroskedastyczoścą. y Rys.. Heteroskedastyczość x

16 Reszty Ozacza to że zaurzea losowe są jedakowo rozproszoe wokół zerowej wartośc oczekwaej. Reszty 0 0 x x Homoskedastyczość: reszty zachowują sę losowo. Heteroskedastyczość: Waracja reszt zmea sę wraz ze zmaą zmeej ezależej X.

17 Przypadek zerowych kowaracj dla różych zaurzeo losowych oraz azywamy rakem autokorelacj zaurzeo. Ozacza to że zaurzea losowe dla różych oserwacj są ezależe a przez to eskorelowae a węc e mają tedecj do gromadzea sę p. wokół dodatch lu ujemych lu aprzemee dodatch ujemych wartośc y j Rys.. Autokorelacja x

18 Y ~ N 0 I Reszty mają rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą zajdującą sę a l regresj. X

19

20 W klasyczym modelu regresj lowej ajlepszym lowym eocążoym estymatorem wektora parametrów jest wyzaczoe za pomocą MNK o macerzy waracj-kowaracj X X X y X X

21 . Estymator jest estymatorem lowym gdyż jest lową fukcją zmeej losowej y.. jest estymatorem eocążoym to zaczy. E XX Xy y X podstawając za y otrzymamy: XX Xy XX X X XX X E E XX X XX XE XX X0 3. Estymator jest estymatorem ajlepszym w tym sese że każdy y estymator lowy eocążoy ma macerz waracj-kowaracj wększą od tej dla. Estymator tak azywamy estymatorem efektywym.

22 { Estymator eocążoy Ocążee Estymator ocążoy

23 Efektywośd Estymator jest efektywym jeśl ma ajższą warację odchylee stadardowe. Estymator efektywy Estymator eefektywy

24

25 Poeważ zaurzea losowe są ezae to ezaa jest ch waracja. Wektor reszt e w wyzaczoy z próy traktujemy jako wektor estymatorów zaurzeo losowych. Isteje węc przesłaka dla wyzaczea estymatora waracj a podstawe wektora reszt e. W teor ekoometr dowodz sę twerdzee że s ˆ e K ee K

26 s s N e K

27 Stadardowy łąd szacuku parametru β mów o le jedostek wartośd róż sę od ezaej welkośc parametru β. K K se X X

28 . Jak testujemy hpotezę o estotośc określoego podzoru regresorów?. Proszę wymed założea klasyczego modelu regresj lowej. 3. Proszę sformułowad twerdzee Gaussa-Markowa je zterpretowad. 4. Co to jest łąd stadardowy estymatora? Proszę podad wzór dla przypadku regresj welu zmeych go zterpretowad.

29 Dzękuję za uwagę