Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015

Transkrypt

1 Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy wersze od góry w dół a olumy od lewej do prawej. Do tego weźmy m poów. Teraz, wyberzmy m werszy pomalujmy je a jaś olor. Następe wyberzmy m olum je też pomalujmy a jaś olor. Teraz zauważmy, że powstało am w te sposób m przecęć olorów. Na tych przecęcach będzemy ustawać po w oreśloy żej sposób. Wyberzmy pomaloway wersz z ajwęszym desem pomalowaą olumę z ajmejszym desem (perwsze przecęce dąc od lewego dolego rogu. Na tym przecęcu postawmy perwszy poe. Zostae am m poów. Teraz, aalogcze wyberzmy pomaloway wersz z ajwęszym desem mejszym od wybraego poprzedo, pomalowaą olumę z ajmejszym desem węszym od wybraego poprzedo, a przecęcu postawmy olejego poa. Róbmy ta dalej aż zużyjemy wszyste po. Zauważmy, że wtedy awet ja byśmy chcel, to e wyberzemy olejego wersza a olejej olumy, bo wszyste zamalowae były wcześej wyorzystae. Ustawając w te sposób dla m poów mamy ( m opcj, a węc dla dowolego m mamy: ( Zauważmy też, że dla m > e możemy ta ustawć poów, że dla ażdych dwóch jede z ch jest a lewo żej od drugego (z zasady szufladowej dwa po musały by być w tym samym werszu/olume, co daje am sprzeczość. Dlatego węc wy te jest poprawy ostateczy. Przyładowa plasza. Numery a przecęcach to olejość stawaa poów.

2 Zadae Mamy poazać, że F (. Zrobmy to ducyje. Dla, F (, dla, F ( ( węc dzała. Teraz założę, że dzała, sprawdźmy dla. F F F, teraz, z założea ducyjego F ( ( ( ( ( ( ( ( [ Czyl wszysto sę zgadza. Teraz część druga: Twerdzę, że: ( Fm F m ( ( ( ( ( ] ( ( ( Dla, oczywste.dla też. Założę ducyje, że dzała <, sprawdzę dla : ( ( ( ( F m F m F m F m ( ( ( F m ( ( ( F m Fm F m F m F m (* Oczywśce z założea, dla dowolego m dla -, soro założylśmy dla dowolego m to też dla m. Zadae Z włączeń wyłączeń. Wszystch możlwych permutacj tego cągu jest (!, bo w (! berzemy pod uwagę też róże ustawea tych samych lczb, stąd musmy podzelć to przez. Teraz rozpatrzmy A jao ustawee, w tórym te lczby stoją oło sebe. Mamy węc: A ((! ( (!. Dlaczego? Bo ustawamy dowole - lczb, stąd ((!, a teraz, parę lczb możemy wstawć w mejscach - pomędzy olejym lczbam (, a początu a ońcu. Podobe, dla A A j mamy ((! ( ( (! (bo par e możemy rozdzelać. Aalogcze: j A ( j!. Podstawając pod wzór z włączeń wyłączeń: j (! ( ( (! Zadae 4 a a a, węc a a a. Ahlatorem tej reurecj jest (E E (E (E. Soro ta, to: a α β( a α β a α β α, β a (

3 Zadae 5 a a a a Ahlatorem a a a jest (E E (E, ahlatorem jest (E, a ahlatorem jest (E, węc całość ahluje (E (E. Stąd mamy: a α β γ δ a α δ a α β γ δ a α β 4γ 9δ a α β 9γ 7δ Stąd, jedyym rozwązaem jest: α 4 ; β ; γ ; δ 4 a stąd: a 4 4 b a 4a 4a Ahlatorem a 4a 4a jest (E 4E 4 (E, a ahlatorem jest (E, węc ahlator całośc to (E 4. Stąd: a (α β γ δ. c a a a, ahlatorem jest (E (E E (E (E ( (E (. To ozacza, że: a α β( γ( Zadae 6 Nech a ; a ; a ; a a. Ahlatorem a a jest: (E (E (E ( (E ( Soro ta, to rozwązując rówae otrzymujemy: a A B ( C ( Rozwązując tą zależość, podstawając za olejo,,, po lu(astu ljach oblczeń, ostatecze otrzymujemy, że: a ( 6 ( ( 6 ( Teraz, wedząc ja wygląda mod, wedząc, że (mod, możemy podstawć asze a jao ( ( 6 ( ( 6 ( Zadae 7 a - cąg lter spełający waru zadaa. a a (6 a 5 a 6 4a Bo wyberamy wszyste możlwe cąg, odejmujemy od ch cąg prawdłowe, otrzymując w te sposób wszyste eprawdłowe. Mają oe eparzystą lczbę lter a, węc dopsae a tym mejscu olejej, da am cąg prawdłowy, stąd (6 a. Dodatowo możemy do cągów prawdłowych a ońcu dopsać dowolą lterę e będącą a, czyl 5 a Ahlatorem tego cągu jest (E 4(E 6 Postacą ogólą a będze węc α4 β6 5 4α 6β α 676β α ; β a 4 6

4 Zadae 8 Rozwążmy zależość daą w zadau. Mamy s s. Ahlatorem tego jest (E (E s α β γ s α 4β 8γ 4 s α 8β 4γ Jedyym rozwązaem jest: α ; β ; γ Węc: s ( Zadae 9 Nech: c ozacza wszyste cąg prawdłowe, d ozacza cąg prawdłowy z a ońcu, e cąg prawdłowy z a ońcu, f - cąg prawdłowy z a ońcu. Wdać, że: c d e f d d e f bo możemy wząć cąg prawdłowy z, bądź a ońcu dopsae daje am cąg prawdłowy. e d f bo e możemy do cągu z a ońcu dopsać. f d e bo e możemy do cągu z a ońcu dopsać. Wdać też, że d e f, c, d, e f, c 7. Stąd: c d e f d e f d f d e d d e f d c d e f c c c Stąd: c c c Ahlatorem jest oczywśce (E E (E ( (E ( Stąd asze rozwązaa są w postac: c α ( β ( Mamy węc perwsze dwa wyrazy c, podstawmy pod rówae, wychodz am, że: α β Zatem: c ( ( Zadae Oczywśce p ( p p ( p p Weźmy teraz p. Na początu rozważmy sytuację, że w poprzedm rou dostalśmy. Soro ta, to teraz musmy otrzymać orygalą wadomość, węc mamy ( p p. Ale to e wszysto, możemy dostać złą wadomość. To zdarzee przecwe, mamy węc ( p. Ale teraz musmy otrzymać egację wadomośc, mamy węc ( p p. Soro ta, to: p ( p p ( p p Teraz, możemy zapsać, że: p p ( p p Teraz, ahlatorem tego jest: (E ( p(e Stąd: p A ( p B ( p A( p B ( p p A( p B Wyem oblczeń jest A B W tam raze: p ( p 4

5 Zadae Oczywste jest, że p ; p p p p ( p p Bo jeśl wygra z prawdopodobeństwem p to mus wygrać mając moet, jeśl przegra z prawdopodobeństwem ( p mus wygrać mając p moet. Teraz po przeształceach(-: p p ( p p p p p p p p p Ahlatorem jest węc (E p E p p p α ( β ( p p α β α β( p Po rachuach wychodz: α ; β ( p ( p Węc wzór ogóly to: p ( ( p ( p p p (E (E ( p p Zadae a b a B(x b c a, c C(x a x a x x a x x (a x xa(x x c s a a a... a S(x [ a ]x ( d x a t dt a x ( t x a t dt A(t a t x A(x x A(x x { a gdy d gdy D(x [(a x a x a x... (a x a x a x...] A(xA( x [A(x A( x] 5

6 Zadae 4 a b Zauważmy, że Z a: x x( x x( x x( x x ( x x x x( ( x x(x ( x x x( x x( x(x ( x x(x 4x ( x 4 c Twerdzę, że A (x ( x Dowód będze ducją po. Dla jest a ( A (x xx ( ( x x ( ( x x A (x (b x, węc wzór zachodz. x zal x x A (x (a ( ( (a - wycągamy perwszy wyraz (b - zmejszamy, wszędze wpsujemy, stąd mamy sumę od A (x A (x x A (x A (x x A (x A (x A (x( x A (x A (x A (x x zal ( x( x ( x ( x A (x x A (x A (x 6