Podprzestrzenie macierzowe

Transkrypt

1

2 Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A E A B E B spa(a) spa(b) poeważ ezerowe wersze w macerzach E A E B są take same. kol b) R( A) R( B) A ~ B z y P - a R A y : a y A y P PA a z B a R B ( ) - ( ) ( ) ( ) spa( ) spa( ) m m wersz R A R B A, A,..., A B,B,...,B A ~ B b) dowód przebega aalogcze ak w (a) zastępuąc odpowedo A, B przez A, B. Przykład: Czy astępuące zbory wektorów apaą tą samą podprzestrzeń : {( 3) ( 4 3) ( 3 6 4) } {( ) ( ) } A,,,,,,,,,,, B 0, 0,,,,, 3, 4 Kostruuemy macerze A B, których werszam są wektory ze zborów A B: Wykład -

3 D: Podprzestrzee macerzowe werdzee: Nech A będze macerzą o wymarach mâ, a U dowolą macerzą w postac schodkowe otrzymaą z macerzy A: (a) ezerowe wersze macerzy U apaą przestrzeń werszowąr(a ), (b) kolumy podstawowe w macerzy A apaą przestrzeń kolumowąr(a). wersz ( ) ( ) a) A ~ U R A R U b) Nech b, b,, b r oraz,,, t ozaczaą odpowedo podstawowe epodstawowe kolumy macerzy A. Macerz Q ech będze macerzą permutac przestawaącą kolumy podstawowe a lewą stroę, tak że AQ ( Bm r Nm t) Kolumy epodstawowe są lowym kombacam kolum podstawowych mogą być wyzerowae za pomocą operac elemetarych a kolumach macerzy AQ : ( ) ( ) ( ) ( ) AQ Q B N Q B 0 Q Q Q : AQ B 0 A ~ B 0 m r m t Przykład: Zadź zbory apaące przestrzee R(A) R(A ), eśl: 3 0 A 4 3 ( A ) spa, R ( ) 0 R A spa, kol Wykład -3

4 Podprzestrzee macerzowe Defca: Jądrem odwzorowaa f : m azywamy zbór ( f) f ( ) { x x 0} werdzee: ( f ) est podprzestrzeą. A : x, x f f x + x f x + f x 0 N x + x N f M : x N f α f α x α f x 0 α x N f D: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Defca: Przestrzeą zerową (ądrem) macerzy A mâ azywamy zbór ( ) N A { x Ax 0} Defca: Lewostroą przestrzeą zerową (lewostroym ądrem) macerzy A mâ azywamy zbór ( ) m N A { y m ya 0} Przykład: Zadź zbór apaący przestrzeńn(a) gdze A Poszukway zbór to ogóle rozwązae rówaa Ax 0 R R x x 3x3 3 3 E A x x x + x 0 x h + x h x x A spa h,h A węc ( ) ( ) 3 3 Wykład -4

5 Podprzestrzee macerzowe Wosek: Aby zaleźć zbór apaący przestrzeńn(a) gdze rz(a mâ ) r ależy zredukować A do postac schodkowe U, a astępe rozwązać rówae Ux 0 wyrażaąc zmee podstawowe przez zmee wole zaduąc w te sposób ogóle rozwązae rówaa Ax 0 w postac x x f h + x f h x f h r r Zbór wektorów { h,h,...,h r } apa przestrzeń est ezależy od postac schodkowe macerzy U. werdzee: Jeśl rz(a mâ ) r oraz PA U, gdze P est macerzą eosoblwą, a U est macerzą w postac schodkowe, wtedy ostate m-r werszy macerzy P apa lewostroą przestrzeń zerową macerzy A. z. eśl P P P gdze P ma wymar (m-r)âm wtedy N A R P ( ) ( ) ( ) Wykład -5

6 Norma eukldesowa wektora Defca: Normą (eukldesową) wektora azywamy lczbę: / x x x x gdy x x / x x x x gdy x Defca: Iloczyem skalarym (stadardowym) w przestrzeach C azywamy odpowedo: x y x y oraz x y * x y werdzee (erówość Cauchy-Buyatovsk-Schwarz (CBS): Dla dowolych wektorów x,y spełoy est waruek x y x y przy czym rówość zachodz wtedy tylko wtedy gdy y αx dla αx y / x x. x y x y Dowód: Nech α x x x * 0 α x y ( α x y) ( α x y) α x ( α x y) y ( α x y) y ( α x y) y x ( x y)( y x) y x x y 0< x y y α y x x y x y x x Wykład -6

7 Nerówo wość trók kąta werdzee (erówość trókąta): Dla dowolych wektorów x,y zachodz: x + y x + y x + y x + y x + y x x + x y + y x + y y x + x y + y x + y Dowód: ( ) ( ) x + y x + x y + y x + y * ( ) ( ) ( ) x y + y x x y + x y Re x y x y x y Nerówość trókąta moża rozszerzyć a dowolą lczbę wektorów: x x Z erówośc trókąta wyka dole ograczee a ormę różcy wektorów: x x y + y x y + y x y x y y x y x x y + x x y x y x y x y ( ) Nerówość trókąta spełoa est także dla lczb (rzeczywstych lub zespoloych): α α Wykład -7

8 p-orma / Defca: p-ormą wektora x gdze p r azywamy p p Własośc: x p x x p 0 oraz x p 0 x 0 α x p α x p dla każdego α x + y x p + y p p x y x p y gdze + q p q p-ormy stosowae w praktyce: x x x / p p x lm x p lm x max x p p Przykład: Nech x ( 3,4 3,) wtedy x 9 x 35 x 5 Przykład: Czym są w w przestrze 3 tzw. p-sfery { x x p } dla p,,? p S S S / x Wdać, że w 3 zachodz x x x Wykład -8

9 Poęce ormy w przestrze wektorowe Defca: Normą określoą a rzeczywste lub zespoloe przestrze wektorowe V azywamy fukcę odwzorowuącąvw, która speła astępuące waruk: x 0 oraz x 0 x 0 α x α x dla każdego α x + y x + y m Defca: Normą (Frobeusa) macerzy A azywamy lczbę określoą przez: Jak waruek powa spełać ogóla orma loczyu macerzy? Ax A x A x A x Ax A x F a, ( ) A A A r A A F F F Mówmy, że ormy: Frobeusa macerzy eukldesowa wektora są zgode. AB [ AB] AB A B A B A B F F F F F AB A B F F F Wykład -9

10 Norma macerzy Defca: Normą macerzy azywamy fukcę odwzorowuącą zbór wszystkch macerzy zespoloych (o skończoych wymarach) w, która speła astępuące waruk: A 0 oraz A 0 A 0 α A α α α A dla każdego α A + B A + B AB A B Każda orma zdefowaa dla wektora z p, p m, dukue odpowedą ormę macerzy z mâ m A max Ax dla A, x x A 0 oraz A 0 A 0 α A max α Ax α max Ax α A ( ( ) A + B max A + B x ) max( Ax + Bx ) max( Ax + Bx ) max( Ax ) + max( Bx ) A + B ( ( ( ) ) ) ( ( ) A Bx AB max AB x max A Bx ) max Bx x x x Bx A( Bx) max max( Bx ) max( Ay ) max( Bx ) A B x Bx x y x Wykład -0 0

11 Normy dukowae macerzy -orma (awększa suma modułów A max ( Ax ) max a elemetów kolum) x Ax A x a x a x x a ( )( max ) ( ), x a max a A k Nech będze kolumą o awększe sume modułów elemetów. Wyberaąc x e k dostaemy Aek A k max a. A węc zachodz rówość. -orma (awększa spośród sum modułów elemetów werszy) A max ( Ax ) max a x Ax max a x max a x max a A k Nech będze werszem o awększe sume modułów elemetów. dla a A x k 0 a x a x dla a k < 0 Ak x ak max a Wykład -

12 Normy dukowae macerzy -orma (tzw. orma spektrala, dukowaa przez ormę eukldesową) A max Ax λ Jeśl A est macerzą eosoblwą, wówczas mamy λ, λ max m Przykład: Zadź ormy dukowae A, A oraz A macerzy 3 A A A A F r( A A ) det( A A I) 3 λ λ ( 3 λ ) λ m oraz λ max 4 3 λ A λ λ max x ( ) max A - m( Ax ) λ x to odpowedo awększa amesza wartość własa macerzy A A. Uwaga: Uwaga dla macerzy kwadratowych stopa zachodz A α A gdze α to elemet (,) macerzy: F * * * F * m Wykład -