Indukcja matematyczna

Transkrypt

1 Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya prawdzwość T + to teza T jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0. Twerdzee. a wersja zasady ducj Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T dla wszystch wya prawdzwość T + to teza T jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0. Zobaczmy ja stosować zasadę ducj matematyczej w dowodzeu różych tez o lczbach aturalych. Przyład. Udowodj że dla dowolej lczby aturalej zachodz rówość Rozwązae.. Dla suma po lewej stroe rówośc słada sę tylo z jedego słada zatem teza T jest prawdzwa.. Poażemy że jeśl prawdzwa jest rówość T to jest założee ducyje to zachodz taże T + to jest teza ducyja Rozpszmy lewą stroę tezy ducyjej ta by było wdać ja sorzystać z założea. Mamy zał Stąd a mocy zasady ducj daa rówość jest prawdzwa dla ażdego N. Ozaczea W dalszym cągu stosować będzemy astępujące ozaczea a a m + a m a m a a m a m+... a m

2 gdze m są lczbam całowtym m < atomast a m a m+... a ozaczają dowole lczby rzeczywste. Mamy zatem p Dowolą sumę w taej srócoej forme możemy zapsać a wele sposobów p Wyorzystamy teraz zasadę ducj do uzasadea prawdzwośc wzoru a a + b dla dowolej lczby aturalej. Czytel za z pewoścą wzory srócoego możea a + b a + ab + b a + b 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 tóre są szczególym przypadam wzoru dwumaowego Newtoa dla 3. Przyład. dwuma Newtoa Udowodj że dla dowolego N zachodz rówość a + b a b gdze dla 0... ozacza symbol Newtoa!!!. Rozwązae. Przeprowadzmy ducję względem. Tezą T jest rówość a + b a b. Sprawdzmy prawdzwość T. Mamy 0 a b węc teza dla zachodz. Załóżmy teraz słuszość tezy T. Wtedy 0 0 a b a + b + aa + b + ba + b zał. a 0 a 0 b a + b a b + b 0 a b

3 0 a + + a b a + b a b a b a + b a b + b +. Dla... oblczymy współczy stojące przy a + b w powyższej sume. Mamy! +!! +!!!! +! +! +!! + +! +!! +! oraz Stąd możemy apsać + a + b + + a + b 0 węc teza T + jest prawdzwa. Z zasady ducj wya słuszość tezy dla dowolej lczby aturalej. Uwaga. Korzystając z udowodoej powyżej rówośc + + możemy zbudować tzw. trójąt Pascala złożoy ze współczyów olejych rozwęć dwumau Newtoa Każda lczba wewątrz tego trójąta jest sumą dwóch sąsedch lczb z poprzedego wersza. Wersz -ty zawera współczy występujące we wzorze a a + b. Przyład 3. Udowodj ducyje że dla prawdzwa jest erówość >. Rozwązae. Sprawdzmy ajperw słuszość erówośc T. Jej lewa stroa jest rówa czyl jest węsza od Założmy teraz że Poażemy że > >. +.

4 Rozpszmy lewą stroę tezy. Mamy + Poeważ z założea mamy a ułame > jest dla aturalych dodat możemy apsać Pozostało am do sprawdzea czy + + > Mamy dla aturalych > zatem daa erówośc jest prawdzwa dla dowolej lczby aturalej. Zadae. Udowodj że astępujące rówośc są prawdzwe dla dowolej lczby aturalej : a b c d e f! +! ! +! g suma perwszych eparzystych lczb aturalych jest rówa h j 0 a a+ a dla dowolego N gdze a jest lczbą rzeczywstą. Zadae. Udowodj ducyje erówośc N: a! > dla > 3 b + a + a dla a > erówość Beroullego c

5 d e + > 3 4 dla > f + > 5 dla 3 g 3 +. Zadae 3. Udowodj że dla dowolej lczby aturalej : a lczba 3 + jest podzela przez 3 b lczba 3 jest podzela przez 6 c lczba jest podzela przez 5 d lczba jest podzela przez 0 e lczba 7 jest podzela przez 4 f lczba jest podzela przez 3 g lczba jest podzela przez 8. Zadae 4. Nech a a oraz a + a + a dla Zdefoway w te sposób cąg to cąg Fboaccego. Udowodj ducyje wzór a -ty wyraz tego cągu a [ ] Zadae 5. Udowodj że dla ażdego N lczba jest lczbą aturalą. Zadae 6. Udowodj ducyje że dla ażdej lczby aturalej 0... lczba wszystch -elemetowych podzborów zboru -elemetowego wyos. Zadae 7. Udowodj że różych prostych a płaszczyźe przecających sę w ustaloym puce P dzel płaszczyzę a częśc. Zadae 8. Udowodj że suma mar ątów wewętrzych dowolego -ata wypułego wyos π.