Metody numeryczne procedury

Transkrypt

1 Metod umercze procedur podstwe [Mrc et. l. 997] orz [Broszte et. l. 004] dr ż. Pweł Zlews Adem Mors w Szczece

2 Iterpolc welomow: Zde terpolc poleg zlezeu pewe uc tór przlż dą ucę. Dl uc ze są prz tm wrtośc ( ) lu wrtośc e pocodc w pewe sończoe lcze różc putów tóre zwm węzłm terpolc. Wrtość welomu terpolcego Lgrge L w puce dl de uc olcz sę z wzoru: L 0 0 gdze wrtośc orz ( ) ( = 0 ) są de. - -

3 Iterpolc welomow: Wrtość welomu terpolcego w puce dl de uc moż olczć róweż lgortmem Nevlle podstwe zleżośc reurecc: P 0 0 P P P 0 0 gdze wrtośc orz ( ) ( = 0 ) są de. Wrtość elemetu P est poszuwą wrtoścą welomu w puce

4 Aprosmc welomow: Przłdem est prosmc średowdrtow welomem tór dl de uc () poleg oreśleu welomu p() stop m tór w przpdu dc dsretc mmlzue sumę: gdze wrtośc orz ( ) ( = 0 ) są de m < w() ozcz ucę wgową. Współcz welomu prosmuącego ucę (): H p w 0 0 m m m moż wzczć poszuuąc mmum poższego ucołu prz dc wrtoścc orz ( ) : gdze m <. m 0-4 -

5 - 5 - Aprosmc welomow: m H m m z m 0 0 Powższ ułd rówń lowc moż rozwązć p. metodą elmc Guss lu metodm tercm (przlżom). Wprowdząc ozcze: m z m 0 0 otrzmuem ułd rówń lowc postc:

6 Cłowe umercze: Wele cłe e moż przedstwć z pomocą uc elemetrc. Do c olcze stosue sę metod przlżoe (przłdowo dl olcze pol powerzc pod rzwą). W celu wzcze przlżoe wrtośc cł: F ucę podcłową F() przedstw sę w postc loczu w() () gdze uc w() zw ucą wgową zzwcz wos ucę () przlż sę welomem. Wówczs: F d d w d A 0 gdze współcz A olczeń. zleżą od zstosowe metod umercze - 6 -

7 Cłowe umercze: W metodze Smpso d przedzł [ ] dzel sę rówe podprzedzł. W przpdu trzec podprzedzłów: 0 3 w żdm podprzedzle stosue sę wzór Smpso: 3 d 4 0 Nstępe żd z przedzłów dzel sę zowu trz częśc otrzmue sę druge przlżee cł. Procedur t est otuow do cwl gd różc pomędz dwom olem przlżem cł est dosttecze mł lu gd długośc podprzedzłów są mesze od: 3 N I - 7 -

8 Ułd rówń lowc: Metod dołde rozwązw ułdu rówń lowc: A gdze mcerz wdrtow A stop wetor R teoretcze pozwlą uzsć rozwąze dołde: A są de gdze R o le mcerz wdrtow A est eosolw. Poewż wrtośc elemetów mcerz A wetor e są reprezetowe dołde (rozdzelczość tpów lczowc w opercc zmeoprzecowc w dm środowsu progrmowm) podczs olczeń wstępuą łęd zorągleń węc rozwąze olczoe metodą dołdą może różć sę od teoretczego rozwąz dołdego

9 Ułd rówń lowc: W przpdu ułdu rówń lowc z mcerzą tróątą górą: eżel mcerz ułdu e est osolw t. gd 0 dl żdego = to ewdome są olcze podstwe zleżośc: - 9 -

10 Ułd rówń lowc: W przpdu ułdu rówń lowc z mcerzą tróątą dolą: eżel mcerz ułdu e est osolw t. gd 0 dl żdego = to ewdome są olcze podstwe zleżośc: - 0 -

11 Ułd rówń lowc: Rozwązwe ułdu rówń lowc metodą elmc Guss z częścowm worem elemetu podstwowego: Mcerz A est rozłd locz mcerz LU gdze L ozcz mcerz tróątą dolą z edm główe przeąte U mcerz tróątą górą. Kro ( = -) operc rozłdu mcerz A moż opsć stępuąco: Zduem elemet t że: m Nstępe w mcerz A () zmem wersze o umerc orz w wetorze () słdowe o tc smc umerc. Odpowd to lewostroemu przemożeu mcerz A () wetor () przez mcerz permutc P (). W otrzmm ułdze rówń: A - -

12 Ułd rówń lowc: Rozwązwe ułdu rówń lowc metodą elmc Guss z częścowm worem elemetu podstwowego: elmuem ewdomą z wersz o umerc + +. orzstąc z wzorów: l l gdze: l - -

13 Ułd rówń lowc: Rozwązwe ułdu rówń lowc metodą elmc Guss z częścowm worem elemetu podstwowego: po - roc otrzmm ułd rówń postc: l L l3 l U L P w tórm P=P (-) P (-) P U=A () orz: l l l Powższ ułd rówń est rozwązw z pomocą zleżośc: ˆ u u ˆ ; L P - 3 -

14 Ułd rówń lowc: Wzczee mcerz odwrote do mcerz rzeczwste: W celu wzcze mcerz odwrote do mcerz rzeczwste A: A mcerz A est perw rozłd locz LU metodą elmc Guss. Po wou te operc otrzmuem: PA LU gdze P ozcz mcerz permutc. A U L P

15 Ułd rówń lowc: Wzczee mcerz odwrote do mcerz rzeczwste: Elemet mcerz L - orz elemet mcerz U - są oreśloe wzorm: l l l l u u u u gdze: 0 gd gd

16 Ułd rówń lowc: Metod terce rozwązw ułdu rówń lowc: A gdze mcerz wdrtow A stop wetor R są de geeruą cąg olec przlżeń wetor. Rozpoczęce procesu tercego wmg pod początowc przlżeń wszstc słdowc tego wetor. () Jedą z metod tercc rozwązw ułdu rówń lowc z eosolwą mcerzą wdrtową A est metod Jcoego. W metodze te mcerz A est przesztłc sumę trzec mcerz: A L D U gdze L ozcz mcerz tróątą dolą D mcerz dgolą U mcerz tróątą górą

17 Ułd rówń lowc: Rozwązwe ułdu rówń lowc metodą tercą (przlżoą) Jcoego: Uwzględąc rozłd mcerz A ułd rówń () moż zpsć w postc: z czego w stępuąc proces terc: D L D D U L U D L U L U D () eżel promeń spetrl mcerz D - (L+U) est mesz od to powższ proces terc est zeż

18 Ułd rówń lowc: Rozwązwe ułdu rówń lowc metodą tercą (przlżoą) Jcoego: Z zleżośc () w że (+)-sze przlżee -te słdowe rozwąz est oreśloe wzorem: m prz czm 0. Proces terc ończ sę gd: gdze: m ε ozcz zdą dołdość lu gd + = = 0 lu też gd lcz terc w procese (3) est węsz od przęte wrtośc msmle. 0 lu 0 (3) - 8 -

19 Rów ułd rówń elowc: Rówe slre z edą ewdomą może ć zpse w postc: 0 gdze : X Y prz czm X Y R. Jeśl rówe to e może ć rozwąze ltcze to do zleze ego perwstów stosuem zwle metodę tercą z pomocą tóre moż otrzmć przlżoą wrtość perwstów w przpdu gd rozwąze rów stee. Stosuąc metodę regul ls zdue sę wrtość perwst rów slrego z edą ewdomą leżącego w przedzle [ ] tm że: 0-9 -

20 Rów ułd rówń elowc: Jede ro metod regul ls poleg zstąpeu eżącego przedzłu [ ] przedzłem meszm tórm est ede z przedzłów [ z] lu [z ] gdze: z Wór odpowedego przedzłu zleż od spełe edego z wruów ()(z) 0 lu (z)() 0. Olcze otuue sę dopót dopó < z <

21 Rów ułd rówń elowc: Wrtość perwst rów slrego z edą ewdomą leżącego w przedzle [ ] moż róweż zleźć z pomocą metod seczc (terpolc lowe) tór poleg zstosowu zleżośc: Z początowe przlże w procese tercm prząć moż p. wrtośc (zleże od rozdzelczośc podzłu przedzłu [ ]): 0 0 uporządowe w t sposó że:

22 Różczowe umercze: Przlżoe wrtośc pocode uc () mogą ć wzczoe z welomu prosmuącego p(). Poewż różc () - p() może ć rdzo mł różc () p () rdzo duż podeśce te może spowodowć powste zt dużego łędu. Gd est wmg duż dołdość olcz pocode zlec sę stosowć metodę Romerg. W metodze te dl dego początowego rou 0 wrtośc: gdze: T 0 stępe orzstąc z wzoru: 0 0 T T T T 4 olcz sę olee elemet stępuące tlc: wzcz sę - -

23 Różczowe umercze: T T T T T T T ' gd dl dego Olcze ończą sę gd: T T gdze ε ozcz zdą z gór dołdość. Jeżel dl złożoego orz powższ wrue e ędze speło to d ro 0 dzel sę połowę cł proces olczeń powtrz sę. Gd po mn tercc zd dołdość ε e est osągęt to z rozwąze przmue sę ostto olczoe przlżee T

24 Różczowe umercze: Rozwąze zgde początowego dl poedczego rów różczowego to cze olczee przlżoe wrtośc ( ) rozwąz slrego rów: z wruem początowm: d ' d 0 0 Jedą z metod umerczc prowdzącc do rozwąz tego zgde est metod Rugego-Kutt z utomtczm doorem rou cłow

25 - 5 - Różczowe umercze: Wrtość ( ) olcz sę stosuąc zleżość: K K K K gdze: K K K K K K K

26 - 6 - Różczowe umercze: N podstwe przedstwoe zleżośc wzcz sę dwe wrtośc przlżoego rozwąz w puce + gdze ozcz ro cłow mowce: (+) prz użcu rou (+) stosuąc dwurote ro /. Jeżel: (4) m gdze ε η > 0 ozczą wrtośc crterzuące dołdość rozwąz to ońcową przlżoą wrtość rozwąz w puce + olcz sę z wzoru: 5

27 Różczowe umercze: W przpdu gd erówość (4) e zoste speło to zme sę ro cłow. Poewż cłowe od putu 0 do putu woue sę w pewe lcze roów w prtce łąd względ otrzmego przlżoego rozwąz ( ) może ć węsz od ε