i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
|
|
- Tomasz Kosiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t( t + t( t( t t( t( t( t3, 6 4 gdze x t 35, 5, Stąd da x 3,58 ay t,6, a węc L 4 (, 6 35, # 35 Iterpoaca Herte a Defca 36 Zadae terpoacye Herte a poega a zaezeu da dae fuc f weoau H stopa eszego u rówego, taego że ( ( H ( x f ( x da,, K, ;,, K,, (3 przy czy +, N Lczę azyway rotoścą węzła x Da (,,, ay zadae terpoacye Lagrage a, a węc szczegóy przypade terpoac Herte a est terpoaca Lagrage a Twerdzee 36 Zadae terpoacye Herte a a dołade edo rozwązae Dowód Podoe, a w dowodze twerdzea 3, poażey aperw, że stee weoa stopa e wyższego ż, tóry speła waru (3 Wprowadźy fuce poocczą s (, da, + + K +, da >
2 3 III Iterpoaca Fuca s( est suą rotośc początowych węzłów terpoac Każdą czę,,, oża edozacze przedstawć w postac s( +, gdze # # oraz # #! Na przyład, s( + s( +! Oreśy teraz weoay p s( + : p ( x, s( ps ( + ( x ( ( K ( (,,, K, ;,, K, Zauważy, że da (,,, otrzyuey weoay występuące w defc weoau terpoacyego Newtoa (zo wzór (37 Szuay weoa H zapsuey w postac Newtoa (por p : W ceu wyzaczea ezaych współczyów (,,, weoa H przedstaway w postac H( x W( x + p( x + W ( x, (33 gdze W (x ozacza oacę ową weoaów p da,,,! o współczyach,,,!, a W (x oacę ową weoaów p da +, +,, o współczyach +, +,, Załóży, że współczy,,,! są zae Z wzorów (3 da s( + ay po podstaweu do (33 otrzyuey Różczuąc powyższy wzór -rote da x x ay Zaeżość (34 wya z fatu, że H ( x p ( x p ( x s ( + s ( + p ( x p ( x( xx s( s( H ( x W ( x + p ( x( x x + W ( x ( ( (3 H ( x W ( x +! ps( ( x (34 [ p ( x( ] s ( (! ( ps (( x( (! eś oczay pochodą w puce x x, to w powyższe sue wszyste sład z wyąte przyuą wartość Podoe, W (x, gdyż ażdy z weoaów p da $ + zawera czy x! x w pewe potędze węsze od Poeważ ( ( H ( x f ( x, węc z zaeżośc (34 otrzyuey
3 35 Iterpoaca Herte a 33 ( ( f ( x W ( x p ( x! s ( (35 Dowód edozaczośc przeega aaogcze, a w twerdzeu o edozaczośc rozwązaa zadaa terpoacyego Lagrage a # Przyład 35 Dae są puty x (,,, 3 o rotoścach wartośc fuc f e pochodych w tych putach: 3 x 3 3 f(x fn(x fo(x Naeży sostruować weoa terpoacyy Herte a Poeważ sua rotośc węzłów est rówa 7, węc weoa ędze stopa co awyże szóstego Szuay zate weoau Oreśy czy s(: H ( x p ( x p ( x 6 6 s(, 3 s(, s( + 3, s( s ( + s ( + Jeś, to, a węc czę oża przedstawć w postac s( + Da ay #!, a węc, Wya stąd, że s( + oraz s( + Gdy, to #!, czy,, ay 3 s( +, 4 s( + oraz 5 s( + Wreszce gdy 3, to # 3!, a węc, sąd wya, że 6 s(3 + Weoay p s( są astępuące: ps( ( x, p ( x x x x, s( s( p ( x ( xx ( x x x( x, s( 3 p ( x ( xx ( xx ( x x x( x ( x, 3 3
4 34 III Iterpoaca a weoay p są postac Możey teraz oreść współczy (,,, 6 Przy wyzaczau ay (przy dowoy H ( x p( x + W( x wzór (35 przyue postać (da ay, s( co da daych w przyładze dae Da, t, s(, ay Da (,, s( est p ( x p ( x p ( x( xx s( + s( p f ( x ( x!, s( W ( x p ( x f ( x W( x p ( x! s( W ( x p ( x + p ( x p ( x x, s( + a węc Da 3 (,, s( 3 ay f ( x W ( x p ( x! s( W( x p( x + p( x + p( x x+ p ( x x+ xx ( x s( + Zate Jeś 4 (,, s( 3, to 3 f ( x W( x p ( x s(! 4 W ( x x + p ( x x p ( x ( x x + 5, s( W ( x 6x + x f ( x W ( x p ( x! s( 3 Gdy 5 (,, s( 3, to W ( x x p4( x x + 5+ ps( + ( x x + 5+ x( x ( x x 6x + x 9x,
5 35 Iterpoaca Herte a 35 W ( x 4x 48x + 45x9, 3 W ( x 4x 96x+ 45, węc Wreszce gdy 6 ( 3,, s(3 6, to W ( x x 6x + x 9x+ 5p5( x x 6x + x 9x ps( + ( x x 6x + x 9x x( x ( x 4 f ( x3 W( x p ( x Zate szuay weoa Herte a a postać 5 Poprawość wyzaczea tego weoau ożey sprawdzć z waruów terpoac ( ( f ( x W ( x p ( x! s( H6 ( x f ( x, 3,,, ;,, K, s( 3 3! 7 H6( x x+ x( x x( x + x( x ( x xx ( ( x + xx ( ( x 4 # Wyzaczae weoau terpoacyego Herte a w sposó poday w twerdzeu 36 est żude O wee prostsze est ego oreśae wyorzystuąc poęce uogóoych orazów różcowych Defca 37 Nech fuca f ędze -rote różczowaa (,,, +! w puce x +, gdze,,, Uogóoy oraze różcowy fuc f azy- way: a da -rotego węzła x [ x, ; f ] ( f ( x, (! (36 da różych węzłów x, x +,, x + o rotoścach odpowedo, +,, + [ x, ; x+, + ; K ; x+, + ; f ] [ x, ; x+, + ; K; x+, + ; f ] [ x, ; K, x+, + ; x+, + ; f ] (37 +
6 36 III Iterpoaca Z defc te da węzłów edorotych otrzyuey: z wzoru (36 a z wzoru (37 [ x ; f ] f ( x, (por defca 35 wzór (36 Korzystaąc z poęca uogóoych orazów różcowych oża udowodć [ x+, x+, K, x+ ; f ] [ x, x+, K, x+ ; f ] [ x, x+, K, x+ ; f ] Twerdzee 37 Jeś fuca f a pochode do rzędu! w putach x (,,,, to współczy ( s( + ;,,, ;,,,! weoau terpoacyego Herte a są rówe orazo różcowy terpoowae fuc oparty a początowych węzłach z uwzgędee ch rotośc, t + [ x, ; x, ; K ; x, ; x, + ; f ] (38 Przyład 36 Rozważy to sao zadae co w przyładze 35 Z wzoru (38 wya, że [ x, ; f ], [ x, ; x, ; f ], [ x, ; x, ; f ], [ x, ; x, ; x, ; f ], 3 [ x, ; x, ; x, ; f ], 4 [ x, ; x, ; x, 3; f ], 5 [ x, ; x, ; x, 3; x, ; f ] 6 3 Uwzgędaąc zaeżośc (36 (37 ay f ( x, 3 [ x, ; f ] [ x, ; f ] f ( x f ( x, f ( x f ( x f ( x [ x, ; f ] [ x, ; x, ; f ] x x [ x, ; x, ; f ][ x, ; x, ; f ] [ x, ; x, ; f ] [ x, ; f ] [ x, ; f ] [ x, ; x, ; f ] x x,
7 36 Reszta w terpoac weoaowe 37 f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x x x x x Wyzaczee współczyów 4, 5 6 pozostaway Czyteow # 36 Reszta w terpoac weoaowe Defca 38 Resztą w terpoac weoaowe azyway wyrażee (w przypadu szczegóy: rx ( f( x L( x Twerdzee 38 Jeże fuca f est (! -rote różczowaa w putach x (,,,, to da x x ay gdze p x x x x x x x + ( ( ( K ( Dowód Nech H + ozacza weoa terpoacyy Herte a spełaący waru (3 oraz warue H+ ( x+ f ( x+, da pewego x + x (,,, May gdze współczy dae są wzore (38, a węc da x x + otrzyuey Stąd Woec dowoośc x + otrzyuey tezę twerdzea # Bezpośredo z powyższego twerdzea wya Wose 3 W przypadu terpoac Lagrage a rx ( p +( x[ x, x, K, x, x; f], gdze rx ( f( x H( x rx ( p +( x[ x, ; x, ; K ; x, ; x, ; f], (39 + H ( x p ( x p ( x + p ( x H ( x + p ( x, H ( x H ( x + p ( x [ x, ; x, ; K ; x, ; x, ; f ] rx ( + f( x+ H( x+ H+ ( x+ H( x+ p ( x [ x, ; x, ; K ; x, ; x, ; f ] p ( x ( xx +
Niech Φ oznacza funkcję zmiennej x zależną od n + 1 parametrów a 0, a 1, K, a n, tj.
III. INTERPOLACJA 3.. Ogóe zadae terpoac Nech Φ ozacza fucę zmee x zaeżą od + parametrów a 0, a, K, a, t. Defca 3.. Zadae terpoac poega a oreśeu parametrów a ta, żeby da + da- ych par ( x, f ( x ( 0,,...,
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoDefinicja 3.9. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej W mn postaci
8 Iy wose z twerdzea. est Wose.. Jeśl ua a ągłą poodą rzędu a odu [a, b] zaweraąy węzły rzezywste x (,,..., ) put x, to stee wartość > [a, b], przy zy > >(x), że p ( x) rx ( ) ( )! ( ) W dowodze tego wosu
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Bardziej szczegółowoMh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Bardziej szczegółowo11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:
//4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX. min. min
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORAORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX Probley prograowae celowego lorazowego to probley prograowae ateatyczego elowego, który oża sktecze zlearyzować
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoProjekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoŚ ś Ł ń ń ś ś Ś ś Ę ę ś ę ś ĘŚ ś Ęś ę ĘŚĆ ĘŚ Ęś ĘŚ ĘŚ ę ĘŚĆ ĘŚĆ ĘŚĆ ĘŚĆ Ęś ĘŚĆ ĘŚ ĘŚĆ ń ĘŚĆ ĘŚ ĘŚĆ ę ĘŚ ś Ęś ń ś ś ś ę ź ę ś ę ś Ź ń ę ń ś ń ń ę ń ń ń ń Ę ś ń ęś ń ń ń ę ń Ż ś ń ń ę ń ś ń ń ń ę ś ń ś Ż
Bardziej szczegółowoMODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część
WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe ( ΩS P ZMIENNE LOSOWE WIELOWMIAROWE - ustaloa przestrzeń probablstcza. (... - zmea losowa - wmarowa (wetor losow cąg losow. : Ω R (fuca borelowsa P : Β R [0 - rozład zmee
Bardziej szczegółowoR n. i stopa procentowa okresu bazowego, P wartość początkowa renty, F wartość końcowa renty. R(1 )
Maeayka fasowa ubezpeczeowa Ćwczea 4 IE, I rok SS Tea: achuek re oęce rey Warość począkowa końcowa rey ey o sałych raach ea o zeych raach ea uogóoa osawowe poęca rachuku re ea es o cąg płaośc okoywaych
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Sprawozdanie IV
Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy Wtęp Metody Nuerycze Sprawozdae IV Metody aproyac weloaowe (wtęp teoretyczy) Teate tego prawozdaa ą populare etody aproyac fuc. Praca ta,
Bardziej szczegółowoWIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP
KATARZYNA BŁASZCZYK BOGDAN RUSZCZAK Poltecha Opolsa WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP Wstęp Esploraca daych (ag. data g) zaue sę efetywy zadowae ezaych dotychczas
Bardziej szczegółowo, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x
Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( )
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoFunkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoWykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Bardziej szczegółowoVI. OBLICZANIE WYZNACZNIKA I ODWRACANIE MACIERZY
VI OBLICZANIE WYZNACZNIKA I ODWRACANIE MACIERZY Metody obliczaia wyzaczików, które polegaą a rozwiaiu względe koluy lub wiersza są praktyczie bezużytecze, gdy korzystay z koputera Na przykład, przy rozwiaiu
Bardziej szczegółowoPODSTAWY I ZASTOSOWANIA RACHUNKU TENSOROWEGO
PRACE PP FR REPOR /007 Jaa Ostrowsa - Maceewsa PODAWY ZAOOWANA RACHUNKU ENOROWEGO (Wyład a tudach Dotoracch w PP PAN) NYU PODAWOWYCH PROBLEMÓW ECHNK POLKEJ AKADEM NAUK WARZAWA 007 BN 978-8-89687-0-9 N
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoJ. Wyrwał, Wykłady z mechaniki materiałów METODA SIŁ Wprowadzenie
J. Wyrwał Wykłady z mechak materałów.. ETODA SIŁ... Wprowadzee etoda sł est prostą metodą rozwązywaa (obczaa reakc podporowych oraz wyzaczaa sł przekroowych) statycze ewyzaczaych (zewętrze wewętrze) układów
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej
Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
WYKŁAD INTERPOLACJA WIELOMIANOWA /6 Sformułowaie problemu iterpolaci. Metoda Lagrage a Rozważmy zaday uład putów {(, y ),,,..., }, zwaych dale węzłami iterpolacyymi. Poszuuemy wielomiau iterpolacyego zadaego
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym)
Badaa Operacye (dualośc w programowau lowym) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a maksmum () c x = max, podczas gdy spełoe są erówośc () ax = b ( m ), x 0 ( ) Zadae programowaa lowego (PL)
Bardziej szczegółowoDokonajmy zestawienia wszystkich równań teorii sprężystości. 1. Różniczkowe równania równowagi (warunki Naviera)
Wyład 4 Blas rówań teor srężystośc Dooamy zestawea wszystch rówań teor srężystośc Gra rówań. Różczowe rówaa rówowag (war Navera Lczba rówań Lczba ewadomych X 6 (. Zwąz geometrycze (rówaa Cachy ego ( 6
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ
Adrze Marcak ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ Wykłady dla studetów keruku formatyka Poltechk Pozańske Wykłady są przezaczoe wyłącze do dywdualego użytku przez studetów formatyk Poltechk Pozańske. Ne mogą być
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoProjekt 3 Analiza masowa
Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoBajki kombinatoryczne
Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja
Bardziej szczegółowoAnaliza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowo3 OBLICZANIE ROZPŁYWÓW MOCY
A. Kac: Systey eletroeergetycze 45 3 OBLICAIE ROPŁWÓW MOC 3. Rozpływ ocy w zaętych secach eletroeergetyczych (SEE) Oblczae rozpływów ocy a a celu wyzaczee stau ustaloego sec eletroeergetycze prądu przeeego,
Bardziej szczegółowoś ę ę Ś Ż Ś ę ę ść ś ś ę Ś Ś Ś Ś ś Ś ż Ż ę ż Ś Ź Ś Ś ś Ś Ś Ż Ś ś ęść ę ę Ś ę ę
ż ęś ę ż Ł ś ż ś ęś ę Ż ę ę ś Ś Ś ś ś Ś ś Ś ę ę ś ę ę Ś Ż Ś ę ę ść ś ś ę Ś Ś Ś Ś ś Ś ż Ż ę ż Ś Ź Ś Ś ś Ś Ś Ż Ś ś ęść ę ę Ś ę ę ś ż ż ż Ż ęść ę Łę ś ś Ź ż Ż ę Ś ś ż Ż Ź Ż ś ś ż ż ż Ż Ż Ź Ś ś Ż Ż Ł ś ś ż
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoWRAŻLIWOŚĆ WYNIKU TECHNICZNEGO ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ NA ZMIANĘ POZIOMU REZERWY SZKODOWEJ
Aca Woy WRAŻLIWOŚĆ WYNIKU TECHNICZNEGO ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ NA ZMIANĘ POZIOMU REZERWY SZKODOWEJ Wstęp Załad ubezpeczeń est zobgoway do tworzea fuduszu ubezpeczeowego sładaącego sę z rezerw techczo-ubezpeczeowych
Bardziej szczegółowoi i i = (ii) TAK sprawdzamy (i) (i) NIE
Egzam uaruszy z aźdzera 009 r. Maemaya Fasowa Zadae ( ) a a& a ( Da) a&& ( Ia) a a&& D I a a&& a a ( ) && ( ) 0 a a a 0 ( ) a 4 0 ( ) a () K srawdzamy () ( ) a& a ( ) a ( ) a&& a&& ( ) a&& ( ) a&& () NIE
Bardziej szczegółowoteorii optymalizacji
Poltechka Gdańska Wydzał Oceaotechk Okrętowctwa St. II stop. se. I Podstawy teor optyalzac wykład 7 M. H. Ghae Ma 5 Podstawy teor optyalzac Oceaotechka II stop. se. I 5 Podstawy teor optyalzac Oceaotechka
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoReprezentacja krzywych...
Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowow zbiorze liczb naturalnych N (N,M N): N Mmodw k N: N M=kw M N=kw w zbiorze liczb całkowitych Z (N,M Z): N Mmodw k Z: N M=kw
Kogruece Lczby ogruete (przyta ą ce) modulo w N (w moduł przytawaa) w zborze lczb aturalych N (NM N): N Mmodw N: N Mw M Nw w zborze lczb całowtych Z (NM Z): N Mmodw Z: N Mw Kogrueca relaca rówowaŝ oś c:
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowo8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI
Poltechka Gdańska Wydzał Elektrotechk Automatyk Katedra Iżyer Systemów Sterowaa MODELOWANIE I PODSAWY IDENYFIKACI Wybrae zagadea z optymalzacj. Materały pomoccze do zajęć ćwczeowych 5 Opracowae: Kazmerz
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowoSystemy resztowe. Kongruencje. Liczby kongruentne (przystaj ce) modulo w (w moduł przystawania) (N,M ): N M(modw) k : N M=kw M N=kw
Kogruecje Lczby ogruete (przytaj ce) modulo w (w moduł przytawaa) (N,M ): N M(modw) : NMw MNw Kogruecja relacja rówowa o c: zwrota (reflexve): N N(modw), ymetrycza (ymmetrc): N M(modw) M N(modw), przechoda
Bardziej szczegółowoSprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych
Sprawdzee stateczośc skarpy wykopu pod składowsko odpadów koualych Ustalee wartośc współczyka stateczośc wykoae zostae uproszczoą etodą Bshopa, w oparcu o poższą forułę: [ W s( α )] ( φ ) ( φ ) W ta F
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoSprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.
W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowo[ ] WSPÓŁCZYNNIK EKSCESU WEKTORA LOSOWEGO. Wprowadzenie. Katarzyna Budny =, (1)
Katarzya Budy Uwersytet Ekoomczy w Krakowe WSPÓŁCZYNNIK EKSCESU WEKTORA LOSOWEGO Wprowadzee Jedą z podstawowych mar spłaszczea czy też kocetrac rozkładu zmee losowe edowymarowe wokół średe est kurtoza
Bardziej szczegółowoDynamika układu punktów materialnych
Daka układu puktów ateralch Układ puktów ateralch est to bór puktów ateralch, w któr ruch każdego puktu est ależ od ruchu ch puktów. P,, P,,,, P sł ewętre P,,,,, sł wewętre, P Układ puktów ateralch sł
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska
Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:
Bardziej szczegółowoPrzykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
Bardziej szczegółowoĄ Ą ć Ó Ó Ó Ś Ź Ź Ó ż Ź Ź Ś Ś ż Ę ĘŚ ń ń ć Ś Ą Ę ż ć Ś ć ć Ć Ó Ó ć ć Ó ć Ó ć ć ń ć Ą Ó Ó Ó Ą Ć ń ń Ź Ó ń ć Ó ć ć ć ń ż ć ć Ć Ć ć ż ć Ź Ó ć ć ć ć Ó ć ĘŚ ń ń ż ć Ś ć Ą Ó ń ć ć Ś ć Ę Ć Ę Ó Ó ń ż ź Ó Ó Ś ń
Bardziej szczegółowo