ZASTOSOWANIE TEORII GRAFÓW DO ANALIZY STABILNOŒCI STANÓW STACJONARNYCH W SIECIACH REAKCJI ENZYMATYCZNYCH

Transkrypt

1 ZASTOSOWAIE TEORII GRAFÓW DO AALIZY STABILOŒCI STAÓW STACJOARYCH W SIECIACH REAKCJI EZYMATYCZYCH Zbgew Os

2 L do och publc uowych populrouowych e-booów orz udyc telewzyych rdowych są dostępe w bze ORCID pod drese teretowy:

3 Zbgew Os ZASTOSOWA IE TEORII GRAFÓW DO A ALIZY STABIL OŚCI STA ÓW STACJO AR YCH W SIECIACH REAKCJI E ZYMATYCZ YCH Iwoe Jow o rodzco pośwęc 3

4 Copyrght by Zbgew Os Wszele prw zstrzeżoe. Rozpowszeche opowe cłośc lub częśc publc zbrooe bez psee zgody utor. Portret utor zeszczoy ołdch przede tyle Rfł Pudło Wydwctwo: Self Publshg ISB: e-l: L do och publc uowych populrouowych e-booów orz udyc telewzyych rdowych są dostępe w bze ORCID pod drese teretowy: 4

5 SPIS TREŚCI STRO A TYTUŁOWA STRO A PRAW AUTORSKICH CEL I DZIEDZI A PRACY 9 Rozdzł I: KLASYFIKACJA UKŁADÓW E ZYMATYCZ YCH. Rece ezytycze oeltur złoże. Ułdy otwrte A. Modele dysretych dyfuzyych ułdów otwrtych B. Rów dy odelu. Rów dy odelu w ęzyu stężeowy 3 b. Rów dy odelu w ęzyu potecłów checzych 4 3. Ułdy zęte 6 4. Ułdy pseudo-otwrte 7 5. Ułdy oo- ult-ezytycze 7 6. Ułdy lowe elowe 7 7. Ułdy dzł s 7 Rozdzł II: ELEME TY TEORII STABIL OŚCI. Podstwowe oreśle 9. Stblość ułdów lowych 3. Stblość ułdów elowych A. Perwsz etod Lpuow B. Drug (bezpośred) etod Lpuow 3 4. Wrtośc włse cerzy 4 A. Mcerze stble 4 B. Mcerze oścowo stble 5 C. Mcerze podobe 6 D. Mcerze syetrycze 6 5. Twerdzee Tchoow 6 6. Twerdzee Aosow 3 5

6 Rozdzł III: IE-GRAFOWE METODY W KI ETYCE REAKCJI E ZYMATYCZ YCH. Asotycze podeśce do ety rec checzych 3. Stblość rówowgowych stów stcorych w elowych ułdch zętych Lowe ułdy rec checzych twerdzee Hyver Metod leryzc Kerer Twerdzee Korzuch Klsyfc Tyso estblośc w secch rec checzych 4 7. Metod stężeń stcorych 4 Rozdzł IV: ELEME TY TEORII GRAFÓW. Grfy serowe 43. Grfy syetrycze Grfy przepływu sygłów 49 A. Reguł Mso 49 B. Włsośc grfów przepływu sygłów 5 4. Grfy oule ** 54 A. Defc grfu oulego ego włsośc 54 B. Morfolog grfów oulych 57 C. Zstosowe grfów oulych 6 Rozdzł V: ZASTOSOWA IE TEORII GRAFÓW DO A ALIZY STABIL OŚCI STA ÓW STACJO AR YCH W SIECIACH REAKCJI E ZYMATYCZ YCH JĘZYK STĘŻE IOWY. Klsyfc stów stcorych 6. Metod Hor 6 A. Uproszczoe rece eleetre 6 B. Koplesy 6 C. Rów dy 63 D. Dgr rec 63 E. Króte oplesy 64 F. Grfy oplesów 64 G. Twerdzee Hor 65 H. Klsy zoorfzów Moo-ezytycze lowe ułdy pseudo-otwrte * 66 A. Rów dy 66 B. St stcory 69. Stcory grf przepływu sygłów 69 b. Ogól postć rówń szybośc w ste stcory 7 C. Stblość stu stcorego 7 D. Jw postć rozwązń 73. estcory grf przepływu sygłów 73 b. Odwrote przesztłcee Lplce 75 6

7 4. Mult-ezytycze lowe ułdy pseudo-otwrte * 77 A. Rów dy 77 B. St stcory 78 C. Stblość stu stcorego Moo- ult-ezytycze elowe ułdy otwrte * 79 A. Grfy oule 79. Włsośc cerzy oule 79 b. Kostruc grfu oulego podstwe rówń stechoetryczych 84 c. Z współczyów w rówu chrterystyczy cerzy oule wyzcz Hurwtz 87 d. Klsyfc Tyso 9 e. Wru wystrczące to by st stcory był wruowo estbly 94 f. Modele oo-ezytyczych elowych ułdów otwrtych o estblych stch stcorych 99 B. Twerdzee Tchoow C. Grfy oplesów 4. Włsośc grfów oplesów oo-ezytyczych elowych ułdów otwrtych 5 b. Grfy oplesów grfy oule D. Grfy Hyver Rozdzł VI: ZASTOSOWA IE TEORII GRAFÓW DO A ALIZY STABIL OŚCI STA ÓW STACJO AR YCH W SIECIACH REAKCJI E ZYMATYCZ YCH JĘZYK POTE CJAŁÓW CHEMICZ YCH. Eleety terody secowe w forlze grfów powązń 3 A. Wstęp 3 B. Podstwowe złoże terody secowe 3 C. Welośc opsuące st ułdu 3 D. Defc grfu powązń 4 E. Kowec zow serowy grf powązń 7. Grfy powązń ezytyczych elowych ułdów zętych * 7 3. Grfy powązń ezytyczych elowych ułdów otwrtych * 6 A. Kostruc grfu powązń 6 B. Grfy powązń grfy oule 7 C. Klsyfc Tyso 34 Rozdzł VII: W IOSKI KOŃCOWE. Ogól chrterysty etod grfowych 38. Wy uzyse przez utor 38 CYTOWA E PRACE 4 RECE ZJE 5 I DEKS TWIERDZEŃ 55 7

8 ZBIG IEW OSIAK ZASTOSOWA IE TEORII GRAFÓW DO A ALIZY STABIL OŚCI STA ÓW STACJO AR YCH W SIECIACH REAKCJI E ZYMATYCZ YCH Prc dotors Ade Medycz we Wrocłwu 978 Prootor: prof. dr hb. Stsłw Męsz Recezet : doc. dr hb. Korel ow Recezet : doc. dr Luc Szołowcz 8

9 CEL I DZIEDZI A PRACY Rów etycze w przypdu sec rec ezytyczych są ogół ułd welu elowych rówń różczowych. Zlezee rozwązń ltyczych dl tch rówń est brdzo trude. Suteczą etodą pozwlącą uzysć force o włsoścch rozwązń est lz stblośc rozwązń stcorych. W procese lzy stblośc stów stcorych w secch rec ezytyczych stee wele etpów w tórych teor grfów oże zleźć bądź uż zlzł zstosowe. Cele prcy est:. Oprcowe owych etod rozwązyw etórych zgdeń w procese lzy stblośc przy użycu teor grfów.. Uproszczee odyfc zych etod grfowych dl przypdu ułdów rec ezytyczych. 3. Dooe ufc terolog stosowe w lterturze dotyczące zstosowń teor grfów. 4. Stworzee bzy dl dlszych prc ących celu zlezee grfczych ryterów uożlwących ostrucę sec rec ezytyczych o zdych włsoścch (tch welorote stble sty stcore oscylce tp.). Tety prezetowe prcy leży pogrczu stępuących dzedz:. Kety rec checzych.. Terody procesów eodwrclych. 3. Teor grfów. 4. Teor stblośc rówń różczowych. Obszr owych zgdeń wyzczoy est przez przyęty odel ułdu w tóry przebegą rece ezytycze. Rów dy tego odelu są ułd rówń różczowych zwyczych utooczych ogół elowych. Z przebogte ltertury dotyczące bd stblośc ułdów rówń różczowych zwyczych oówy tylo te rezultty tóre zlzły powszeche zstosowe przy lze stblośc stów stcorych w secch rec checzych w szczególośc te tóre ogą być powąze z teorą grfów. Jeżel chodz o terodyę procesów eodwrclych to uwgę szą socetruey terodyce secowe sforułowe w forlze grfów powązń. Z zresu teor grfów wyorzysty główe eleety teor grfów serowych z obcążoy łu: grfy przepływu sygłów grfy oule grfy powązń. UWAGA Gwzdą * będzey ozczć prgrfy zwerące wy orygle uzyse przez utor. Dwo gwzd ** będzey ozczć prgrfy zwerące odyfce stdrdowych etod dooe przez utor. 9

10 Rozdzł I: KLASYFIKACJA UKŁADÓW E ZYMATYCZ YCH. Rece ezytycze oeltur złoże Rece ezytycze będzey zpsywć stosuąc w zleżośc od potrzeby owecole rów stechoetrycze uogóloe rów stechoetrycze [OSTER et l. 973] dgry bochecze lub dgry Cleld [CLELAD 963]. ( A) ν A A ν B B ν C C f f f r r r ( B) ν A ν B ν C ν A ν B ν C A B C A B C RYS.. (A) Kowecole rówe stechoetrycze. (B) Uogóloe rówe stechoetrycze przyłdze rec sytezy substrtów A B w produt C. ν ν ν ν ν ν ν ν ν. f C r A r B A f A B f B C r C Współczy stechoetrycze współczy stechoetryczy wrtośc dodte lub zero: ν są uee dl substrtów dodte dl produtów. Prosty f ν odwroty współczy stechoetryczy r ν przyuą f produty < r ν ν. (I...) > substrty Przy czy speło est stępuąc zleżość: ν ν ν. (I...) r f Przez echz rec ezytycze będzey rozueć oleość w e substrty przyłączą sę do cetru tywego ezyu słd tworzących sę oplesów orz oleość w e produty odłączą sę od ezyu. Będzey stosowć oprcowe przez Cleld [CLE- LAD 963] zewctwo lsyfcę echzów rec ezytyczych. Polse tłuczee oeltury Cleld oż zleźć w prcy [ŚLIWOWSKI 969]. Regety borące udzł w recch ezytyczych podzely regety ezytycze regety e-ezytycze. Kżd rec ezytycz est zbore rec eleetrych. Wszyste współczy stechoetrycze dl żde rec eleetre są rówe dl substrtów dl produtów. W zwązu z ty dle rów stechoetrycze będzey zpsywć poąc współczy stechoetrycze. Złożyy że w secch rec ezytyczych występuą tylo rece eleetre przedstwoe RYS. 3.

11 (A) A E EA EA EPQ EPQ EQ E Q (B) A E Q EA EQ EPQ P A P Q (C) E EA EPQ EQ E RYS.. Rec ezytycz o echze uporządowy ede-dw: (A) Kowecole rówe stechoetrycze. (B) Dgr bocheczy. (C) Dgr Cleld. Rec eleetr zw procesu E E sytez E E E E rozpd zoeryzc RYS. 3. Rece eleetre o edostowe stechoetr rozptrywe w te prcy. E E regety ezytycze (róże fory dego ezyu) reget e-ezytyczy.. Ułdy otwrte A. Modele dysretych dyfuzyych ułdów otwrtych Model otwrtego ułdu dyfuzyego tóry est przedote przedstwoe prcy leży do lsy dysretych odel ułdów w tórych przebegą edocześe dw procesy eodwrcle: dyfuz rece ezytycze. W TAB. I przedstwoo schetycze ożlwe odele dl powązń ędzy ty proces e oż utworzyć z trzech eleetów słdowych [OSIAK 978].

12 ELEMET UKŁADU REZERWUAR KOMÓRKA MEMBRAA KOMÓRKA REZERWUAR TAB. I. Modele dysretych dyfuzyych ułdów otwrtych. ozczą eleety słdowe ułdu. ozcz że w dy eleece ułdu przebegą rece ezytycze. Eleet ty są: rezerwur ebr oór. Koórą będzey zywć obszr o stosuowo łe obętośc. W odelch dyfuz rece są zlolzowe w ty sy eleece tz. ebre. W odelch 6 7 dyfuz rece są rozłącze przestrzee. Powąz rec dyfuz w tych dwu różych typch odel są oścowo róże. Powąz tego typu w odelch oszą w lterturze zwę sprzężeń rec dyfuz. Model zostł oówoy z putu wdze terody secowe w prcy [AUSLADER et l. 97]. B. Rów dy odelu Model tóry est przedote przedstwoe prcy stow ułd słdący sę z rezerwuru oddzeloego ebrą od obszru o stosuowo łe obętośc tóry będzey zywć oórą. W rezerwurze zduą sę regety e-ezytycze tórych stęże (potecły checze) są ustloe. Mebr est przepuszczl dl regetów e-ezytyczych tost est eprzepuszczl dl ezyu ego różych for. Rece ezytycze przebegą tyo w oórce. Złożyy że ebr est brdzo ce roztwory zduące sę w rezerwurze w oórce są dobrze wyesze (edorode). Cśee tepertur ph w rozwży ułdze są stłe. Będzey rozwżć dele roztwory rozceńczoe. Obętość oór przyey o stłą. REZERWUAR R..E. KOMÓRKA R..E. R.E. REAKCJE EZYMATYCZE pvt cost MEMBRAA RYS. 4. Model otwrtego ułdu dyfuzyego. R.E. regety ezytycze R..E. regety e-ezytycze.

13 Rów dy rozptrywego odelu będzey rozwżć w ęzyu stężeowy w ęzyu potecłów checzych. W ęzyu stężeowy zey będą stęże w ęzyu potecłów checzych potecły checze regetów borących udzł w recch ezytyczych. Rów dy odelu w obu ęzych utworzyy wyorzystuąc ędzy y rów blsu sy. Zgode z przyęty poprzedo złoże rów blsu sy ą stępuącą postć: M R D J νj ε J... (I...) gdze d J szybość z lośc ol -tego słd w oórce dt R dξ J szybość -te rec eleetre dr ξ postęp -te rec eleetre lczb ol -tego słd w oórce ν współczy stechoetryczy dl -tego słd w -te rec eleetre D J strueń dyfuz -tego słd M lczb rec eleetrych lczb słdów borących udzł w recch regety e - ezytycze ε (I...) regety ezytycze. Rów dy odelu w ęzyu stężeowy Zgode z prwe dzł s y: f ν R J (I..3.) r ν gdze prost stł szybośc -te rec eleetre odwrot stł szybośc -te rec eleetre lczb regetów borących udzł w recch ν prosty współczy stechoetryczy dl -tego słd w -te rec eleetre f r ν odwroty współczy stechoetryczy dl -tego słd w -te rec eleetre 3

14 W szy odelu y do czye tylo z dyfuzą substc przez ceą ebrę. Stęże w rezerwurze są stłe podczs gdy w oórce ulegą ze w czse. W t przypdu [JAKOBS 967] zgode z prwe Fc y: J D D res ( c c ) (I..4.) gdze c stężee olowe -tego słd w oórce V V obętość oór c stężee -tego słd w rezerwurze res D D A x D stł dyfuz dl -tego słd A powerzch ebry prostopdł do eruu dyfuz x grubość ebry Podstwąc (I..4.) (I..3) do (I..) otrzyuey osttecze rów dy odelu w ęzyu stężeowy: d dt M ν ε D ( c V f r ν ν res V ). (I..5.) Rów (I..5.) oż zpsć w brdze zwrte fore d β γl l α (... ) dt l (I..6.) gdze współczy β γ l orz wyrz woly α są stłe. Rów (I..6.) stową ułd rówń różczowych zwyczych perwszego rzędu utooczych elowych. W rówch tych czło elowy est forą blową. b. Rów dy odelu w ęzyu potecłów checzych Poewż rozwży dele roztwory rozceńczoe potecł checzy żdego -tego słd dy est przez c (I..7.) c o µ µ RTl 4

15 gdze µ potecł checzy -tego słd µ potecł stdrdowy -tego słd o c stężee olowe -tego słd c stężee edostowe R stł gzow T tepertur bezwzględ My węc µ µ c Vexp RT o (I..8.) orz d dt d dµ dµ dt o c V µ µ dµ exp exp RT RT RT dt. (I..9.) Wyorzystuąc rów (I..8.) prwo dzł s (I..3.) ożey zpsć w postc [OSTER et l. 973]: f r R A A J κc V exp exp (I...) RT RT gdze A A κ (I...) f r o o exp exp RT RT f f o o νµ A proste powowctwo stdrdowe -te rec eleetre r r o o νµ A odwrote powowctwo stdrdowe -te rec eleetre f f νµ A proste powowctwo checze -te rec eleetre 5

16 r r νµ A odwrote powowctwo checze -te rec eleetre Przy czy speło est zleżość A A A (I...) f r gdze νµ A powowctwo checze -te rec eleetre Uwzględąc (I..8.) prwo Fc (I..4.) przyue postć: o res D D µ µ µ J c exp exp exp (I..3.) RT RT RT gdze res µ µ potecł -tego słd odpowedo w rezerwurze w oórce Podstwąc (I..9.) (I...) (I..3.) do (I...) otrzyuey rów dy odelu w ęzyu potecłów checzych: RT ε o µ µ dµ exp exp RT RT dt ν κ exp µ exp RT M f ν µ RT D o res µ µ µ exp exp exp V RT RT RT ν r. (I..4.) 3. Ułdy zęte Rozptrzy zęty ułd słdący sę z oór o stłe obętośc w tóre przebegą rece ezytycze. Złdy że roztwór recyy est dobrze wyeszy. Cśee tepertur w rozwży ułdze są stłe. Będzey rozwżć dele roztwory rozceńczoe. Rów blsu sy dl tego ułdu otrzyuey łdąc w (I...) ε dl.... M dx R νj (... ) dt (I.3..) 6

17 4. Ułdy pseudo-otwrte Ułde pseudo-otwrty będzey zywć ułd oreśloy detycze ułd zęty. Przy czy złożyy podto że stęże wszystch regetów e-ezytyczych są stłe w czse e precyzuąc echzu powoduącego stłość tych stężeń. Rów blsu sy dl ułdu pseudo-otwrtego przyuą postć dx dt x M ν cost J R (... ( )... ) (I.4..) gdze lczb regetów ( ) lczb regetów tórych stęże są stłe w czse 5. Ułdy oo- ult-ezytycze Moo-ezytyczy ułde będzey zywć ułd w tóry przebegą rece tlzowe przez tylo ede ezy. Mult-ezytyczy ułde będzey zywć ułd w tóry przebegą rece tlzowe przez węce ż ede ezy. 6. Ułdy lowe elowe Lowy ułd będzey zywć ułdy tórych rów dy są ułd lowych rówń różczowych zwyczych o stłych współczych. elowy ułd będzey zywl ułdy tórych rów dy są ułd elowych rówń różczowych zwyczych. 7. Ułdy dzł s Owe w te prcy ułdy otwrte zęte pseudo-otwrte leżą do lsy tzw. ułdów dzł s [HOR & JACKSO 97]. Ułde dzł s będzey zywć ułd spełący stępuące złoże:. W oórce przebeg sończo lczb rec eleetrych z szybośc dy przez wyrże typu prw dzł s.. Tepertur roztworu recyego est stł t że szybośc rec ogą być rozptrywe o fuce tylo stężeń słdów roztworu. 3. Obętość oór (roztworu recyego) est stł w czse. 4. W żde chwl czsu słd roztworu recyego (stęże regetów) est ezleży od położe. 5. Wy sy poędzy roztwore recyy ego otoczee oże być forle ops w stępuący sposób: Isteą dw rodze regetów tóre będzey zywć słd- 7

18 słd zewętrzy. Roztwór recyy est zęty dl słdów słd zewętrze są dostrcze do lub usuwe z roztworu w t sposób że ch stęże są stłe w czse. Wele otwrtych ułdów tóre e spełą (w dosłowy sese) powyższych złożeń oż reprezetowć przez odelowe ułdy dl tórych złoże te są spełoe. I t przyłd owe przez s otwrte ułdy dyfuzye oż zodelowć odpowed ułde dzł s. Dyfuz (przee przez błoę oddzelącą rezerwur od oór) słdów e-ezytyczych zoste zodelow rec eleetry postc res D D gdze res będzey trtowć o hpotetyczy słd zewętrzy tórego stężee est ustloe rówe stężeu -tego reget e-ezytyczego w rezerwurze. RYS. 5 przedstwo est w schetyczy sposób lsyfc ułdów ezytyczych przyęt w te prcy. UKŁADY OTWARTE ZAMKIĘTE PSEUDO-OTWARTE LIIOWE IELIIOWE MOO- EZYMATYCZE MULTI- EZYMATYCZE RYS. 5. Ogól lsyfc ułdów ezytyczych. 8

19 Rozdzł II ELEME TY TEORII STABIL OŚCI. Podstwowe oreśle Rów dy otwrtego ułdu dyfuzyego ułdu zętego w ęzyu stężeowy orz w ęzyu potecłów checzych stową ułd elowych utooczych rówń różczowych zwyczych perwszego rzędu. Aby e wązć sę z ęzye stężeowy lub ęzye potecłów checzych rów dy zpszey w postc: dx dt F ( x x...x ) (... ) (II...) gdze x stężee lub potecł checzy -tego reget W prgrfe ty pody podstwowe oreśle z zresu teor stblośc rówń różczowych [DEMIDOWICZ 97]. Rozwąze x ( t) x (... ) (II...) o rówń (II...) będzey zywć stcory eżel F ( x...x o o ) (... ). (II..3.) Cąg wrtośc ( xo...xo) będzey zywć współrzędy stu stcorego. Poewż rów (II...) stową ułd rówń różczowych elowych ogą eć węce ż edo rozwąze stcore. Iteresowć s będą tylo te rozwąz stcore dl tórych x (t) x o > dl wszystch.... Rozwąze x x ( t)... x x ( t) x ( t)... ułdu (II...) spełące wru początowe zywy stbly w sese Lpuow w przedzle < ) (lub róto: stbly) eżel dl dowolych ε> < t ) stee te δ δ( ε t ) > że dl żdego rozwąz x x ( t)... x x ( t) x ( t )... spełący erówośc t ułdu (II...) z wru początowy t ( ) < δ 9

20 zchodz erówość ( t) x ( t) ] ε [ x < dl żdego t t. x x t... x x t ułdu (II...) spełące wru początowe Rozwąze ( ) ( ) x ( t)... zywy syptotycze stbly dl t eżel. est oo stble w sese Lpuow. podto l t [ x ( t) x ( t) ]. Rozwąze x x ( t)... x x ( t) zywy estbly w sese Lpuow eżel dl t < t pewych ε> ) orz dowolego δ > stee rozwąze x ( t)... x x ( t) x (przye edo) chwl t > t te że [ x ( t ) x ( t ) ] < δ [ x ( t ) x ( t )] ε.. Stblość ułdów lowych W dlszy cągu prcy zowć sę będzey ędzy y lowy ułd różczowy postc dx x b dt (... ). (II...) ech dx x dt (... ) (II...) będze ułde edorody odpowdący ułdow (II...). Poże przedstwy podstwowe rezultty (twerdze) teor stblośc ułdów lowych [DEMIDOWICZ 97].

21 Ułd lowy (II...) zywy stbly eżel wszyste ego rozwąz są stble w sese Lpuow w przedzle < ). t Twerdzee Ułd różczowy lowy eedorody (II...) est stbly wtedy tylo wtedy gdy est stbly odpowed ułd różczowy edorody (II...). Ułd lowy (II...) zywy syptotycze stbly eżel wszyste rozwąz tego ułdu są syptotycze stble dl t. Twerdzee Ułd różczowy lowy eedorody (II...) est syptotycze stbly wtedy tylo wtedy gdy est syptotycze stbly odpowed ułd różczowy edorody (II...). Twerdzee 3 Ułd różczowy lowy edorody (II...) o cerzy stłe A [ ] est syptotycze stbly wtedy tylo wtedy gdy wszyste wrtośc włse cerzy A ą edodte częśc rzeczywste ( A) (... ) Reλ przy czy wrtośc włse o częścch rzeczywstych rówych zeru ą tylo proste dzel eleetre (tz. odpowede lt Jord reduuą sę do edego eleetu). Twerdzee 4 Ułd różczowy lowy edorody (II...) o cerzy stłe A [ ] est syptotycze stbly wtedy tylo wtedy gdy wszyste wrtośc włse cerzy A ą uee częśc rzeczywste ( A) (... ) Reλ <. leży podreślć że eżel ułd różczowy lowy (II...) est stbly (syptotycze stbly) to tże rozwąze stcore tego ułdu est stble (syptotycze stble). 3. Stblość ułdów elowych A. Perwsz etod Lpuow Dy est ułd utooczych rówń różczowych elowych dx F ( x...x ) (... ). (II.3..) dt

22 Aby zbdć stblość dego rozwąz stcorego x ( t) x (... ) doouey o łego zburze współrzędych stu stcorego. Jeżel dl czsu t dążącego do esończoośc wszyste welośc x będą dążyły do współrzędych stu stcorego to de rozwąze stcore będze syptotycze stble. Jeżel wszyste lub pewe welośc x oddlą sę od współrzędych stu stcorego ze wzroste czsu t to de rozwąze stcore będze estble. Doouey zburze współrzędych stu stcorego x x v v << x. (II.3..) o o Prwą stroę rówń (II.3..) rozwy w szereg Tylor względe współrzędych stu stcorego: F F ( x...x ) F ( x...x ) o o ( x xo) L x o. (II.3.3.) Uwzględąc że F ( x...x ) o o orz (II.3..) wyrżee (II.3.3.) przyue postć F F ( x... x ) v L x o (II.3.4.) gdze des o ozcz że wrtość pochodych cząstowych est lczo dl x xo... x xo. Podstwąc do ułdu (II.3..) rówe (II.3.4.) odrzucąc wyrzy stop wyższego ż perwszy względe v otrzyuey dv v L (... ) (II.3.5.) dt gdze F (... ) x. (II.3.6.) o Mcerz A [ ] będzey zywć cerzą oulą [TYSO 975]. Twerdzee 5 Jeżel wszyste wrtośc włse cerzy oule

23 F A [ ] (... ) x o ą uee częśc rzeczywste to de rozwąze stcore x ( t) x (... ) o elowego ułdu utooczego (II.3..) est syptotycze stble w sese Lpuow dl t. Twerdzee 6 Jeżel przye ed wrtość włs λ λ ( A ) (... ) dodtą część rzeczywstą to de rozwąze stcore x ( t) x (... ) cerzy oule A o elowego ułdu utooczego (II.3..) est estble w sese Lpuow dl t. B. Drug etod Lpuow Dy est ułd utooczych rówń różczowych elowych: dx F ( x...x ) (... ). (II.3.7.) dt ech x ( t) x (... ) < ). t będze rozwąze stcory tego ułdu w przedzle o Twerdzee 7 (Perwsze twerdzee Lpuow) Jeżel stee fuc V( x... x ) lsy C w otoczeu D putu stcorego ( xo...xo) ułdu (II.3.7.) spełąc wru:. V( xo... xo ). V ( x...x ) > gdy ( x xo) > x xo d D dv V dx V 3. F ( x... x ) dt x dt x to rozwąze stcore x ( t) x (... ) o gdy t t x d ułdu (II.3.7.) est stble. Twerdzee 8 (Druge twerdzee Lpuow) Jeżel stee fuc V( x... x ) lsy C w otoczeu D putu stcorego ( xo...xo) ułdu (II.3.7.) spełąc wru:. V( xo... xo ) 3

24 . V( x... x ) > gdy ( x xo) > x xo d D dv 3. ( x xo) δ x xo D δ β > > > dt t t to rozwąze stcore x ( t) x (... ) ułdu (II.3.7.) est syptotycze stble. o Twerdzee 9 (Trzece twerdzee Lpuow) Jeżel stee fuc V( x... x ) ułdu (II.3.7.) spełąc wru: > t t lsy C w otoczeu D putu stcorego ( x o... x o) dv dv. ( x x ) δ β > dt dt β o δ β. d V( x...x ) ( x...x ) ( x >... x ) D dt t t to rozwąze stcore x ( t) x (... ) ułdu (II.3.7.) est estble. o Fuce V( x... x ) spełące złoże perwszego drugego lub trzecego twerdze Lpuow będzey zywć fuc Lpuow odpowedo perwszego drugego lub trzecego rodzu [DEMIDOWICZ 97]. 4. Wrtośc włse cerzy A. Mcerze stble Wrtośc włse cerzy ( ) Bde stblośc ułdów lowych elowych rozptrywych w te prcy sprowdz sę do bd zów wrtośc włsych odpowedch cerzy cerzy ułdu edorodego lub cerzy oule. A [ ]... są perwst welou chrterystyczego te cerzy α λ αλ αλ L α. (II.4..) det [ λδ ] Mówy że rzeczywst cerz A est stbl eżel wszyste wrtośc włse cerzy A ą uee częśc rzeczywste. 4

25 Twerdzee (Kryteru Routh-Hurwtz) Rzeczywst cerz A est stbl wtedy tylo wtedy gdy. α > dl wszystch.... > dl wszystch... gdze α α α α α α 3 α α α α α α α α α est wyzcze Hurwtz -tego stop. Wyzcz Hurwtz posdą stępuącą włsość:. α Twerdzee Rzeczywst cerz A est stbl wtedy tylo wtedy gdy stee dodto oreślo syetrycz cerz G t że GA A T G est uee oreślo. B. Mcerze oścowo stble Złóży że posdy force edye o struturze zowe ( ) eleetów rzeczywste cerzy A. Powste pyte: e są wru oecze wystrczące to by cerz A był stbl? ech A B będą dwe dowoly rzeczywsty cerz. Mówy że cerz B est zowo podob do cerzy A eżel strutur zow ( ) B est t s strutur zow ( ) A e borąc pod uwgę wrtośc eleetów cerzy A lub B. Mcerze 5

26 7 są zowo podobe. ech A ozcz zbór cerzy zowo podobych do de cerzy A. Mówy że A est oścowo stbl wtedy tylo wtedy gdy żd cerz leżąc do zboru A est stbl. Iy słowy cerz A est oścowo stbl eżel pozoste stbl gdy wyberzey dowole wrtośc dl eleetów A le te że zchowuą struturę zową A. Twerdzee [QUIRK & RUPPER 965] Rzeczywst cerz A esprowdzl do postc dgole est oścowo stbl wtedy tylo wtedy gdy. dl wszystch < dl pewego. dl wszystch 3. L dl żde sewec trzech lub węce desów K p p 4. det A. C. Mcerze podobe Mcerz wdrtow A zyw sę cerzą podobą do cerzy A eżel stee cerz eosoblw T t że A T AT. Mówy róweż że cerz A trsforue sę do cerzy A z poocą cerzy T. Twerdzee 3 Wrtośc włse cerzy podobych są detycze. D. Mcerze syetrycze Twerdzee 4 Wszyste wrtośc włse rzeczywste cerzy syetrycze są rzeczywste. 5. Twerdzee Tchoow Rozptrzy ułd rówń różczowych zwerących łe pretry przy pochodych dx dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( x K x ;z Kz ;z Kz ) K f 6

27 µ M µ M µ M µ ( ) ( ) ( ) ( ) dz ( ) dz dt ( ) dt dz ( ) dz dt ( ) dt F F ( x K x ;z K z ;z K z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x K x ;z K z ;z K z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F ( x Kx ;z Kz ;z Kz ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x Kx ;z Kz ;z Kz ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (II.5..) rozwąze tego ułdu oreśloe przez wru początowe x ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) x K ; z z Kz ( ) z ( K). (II.5..) Powste pyte: zchowue sę ułd (II.5..) gdy wszyste pretry zdążą do zer złdąc przy ty że ( ) µ ( K) µ ( ) ( ) µ. Zgdee to zostło rozstrzygęte przez Tchoow [ТИХОНОВ ]. Przed sforułowe twerdze Tchoow wprowdzy szereg oreśleń. Perwste perwszego rzędu będzey zywć dowole rozwąze z M z ( x K x ;z Kz ;z K z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ( x K x ;z Kz ;z K z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ułdu rówń F M F ( x K x ;z K z ;z Kz ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x K x ;z K z ;z Kz ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (II.5.3.) (II.5.4.) 7

28 Ułd dx dt µ M µ M µ M µ z M z ( ) ( ) f dz ( ) dz dt ( ) ( ) ( ) dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( x K x ;z Kz ;z K z ) K dz F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x K x ;z K z ;z K z ) ( x K x ;z K z ;z K z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dz dt ( ) dt F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x K x ;z Kz ;z Kz ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F ( x ) K x ;z Kz ;z Kz ( x K x ;z Kz ;z K z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ( x K x ;z Kz ;z K z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ (II.5.5.) będzey zywć wyróżoy ułde perwszego rzędu. Dołączoy ułde perwszego rzędu będzey zywć ułd ( ) dz dt M dz dt ( ) F F ( x Kx ;z Kz ;z Kz ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x Kx ;z Kz ;z Kz ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (II.5.6.) w tóry x ( ) ( ) ( ) ( ) K x ;z K z ;z K z są trtowe o pretry. Łtwo zuwżyć że perwste (II.5.3.) est rozwąze stcory dołączoego ułdu rówń (II.5.6.). Perwste (II.5.3.) ułdu (II.5.4.) będzey zywć zolowy perwste perwszego rzędu eżel stee te ε> że ułd te e oże być spełoy przez żde 8

29 9 ( ) ( ) z z K dl tórego ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) z ε z K ϕ < ϕ. Izolowy perwste perwszego rzędu (II.5.3.) będzey zywć syptotycze stbly perwste w pewy zęty ogrczoy obszrze D eżel dl wszystch ( ) ( ) ( ) ( ) z ;z z ;z x x K K K z tego obszru perwste te est syptotycze stbly rozwąze stcory dołączoego ułdu perwszego rzędu. Wyróżoy ułd perwszego rzędu zwer ( ) pretrów ( ) ( ) µ K. Kłdąc w ty ułdze ( ) µ defuey wyróżoy ułd drugego rzędu pozostłe poęc drugego rzędu td. Twerdzee 5 [ТИХОНОВ ] Rozwąze dołączoego ułdu (II.5..) oreśloe przez wru początowe (II.5..) zdąż przy ( ) ( ) µ K do rozwąz wyróżoego ułdu -tego rzędu eżel:. Perwste -tego rzędu ( ) ( ) z z K przy poocy tórego zostł oreśloy wyróżoy ułd -tego rzędu est syptotycze stbly perwste -tego rzędu dl żdego ( ).. Rozwąze dołączoego ułdu -tego rzędu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z ;z z ;z x x F dt dz z ;z z ;z x x F dt dz K K K M K K K oreśloe przez wru początowe ( ) ( ) z z K zdąż przy t do

30 z M z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x Kx Kx dl żdego ( ) ;z ;z Kz Kz ;z ;z Kz Kz. Rozwże grcze wrtośc ą esce dl wszystch t dl tórych rozwąz w peł wyróżoego ułdu x ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( t Kx t ;z t Kz t ;z ( t) z ) ( t) K leżą wewątrz obszru stblośc perwst -tego rzędu z ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) t ϕ t Kz dl żdego ( ). t ϕ 6. Twerdzee Aosow W zwązu z twerdzee Tchoow powste pyte: Jeżel ułd wyróżoy posd cyl grczy to czy ułd peły posd tże cyl grczy? Proble te zostł rozstrzygęty przez Aosow [АНОСОВ 96]. Rozptrzy ułd utooczych rówń różczowych zwerących ły pretr ε dx f ( x Kx ;z Kz;ε) dt dz ε F ( x x ;z z ;ε) K K dt ech ( K) ( K) (II.6..) z ( K) ϕ ( x K x ) (II.6..) będze zolowy perwste perwszego rzędu. Ułdy dołączoy wyróżoy przyuą odpowedo postc dz F ( x K x ; z Kz; ) ( K) (II.6.3.) dt 3

31 dx dt f ( x K x ; ϕ ( x K x ) ; ) f ( x K x ) ( K). (II.6.4.) Przypoy że zolowy perwste perwszego rzędu (II.6..) est rozwąze stcory dołączoego ułdu rówń (II.6.3.). Twerdzee 6 [АНОСОВ 96] z ϕ ( x K x ) K dołączoego ułdu (II.6.3.) ech rozwąze stcore ( ) będze syptotycze stble dl wszystch x D wyróżoy ułd (II.6.4.) posd w D eosoblwe rozwąze oresowe l z orese T. Wtedy w ω(ε)-otoczeu rzywe L leżące powerzch z ϕ ( x Kx ) d l stee rozwąze oresowe pełego ułdu (II.6..) z orese ( ε) T dążący przy ε do oresu T rozwąz oresowego wyróżoego ułdu. Iy słowy eżel dl ułdu (II.6..) spełoe są złoże twerdze Tchoow dl ułdu (II.6.4.) stee cyl grczy to dl łych ε ores postć drgń w ułdch (II.6..) (II.6.4.) będą podobe. 3

32 Rozdzł III IE-GRAFOWE METODY W KI ETYCE REAKCJI E ZYMATYCZ YCH. Asotycze podeśce do ety rec checzych Model etyczy reprezetuący ułd checzy us spełć szereg postultów. Ustlee lsty tch postultów orz zbde zleżośc ędzy czyl y słowy sotyzc ety rec checzych pozwl wyodrębć lsę rówń różczowych odeluących dyę ułdów checzych. Asotycze podeśce do ety rec checzych rozptrywe est w prcch [WEI 96; WALLWORK & PERELSO 976; PERELSO & WALLWORK 977]. Rozptrzy edorody edo-fzowy ułd zęty. Złdy że wszyste zy wewątrz ułdu ą spotczy chrter są spowodowe wyłącze przebege rec checzych (rec fotocheczych e rozptruey). ech ułd zwer słdów ech c będą odpowedo lczbą ol stężee -tego słd. Złożyy że obętość ułdu oż trtowć w przyblżeu o stłą dl tego c. V Słd ułdu oże być reprezetowy przez wetor c ( c w R. T Kc) Pody zbór postultów tóre spełoe są we wszystch zych ułdch etyczych tego typu [WEI 96]:. Cłowt s est zchow ω c cost gdze ω est są cząsteczową -tego słd.. Wszyste stęże są euee: c ( t) t [ ) K. 3. Szybość z w czse stęże żdego słd est fucą wszystch stężeń dc dt f ( c K c ) K ych pretrów ułdu tch tepertur cśee. Fuce f są cągłe ą cągłe pochode tz. f C. 3

33 Fuce f e zwerą w sposób wy czsu. W teor rówń różczowych te ułdy zywy utooczy. 4. Istee słd ułdu tóry e uleg ze w czse tz. stee put c ( c Kc T e ) w R t że f ( f K f ) est rówe zeru w c e. Put c e zywy est pute rówowg. 5. Put rówowg est stbly. 6. Wszyste stęże zdążą do putu rówowg po dosttecze dług czse. 7. Dl dych wruów zewętrzych stee rzeczywst fuc t że estreu te fuc odpowd putow rówowg (dl ułdów zobryczo-zoterczych fucą tą est eerg swobod Gbbs). 8. W puce rówowg proste odwrote szybośc żde rec eleetre są rówe (detled blce croscopc reversblty). Iy słowy w puce rówowg szybość żde rec eleetre est rów zeru. Do powyższe lsty postultów Perelso Wllwor dołączyl eszcze dw [PERELSO & WALLWORK 977]: 9. Spełoe est prwo stłych stosuów tz. wrtość stosuu d ν dl wszystch regetów borących udzł w de -te rec eleetre est stł gdze d są przyrost lczb ol regetów borących udzł w -te rec eleetre.. Speło est drug zsd terody. (Dl ułdów zobryczo-zoterczych dg rówość esce tylo w puce rówowg.) dt Przedstwoe powyże postulty e są ezleże. W prcch [WEI 96; PERELSO & WALLWORK 977] dysutowe są róże ożlwe zbory ezleżych postultów trtowych o soty podstwe tórych pozostłe postulty oż sforułowć w postc twerdzeń.. Stblość rówowgowych stów stcorych w elowych ułdch zętych Rozptrzy edorody zobryczo-zoterczy ułd zęty zwerący regetów borących udzł w M recch eleetrych. (Przyłde tch ułdów są ezytycze ułdy zęte.) Rów blsu sy dl rozwżego ułdu przyuą postć d dt M R & νj K. (III...) Zee e są wszyste ezleże co spowodowe est zchowe sy w ułdze zęty 33

34 ω &. (III...) Podstwąc (III...) do (III...) otrzyuey M M R R ω νj ων J. (III..3.) Poewż ogół J R y ω ν. (III..4.) Rów (III..4.) przedstwą zsdę zchow sy podczs przebegu żde -te rec eleetre. Rów blsu sy (III...) w ste rówowg przyuą postć M ν J R K (III..5.) gdze ( e) R R J J. Prwo dzł s zpszey w postc R J J J (III..6.) R R gdze R f ν J prost szybość -te rec eleetre R r ν J odwrot szybość -te rec eleetre Przyuąc postult o rosopowe odwrclośc y J R R R R ( e) J J J ( e). (III..7.) 34

35 W przypdu gdy > M prwo dzł s (III..4.) orz wrue stcorośc (III..5.) pluą rosopową odwrclość. W przypdu gdy M rosopową odwrclość leży rozptrywć o ezleży postult [GRAY 97]. Złożyy że stee ede tylo ede put rówowg (est to trude do udowode le wdoo że stee co e ede [PRIGOGIE 967; WEI & PRATER 96] ). Kres d welośc będą ozczć wrtośc rówowgowe tych welośc. Rów dy rozwżego ułdu de są przez d dt M f r ν ν ν & K. (III..8.) Wyzcząc pochode cząstowe wyrżeń (III..8.) otrzyuey & ω ω M ν ν f ω ν f ν r ω ν r. (III..9.) Jeżel w (III..9.) podstwy ( K ) wyorzysty postult o rosopowe odwrclośc zpsy w we postc f ν ν r (III...) to otrzyy & ω M ω ν M f f r ν f ( ) νω νω ννω ω ν f (III...) gdze ozcz że wrtość pochode cząstowe lczo est w puce rówowg. Wyrżee (III...) zpszey w brdze zwrte postc & ω S ω ω (III...) gdze M f S ν ν. (III..3.) ω ω ν f 35

36 Wyzcząc w logczy sposób & ω otrzyuey & ω S ω (III..4.) gdze S S. (III..5.) ω ω T węc cerz oul A [ A ] ułdu (III..8.) d est stępuąco [GRAY 97]: A S S S ( K ). (III..6.) Mcerz oulą A ożey przetrsforowć w cerz A z poocą cerzy T [ T ] [ ( K ) T ] δ. (III..7.) Po doou trsforc otrzyuey T AT A (III..8.) gze S [ A] S S. (III..9.) Łtwo zuwżyć że rzeczywst cerz A est cerzą syetryczą. podstwe poprzedo prezetowych twerdzeń (Tw. 3 Tw. 4) ożey stwerdzć [GRAY 97]: Wszyste wrtośc włse cerzy A ty sy cerzy A są rzeczywste. Ostto [Т. А. АКРАМОВ Г. С. ЯБЛОНСКИЙ 975] wyzl że put rówowg est syptotycze stbly ste stcory ułdu (III..8.). T węc oscylce stężeń doooł putu rówowg w elowy ułdze zęty (w szczególośc w ezytyczy elowy ułdze zęty) są eożlwe. 36

37 3. Lowe ułdy rec checzych twerdzee Hyver Hyver [HYVER 97] wyzł że w ułdch rec checzych opsywych ułd lowych rówń różczowych o stłych współczych & f gdze < dl żdego... f cost cost... e ogą powć sę egsące oscylce stężeń regetów ( t). 4. Metod leryzc Kerer Metod leryzc Kerer [KERER 97; MORRIS 974] est uogólee etody stosowe przy leryzc rów Rcctego rów ety ezytycze. Metod t pozwl przetrsforowć ułd elowych rówń różczowych perwszego rzędu w ewwlety ułd lowych rówń różczowych drugego rzędu. Rów dy dl dowolego oo- lub ult-ezytyczego elwego ułdu otwrtego ą postć x & ε x K x x. (III.4..) α αβ α β Będzey stosowć owecę sucyą: tylo powtrzące sę desy pse grec lter są suowe od do. ech x ozcz wetor x w -wyrowe przestrze Euldesowe z ortoorlą bzą e α α e α. W te otc cerz est ddą (tesore drugego rzędu) e e. γβ γ β My przyłd x e e x e x e ( e e δ ). γβ γ β α α γα α γ β α Rodzę cerzy βα γ K αβ oż przedstwć o trdę (tesor trzecego rzędu) 37

38 K K e e e K e e e γ αβ α γ β αγβ α γ β gdze γ K αβ K αγβ będzey stosowć zee. My wtedy x K x x e K e e e x e K x x e. σ σ αγβ α γ β ω ω αγβ α β γ Przedstwąc wetor ε o ε γeγ ułd rówń (III.4..) oż zpsć w postc x& ε x x K x (III.4..) Wetorowe rówe (III.4..) est uogólee edowyrowego rów Rcctego x & ε x Kx (III.4.3.) tóre przez podstwee z& x (III.4.4.) K z oż sprowdzć do lowego rów drugego rzędu & z εkz z&. (III.4.5.) Podobe oż postąpć z wetorowy rówe Rcctego (III.4.3.). Twerdzee 7 [KERER 97] Wetorowy ułd Rcctego x& ε x x K x oż sprowdzć do lowego ułdu && z lub z K & αz& α z α α ( K Γ ε ) & z K z stosuąc podstwee α β γ β 38

39 x z& Γ z eżel steą Γ te że. dd Γ z Γα β γzγeαeβ posd odwrotą ( Γ z). ΓbλΓλrs Γ sγrωb ( b rs K) 3. Γ Γ ( s K) ω β βs β βs. Γ z 5. Twerdzee Korzuch Rów dy dl oo-ezytyczego elowego ułdu zętego ą postć: l & β γ l l ( K). (III.5..) (Rozptruey tylo rozwąz ( t).) Ułd (III.5..) posd cłę perwszą ω cost. Współczy tego ułdu spełą stępuące zleżośc:.. 3. β γ gdy β gdy l γl l γ γ l l l 4. β < γ. l Ułd (III.5..) będzey zywć tże ułde checzy [КОРЗУХИН 967 ]. Korzuch [ЖАБОТИНСКИЙ & КОРЗУХИН 967; КОРЗУХИН 967 b ] oprcowł lgoryt podstwe tórego: 39

40 Zdeu ułdow x& A ( x K x ) Kp p gdze A ( x K xp) są dowoly welo z cłowty euey stop oż zwsze przyporządowć ułd checzy & P ( Kε) K > p t że l ε ( t) x ( t) K p. 6. Klsyfc Tyso estblośc w secch rec checzych Rece checze przebegące w edorodych zobryczo-zoterczych ułdch opsywe są przez ułdy rówń różczowych zwyczych x& F ({ x }{ }) K. (III.6..) α F są fuc stężeń { x } wszystch regetów pewych pretrów { α }. Rozwąze stcore rówń (III.6..) est zbore stężeń { x o } spełących lgebrcze rów F ({ x o }{ }) K. (III.6..) α Żądy by x o > ( t) dl wszystch x > dl wszystch t [ ). (III.6.3.) Stblość stcorych rozwązń rówń etyczych opsuących ułdy rec checz- A ych est zdeterow przez wrtośc włse cerzy oule [ ] dx K x dt. (III.6.4.) Złóży że zy tylo z ( ) eleetów cerzy A. 4

41 Mcerz A est oścowo stbl eżel wszyste e wrtośc włse ą uee częśc rzeczywste ezleże od tulych wrtośc e eleetów. Jeżel cerz oul est oścowo stbl to st stcory est syptotycze stbly. Jeżel cerz oul e est oścowo stbl to wrtośc ezerowych eleetów oż t dobrć by st stcory był estbly złdąc że eleety te są ezleże eustloe. bze twerdze Qur Ruppert (Tw. ) Tyso [TYSO 975] wyzł że wszyste destblzuące procesy w ułdch rec checzych oż podzelć :. utotlzę eżel > dl pewego. ourecę eżel < orz < 3. sybozę eżel > orz > 4. dodtą pętlę sprzęże zwrotego eżel L dl sewec trzech lub węce desów K > 5. ueą pętlę sprzęże zwrotego eżel L dl sewec trzech lub węce desów K. < leży podreślć że z wyąte utotlzy występowe pozostłych procesów destblzuących e stow wruów wystrczących to by dy st stcory był estbly. Wy to z tego że eleety cerzy oule są zleże. 7. Metod stężeń stcorych Metod stężeń stcorych (us stedy stte pproxto) stosow był przez welu utorów przy lze sec rec ezytyczych СЕЛЬКОВ 967; SELKOV & BETZ 973; WALTER 969 b c RAAP 975 b ]. Rów dy ult-ezytyczych elowych ułdów otwrtych zwerą o zee stęże regetów e-ezytyczych c (t)... orz stęże regetów ezytyczych x (t).... c& x& ( t) M ( c Kc ) x ( c Kc ) K ( t) A ( c Kc ) x ( c Kc ) K. (III.7..) Rów (III.7..) są lowe względe stężeń regetów ezytyczych. W otc wetorowe rów (III.7..) przyuą postć: c & Mx (III.7..) x & Ax. (III.7.b.) 4

42 Kłdąc w rówu (III.7.b.) x& rówe zeru otrzyuey c& S S Mx (III.7.3.) Ax S. (III.7.3b.) Rówe (III.7.3b.) przedstw ułd rówń lgebrczych z tórych oż wyzczyć w zleżośc od x S c : A. (III.7.4.) S Podstwąc (III.7.4.) do (III.7.3.) otrzyuey ułd rówń różczowych tóre zwerą tylo eze fuce ( t) K : c S c& S MA. (III.7.5.) { } Podstwąc rozwąze ułdu (III.7.5.) c S ( t) c S ( ) c( ) do (III.7.4.) otrzyuey x S ( t) & oreśloe przez wru początowe o fuce czsu. Powyże przedstwo procedur os zwę etody stężeń stcorych (us stedy stte pproxto). Rozwąze rówń (III.7..) est oreśloe przez wru początowe c ( ) x ( ). W przypdu rówń (III.7.3.) (lub ewwlete (III.7.5.)) stosuey tylo wru początowe c S c. ( ) ( ) S S Rozwąze c ( t) x ( t) { } tylo dl wruów początowych c x A. ( ) ( ) ( ) ( ) rówń (III.7.3.) est przyblżoy rozwąze ułdu (III.7..) W prcch [VERGOET & BEREDSE 97; OTTE & DUYSES 973; WALTER 974b] przedstwoo lzę błędów obrczoe est przyblżoe rozwąze uzyse przy użycu etody stężeń stcorych orz róże odyfce etody stężeń stcorych. S x 4

43 Rozdzł IV ELEME TY TEORII GRAFÓW. Grfy serowe W prgrfe ty przedstwy ezbęde wdoośc z teor grfów serowych tóre wyorzysty w dlszy cągu prcy. W zcze węszośc wprowdzoe tu poęc ch zwy zcze są te se w prcy [SZAMKOŁOWICZ 97]. v Grfe serowy zywy prę uporządową G X R gdze X est dowoly sończoy zbore eleetów zwych werzchoł R v dowolą relcą dwurguetową oreśloą zborze X. Prę uporządową l [x y] werzchołów grfu dl tórych y xr v y będzey zywć łue grfu. Werzchoł x y zywy werzchoł łuu l. Werzchołe x zywy począte werzchołe y ońce łuu l. Mówy że łu łączy werzchoł x y. Mówy tże że łu l [x y] wychodz z werzchoł x wchodz do werzchoł y. Łu l [x y] dl tórego x y zywy pętlą. v Rzęde grfu G X R zywy oc zboru ego werzchołów X (czyl lczbę werzchołów w grfe G). Obet tetyczy zwy grfe posd l ewwletych reprezetc: lgebrczą cerzową geoetryczą. W reprezetc geoetrycze grfu werzchoł przedstwe są o puty płszczyźe łu o odc z zdą oretcą łączące werzchoł grfu. v v Jeżel dl żde pry x y X y: xry ~ yrx to grf zywy ostro serowy. v v Jeżel dl żde pry x y X y: xry yrx to grf zywy syetryczy. v v v v Grfe częścowy grfu G X R zywy dowoly grf G X R gdze R R tz. v v xr y yrx. v v Podgrfe grfu G X R zywy dowoly grf G X R X gdze X X relc v R X est relcą R v ogrczoą do zboru X. Dy est grf G orz ego podgrf G. Frgete grfu G zywy grf częścowy podgrfu G grfu G. v ech x będze dowoly werzchołe grfu G X R. Przez Γ X ozczyy zbór v v Γ X { z X : xrz} przez Γ X zbór Γ X { y X : yrx}. Dw werzchoł grfu x y zywy sąsed pszey xsy eżel stee łu tórego werzchoł są x y. Dowoly cąg werzchołów x x K x tch że x Sx dl... wrz z łączący e łu (po edy łuu dl żde pry werzchołów sąsedch) zywy łńcuche ozczy [ x K x l Kl ] gdze l [ x x ] bądź l [ x x ]. Werzchoł x x zywy odpowedo począte ońce łńcuch. Lczbę ( ) zywy długoścą łńcuch. Łńcuch dl tórego x x zywy cyle. Łńcuch zywy prosty eżel x x dl żdego.... Cyl zywy prosty 43

44 eżel z wyąte x x żde z pozostłych werzchołów e są detycze. Długoścą cylu zywy lczbę łuów cylu. Dw łu l l zywy łu oley eżel oec perwszego łuu est począte drugego pszey l Sl. Drogą zywy cąg łuów L [ l l Kl] dl tórych l Sl.... Drogę [ l l K l] wygode est czse ozczyć z poocą cągu werzchołów łuów [ x x K x ] gdze l [ x x ]. Drogę będzey zywć prostą eżel x x dl żdego K. Werzchoł x x zywy odpowedo począte ońce drog. Długoścą drog będzey zywć lczbę łuów drog. Koture zywy drogę tóre począte perwszego łuu est ońce osttego. Kotur zywy prosty eżel żde dw z pozostłych werzchołów e są detycze. Długoścą lub rzęde oturu prostego zywy lczbę łuów oturu prostego. Pętlę będzey trtowć o otur prosty perwszego rzędu. Grf zywy spóy eżel dl żde pry ego różych werzchołów stee łączący e łńcuch. Grf zywy oco spóy eżel dl żde pry ego werzchołów ( x x ) ( x x ) stee łącząc e drog. v v Dy est grf G X R podgrfe zolowy grfu G zywy podgrf G X R X eżel. G est grfe spóy. dl żdego x X żdego x ( X X ) v v y: ~ x Rx ~ xrx. (A) (B) (C) (D) RYS. 6. (A) Grf G. (B) Podgrf grfu G. (C) Grf częścowy grfu G. (D) Frget grfu G. (A) (B) (C) Rys. 7. (A) Drog prost. (B) Łńcuch prosty. (C) Cyl prosty. 44

45 RYS. 8. Kotury proste odpowedo o rzędch 3 4. y z x z y z 3 RYS. 9. Werzchoł z z z3 leżą do zboru Γ x werzchoł y y leżą do zboru Γ x. x x x x (A) (B) RYS.. (A) Grf serowy (B) wszyste ego drzew bzowe o bze w werzchołu x. v ech będze dy grf G X R gdze X { x x }. Mcerz A [ ] ( K) gdze v gdy x Rx v gdy ~ x Rx K zywy cerzą relc R v grfu G. Drzewe zywy grf spóy ostro serowy bez pętl e zwerący cyl prostych. v Prdrzewe o bze x X zywy grf G X R spóy ostroserowy eżel dl żdego x x y Γ Γ orz grf e zwer cyl prostych. x x Drzewe bzowy grfu serowego zywy grf częścowy dego grfu serowego będący prdrzewe o de bze. 45

46 Jeżel zborze werzchołów grfu v G X R oreślo est fuc f przyuąc wrtośc rzeczywste to ówy że dy est grf z obcążoy werzchoł. Jeżel fucą oreślo est zborze łuów to ówy że dy est grf z obcążoy łu. Grf z obcążoy łu lub werzchoł będzey eedy zywć secą. v ech będą de: grf G X R X { x x } fuc oreślo łuch tego grfu. Mcerz C [ c ]... gdze c c ([ x x ]) v gdy x Rx v gdy ~ x Rx K będzey zywć cerzą obcążeń łuów tego grfu G. Mówy że grf G podzellśy blo eżel usuęlśy z grfu G tle łu że:. otrzyy grf częścowy słd sę co e z dwu podgrfów zolowych. żde dw z usuętych łuów e są łu oley w G 3. dołączee tóregoolwe z usuętych łuów powodue zeszee lczby podgrfów zolowych w grfe częścowy. Powyże oreśloe podgrfy zolowe grfu częścowego będzey zywć blo grfu G. v v Schete bloowy grfu G X R zywy grf G X R gdze X est zbore bloów grfu G (odpowdących deu podzłow grfu G blo) relc stępuąco: ech x y X v x Ry v xry. x x y y Dodo po złożeu prcy. Grf oż zdefowć tże cze w sposób brdze ogóly. Grfe G zywy tróę uporządową G X Uϕ gdze X est zbore werzchołów U est zbore łuów ϕ est odwzorowe zboru U w zbór pr uporządowych X W przypdu gdy odwzorowe R v d est ϕ est edozcze G est grfe serowy (bgrfe). 46

47 Gdy odwzorowe ϕ e est edozcze (żde prze uporządowe werzchołów oże odpowdć l łuów) to grf G zywy ultgrfe lub grfe z weloroty łu.. Grfy syetrycze Przedstwoe tu defce podstwowych poęć z teor grfów syetryczych pochodzą z prc [HARARY 97; HOR 973 c ; SZAMKOŁOWICZ 97]. Relcę grfu syetryczego będzey ozczć przez R. euporządową prę werzchołów (x y) grfu syetryczego G X R dl tórych xry zywy rwędzą grfu. W reprezetc geoetrycze grfu syetryczego werzchoł przedstwe są o puty płszczyźe rwędze o odc łączące werzchoł grfu. O werzchołch x y będzey ówć że:. są połączoe rwędzą. są werzchoł sąsed 3. werzchołe x est sąsed z werzchołe y vce vers 4. są cydete z rwędzą (x y). O rwędz (x y) ówy że est cydet z żdy z e werzchołów. Pętlą zywy rwędź tór est cydet z tylo edy werzchołe (tz. rwędź (x x) est pętlą). Werzchołe zolowy zywy werzchołe tóry e est cydety z żdą rwędzą. Zbór werzchołów grfu G X R będzey ozczć przez V(G) zbór rwędz przez E(G). Werzchołe grfu zywy sry eżel e est o sąsed z sy sobą (e stee pętl cydet z ty werzchołe) est sąsed z dołde edy y werzchołe w G. Krwędź grfu zywy srą eżel est o cydet ze sry werzchołe w G. Dowoly cąg werzchołów (eoecze różych) d ( x x ) gdze żde dw werzchoł x x są werzchoł sąsed zywy drogą. Lczbę ( ) zywy długoścą drog. Drog o długośc zero est po prostu poedyczy werzchołe. Werzchoł x x zywy odpowedo począte ońce drog. Kżdy z ch będzey róweż zywć werzchołe sry drog. Drogę zywy długą eżel e długość est rów lub węsz od lczby werzchołów w G. Mówy że drog e zwer cęcwy eżel dl żdych trzech stępuących po sobe werzchołów x x x x x. Drogą prostą zywy drogę tóre wszyste werzchoł są róże. Drogę tóre począte oec sę porywą zywy cyle. Cyl zywy prosty eżel wszyste pozostłe werzchoł są róże ede od drugego orz róże od x x. Długoścą cylu prostego zywy lczbę rwędz w ty cylu prosty. K 47

48 Pętlę będzey trtowć o cyl prosty o długośc. Cyl prosty zywy przysty lub eprzysty zleże od tego czy ego długość est lczbą przystą lub eprzystą. Rozptrzy dw cyle proste drogę prostą w grfe G te że w żdy cylu prosty dołde ede werzchołe est detyczy z edy z werzchołów sre drog e ych werzchołów ędzy dowoly dwo z trzech wyże wyeoych obetów. O tch dwu cylch prostych drodze proste będzey ówć że tworzą dublet w G. Dublet będzey zywć eprzysty eżel ob ego cyle są eprzyste. Dw cyle tóre ą dołde ede wspóly werzchołe tworzą dublet poewż wspóly werzchołe oż potrtowć o drogę prostą o długośc zero. RYS.. Przyłdy eprzystych dubletów. Mówy że dy obet (otur drog...) zwrty est w grfe G eżel obet te est frgete grfu G. Drzewe zywy spóy grf G eżel e zwer o cylu prostego orz werzchołów zolowych. Twerdzee 8 [HOR 973 c ] Grf tóry e zwer rńcowych rwędz zwer cyl prosty. 48

49 3. Grfy przepływu sygłów * Ułdy lowych rówń lgebrczych o stłych współczych tże ułdy rówń różczowych zwyczych o stłych współczych (po doou przesztłceń Lplce -Crlso) będące odpowedo rów stcore estcore ety lowych ułdów ezytyczych ogą być reprezetowe przez grfy przepływu sygłów [KIG & ALTMA 956; VOLKESTEI & GOLDSTEI 966; ВОЛЬКЕНШТЕЙН ГОЛЬД- ШТЕЙН & СТЕФАНОВ 967]. Grfy przepływu sygłów dą ędzy y ożlwość wyzcze dzę regule Mso stcorych stężeń lub trsfort Lplce -Crlso stężeń ezyu ego różych for. Wrto podreślć że grfy przepływu sygłów zostły wprowdzoe ezleże w prcch [MASO ; KIG & ALTMA 956 ; HILL 966]. Te dzedze teor grfów pośwęcoych est uż wele oogrf p. [MASO & ZIMMER- MA 96; ROBICHAUD et l. 968]. Poo tego prce dotyczące zstosowń teor grfów przepływu sygłów w etyce rec ezytyczych cechue dl br edolte terolog eprecyzyość oreśleń. Zdrzą sę tże przypd dublow wyów. Zstosowo teor grfów przepływu sygłów w etyce rec ezytyczych pośwęcoo wele prc [KIG & ALTMA 956 b ; VOLKESTEI & GOLDSTEI 966 b ; ROMM 97; YATSIMIRSKII ; SESHAGIRI 97; ВОЛЬКЕНШТЕЙН 967; ВОЛЬКЕНШТЕЙН ГОЛЬДШТЕЙН & СТЕФАНОВ 967; ВОЛЬКЕНШТЕЙН & МАГАР- ШАК 97 b c 974; ВОЛЬКЕНШТЕЙН МАГАРШАК & СТЕФАНОВ 97 b 97; СТЕФАНОВ МАГАРШАК & ВОЛЬКЕНШТЕЙН 97; МАГАРШАК СТЕФАНОВ & ВОЛЬКЕНШТЕЙН 97; МАГАРШАК 974]. A. Reguł Mso Grfe przepływu sygłów zywy grf z obcążoy łu tóry oż w sposób edozczy przyporządowć deu ułdow lowych rówń lgebrczych. Obcążee drzew bzowego dego grfu z obcążoy łu zywy loczy obcążeń wszystch łuów dego drzew bzowego. Wyzcze bzowy D r dego grfu z obcążoy łu zywy suę obcążeń wszystch drzew bzowych tego grfu o de bze r. Twerdzee 9 (Reguł Mso) [MASO 956; KIG & ALTMA 956] My dy ułd rówń lgebrczych edorodych t s st st F t s K t K (IV.3.) orz dodtowe rówe F r r F o (IV.3.) 49

50 gdze F o est stłą. Rozwąz rówń (IV.3.) (IV.3.) są postc: D F Fo (IV.3.3) D gdze D est wyzcze bzowy grfu przepływu sygłów utworzoy w stępuący sposób:. Werzchoł grfu przepływu sygłów są zee F ( K).. Mcerz A [ ] ; T ε ε est cerzą obcążeń łuów grfu przepływu sygłów gdze gdy ε. gdy Jo przyłd rozptrzyy rów dy w ste stcory oo-ezytyczego lowego ułdu pseudo-otwrtego: A E EA EA EP 3 EP E P 3 (P) gdze A P regety e-ezytycze trtuey e o słd zewętrze E EA EP regety ezytycze trtuey e o słd Rów te de są przez: ( A ( ( 3 3 P)E A)E P)E E ( ( ( )EA )EA )EA EA ( 3 ( ( 3 )EP )EP )EP EP E o (P) (3P) 5

51 gdze w celu uproszcze zpsu sybole regetów ozczą edocześe stęże tych regetów E o est suryczy stężee wszystch for ezyu. Ułdow rówń (P) (3P) ożey przyporządowć grf przepływu sygłów tórego cerz obcążeń łuów d est stępuąco: A A E 3 P EA EP 3 E EA EP (4P) podstwe cerzy A* tworzyy grf przepływu sygłów EP P 3 3 E A EA stępe zduey wszyste drzew bzowe odpowdące wyzcz bzowe EP EP EP 3 3 E EA E EA E EA EP EP EP 3 3 P E A EA E A EA E EA EP EP EP 3 P 3 P E EA E EA E A EA D D D E EP EA 3 3 A P A P 3 A P 5

52 Wyorzystuąc Regułę Mso zduey rozwąze ułdu rówń (P) (3P): E DE EoDEA EoDEP E o EA EP D D D gdze D D D D. E EA EP W (Rozdz. V. 3.B..) pody sposób ostruc grfu przepływu sygłów podstwe rówń stechoetryczych. B. Włsośc grfów przepływu sygłów Pody tu etóre włsośc grfów przepływu sygłów częśce wyorzystywe w prtyce. J zobczyy dle przy ostruc grfu przepływu sygłów ogą powć sę łu welorote. Welorote łu o ty sy eruu oż sclć zstępuąc e łue o eruu łuów sclych o obcążeu rówy sue obcążeń luów scloych. Twerdzee [VOLKESTEI & GOLDSTEI 966] Jeżel oż dooć rozbc dego grfu przepływu sygłów podgrfów t by. żdy podgrf zwerł werzchołe r. dowole dw podgrfy e zwerły ych wspólych werzchołów to wyzcz bzowy D r est rówy loczyow wyzczów bzowych tych podgrfów r D r D gdze D r wyzcz bzowy -tego podgrfu Dy est grf przepływu sygłów dzely go blo. Kżdy werzchołe grfu przepływu sygłów chrteryzuey prą desów s des wszue uer blou des s uerue werzchołe w ty blou. Tworzyy schet bloowy grfu przepływu sygłów. Obcążee łuu G schetu bloowego de est przez s G D( s) K s 5

53 gdze D( s) wyzcz bzowy -tego blou w tóry bzą est werzchołe s lczb werzchołów w -ty blou lczb werzchołów w -ty blou K K K 3 K 3 K 3 K 3 3 BLOK K K K 3 K 3 K K BLOK K s obcążee łuu o początu w we- RYS.. Podzł grfu przepływu sygłów blo. rzchołu ( s) ońcu w werzchołu ( ). G G RYS. 3. Schet bloowy grfu przepływu sygłów z RYS.. schetu bloowego. Twerdzee [VOLKESTEI & GOLDSTEI 966] G G obcąże łuów o F D( ) F s D(s) gdze lczb bloów w grfe przepływu sygłów F wyzcz bzowy schetu bloowego wrtość zee odpowdąc werzchołow ( ) grfu przepływu sygłów 53

54 4. Grfy oule ** W prcch [CLARKE 974 b 975 b 976 b ] zostł oprcow etod bd stblośc stów stcorych w secch eodwrclych rec checzych przy poocy teor grfów. Metod t pozwl bez wypsyw w we postc rówń etyczych podstwe tylo rówń stechoetryczych po sostruowu pewego grfu:. wyzczyć współczy α w rówu chrterystyczy cerzy oule. zbdć z współczyów α bez wypsyw ch w we postc 3. zbdć z wyzczów Hurwtz bez wypsyw ch w we postc 4. wyzczyć obszr stblośc w przestrze pretrów etyczych. Metod Clre posd ed szereg wd:. zostł oprcow tylo dl sec eodwrclych rec checzych. etóre defce twerdze zostły sforułowe eprecyzye. Cele tego prgrfu est ędzy y sforułowe oprcowe przez Clre etody w sposób ogóly precyzyy dzę pewy odyfco. A. Defc grfu oulego ego włsośc D est rzeczywst cerz A [ ] ( K ). Grfe ouly zywy grf serowy z obcążoy łu tórego zbór werzchołów stow zbór desów eleetów cerzy A [ ] tz. zbór { K }. Mcerz obcążeń łuów grfu oulego A [ ] d est stępuąco: T. Ze względów prtyczych wygode będze eedy rozptrywć rówolegle z grfe ouly odpowedo oreśloy ultgrf ouly. D est rzeczywst cerz A [ ] ( K ). ech ( K ) gdze est dowolą lczbą turlą. Mcerzy oule A [ ] ożey przyporządowć grf ouly zgode z poprzedą defcą tże wyorzystuąc odwzorowe przedstwoe w TAB. III ultgrf ouly odpowdący deu rozbcu eleetów cerzy A [ ] suę L. 54

55 GRAF KOMUALY > < > < TAB. II. Kostruc grfu oulego podstwe cerzy oule A [ ] [OSIAK 978]. Ze względów prtyczych łu grfu oulego o uey obcążeu będzey ozczć lą przerywą łu o dodt obcążeu lą cągłą. GRAF KOMUALY MULTIGRAF KOMUALY TAB. III. Grf ouly ede z ożlwych ultgrfów odpowdących cerzy A [ ]. Pode poże defce twerdze są prwdzwe zrówo dl grfu oulego ultgrfu oulego odpowdącego deu rozbcu eleetów cerzy A [ ] suę L. Dy est grf (ultgrf) ouly. Tworzyy zbór wszystch oturów prostych zwrtych w dy grfe (ultgrfe) ouly. Zbór te zywy zbore oturów prostych grfu (ultgrfu) oulego. C-grfe zywy podzbór zboru oturów prostych grfu (ultgrfu) oulego t że e stee werzchołe leżący do węce ż edego oturu prostego. 55