1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA

Transkrypt

1 .4. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA.4.. Wetor przemeszcze Rozwżmy bryłę (cło mterle) o dowolym sztłce meszczoą w prostoątym łdze odese O (rys. ) Rys. gdze ozcz położee (mesce) pt mterlego w tym łdze,,, są ego współrzędym,,, wersorm (wetorm edostowym) os łd odese. Brył eobcążo zme w trówymrowe przestrze obszr B, zwy ofgrc początową (eobcążoą). Pod wpływem sł zewętrzych (powerzchowych msowych) brył odsztłc sę, zmąc owy obszr B, zwy ofgrcą ońcową (odsztłcoą). Pt mterly bryły (cząst mterl) zmący w ofgrc początowe położee zdze sę, ste odsztłce bryły, w położe. Wetor o począt w pce ońc w pce zywmy wetorem przemeszcze, [m]. Poewż przemeszczee żdego pt mterlego bryły est w ogólośc e, ztem wetor te est fcą położe, () Współrzęde,, wetor przemeszczeń w zgdech żyersch ozcz sę o, v, w..4.. Tesor odsztłceń Rozptrzymy przemeszczee dwóch dowole wybrych ptów mterlych bryły, zdących sę esończee blso sebe. Nech perwszy z ch zme w ofgrc początowe położee, zś drg d. Pod wpływem obcąże pty te przemeszczą sę odpowedo o d, zmąc w ofgrc ońcowe (odsztłcoe) owe położee, czyl d, róweż esończee blso sebe (rys. ).

2 Rys. Z rys tego wy, że d d d' d' d d () Sąd otrzymemy d d d () Poewż, ztem d (4) d d, w osewec d d d, d d, d, (5) Jo mrę odsztłce bryły w dym pce możemy przyąć różcę odległośc mędzy rozwżym ptm po odsztłce przed odsztłceem, lb co est wygodesze różcę wdrtów tych odległośc, czyl d d d d. Poewż d d d d orz d d dd dd, ztem d d d d dd d d (6) Poewż z (5) wy, że dd,, dd,,,,,,,, dd d d (7) ztem podstwąc (7) do (6) względąc, że d d, otrzymemy,,,, dd edd d d d d (8)

3 Powyższą zleżość moż przedstwć w eco e, łtwesze w terpretc, postc, mowce e dd d d e d d d d e d d d d (9) Poewż edd d E d orz dd d d, gdze est tesorem edostowym, ztem Tesor E d d d d () E e zywmy tesorem odsztłceń. Z () wy, że tesor te przyporządowe wetorow d w ofgrc początowe (eodsztłcoe) wdrt dłgośc d d d wetor d w ofgrc ońcowe (odsztłcoe). Poewż welość t w żdym pce bryły est zleż od er wetor d, ztem tesor odsztłceń E oreśl st odsztłce w pce. Z (8) wy, że współrzęde rówm geometryczym e E tego tesor oreśloe są stępącym e,,,, () Z rówń tych wy, że tesor odsztłceń est elową fcą pochodych przemeszczeń (elowość geometrycz). Powode to dże trdośc oblczeowe. Poewż ed w przypd węszośc ostrc bdowlych pochode przemeszczeń są brdzo młe, ztem zwąz () moż zleryzowć. Z przyłd P w rozdzle. wy, że w przypd bel twerdzoe o dłgośc l sztywośc E, obcążoe ońc słą spoą P, msymle gęce w l (pochod gęc) l wymg, by m m Pl, zś msymly obrót E Pl m,. Wy stąd, że m w m. Poewż wre sztywośc E l l m, l wm.. 5 l w, ztem,,,,. Możemy ztem przyąć, że, w zleżośc () pomąć loczyy Otrzymmy w te sposób wyrżee,, () oreślące tesor młych odsztłceń CAUCHY EGO, tóry est lową fcą pochodych przemeszczeń. Tesor te est tesorem drgego rzęd m 9 współrzędych. Jed z () wy, że tesor odsztłceń est symetryczy,, węc lczb ego ezleżych współrzędych wyos sześć.

4 Powyższe zleryzowe zwąz łączące współrzęde tesor odsztłceń z pochodym współrzędym wetor przemeszczeń, zwe są rówm geometryczym CAUCHY EGO. Po rozps ch względem wsźów,,, otrzymmy sześć stępących rówń slrych:,,,,,,,,,,, ().4.. terpretc geometrycze współrzędych tesor odsztłceń W przypd młych odsztłceń zleżość (9) moż zpsć o gdze d d d d d d d d d d d d (4) d d, d d, tomst różc d d est przyrostem dłgośc d w stępstwe odsztłce. Poewż w przypd młych odsztłceń możemy przyąć d d d d d, ztem zleżość (4) przyme postć d dd dd Dzeląc (5) strom przez d otrzymemy (5) d d d d d d d (6) Lew stro powyższego wzor przedstw względy przyrost dłgośc d ste odsztłce. Nech d d ozcz wetor rówoległy w ofgrc początowe do os O (rys. ) Rys. 4

5 d d d Poewż,, ztem (6) przyme postć d d d d d d (7) z tóre wy, że est względym przyrostem dłgośc elemet d, tóry w ofgrc początowe był rówoległy do os, ste ego odsztłce. Podob est terpretc współrzędych. Dltego współrzęde te zywmy odsztłcem lowym. Przedstwąc pt mterly w postc sześc o edostowych rwędzch, możemy współrzęde,, tesor odsztłceń terpretowć o przyrosty dłgośc ego rwędz. Rozwżmy z ole dw elemety lowe d d orz d d o wspólym począt, leżące w płszczyźe O, przy czym perwszy z ch w ofgrc początowe est rówoległy do os O zś drg do O (rys. 4). Rys. 4 W tm przypd zleżość () przyme postć d d d d d d d d d (8) Ze wzor (4) wy, że d d d d, d, d,d,d,d,d,d,d,d,d (9) Podstwąc (9) do (8) dostemy d d,, d d d d () 5

6 Dzeląc perwszą z powyższych relc przez d, zś drgą przez d. otrzymemy d d d d,, () gdze orz są wetorm edostowym, o er zwroce zgodym z wetorm d orz d. W () przyęto, że wg młe odsztłce d d. loczy slry powyższych wetorów est rówy cos,,,,,,,,,,,,,,,, () gdze z wg młe odsztłce przyęto, ż.,, Jeśl ozcz zmę ąt prostego medzy rozwżym elemetm d d, to z wg młe odsztłce możemy psć, że s s cos () Oblcząc zmę ąt medzy esończee młym wetorm leżącym w płszczyzch O orz O otrzymmy podobe wyrże. Czyl cos cos cos (4) Powyższe współrzęde tesor odsztłceń zywmy odsztłcem ątowym (postcowym). Przedstwąc pt mterly w postc sześc o edostowych rwędzch, możemy współrzęde,, terpretowć o zmy ąt prostego mędzy ego rwędzm (sześc ste sę rówoległoścem) Wr erozdzelośc W rówch geometryczych () do wyzcze trzech fc opsących pole przemeszczeń słży sześć fc opsących pole odsztłceń. Wy stąd, że współrzęde tesor odsztłce e mogą być ezleże mszą spełć dodtowe wr. 6

7 Wr te otrzymemy różcząc dwrote rów () zmeąc oleo wsź, l l,, l l,, l, l, l, l, l l,, l l, (5) Dodąc dw perwsze rów strom, od wy odemąc dw pozostłe, otrzymemy stępące zwąz mędzy współrzędym tesor odsztłceń: (6), l l,, l l, zwe wrm (rówm) erozdzelośc (cągłośc). Chocż rówń tych est 4 8, to ed tylo sześć z ch est ezleżych (róż sę medzy sobą). Otrzymemy e przymąc w powyższych rówch l. Czyl osttecze (7),,,, Spełee powyższych rówń ozcz, że ośrode cągły przed odsztłceem est róweż cągły po odsztłce, zś żdem ptow mterlem bryły w ofgrc początowe odpowd dołde ede pt w ofgrc ońcowe z zchowem sąsedztw elemetów. De to ztem gwrcę, że po odsztłce w ośrod e powstą pst myślowo wycęte elemety cł e będą sę przeły Mcerz odsztłceń Współrzęde [ ] tesor odsztłceń możemy zpsć w postc mcerzy wdrtowe y z y y zy z yz z (8) zwe mcerzą odsztłceń (obo ozczeń elemetów mcerzy odsztłceń wyorzystywych w szych rozwżch powyże przedstwoo róweż ozcze lsycze, wyorzystywe w zgdech żyersch). N główe przeąte te mcerzy leżą odsztłce lowe,,, tomst poz głów przeątą odsztłce ątowe (postcowe),,. 7

8 .4.6. Odsztłce główe Wrtośc główe tesor odsztłceń oblczmy z rów chrterystyczego (9) gdze () są ezmem mcerzy odsztłceń. Z wg symetrę mcerzy odsztłceń, powyższe rówe m trzy perwst rzeczywste,, ; żdem z tych perwstów (odsztłceń główych) przyporządowy est ere główy oreśloy wetorem ormlym,,,,czyl,,,,,, () przy czym współrzęde erów główych tesor odsztłceń wyzczmy z rówń () Wetory główe są ortoormle, czyl mszą spełć wr,, () W łdze odese wyzczoym przez er główe mcerz odsztłceń m postć 8

9 9 (4) zś e ezme oreślą zleżośc (5).4.7. Względ zm obętośc Rozptrzmy sześc, tórego rwędze o dłgośc edostowe są w ofgrc początowe rówoległe do erów główych (rys. 5). Rys. 5 Obętość tego sześc wyos V. Po odsztłce sztłt sześc sę e zme, zś ego obętość będze rów V. Względ zm obętośc tego sześc wyos V V V (6) Z wg złożee o młych odsztłcech, w powyższym wyrże pomęto loczyy odsztłceń główych Porówąc (), (5) (6) otrzymemy V V V (7)

10 Wy stąd, że względ zm obętośc edostowego sześc, zw dyltcą, est rów perwszem ezmeow mcerzy odsztłceń Astor dewtor odsztłceń Tesor odsztłceń moż przedstwć o smę dwóch tesorów (8) d Perwszy z ch, czyl (9) m zywmy storem odsztłceń (tesorem lstym), przy czym m (4) est średm odsztłceem lowym, tomst drg, węc d (4) m dewtorem odsztłceń. Astor odsztłceń opse zmę obętośc elemetrego sześc, tomst dewtor zmę ego postc (sztłt). Współrzęde tych tesorów przedstwą mcerze m m m (4) d m m m (4) J łtwo sprwdzć, perwszy ezme stor odsztłceń est rówy perwszem ezmeow tesor odsztłceń, czyl, tomst perwszy ezme d dewtor odsztłceń est rówy zer, węc. m.4.9. Płs st odsztłce Płs st odsztłce występe wtedy, gdy w żdym pce bryły ed współrzęd wetor przemeszcze płszczyźe prostopdłe do ede z os łd odese est rów zer, zś pozostłe współrzęde tego wetor są fcm tylo dwóch zmeych oreślących położee pt te płszczyźe. Przymmy ztem,

11 że osą tą est O, tomst płszczyzą O. W tm przypd, tomst pozostłe współrzęde wetor przemeszczeń są fcm, czyl,,,,. Poewż z () wy, że w tm przypd,,,,,,,, ztem. W tm przypd płszczyz O est płszczyzą główą, tóre, zś w bryle występą tylo odsztłce. T st odsztłce występe p. w brdzo dłge śce rówomere obcążoe w płszczyźe O (rys. 6). Rys. 6 W przypd płsego st odsztłce mcerz odsztłceń moż przedstwć w postc (44) Wrtośc główe te mcerzy wyzczmy z rów chrterystyczego (9), tóre, z wg, tym smym, przyme stępącą postć: gdze są ezmem mcerzy węszy od zer (dodt) (45) (46). Poewż wyróż powyższego rów est zwsze (47) ztem estremle wrtośc odsztłceń (perwst powyższego rów), czyl odsztłce główe, oreślą stępące relce:

12 m m 4 4 (48) Kżdem z tych odsztłceń główych przyporządowy est ere główy oreśloy wetorem ormlym,,,czyl,, (49) Do wyzcze erów główych wyorzystemy łd rówń (5) z dodtowym wrem ortoormlośc wetorów wyzczących er główe (5) Z wr tego wy, że (5) W łdze odese wyzczoym przez er główe mcerz odsztłceń m postć zś e ezme oreślą zleżośc (5) (54) Przyłd. Wyzczyć porówć ezme stępących, dwóch mcerzy odsztłceń:

13 De: 5, 6, 4, 4, 4,,,, Sze:,,,,, Rozwąze: Kro. Korzystąc ze wzorów () oblczmy ezme perwsze mcerzy Kro. Korzystąc ze wzorów (5) oblczmy ezme drge mcerzy Kro. Porówemy ezme ob mcerzy. Z porów tego wy, że ,, Poewż ezme ob mcerzy są sobe rówe, ztem ch elemety są współrzędym tego smego tesor odsztłceń w dwóch różych łdch odese (drg z ch tworzą ose główe). Przyłd. Wyzczyć mcerz odsztłceń w przypd bryły, tór w ofgrc początowe (eobcążoe) B est sześcem o edostowych rwędzch (rys. P.) Rys. P. eśl pole przemeszczeń oreśloe est wetorem, b (odsztłcoą) B bryły. De:,, b,, b,. Wyzczyć ofgrcę ońcową

14 4 Sze: B, Rozwąze: Kro. Wyzczmy mcerz odsztłceń () Oblczmy pochode wetor przemeszczeń b,,,,,,,,,, ; () Korzystąc ze wzorów () oblczmy współrzęde mcerzy odsztłceń b, ; () Podstwąc powyższe współrzęde do mcerzy (8) otrzymemy stępącą mcerz odsztłceń b Z postc powyższe mcerzy wy, że w bryle występą tylo odsztłce lowe są to odsztłce główe b,. Kro. Wyzczmy ofgrcę ońcową (odsztłcoą) bryły Poewż zdy wetor przemeszczee est lową fcą położe (czyl zmeych ), to w cel wyzcze ofgrc ońcowe bryły wystrczy oblczyć przemeszczee werzchołów sześc, Wyorzystemy do tego wzór b, :,, : :, :, :,, :, : : b G b F b E D b C B A O G F E D C B A O Kofgrcę ońcową (odsztłcoą) bryły przedstw rys. P. Rys. P.

15 Przyłd. Wyzczyć mcerz odsztłceń w przypd bryły, tór w ofgrc początowe (eobcążoe) est sześcem o edostowych rwędzch (rys. P.) eśl pole przemeszczeń oreśloe est wetorem,. Wyzczyć ofgrcę ońcową (odsztłcoą) bryły. De:,,, Sze:, B Rozwąze: Kro. Wyzczmy mcerz odsztłceń () Oblczmy pochode wetor przemeszczeń,,,,,,,,, ;, () Korzystąc ze wzorów () oblczmy współrzęde mcerzy odsztłceń ; () Podstwąc powyższe współrzęde do mcerzy (8) otrzymemy stępącą mcerz odsztłceń Z postc powyższe mcerzy wy, że w bryle występą tylo odsztłce ątowe (postcowe) cos. Kro. Wyzczmy ofgrcę ońcową (odsztłcoą) bryły Poewż zdy wetor przemeszczee est lową fcą położe (czyl zmeych ), to w cel wyzcze ofgrc ońcowe bryły wystrczy oblczyć przemeszczee werzchołów sześc, Wyorzystemy do tego wzór O : A : B : F : G :,,, C : D : E :,,,,, O E A C D G B F Kofgrcę ońcową (odsztłcoą) bryły przedstw rys. P. 5

16 Rys. P. 6