METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku?
|
|
|
- Czesław Anatol Czech
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODY NUMERYCZNE Wkłd. dr h.ż. Ktrz Zkrzewsk, prof.agh Met.Numer. wkłd Pl Aproksmc Iterpolc welomow Przkłd Met.Numer. wkłd Aproksmc Metod umercze zmuą sę rozwązwem zdń mtemtczch z pomocą dzłń rtmetczch. Zchodz ztem potrze przlż welkośc e rtmetczch welkoścm rtmetczm d łędów wwołch tkm przlżem. Wór przlże zleż od tego, którm z możlwch krterów posłużm sę w ocee skuteczośc dego przlże. Jk est dopuszczl łąd wku? Jk szko moż otrzmć rozwąze k est szkość zeżośc de metod, p. procesu tercego? Met.Numer. wkłd
2 Co to est terpolc? De są pukt,,,,.,. Zleźć ezą wrtość dl dowolego. Met.Numer. wkłd 4 Różc pomędz proksmcą terpolcą terpolc proksmc Met.Numer. wkłd 5 Aproksmc Chcem przlżć fukcę f komcą częśce lową fukc leżącch do pewe szczególe kls. Kls fukc: { },,... { },,... p {s,cos },,... dl N perwszch wrzów szeregu Tlor ogóle: p est welomem stop welom trgoometrcze Nwększe zczee posd proksmc welomow Met.Numer. wkłd 6
3 Aproksmc low fukc f kls fukc: współczk stłe: Aproksmc g g... mgm { g },,...,,..., m Przlże lowe stosue sę poewż de proksmc komcm elowm fukc przlżącch est rdzo trude k lz wększośc zgdeń elowch. Czsm stosue sę przlże wmere: g g... mgm g g... g Met.Numer. wkłd 7 k k Aproksmc Krter woru stłch współczków,,..., m Trz tp przlżeń o dużm zczeu przlżee terpolce współczk są tk dore, w puktch,,..., p fukc przlżąc wrz z e perwszm r pochodm r est lczą cłkowtą euemą ł zgod z f e pochodm z dokłdoścą do łędów zokrągleń Met.Numer. wkłd 8 Aproksmc Krter woru stłch współczków,,..., m przlżee średokwdrtowe szukm mmum wrże ędącego cłką z kwdrtu różc pomędz f e przlżeem w przedzle <, > lu sumą wżoą kwdrtów łędów rozcągętą zór dskret puktów z przedzłu <, > przlżee edoste zlezee meszego mksmum różc mędz f e przlżeem w przedzle <, > Met.Numer. wkłd 9
4 Metod meszch kwdrtów Regres low Postult metod 6 S [ ] m 4 f., -.8 f Met.Numer. wkłd Metod meszch kwdrtów Regres low Wruek mmum fukc dwu zmech: S S Otrzmuem ukłd rówń lowch dl ewdomch Rozwązuąc te ukłd rówń uzskue sę wrże współczk szuke proste f Met.Numer. wkłd Metod meszch kwdrtów Regres low W W gdze: W wzczk głów ukłdu rówń wrż sę wzorem W Met.Numer. wkłd 4
5 Metod meszch kwdrtów Regres low Z prw sttstk moż wprowdzć wrże odchle stdrdowe u u ou prmetrów proste,: u u u S W Met.Numer. wkłd Aproksmc welomow Zstosowe w olczech welomów ko fukc przlżącch wąże sę z fktem, że msz cfrow wkoue w prktce dzł rtmetcze. Wspólą włścwoścą potęg zmee welomów trgoometrczch tkże fukc wkłdczch est to, że w przlżech korzstącch z kżde z tch kls przesuęce ukłdu współrzędch zme współczk, le e zme postc przlże. Jeżel P est welomem lu fukcą wmerą to Pα est róweż te postc, eśl T est lowm lu wmerm przlżeem zudowm z susów lu cosusów, to tke est róweż Tα. Met.Numer. wkłd 4 Aproksmc welomow Przlże fukcm { },,... mą tką zletę, że prz zme skl zmee zmeą sę tlko współczk, e zme sę ksztłt przlże. Przkłd: welom Pk est róweż welomem zmee. Te włsośc e mą przlże trgoometrcze, gdż dl ecłkowtego k ogół sk e est elemetem kls {s },,... Met.Numer. wkłd 5 5
6 Aproksmc welomow Nczęśce wer sę welom gdż moż łtwo: olczć ch wrtośc różczkowć cłkowć Met.Numer. wkłd 6 Aproksmc welomow Z przlżeń welomowch wwodzą sę metod: terpolc ekstrpolc różczkow umerczego kwdrtur rozwązw umerczego rówń różczkowch zwczch Powąz pomędz tm metodm są łtwo dostrzegle, gdż metod terpolce są podstwą wzorów różczkow umerczego, kwdrtur rozwązw umerczego rówń różczkowch. Met.Numer. wkłd 7 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Złożee: W przedzle [,] dch est różch puktów,,,, które zwm węzłm terpolc, orz wrtośc pewe fukc f w tch puktch: f dl,,...,. terpolc Met.Numer. wkłd 8 6
7 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Zde terpolc: Wzczee przlżoch wrtośc fukc w puktch e ędącch węzłm orz oszcowe łędu tch przlżoch wrtośc.. W tm celu leż zleźć fukcę F, zwą fukcą terpoluącą, któr ędze przlżć fukcę f w przedzle [,].. Fukc F w węzłch terpolc przmue tke sme wrtośc co fukc f.. W zgdeu terpolc welomowe fukc F est welomem stop co wże. Twerdzee Istee dokłde ede welom terpolc stop co wże, któr w puktch,,, przmue wrtośc,,,. Met.Numer. wkłd 9 Iterpolc - metod ezpośred Przez puktów,,,,., przechodz dokłde ede welom stop gdze,,. są stłm współczkm R Ułożć rówń zleźć stłch Podstwć wrtość do welomu, zleźć Met.Numer. wkłd Przkłd Tel Prędkość v ko fukc czsu t ts vm/s predkosc vm/s de czs ts Zleźć prędkość w chwl t6 s stosuąc metodę ezpośredą dl dwóch puktów Met.Numer. wkłd 7
8 Ne moż oece wśwetlć tego orzu. Iterpolc low t t v v 5, v Rozwąze ukłdu rówń.9.94, f A ztem v t.9.94t, 5 t m/s v Met.Numer. wkłd Iterpolc kwdrtow t t v t, v 7. 4 v v 57. 5, f Rozwąze ukłdu rówń v t.5 7.7t.766t, t v 9.9 m/s, Met.Numer. wkłd Iterpolc kwdrtow v t.5 7.7t.766t, t 6 9.9m s v / Błąd względ % Vm/s ts Met.Numer. wkłd 4 8
9 Iterpolc sześce t t t v t,,,, v 7.4 v v 57.5 v f Met.Numer. wkłd 5 Iterpolc sześce Zde domowe Rozwązć ukłd rówń: Podć rsowć vt Met.Numer. wkłd 6 Iterpolc sześce -rozwąze t. 5 t t.4t.5447t, v m s v / Błąd względ % Met.Numer. wkłd 7 9
10 Porówe Rząd welomu v t 6m/s łąd względ %.69 % Met.Numer. wkłd 8 Olcze przemeszcze v od ts do t6s t t.4t.5447t, t s v t s 6 dt t.4t.5447t 4 t t t 4.54t m dt 6 Met.Numer. wkłd 9 ν t t t, t. 5 d dt d dt t v t t.4 t.5447 t t.64 t, t.5 Olcze przspesze m/s Met.Numer. wkłd
11 Wzór terpolc Newto Iterpolc low: de są pukt,,,, szukm f f f f Met.Numer. wkłd Przkłd Tel Prędkość v ko fukc czsu t ts vm/s predkosc vm/s de czs ts Zleźć prędkość w chwl t6 s stosuąc metodę Newto Met.Numer. wkłd Wdomo, że: t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 Iterpolc low v t t t A ztem: Zduem: v t 6.78 v t v t t t v t t t t 5, 5 t.94 Jko zde domowe, proszę sprwdzć cz wk uzsk est zgod z wkem terpolc ezpośrede Met.Numer. wkłd
12 Iterpolc low v t t t Szuk prędkość w chwl t6 s wos: v t t t m / s 5 48 de 46 vm/s czs ts Met.Numer. wkłd 4 Iterpolc kwdrtow De są pukt,,,,,, szukm f f f f f f Met.Numer. wkłd 5 Iterpolc kwdrtow Wdomo, że: t, v t 7.4 t 5, v t 6.78 t, v t Zduem: v t 7.4 v t v t t t 5 v t v t v t v t t t t t t t.766 Met.Numer. wkłd 6
13 Iterpolc kwdrtow A ztem: v t t t t t t t t.766 t t 5, t dl t6s: v 6 6 t 6 t 6 t m / s Jko zde domowe, proszę sprwdzć cz wk uzsk est zgod z wkem terpolc ezpośrede Met.Numer. wkłd 7 Iterpolc kwdrtow de vm/s czs ts Błąd względ w odeseu do poprzede terpolc % Met.Numer. wkłd 8 Ogól formuł f gdze f [ ] f f f f [, ] lorz różcow perwszego rzędu f f f f [, ] f [, ] f [,, ] A ztem lorz różcow drugego rzędu f f [ ] f [, ] f [,, ] Met.Numer. wkłd 9
14 Ogól formuł Mąc puktów,,,...,,,,, f gdze f ] [ f [, ] f [,, ] M f,,..., [ f [,,..., ] ] Met.Numer. wkłd 4 Iterpolc sześce Welom -cego stop, mąc de,,,,,,,, m postć f f [ ] f [, ] f [,, ] f [,,, ] f f [, ] f f [,, ] f, ] f,,, ] [ f f [,, ] f, ] f [ [ Met.Numer. wkłd 4 Iterpolc sześce Zde domowe Zleźć rówe prędkość olczć v6s podstwe terpolc sześcee Newto : v t t t t t t t t t t t t t De t, v t 7.4 t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 t.5, v t 6.97 Zleźć współczk Zleźć drogę przetą w czse od s do 6 s. Zleźć przspeszee w chwl t6 s. Met.Numer. wkłd 4 4
15 Rozwąze t t 5, t, t.5, ; 7.48;.766; 5.447* - Met.Numer. wkłd 4 Porówe Rząd welomu vt m/s Błąd względ przlże %.47 % Met.Numer. wkłd 44 Iterpolc z rówo-odległm węzłm De są wrtośc fukc f dl,, w puktch rozmeszczoch w edkowch odstępch: h Perwsz welom terpolc Newto m postć: I Δ Δ N o... o! h! h Δ o...! h gdze k f est różc progresw k-tego rzędu Met.Numer. wkłd 45 5
16 6 Met.Numer. wkłd 46 Iterpolc z rówo-odległm węzłm Welom terpolc Newto est korzst w polżu początku tlc. W polżu końc tlc stosuem...!...!! h h h N II Δ Δ Δ drug welom terpolc Newto z różcm wsteczm Met.Numer. wkłd 47 Różce progreswe Δ Δ Δ Δ Δ f h f Δ h f f Różce wstecze Met.Numer. wkłd 48 Icze: Wzór terpolc Lgrge gdze: ω estwrtoścą pochode welomu ω pukce ędącm zerem tego welomu f f W ' ω ω ω ω... ω Ogóle: f W
17 Przkłd Tel Prędkość v ko fukc czsu t ts vm/s predkosc vm/s de czs ts Zleźć prędkość w chwl t6 s stosuąc metodę terpolc welomem Lgrge dl dwóch puktów Met.Numer. wkłd 49 Iterpolc low welomem Lgrge v t L t v t L t v t L t v t Wdomo, że: Zduem: t t t t L t t t t t t t t t L t t t t t A ztem: t t t t v t v t v t t t t t t t t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 Jko zde domowe, proszę sprwdzć cz wk uzsk est zgod z wkem terpolc ezpośrede Met.Numer. wkłd 5 Iterpolc low welomem Lgrge v m / s de 46 vm/s czs ts Met.Numer. wkłd 5 7
18 Iterpolc kwdrtow De są pukt,,,,, szukm v t L t v t L t v t L t v t L t v t t t L t t t Met.Numer. wkłd 5 Wdomo, że: t, v t 7.4 t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 A ztem: Iterpolc kwdrtow Zduem: t t t t t t L t t t t t t t t t t t t t L t t t t t t t t t t t t t L t t t t t t t t t t t t t t t t t t t v t v t v t v t t t t t t t t t t t t t Met.Numer. wkłd 5 Iterpolc kwdrtow dl t6s: v m / s Jko zde domowe, proszę sprwdzć cz wk uzsk est zgod z wkem terpolc ezpośrede metodą Newto. Met.Numer. wkłd 54 8
19 Iterpolc kwdrtow de vm/s czs ts Błąd względ w odeseu do poprzede terpolc % Met.Numer. wkłd 55 Iterpolc sześce Zde domowe Zleźć rówe prędkość olczć v6s podstwe terpolc sześcee Lgrge De t, v t 7.4 t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 t.5, v t 6.97 Zleźć drogę przetą w czse od s do 6 s. Zleźć przspeszee w chwl t6 s. Porówć wk z uzskm podstwe terpolc metodą ezpośrede Newto. Met.Numer. wkłd 56 Porówe Rząd welomu vt m/s Błąd względ przlże %.47 % Met.Numer. wkłd 57 9
20 Wzór terpolc Lgrge - przkłd Nech de ędą pukt:,,, 6. Zleźć welom terpolc Lgrge, któr ędze przlżć fukcę π s 6 Rozwąze: Wrtośc fukc f wwęzłch terpolc są stępuące:, f, f, 6. f f Moż pokzć, że welom terpolc Lgrge przmue postć: 7 W Met.Numer. wkłd 58 5 Wzór terpolc Lgrge - przkłd -5 fukc f sπ/6 welom terpolc W 7 W Welom terpolc przlż fukcę f tlko pomędz skrm węzłm, tz. w przedzle [,6]. Im mesze odległośc mędz węzłm, tm lepsze przlżee uzskuem Met.Numer. wkłd 59 Oszcowe łędu wzoru terpolcego Z ką dokłdoścą welom terpolc W przlż fukcę f w pozostłch puktch leżącch wewątrz przedzłu <, >? Zkłdm, że fukc f w rozptrwm przedzle <, > m pochode do rzędu włącze. sup <, > W! zleż od woru węzłów terpolc Met.Numer. wkłd 6
21 Iterpolc z pomocą fukc sklech-sple Wd terpolc welomowe: Motwc Pogorszee wków terpolc prz zwększu lcz węzłów. Przkłd: Zwsko Rugego przkłd źle uwrukowego zd: Iterpolc welomm wsokch stop prz stłch odległoścch węzłów prowdz do powżch odchleń od terpolowe fukc zwłszcz końcch przedzłu. Iterpolc środkowch częścch przedzłu est tomst rdzo dor użtecz Przkłd: 5 Met.Numer. wkłd 6 Iterpolc welomow szczególch fukc Met.Numer. wkłd 6 Zwsko Rugego Met.Numer. wkłd 6
22 Iterpolc z pomocą lowch fukc sklech Mąc de pukt:,,,,...,,, prowdzm le proste pomędz puktm. Met.Numer. wkłd 64 Iterpolc z pomocą lowch fukc sklech f f f f f f. chlee proste. pomędz węzłm. f f f Met.Numer. wkłd 65 Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech Mąc de pukt:,,,,...,,, zpsuem róże fukce kwdrtowe pomędz kżdą prą puktów. Met.Numer. wkłd 66
23 Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech c c... Zleźć współczk c,, c,,..., Mm ewdomch czl potrzeuem rówń Met.Numer. wkłd 67 Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech Kżd prol przechodz przez dw sąsede pukt, czl mm rówń f c f c. f c f c. f c c f Met.Numer. wkłd 68 Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech Dodtkowe wruk otrzmuem żądąc cągłośc perwszch pochodch w - wewętrzch puktch węzłowch:. c f ' c dl f ztem Met.Numer. wkłd 69
24 Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech Prowdz to do - rówń postc:.. Cłkowt lcz rówń wos -- Potrzee edo rówe może prząć postć p. Perwsz fukc skle est low. Met.Numer. wkłd 7 Przkłd Tel Prędkość v ko fukc czsu t ts vm/s predkosc vm/s de czs ts Zleźć prędkość w chwl t6 s stosuąc metodę terpolc z pomocą kwdrtowch fukc sklech Met.Numer. wkłd 7 Rozwąze c v t t t, t t t, t 5 c, t t c 5 t t. 5 4t 4t c4,, 5t 5t c5.5 t Met.Numer. wkłd 7 4
25 Kżd fukc skle przechodz przez dw sąsede pukt v t t t, t c c c 7.4 predkosc vm/s de czs ts Met.Numer. wkłd 7 Dlsze rów ts vm/s Jest rówń, 5 poszukwch współczków c c c c 4 4 c c c5 5 5 c Met.Numer. wkłd 74 d dt Żąde cągłośc pochodch v t t t, t c t t c, t 5 d t t c t t c t dt t t t t t Met.Numer. wkłd 75 5
26 6 Met.Numer. wkłd dl ts dl t5s dl ts dl t.5s 4 dodtkowe rów Żąde cągłośc pochodch - cd ostte rówe Met.Numer. wkłd c c c c c Osttecz ukłd 5 rówń 5 ewdomch Met.Numer. wkłd 78 c c Wrtośc współczków Proszę sprwdzć cz pode wrtośc są prwdłowe
27 Osttecze rozwąze v t.74t, t.8888t 4.98t 88.88, 5.56t 5.66t 4.6, 5 t.648t.956t , t t 8.86t 5.,.5 t Met.Numer. wkłd 79 Prędkość w określom pukce Prędkość w chwl t6s v t.74t, t.8888t 4.98t 88.88, t 5.56t 5.66t 4.6, 5 t.648t.956t , t t 8.86t 5.,.5 t v 94.4 m/s 4.6 Jko zde domowe, proszę porówć olczoą wrtość prędkośc z wrtoścą otrzmą z pomocą terpolc welomowe Met.Numer. wkłd 8 Przspeszee w określom pukce Accelerto t t6 v t.74t, t.8888 t 4.98 t 88.88, t 5.56t 5.66t 4.6, 5 t.648t.956t , t t 8.86t 5.,.5 t d dt 6 v t t 6 Met.Numer. wkłd 8 7
28 Przspeszee w określom pukce, Fukc kwdrtow skle prwdzw w pukce t6s est d ko t.56 t 5.66t 4.6, v 5 t d t.56t 5.66t 4.6 dt.7t 5.66, m/s Jko zde domowe, proszę porówć olczoą wrtość przspesze z wrtoścą otrzmą z pomocą terpolc welomowe Met.Numer. wkłd 8 Drog z proflu prędkośc c Zleźć drogę przetą przez rketę od ts do t6s. v t.74t, t.8888t 4.98t 88.88, t 5.56t 5.66t 4.6, 5 t.648t.956t , t t 8.86t 5.,.5 t 6 S S 6 v t dt Met.Numer. wkłd 8 t.8888 t 4.98t 88.88, v t 5.56t 5.66t 4.6, 5 t 6 S v t dt v t dt S 6 v t dt Drog z proflu prędkośc t t m t dt 5.66t 4.6 dt Jko zde domowe, proszę porówć olczoą wrtość przete odległośc z wrtoścą otrzmą z pomocą terpolc welomowe Met.Numer. wkłd 84 8
29 Błąd wzoru terpolcego sup <, > W! Przmuem ozcze: M sup <, > Kres gór modułu -sze pochode fukc f przedzle <,> ω... Met.Numer. Wkłd 4 85 Błąd wzoru terpolcego Przkłd: M W ω! Oceć, z ką dokłdoścą moż olczć wrtość l,5 prz użcu wzoru terpolcego Lgrge, eżel de są wrtośc: l, l, l, l l,,,, f 4 6 M 4 sup 4 <,> 6 l,5 W,5,5,5,5,5,44 4 4! Met.Numer. Wkłd 4 86 Optml doór węzłów terpolc M W ω! Welkość łędu zleż od woru węzłów terpolc poprzez ω. N M e mm wpłwu. Jk wrć węzł terpolc, : sup ω <, > mło k meszą wrtość Zgdee zostło sformułowe przez rosskego mtemtk P.L. Czeszew ko zgdee zdow welomu lgerczego lepe przlżącego zero zdm przedzle. Met.Numer. Wkłd
30 Welom Czeszew T cos rc cos T cos rc cos Welom Czeszew perwszego rodzu: Moż pokzć, że welom T est detcz z pewm welomem lgerczm zwężom do przedzłu <-,>. wzór rekurec T T cosrc cos T cosrc cos 4 T T T Met.Numer. Wkłd 4 88 Welom Czeszew Welom Czeszew perwszego rodzu są rozwązem rów różczkowego: d T dt T d d Defue sę e poprzez wzór Rodrgues: T [ ] d!! d Welom Czeszew perwszego rodzu są ortogole w przedzle <-,> z wgą: w Met.Numer. Wkłd 4 89 Optml doór węzłów terpolc Kżd welom Czeszew stop m różch perwstków w puktch: m m cos π, m,,,..., zwrtch mędz - Współczk prz wższe potędze w T est rów -. Szukm welomu, któr prz wższe potędze m współczk rów edośc T T... gdze m m,,,, są perwstkm welomu T Met.Numer. Wkłd 4 9
31 Wrżee: wówczs: Optml doór węzłów terpolc sup ω <, > w przedzle <-,> m meszą wrtość dl welomu: ω T... sup ω <,> Jeżel w przedzle <-,> z węzł terpolc przmem zer welomu Czeszew, to M W! Met.Numer. Wkłd 4 9 Optml doór węzłów terpolc W dowolm przedzle <,> oszcowe łędu wos: prz worze węzłów f M! W m m cos, m,,,..., π Nowe węzł m e są rozmeszczoe w rówch odstępch lecz są zgęszczoe prz końcch przedzłu. [ z ] Proste trsformce lowe sprowdzą z przedzłu <,> do z leżącego do z <-,> Met.Numer. Wkłd 4 9 Podsumowe terpolc Przecztć przelzowć rozdzł..8 Uwg końcowe, Z.Fortu, B.Mcukow, J.Wąsowsk, Metod umercze Wosk:. Prz olczu wrtośc welomu terpolcego w edm lu klku puktch prolem woru postc wzoru terpolcego e est stot.. Rodz wrego wzoru rozmeszczee węzłów m wpłw ede łąd olczeń.. O czsochłoośc olczeń decdue lcz możeń dzeleń. dl welomu Lgrge stow to 4 dl welomu Newto / / Met.Numer. Wkłd 4 9
Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI
Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle
Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n
lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.
Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak
Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH Ops ukłdu pomrowego Ukłd pomrow skłd sę z podstwowch częśc: dego geertor drgń relkscjch, zslcz geertor, geertor odese (drgń hrmoczch), oscloskopu. Pokz rsuku schemt deow geertor
dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Metody numeryczne procedury
Metod umercze procedur podstwe [Mrc et. l. 997] orz [Broszte et. l. 004] dr ż. Pweł Zlews Adem Mors w Szczece Iterpolc welomow: Zde terpolc poleg zlezeu pewe uc tór przlż dą ucę. Dl uc ze są prz tm wrtośc
11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów
. Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Woskowe sttstcze - egesj koelcj teść Wpowdzee Regesj koelcj low dwóch zmech Regesj koelcj elow - tsfomcj zmech Regesj koelcj welokot Wpowdzee Jedostk zoowośc sttstczej mogą ć chktezowe
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego.
3. Wzór Tlor. Przpomm tu z wzór Tlor ze względu ego worzste w zgdec terpolc róŝczow cłow umerczego. Jeśl uc e perwszc pocodc est cągłc w przedzle domętm [] to dl dowolc putów z przedzłu [] zcodz!! ξ gdze
Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1
METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss
UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl
Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej
Isttt Atomt Iformt Stosowe Poltech Wrszwse Algortm predce w wers ltcze z efetwm mechzmem względ ogrczeń wść Potr Mrs Pl prezetc. Wstęp. Algortm reglc predce 3. Uwzględe ogrczeń łoŝoch sgł sterąc 4. Uwzględe
Spójne przestrzenie metryczne
Spóe pzeszee ecze De. Pzeszeń eczą zw spóą eżel e d sę e pzedswć w posc s dwóc zoów epsc owc ozłączc. - pzeszeń spó ~ owe Icze es zoe spó eżel dl dowolc pów czl see cągł c : : = = see dog łącząc Tw. ągł
Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
DOPASOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW
DOPAOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW Jedm stotch gdeń l dch pomroch jest dopsoe leżośc teoretcej do kó pomró. Dotc oo stucj gd dokoo ser pomró pr elkośc które są e soą poąe leżoścą f... m
instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego
5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell
ELEMENTY TEORII GIER
ELEMENTY TEORII GIER Śwt s otcząc pełe est koflktów rwlzc. Moż weć lcze przkłd stuc deczch, ędz : wo, kpe poltcze, kpe reklowe rketgowe rwlzuącch ze sobą fr wele ch, w którch do cze z koflkte ędz ch uczestk.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH
METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -
Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe
Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch t, y zde mogło yć rozwąze przez omputer. Rozwązywe ułdów rówń lowych.
7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE
7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE W poprzedch rozdzłch omówlśm elemet skończoe formłowe z pomocą tzw. współrzędch ogóloch. Zkłdlśm że przemeszcze elemet zmeą sę zgode z przętm
Granica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych
Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si
1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
I. APROKSYMACJA I INTERPOLACJA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Oprcowł: mgr Słwomr Mlewsk Smodzely Zkłd Metod Komputerowych w Mechce L6, WL, PK APROKSYMACJA NTERPOLACJA FUNKCJ JEDNEJ ZMENNEJ Ogóle zgdee proksymcj moż opsć stępująco: De są pukty leżące ądź to do wykresu
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce
ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl Wre rozkłd prwdopodoeństw żtecze w sttstce Rozkłd ch-kwdrt o stopch swood - to rozkłd s kwdrtów ezleżch zech losowch o stdrzow rozkłdze orl tz......d. rozkłd o
Algorytmy metod numerycznych. Monika Chruścicka
Algoryty etod ueryczych Mok Chruścck Ktolck Uwersytet Luelsk J Pwł II Wydzł Nuk Społeczych, Istytut Ekoo Streszczee Artykuł zwer chrkterystykę etod ueryczych orz podstwowych lgorytów etod ueryczych. Przedstwoe
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Wykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Spójne przestrzenie metryczne
lz Włd 5 d d Ćel cel@gedpl Spóe pzeszee ecze De Pzeszeń eczą ρ zw spóą eżel e d sę e pzedswć w psc s dwóc zów epsc wc złączc ρ - pzeszeń spó ~ we Icze es ze spó eżel dl dwlc pów czl see cągł c γ : : γ
Rozkłady prawdopodobieństwa 1
Rozkłdy rwdoodoeństw Rozkłdy rwdoodoeństw. Rozkłdy dyskrete cągłe. W rzydku rozkłdu dyskretego określmy wrtośc rwdoodoeństw dl rzelczlej skończoej lu eskończoej lczy wrtośc zmeej losowej. N.... wszystke
Prawo propagacji niepewności. 1
Prwo propgc nepewnośc. Prwo propgc nepewnośc. W przpdk pomrów metodą pośredną wrtość welkośc stl sę n podstwe wrtośc nnch welkośc zmerzonch bezpośredno. przkłd obętość V 0 prostopdłoścn o krwędzch D 0
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
PROGRAMOWANIE LINIOWE.
Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe
1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA
POLIECHIK CZĘSOCHOWSK KEDR IŻYIERII KOMPUEROWEJ PRC DOKORSK SYSEMY ROZMYO-EUROOWE RELIZUJĄCE RÓŻE SPOSOY ROZMYEGO WIOSKOWI Roert owc Promotor: dr h. ż. Dut Rutows rof. dzw. P.Cz. Częstochow 999 eszm chcłm
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Potr Szczepńk Ktedr Chem Fzczej Fzkochem Polmeró ANALIZA REGRESJI REGRESJA LINIOWA. REGRESJA LINIOWA - metod jmejzch kdrtó. REGRESJA WAŻONA 3. ANALIZA RESZT 4. WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI,
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Plan Rozwiązywanie układów równań liniowych
-4-4 METODY NUMERYCZNE Wykłd 6. Rozwązywe ukłdów rówń lowych dr h. ż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH Met.Numer. wykłd 6 Pl Metody dokłde Metod elmcj Guss Metod Guss-Sedl Rozkłd LU Metod Kryłow Metod LR QR Zdefowe
Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1
Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej
Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
METODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. róŝniczkowanie przybliŝone całkowanie numeryczne
Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Metody olczeowe wykłd r 4 róŝczkowe przylŝoe cłkowe umerycze Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Perwsz pochod ukc Ozcze: - ukc określo
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Józef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta
Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta . zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2 2. Dwa modele wzaczea parametrów
Regresja linowa metoda najmniejszych kwadratów. Tadeusz M. Molenda Instytut Fizyki US
Regresja lowa metoda ajmejszch kwadratów Tadeusz M. Moleda Isttut Fzk US Regresja lowa (też: metoda ajmejszch kwadratów, metoda wrówawcza, metoda Gaussa) Zagadea stota metod postulat Gaussa współczk prostej
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.
Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Przydatna wiedza dotycząca systemów transmisji cyfrowej
rzd wedz docząc ssemów rsms crowe Ssem rsms crowe Krzszo Wesołowsk Wprowdzee Cel wkłdu: rzpomee podswowch zgdeń z eor sgłów, przewrz sgłów rchuku prwdopodoeńsw rdzo przdch w zrozumeu dzł crowch ssemów
2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Metody numeryczne w przykładach
Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:
Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak
Metody numeryzne Wyłd nr 7 dr. Potr Fronz Cłowne numeryzne Cłowne numeryzne to przylżone olzne łe oznzony. Metody łown numeryznego polegją n przylżenu ł z pomoą odpowednej sumy wżonej wrtoś łownej unj
a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy
04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne
r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe wyłd r różczowe przylżoe cłowe umerycze r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Perwsz pocod uc Perwsz pocod uc dec: ' lm Ozcze:
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.
Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.
Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego
WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIETRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ
Drg fle WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIETRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ. Ops teoretcz do ćwcze zmeszczo jest stroe www.wtc.wt.ed.pl w dzle DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops kłd pomrowego Drg
Aproksymacja funkcji
Aprosymcj fcj. Ogóle sformłowe zgde prosymcj jedowymrowej Sformłowe zgde prosymcj D - prosymcj cągł: zleźć fcję p( x ) prosymjącą (zstępjącą, przylżjącą) dą fcję cągłą ( ) f x w przedzle [ ] p( x ) powy
3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
![I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.](/thumbs/91/106925407.jpg "I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.")
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.
kwartalna sprzeda elazek
Modele elowe MODELE NIELINIOWE Prłd. model low elow - orówe). Kwrl sred ele w lch 996-999 wosł: 4 5 6 7 8 9 4 45 5 57 6 64 68 65 68 67 69 7 7 7 75 Wc rogo rec wrł ro 999. Z wres wd, e red jes rosc lec
Metody obliczeniowe. Semestr II
Metody olczeowe Semestr II Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch. Rozwązywe ułdów rówń lowych. Metody ezpośrede tercye.. Sposoy rozwązyw rówń elowych, zgdee optymlzc.. Aprosymc
Zapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna
Zpis wskźnikow i mow smcjn Pokzć, że e ikm e ikm Pokzć, że e e δ ikm jkm Dn jest mcierzow reprezentcj tensor 7 7 7 ), ), c) 7 7 Podć dziewięć skłdowch d zdefiniownch związkiem: Wrnki nierozdzielności możn
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze
Podstawy wytrzymałości materiałów
Podstw wtrzmłości mteriłów IMiR - MiBM - Dodtek Nr 1 rkterstki geometrcze figur płskic Momet sttcze, środek ciężkości figur i jego wzczie, momet bezwłdości, główe cetrle osie bezwłdości, promieie bezwłdości,
Różniczkowanie numeryczne
cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows Różczowe umercze Różczowem umerczm zwm wzcze przblżoc wrtośc pococ uc srete ee lub welu zmec w zc putc obszru. Opercę tą moż woć wuetpowo:
Zaawansowane metody numeryczne
Zaawasowae metod umercze Programowae lowe (problem dual, program low w lczbach całkowtch) Dualość est kluczowm poęcem programowaa lowego. Pozwala a udowodee że otrzmwae rozwązaa są optmale. Zagadee duale
χ (MNK) prowadziła do układu m równań liniowych ze względu
Dopso dooj fukcj do dch pomroch Dopso dooj fukcj do dch pomroch. Do tj por strśm sę dopsoć do kó pomró fukcj o ogój postc: m f, k zrjąc m zch prmtró...k. Zkłdśm prz tm, ż sm fukcj f k zrją tch prmtró.
METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi
TYGONOMETRYCZNE Przjmujm, ż znn są dfinicj i podstwow włsności funkcji trgonomtrcznch. Zprzntujm poniżj kilk prktcznch sposobów szbkigo, prktczngo obliczni wrtości funkcji trgonomtrcznch, rozwiązwni równń
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE
OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Kwadratury numeryczne
Kdrtur umercze Kdrturm umerczm zm zor służące do przlżoego zcz rtośc cłe ozczoch oszrze edo lu elo mrom. Olcze cłe ozczoch oszrze elomrom sprodz sę do elorotego zstoso drtur dl oszru edomroego. Ide postępo
DOBÓR DODATKOWYCH REZYSTORÓW I BOCZNIKÓW DO GALWANOMETRU
ĆWICZENIE 4 DOBÓR DODATKOWYCH REZYSTORÓW I BOCZNIKÓW DO GALWANOMETRU Ops ukłdów pomrowch Poewż ćwczee skłd sę z dwóch częśc, woec tego w trkce jego wkow leż zmotowć dw róże ukłd pomrowe. W ou ukłdch wkorzstwe
Równania różniczkowe. y xy (1.1) x y (1.2) z xyz (1.3)
ownn oznczkowe Równn óżnczkowe. Wstę Równne óżnczkow nzw ównne zwejące funkcje newdoe zenne nezleżne oz ocodne funkcj newdoc lu c óżnczk. Pzkłd d 5 d d sn d. d d e d d d. z z z z. ównne óżnczkowe zwczjne
3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
R A P O R T. Wykonał: dr hab. inż. Piotr Banasik prof. nzw.agh dr inż. Marcin Ligas dr inż. Jacek Kudrys dr inż. Bogdan Skorupa
R A P O R T Oprcowe prmetrów trsformcj współrzędch z ukłdu 1965 z Ukłdu Loklego Krkowskego do ukłdu 000 dl potrzeb zsobu grfczego obszrze powtu krkowskego Wkoł: dr hb. ż. Potr sk prof. zw.agh dr ż. Mrc
I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Przpomnijm definicję ilorzu róŝnicowego : Definicj (ilorzu róŝnicowego) : Ilorzem róŝnicowm funkcji f : (,b) R odpowidjącm
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Metoda prądów obwodowych
Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń
Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.
chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Iterpolc Iterpolc oże być trtow o szczególy przypde prosyc polegący ty że fuc prosyow fuc prosyuąc przyuą te se wrtośc w
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny: