Ad. poszczegolne metody obliczeniowe

Transkrypt

1 A. poszczegole etoy olczeowe. Oów włsośc uerycze reprezetc lcz rzeczywstych rytety zeoprzecowe orz przestw powy yć uwzglęe w oprcowywu lgorytów ueryczych. F-zór lcz zeoprzecowych -postw t-ołość L,U-zres wył F wrtość: cech t ± t e... ± t tys lczy cłowte < <-,,...,t L<e<U Syste F est uorowy, gy e W oputerze est przechowyw lcz cłowt t zgoe z wyry systee oow F e est otuu węce est sończoy o lcze eleetów wyrżoe wzore: - t- U-L Eleety F e są rówoere rozłożoe os. Eleet F reprezetue cły przezł R. - lcz rzeczywst leżąc o zresu F Dołość reprezetc zeoprzecowe: c s ; e ; t Mtys est reprezetow o: e et t / t zorglee e. Schrteryzu włsośc uerycze operc zeoprzecowych. W węszośc oputerów y fl y gze - owe zeopozycye, l y z zresu F. - operce zeopozycye:,y F, y? F rcze rzo, o: - *y *t lu *t- cyfr zczących, - overflow rze prwopooy lu uerflow, - e są łącze rozzele, są przeee. - szyowe ε - esz lcz zeoprzecow, l tóre eszcze ε>. Ogóle: fl r *ε; ε,,, ε -t,-,*,/

2 3. Po efce oś przyłch poęc: ze, lgoryt, relzc zeoprzecow lgorytu. Ze: zleźć wy ww,w,..,w R w postwe wetor ych,,.., R. wϕ. R w, R sończee wyrowe, uorowe przestrzee rtezńse ϕ: D R ->R w owzorowe cągłe. Przył z: wyzczee wrtośc welou terpolcyego przechozącego przez 4 puty;, y,, y, 3, y 3, 4, y 4 współrzęe putów; w wr wrtość welou. Algoryt: cąg złń, tóre leży wyoć wetore ych wy poprzech złń w celu wyzcze wetor wyów. Algoryt A w lse zń {ϕ,d} est to sposó wyzczee wyu w ϕ l D D, z ołą relzcą złń, t. w zwyłe rytetyce. Przył: lgorytu: zł ezęe o wyo w celu wyzcze wrtośc welou terpolcyego ze wzoru Lgrge. Zeoprzecow relzc lgorytu: lgoryt powstły przez zstąpee zeoprzecową reprezetcą orz rytety rytetyą zeprzecową. Przył: zeoprzecową reprezetcą wspoego lgorytu est ego pleetc szye cyfrowe z y weścowy ęący lcz ogący yć reprezotowy e szye. 4. Po efce oś przyłch poęc: uwruowe z, poprwość uerycz lgorytu, stlość uerycz lgorytu. Uwruowe z: Przyczy: zst r ε, ε -t Uwruowe z czułość zurzee ych Wsź uwruow welośc chrteryzuące wpływ zurzeń ych z zurzee ego rozwąz. Ze zywy źle uwruowy, eśl ewele wzglęe zy ych z powouą uże wzglęe zy ego rozwąz. σ w σ K wsp. uwr. z w Ilustrc oścowo: rozwązuey grfcze uł rówń Przył: Wyzczyć f, wsź uwruow K f f '

3 f K - orze uwruowe f K 6 6 l K!!!! - źle uwruowe Przył : 9 My welo Ze: szuy esc zerowych y ogrczoą reprezetcę Złożee: zey Wy: perwst powyże są urooe!!!,95 ±, 643 grfcze: Powó: wsź uwruow zleży oco o : 8 K 8, 6 K 7,6 Wose: l użych stop ze źle uwruowe Algoryty uerycze poprwe: ogrcze: e zurzoe, wy zurzoe, stą łęy reprezetc Alg. u. pop. te, tóre ą rozwąz ęące eco zurzoy oły rozwąze z o eco zurzoych ych. Są to lgoryty wyższe ośc. De eco zurzoe zurzoe pozoe reprezetc. Algoryt A est uerycze poprwy w lse zń {ϕ,d}, eżel steą stłe K, K w te, że: D, osttecze sle rytety -t D t, że: ~ ρ K ~ ϕ fl A ρ K ϕ ~ ϕ ole rozwąze z o zurzoych ych, K w, K, - wsź uulc lgorytu A w lse zń {ϕ,d}, w w

4 Użytecze lgoryty gy wsź uulc rzęu lczy złń. Algoryt uerycze stly gy zwęsząc ołość olczeń oż wyzczyć to z owolą ołoscą owole steące rozwąze z. tz. ϕ,ε- owzor. or. przez lg. zleże o ryt. szyy. Algoryt uerycze wyższe ośc lgoryt uerycze poprwy w w w w w w w reprez pozoe zurzoy wy l w w w w ole rozwze l ych zurzoych w reprez pozyc e zurzoe w w w w ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ρ ϕ ˆ ~ ˆ ˆ ~. ˆ ~ ~ ˆ ~ : ˆ ˆ ˆ, ˆ : ˆ ˆ, ˆ w P w ϕ ϕ ρ ϕ Algoryt A zywy uerycze stly w lse {ϕ,d}, eżel stee stł K, t, że l: D, osttecze sle rytety zchoz:, ϕ ϕ P K A fl le 5. Co to są o czego są przyte lorzy różcowe; poż ch zwąze z pochoy. Dl fuc f z oreśloy węzł terpolc.. o wrtoścch f..f ;,.. lorze różcowy rzęu perwszego zywy wyrże postc: Alogcze lorze różcowy rzęu rugego zywy wyrże postc: A lorze różcowy -tego rzęu wyrże postc: Ilorzy różcowe są wyorzystywe we wzorze terpolcyy Newto, węc orzysty z ch gy chcey terpolowć fucę l tóre oległośc ęzy węzł terpolc e są stłe, lu węzły te są rówooległe. 6. Przeprowź porówe: terpolc Lgrge terpolc Herte. Iterpolc Herte : e są stępuące: różych węzłów:,,...,, orz lczy turle,,..., te, że syly rzą ze, l ϕ ε ϕ ε ; f f f ; ; ; ; f f f f f f ;..; ;..; ;..;

5 pochoe w puce. Wrtość rów ozcz, że z est tylo wrtość fuc w węźle. Iterpolc t pozwl zlezee l e fuc f orz ych wrtośc lczowych f welou H stop <..., tego, że H f l,,..., ;,,..., -. Czyl est o stosow eżel oprócz węzłów terpolc ze są tże wrtośc pochoych orz zchoz potrze zrówo terpolc fuc e pochoych. W szczególy przypu eśl e ych pochoych fuc wzór terpolcyy Herte est rówowży wzorow terpolcyeu Lgrg e. Moż zte powezeć, że terpolc Lgrge est szczególy przype terpolc Herte. 7. Oś efet Rugego czy poleg, e są e przyczyy. Występue gy: - weloy, - rówooległe węzły. Poleg oo eogrczoy wzrośce sylego łęu terpolc przy wzrośce lośc węzłów terpolc przy czy syle łęy występuą zwsze w polżu rńców przezłu terpolc. 8. Po efcę fuc sleych, oś ą, wyś ey lczego fuce slee są użytecze. Def. Nech w przezle [;] ych ęze putów,,..., przy czy < <...<. Fucę ss, gze pozł przezłu [;] poprzezły oreśloą przezle [;] zywy fucą sleą stop. eżel: - s est weloe stop co wyże ży przezle [ ; ] - s C.- [;] s e - pochoych est cągłych [,] Puty -węzły fuc slee. Key lczego są użytecze: - ołesz, ezpeczesz terpolc - łtwość wyzcz wrtośc fuc slee

6 - w prtyce s 3 -wystrczące - przyte l węzłów rówooległych - są zeże o lczych ls fuc - stosue sę przewże fuce slee 3 stop gyż są głe, wystrcząco zeże łtwe o wyzcze - oż używć l oreśle > f f 9. Porów terpolcę weloową fuc sley. Iterpolc weloow: l ych putów poleg wyzczeu welou stop co wyże przechozącego przez te puty, zleży o leży wyzczyć pretrów stee ołe ee welo terpolcyy stop co wyże, tóry w putch,,..., przyue wrtośc y, y,..., y Iterpolc fuc sley: l ych putów poleg wyzczeu fuc slee przechozące przez te puty ęące weloe owolego stop leży wyzczyć pretrów l że wrtośc stee ołe e fuc sle, tór w putch,,..., przyue wrtośc y, y,..., y. Oów wru stosowe przy wyzczu sześceych fuc sleych. Nech f C[,]. Fucę s S 3 zywy terpolcyą fucą sleą stop trzecego l fuc f, eżel s f y,,,..., ; >. J woo, fuc s stop trzecego zleży o 3 pretrów. T węc terpolcye fuce slee stop trzecego ą w stope swooy, woec czego ł sę e w otowe wru. Wyór tych wruów zleży zrówo o włsośc fuc f, o pose forc o te fuc. Nczęśce rozptrue sę stępuące wru: s α s - lu s α s -, gze α, α,, są ustloy lcz rzeczywsty. Jeżel fuc f pochoe w putch, są oe ze, to oż e przyąć o lczy α, α,,. N fucę s oż łć e wru. N przył, eżel f est fucą oresową, o orese -, to częśce żą sę, y fucę sleą s oż yło przełużyć przezł - ; w t sposó, że ęze o fucą oresową o orese -, różczowlą w sposó cągły. W te sytuc fucę sleą ł sę wru: s s -,,. Ie sposoy: C fuc sześce przez perwsze 4 puty orz C fuc sześce przez ostte 4 puty co uożlw: s C, s C, turl cuc sple: s s free oury coplete sple: s y ; s y clpe oury s y ; s y s cągł o o - ot--ot coto. Porów prosycę śreowrtową eostą, wyś ey ż z ch est użytecz.

7 Aprosyc śreowrtow: Dl fuc f oreśloe przezle <;> poszuuey esze wrtośc cł: w [ F f ] Dl f oreśloe ysrety zorze rguetów szuy u suy eto eszych wrtów zst cł est z suy Aprosyc eost: Dl f oreśloe przezle <;> szuy te F l tóre esze est su : sup F f < ; > Aprosyc śreowrtow est przyt wtey gy węzły l przypu ysretego są orczoe eeowy łę zę w ży z węzłów oże yć przyęty z oreśloą wgą; gy fuc f est oresow. Przyt est tże ez wzglęu to czy puty są rówo- czy erówooległe. Z prosyc eoste orzysty tost wtey, gy fucę prosyową ożey rozwąć w szereg Tylor lo McLur.. Opsz ze C etoy prosyc eoste. W przypu prosyc eoste l fuc f oreśloe przezle [;] poszuuey fuc F ące esze su różcy ęzy F f cły przezle [;].! F f!sup [;] F-f - u ory Czeyszew eto szeregów potęgowych stosow, eżel stee rozwęce f w szereg Tylor [,]. Welo prosycyy powste przez ocęce szeregu: W f su [f /!- ]. Błą z reszty Lgrge : f-w [F η/-!]-, gze: η [,]. Ne ż fuc est rozwl w szereg Tylor, eto ło przyt z putu wze szy cyfrowych przylżee Pe poleg przylżu fuc ereuowlą fucą wyerą o postc: p p p... p r q q q... q p, q wzglęe perwsze, e ą wspólych pozelów, oreśloą w stą q, zwyle q zte trze wyzczyć N współczyów Po rozwęcu f w szereg McLur orz wyzczeu l {,..., N} to współczy przy te potęze w otrzyy weloe otrzyue sę uł rówń: q p,,,... N /

8 są olcz sę współczy. Meto t e fucę, tór stosuowo łe łęy w polżu zer. Rosą oe w rę ol sę o. Nlepsze rezultty otrzyue sę l lu. Błęy wyą z przyęc złoże, że fuc orz e pochoe są rówe w zerze. welo Czeyszew: Fuce zowe to weloy Czeyszew T ; prosyuey suą częścową postc: gze: F c c π π / N c T F F,,..., N De rzo ore rezultty, poewż z Czeyszew zchowue sę rówoere cły przezle łą róweż rozł sę rówoere. 3. Przestw postwowe włsośc weloów Czeyszew orz ch zstosow. Weloy Czeyszew są przyłe rozy tróąte weloów ortogolych. Oreśloe są wzore: T cos*rccos l [-,] Włsośc:. wzór reurecyy T, T T,T T -T - ; >. Współczy woący welou T est rówy - l > l 3. Syetr T -- *T 4. Welo T zer w przezle [-,], wyrżących sę wzore: π cos, Węzły Czeyszew,, estreów w tyże przezle cos π,,,... przy czy T, l [-,] 6. Ortogolość w przypu cągły, T T f,g π, π, repr. tryg. 7. Ortogolość w przypu ysrety

9 , f,g T T,,, 8. Włsość su. Ze wszystch weloów -tego stop ze współczye woący esz orę syl w [-,] welo - T. Jego or syl est rów - Zstosowe: Iterpolc, Czeyszew zcze lepsz przy ońcch przezłu o terpolc węzł rówooległy. Nlepsz prosyc weloow to t z węzł Czeyszew. 4. Przestw postwowe włsośc weloów Legere orz ch zstosow. Oreśloe wzore: P [ ], [-;],,,..! Włsośc zstosow: - ortogolość, P P, Użyteczość w prosyc śreowrtowe z fucą wgową w - syetr P - - P - wzór reurecyy P P P P P...,, Porów wrtury Newto-Cotes Guss, wyś różce włsośc. N-C G rzą wrtury v - est to rzą syly zwęszee stop ołośc poprzez oe co e wóch owych węzłów poprzez oe owole lośc węzłów współczy l łych etóre < wszyste > zeżość e est zeż w lse fuc cągłych zeż l że fuc cągłe <;> weloy ortogole e wyorzystywe wyorzystywe wrtury otwrte gorsze o zętych, używe przy osolwoścch w grcch przezłu przy rozwązywu rówń różczowych zwyczych eużywe; y pozyć sę osolwośc orzyst sę z wg p, tór zwer wszyste osolwośc fuc

10 ze wzroste lee stłego współczy E; truośc z oszcowe E; wzrost rzęu pochoe; uże wrtośc f η; oscylcyy chrter welou terpolcyego; true o uzys lczy Cotes pooe w N-C 6. Opsz stotę lgorytu cłow ptcyego. Cłowe ptcye uożlw utotyczy oór rou przy cłowu z złożoą ołoścą. Postępowe przy wyzczu cł tą etoą est stępuące:. Zł sę ε - czyl ołość, z ą chcey wylczyć cłę.. Sprwzy czy erówość: S, S, S, < 5ε, gze S, est wrtoścą cł lczoe przezle [, ] ze wzoru Spso. Jeśl t erówość est speło to S, S, przylż szuą cłę z ołoścą ε.. W przecwy przypu stosuey powyższą oceę łęu opoweo o przezłów: [,/] [/,] w ży z ch ε ε/. 3. W przypu, eśl oszcowe łęu est spełoe w y przezle ończyy połowee l tego przezłu zpętuey wrtość cł polczoe. 4. Ostt roe est zsuowe wrtośc wszystch cłe polczoych poszczególych przezłch. 7. Przestw lgoryty cłow fuc wóch zeych w różych typch oszrów. Mąc uwze, że etoy olcz cłe -D e są proste ą użą złożoość olczeową leży eć opowee poeśce o rozwązyw tego typu zgeń. Nleży rozwązć ltycze wszysto, co sę, wyorzystć syetre orz opoweo orć etoę cłow, tór est zleż o przeegu fuc w poszczególych oszrch. Oszr eregulry. Tut rzo przyt est eregulr st tróąt. St złożo z owolych tróątów est wygoy śroe prosyc złożoego oszru płsego. Jest zupełe łtwo zprogrowć utotycze zgęszczee rze st tróąte, łtwo też ostosowywć gęstość st o zchow sę fuc. Meto cłow: porywy oszr cłow tróąt stosuey o żego z ch wzór: u, y y A[ u ] P P u P P u P P S

11 Gze A est pole tróąt T, wzór te est oły l wszystch weloów stop. Wy suuey. Dl żego rzywolowego frgetu rzegu oszru cłow leży oć poprwę : 4/3 us*pole tróąt PRQ. OBSZAR NORMALNY WZGL. OX: I c f, y y wzłuż h wzłuż y c I { [ f, c 4 f, c f, ]} 3 ż z cłe wzór Spso. cł -D e są proste -zwelorotee złożoośc olczeowe poeśce ltycze: -wyorzystć syetre lrote zesz olcze -????et. cłow zleż o przeegu fuc w poszczególych oszrch -stosowe eto Mote-Crlo Cłę -rotą oż wyrzeć wzore przylżoy:... w... f H f... A H, ore t, y wzór ył oły l welou stop Oszr prostoąty: f, y y ; R {, y:, c }; R,,c, stłe Meto Spso: ; h c 4 c f, u,, [,, 4,, y R c f y y f y y f y f y f y f y u c, l cłe zł wzór Spso z h,, 8. Po lgoryt rozwązyw ułów rówń lowych etoą elc Guss. Nech uł rówń ęze postc:...,...,......,

12 Zły, że cerz ułu est eosolw. Złóży, że. Oeuey perwsze rówe poożoe przez / o -tego rów, 3,...,. Nowe współczy wyoszą:. Jeśl, to ze wzglęu eosolwość cerzy A oż, przestwąc oluy lu wersze w powyższy ułze, uzysć uł z ezerowy eleete w lewy góry rogu. Nstępe, eśl, to oeuey ruge rówe ułu poożoe przez / o -tego rów tegoż ułu 3,...,. Róweż, eśl, to przestwąc wersze lu oluy ożey uzysć ezerowy współczy pozyc. Przełużąc te olcze, otrzyy po roch ostteczy uł:,,,,,,,. -, -, Z ułu łtwo uzysć rozwąze:,,,, Wyzcz złożoość olczeową etoy Guss rozwązyw ułów rówń lowych. Wyzcząc złożoość olczeową uwzglęy tylo zele oże o zł postwowe. Kży współczy est olczy ze wzoru:,,,.., -;,,..., ;,,..., ;. Dl żego usy wyoć - zeleń -- ożeń. W postępowu owroty wyoue sę ożeń zeleń. Cłowt, węc lcz ożeń zeleń est, węc wzore: M 3 3 Zte złożoość olczeow te etoy est rzęu O 3.. Wyś, lczego stoty roe że etoy rozwązyw ułów rówń lowych est szue eleetu woącego. W przypu złego ooru eleetu woącego - eśl est o zyt ły, zeląc przez ego poszczególe wersze otrzyuey łe łęy zorągleń. Błęy te są e w porówu z wyry eleete woący uże w stosuu o współczyów orygle cerzy. Jest to przyczyą otrzy łęych wyów. Dltego leży w -ty rou wyerć wersz o węszy współczyu w ereuowle częśc -te oluy.. Porów lgoryty ftoryzc LU Doolttle, Crout Cholesego. Meto Dolttle':

13 W -ty rou oreśl sę -tą oluę w L -ty wersz w U le eleety, > e zeą sę. Rówe W -ty rou używy rówń: p p u p A LU est rówowże rówu: p, pu p r p p u p, r, p - eleety cerzy L, u p, >,, tost Dzę teu olee eleety otrzyuey ezpośreo ze wzorów: u p p u p p u p, u p,,,...,,,,..., Meto Crout': Meto Crout est rzo poo o etoy Dolttle, z tą różcą że czy orlzue sę t y gol cerzy U zowły sę. Powoue to, że perw leży olczć wrtośc oluy L stępe wersz U owrote w. Dolttle. Wzory te etoy są stepuące: l >: l >: Meto Cholesego: Rozły A t, że p p p p p lpu p l l lpu p,,..., p p lpu p lu u lpu p,,..., p l p U LT, woec tego u, u p p.,,,..., eleety cerzy U. Oś czy poleg przewg lgorytów ftoryzc LU etoą elc Guss. Olczy rówe A cerz A o wyrch W lgorytch ftoryzc LU poczs etpu elc zeych tworzyy cerz L tą ze ALU, gze U est cerzą uzysą po etpe elc zeych. Mcerz L est cerzą tróątą olą, cerz U tróąt górą, lecz ożey zpsć oe te cerze escu cerzy A o że cerz L gol se ey, eleety

14 l oż wpsć esce zrz po olczeu. A węc l zętość pęc wyos tyle le cerz A, w przypu etoy elc Guss. Korzystąc z rozłu LU zcze zeszy lość olczeń eśl y e wyoć l lu wetorów, zpętuąc cerze L U. Ilość ożeń owń l ou eto sztłtue sę eorzyść etoy Guss opoweo /3 3 -/3 /3 3 / -5/6 Guss orz - LU 3. Wyś lczego etoy loowe są szczególe użytecze o rozwązyw ułów rówń lowych. stową opros ęzy prostotą eto tercyych efetywoścą eto ołych p. w tercyych etoch Jcoego S-R orzysty z łtwośc owrc cerzy gole D. Moż e z cerz D przyąć ą cerz p. trógolą l łtwe olcze D -. W te sposó przy poprwy wyorze cerzy D oż uzysć szyszą zeżość choć l pozoste to eto tercy. W szczególych przypch l cerzy rzch ożey zstosowć etoę ołą, zeląc cerz A lo: B A C B A C B gze: B cerz trógol, C A cerze gole. Możey wówczs o rozwąz ułu zstosowć etoę ęącą prosty uogólee etoy stosowe l cerzy trógole: U B Y K l,3,..., LA U - -, U B -LC -, Y K -LY -. stepe X U - Y, X U - Y -C Y, -,..., gze K powetory prwe stroy rów opowące pozłow lo B : B B... K X B K W te sposó l cerzy rzch otrzyuey prostą etoę ołą, choć w prtyce oż ą stosowć eye gy wyry B e są zyt uże. Poto o wyru tych cerzy sle zleży oszcowe łęów zorągleń. 4. Schrteryzu: BLAS, LAPACK, PBLAS, BLACS, ScLAPACK. Wyś powąz ęzy. BLAS Bsc Ler Alger Suprogrs są wysoe ośc proceur służący o przeprowz postwowych operc cerzch

15 wetorch. BLAS pozou perwszego wyouą operce wetor-wetor, pozou rugego operce cerz-wetor, trzecego operce cerzcerz. Poewż BLAS-y są wye, przeośe szeroo ostępe, są częśce używe przy tworzeu wysoe ośc progrów lgery lowe p. LINPACK LAPACK. LAPACK Ler Alger Pcge progry lgery lowe przezczoe szyy weloprocesorowe wysoe wyośc. Są to wysoe lsy lgoryty zuowe przy użycu BLASów pozoów, 3. Postwowe proley lgoryty loowe e ogą rozwązywć są stępuące: uły rówń lowych A, ftoryzc LU, LQ, QR, wrtośc wetory włse. PBLAS rówoległe BLASy przezczoe opoweą rchteturę pęć rozproszo. Przy ostruowu progrów e trze yśleć o zrówolegleu gyż est oo utotycze wyoywe. Progry te są rówe fucole BLASy. Są wysoe ośc: przerzyste, oulre przeośe. BLACS poprogry służące o ouc. Uożlwą: przesyłe cerzy z eego procesu o rugego, przesyłe cerzy o wszystch procesów lu pozoru procesów orz wyoywe operc oreśloych cerzch. ScLAPACK est to pet lgery lowe przeesoy szyy rówoległe MIMD. 5. Oów różcę ęzy BLAS level,,3, wyś zwąze ęzy BLAS różych pozoów herrchą pęc oputerów. BLAS Bsc Ler Alger Suprogrs - są wysoe ośc proceur służący o przestw postwowych operc cerzch wetorch. Level BLAS wyouą operce wetor-wetor, Level BLAS wyouą operce cerz-wetor Level 3 BLAS operce cerz-cerz. Poewż BLAS-y są wye, przeośe szeroo ostępe, są częśce używe przy tworzeu wysoe ośc progrów lgery lowe, p. LINPACK LAPACK. BLAS Level Roz operc Złożoość lgorytcz Złożoość pęcow flops/eref wetor-wetor 3 3/ cerz-wetor 3 cerz-cerz 3 4 / 6. Wyś lczego w ch przypch leży używć tercyych eto rozwązyw ułów rówń lowych. Dl cerzy pełych etoy tercye wygą zcze węszych łów olczeń ż przy stosowu eto ołych. Je w przypu cerzy rzch etoy tercye ogą yć stote lepsze ż etoy ołe. Jeśl p. cerz M w etoze tercye M est wstęgow l >, to w że terc wyouey e ożeń, lecz ożeń. Wówczs ł olczeń w porówu z

16 etoą ołą ęze zlżoy e l I terc, le l I terc, co w przypu użych wyrów >> wąsch cerzy << oże wystrczyć o rozwąz z wygą ołoścą. Główy e powoe l tórego etoy tercye są lepsze l cerzy rzch o eto ołych ecyue e ł olczeń lecz ft, że poczs olczeń e usy zeć położe eleetów cerzy A, zte w łtwy sposó zchowuey e rzą struturę. Możey wówczs przyąć ąś prostą etoę zpętyw cerzy A tże orzystć z prostych lgorytów olczeowych. Mo tych zlet e oż tegorycze stwerzć że l cerzy rzch leży stosowć etoy tercye, gyż w pewych szczególych przypch wyg lcz terc oże yć rzo uż, ogą wystąpć cylcze zpętle lu wet r szyowy. W te sytuc śroe zrczy oże yć wyór e etoy tercye. 7. Przestw terpretcę fzyczą tercyego rozwązyw ułów rówń lowych. Proceur tercy est wy rozwąze zge opsuącego zeżość w wygowy czse terc pseuoczs. Jest oo wy sforułowe różcowy rów yfuz, tóre to est grczy stcory rówe Posso. 8. Porów etoy tercye Jcoego, S-R, SOR, Czeyszew. Meto Jcoego M J -D - LU est eą z prostszych eto tercyych, wyg y gol cerzy A yły eleety ezerowe. Jeżel choz o zstosowe szych cyfrowych to est etoą prcochłoą potrze przygotow cerzy A. Zeżość etoy przestw sę stępuąco: cerz A sle gole ouąc werszowo lu oluowo zeż, l oto oreśloe cerzy syetrycze A eoecze zeż. Meto S-R Guss-Sel, M GS -DL - U est efetywesz ż eto Jcoego o wystrczy pętć tule przylżee t. Eleety gol powy yć tże ezerowe. Jeśl eto Jcoego l e cerzy est zeż orz cerz M J euee eleety to S-R też est zeż. Jeżel <ρm J <, to ρm GS <ρm J eto S-R est zeż syptotycze szyce. Meto est zeż l cerzy sle gole ouących werszowo lu oluowo. Jeżel cerz A est syetrycz to eto S-R est zeż wtw gy A est ote oreślo. Meto SOR est etoą o przyspeszoe zeżośc w porówu o etoy S-R.

17 9. Oś różcę ęzy przegląe putów st typu typewrter orz relue. 3. Przestw etoę Newto-Rphso rozwązyw rówń elowych wrz z zezpecze. Meto Newto-Rpsho poleg tworzeu cągu przylżeń { } począwszy o przylże początowego. wyzczy ze wzoru: f f ' Dl perwst -rotego: - -f - /f - TW. Jeżel I[,], tóry:. f*f< est. perwste

18 . f, I est perwste eoroty 3. f lu f l wszystch I 4. f/f <- f/f <- to eto N-R est zeż l owolego I o perwst Zlety: l opoweo orego zwsze zeż, rzą zeżośc rug Wy: wysypue sę czse przy lolych estrech f - ; oże sę zrzyć rozeży cyl ey f est wye terpolc 3. Schrteryzu terpolcye etoy zow rozwązń rówń elowych. reguł fls RF Złoże: w rozptrywy przezle [ ; ] rówe f ołe ee perwste, est to perwste poeyczy orz f f <. Poto ech f ęze przezle [ ; ] fucą lsy C ech e perwsz rug pocho ą stły z ty przezle. Cztery roze wyresów: rysue str.. Meto poleg rysue: prowzy cęcwę przez,f,f : f f f 3 przecęce cęcwy OX wyzcz 3 : f 3 f f f f Jeżel f 3 lu gy w olee przylże różą sę co o oułu o e ż ze ε to 3 est szuy perwste, eżel e to powtrzy lgoryt l 3 tego,, l tórego f 3 f <. Meto est wolo zeż o po. perwst zeżość low; Neey łopoty z fucą rysue etoy Illos Pegsus ulepszee RF De są trzy puty,, te, że f f < oeuą perwste f f > e oeuą perwst. Dl putów orz stosuey regułę fls oówoą wyże, z ty, że o poprowze cęcwy r est esz wrtość fuc w puce, tz. f f * αf. Otrzyuey w te sposó put 3. Jeżel f f 3 < to stosuey RF ez oyfc l, 3. W przecwy przypu l putów 3 stosuey zoyfową RF. rysue Współczy α ; orz l etoy Illos α/ l Pegsus αf /f f. T zs oże ustrzec prze utrzyywe sę eego putu co powoue zeżość lową etoy RF. eto seczych Złoże: w rozptrywy przezle [ ; ] rówe f ołe ee perwste, est to perwste poeyczy. Meto t est poo o reguły fls z ty wyąte, że e ry est po uwgę z loczyu f f. Przez puty,f,f prowzy lę prostą, z przecęc te l z osą OX otrzyuey put: f f f le o wyzcze stępego przylże orzyst sę z putów. f

19 Zeżość te etoy est ooło.6 est lepsz o RF gorsz o etoy Newto- Rphso lecz e wyg zoośc perwsze pochoe f. Zrzą sę przyp, gy oże o e yć zeż, p. gy początowe przylże e leżą osttecze lso perwst. W etoze te stote zczee syl grcz ołość wyąc z przyęte rytety. Gy owe różc wóch osttch przylżeń est tego sego rzęu co oszcowe łęu, est orczo, stępe przylżee oże uż yć cłowce łęe. Dltego też z otowe ryteru przerw terc leży przyowć wrtośc ezwzglęe fuc w putch przeostto wyzczoych, t y tworzyły oe cąg leący w ońcowe fze olczeń. Progr olczeowy powe tże zpewć ożlwość przerw terc, eżel różc ęzy oley przylże zst leć zczy szyo wzrstć. Wtey leży przeprowzć powtórą lolzce perwst zcze zwężąc początowy przezł zolc. Przy stosowu etoy seczych est ezęe, y perwsz terc zczył sę z putów w tórych fuc róże z, w przecwy rze oż wyryć esteący perwste, co est szczególe eezpecze przy olczech prowzoych szych cyfrowych. 3. Schrteryzu truośc rozwązyw ułów rówń elowych. W przypu gy lcz zeych est uż, stotą truoścą est olcze pochoych F owzorow F. Wówczs stosue sę ysrete wrty etoy Newto, w tórych zstępue sę pochoą F e przylżee różcowy. Koleą truoścą est wyór. Nstęp truość poleg ty, że l putu α, e zy z reguły wrtośc pochoe F α, węc e y gwrc, że wrue ρi-af α< est spełoy. Istotą truoścą est róweż złożoość olczeow: - J eleetów: - forle różczowe - wprowze o progru - w że terc J owo 33. Opsz etoę Newto-Rphso rozwązyw ułów rówń elowych orz e efetywe oy.

20 Efetywe oy:

21 34. Wyś potrzeę opsz etoę ulepsz ośc geertorów lcz pseuolosowych. Istee potrze ulepsz, gyż w geertorch lcz pseuolosowych zwyle wy zleży o poprzeo wylosowych lcz tworzą sę orelce w cągu geerowych lcz. Chcey pozyć sę te ezpośree zeżośc: Iclzc geertor: tworzyy tlcę poocczą A o lośc eleetów p. 97 lcz perwsz, rezerwuey otową zeą, wypeły tlcę zeą lcz pseuolosowy z geertor. Przy próe uzys lczy pseuolosowe: postwe wrtośc zee olczy wrtość esu, wye wywoł geertor ęze lcz A[], ueszczy tę lczę w zee, uzupeły tlcę A losuąc strowy geertore lczę A. 35. Dlczego ey wyzczy wyzczy cł etoą Mote Crlo. Wyzcze cłe etoą Mote-Crlo chrteryzue sę lowy wzroste złożoośc olczeowe wrz ze wzroste ołośc wyzcz cł. Metoę tą stosuey wtey gy fuc pocłow e est w postc tlcowe orz gy fuc F osolwośc utruące ore przylżee p. gy fuc F est eogrczo lu e pochoe

22 sego rzęu e steą w przezle cłow tóre truo wyelowć z poocą ych eto cłow ueryczego. Meto t est or o wyzcz cłe welorotych oszrów wet welo wyrowych. Wszysto to przy złożeu że posy ory geertor lcz pseuo-losowych o rozłze orly. 36. Porów cłowe Mote Crlo eto: orzeł-resz, postwow śree wżoe. orzeł-resz: Szuy: I f ; f ez strty ogólośc X, Y wuwyrow ze losow o rozłze rówoery wrce:, y Prwopooeństwo, że X,Y zze sę po wyrese f est rówe powerzch po wyrese, czyl wrtośc cł I. Meto poleg : - wyou N esperyetów: oserwc X,Y - wyzczeu M lczy esperyetów, w tórych X,Y poże f. Oszcowe cł: I M/N Meto t est prost, łtwo uogól sę wyrów. Wą est ł efetywość. eto postwow: Proceur poleg : - wylosowu,,..., weług rozłu rówoerego zy przezle, - olczeu wrtośc fuc f, f,..., f, - wrtość cł est śreą rytetyczą z olczoych wrtośc Meto chrteryzue sę eszą wrcą ż orzeł-resz. eto śree wżoe sposó olcz cł I f ; f ez strty ogólośc. oery pewe g >. oery stłą tą, y α g ; g αg 3. G g ' ' 4. losuey z rozłe rówoery y,,,...,n 5. rozwązuey G y ze wzglęu,,...,n 6. przylżo wrtość cł est śre rytetyczą z f,...,n 37. N czy poleg FFT - szy trsfort Fourer; przestw lgoryt, wyzcz ego złożoość olczeową, porów z lgoryte lsyczy. Metoy FFT polegą rozłożeu lczy lość putów loczy czyów przeprowzeu trsforty Fourer eszą lczą wyrzów w ży z czyów.

23 π De: f,,,,..., gy: f e π,ω to: c ω,,,..., π Szuy: c f e,,,..., Złożee:, - cłowte. Istot lgorytu: gy przyste:, gy eprzyste: Dzez : z ołu: przyste z góry: - -, - eprzyste Rozzely wyzczoe współczy: c ω ω ω - esyetr: l usuęc esyetr: l, est to opowe zele przez /, - reszt z ole: [ ] π e l l l ω ω ω ω uzysuey: c ω ω ω ϕ ϕ Złożoość olczeow lsycz FT: ON FFT: ONlog N N 6, CPU MFLOPS FT tygoe FFT 3 seu 38. Oów etoy lzc fuc ee zee. Przegląe st: Tylo sończoe przezły, eefetyw, -D użo olczeń, solut prostot, ezwzglę zeżość, eczuł szczegółowe zchowe sę F, e oż stosowć l esończoych przezłów, zely przezł rówe ługośc w węzłch olczy wrtość fuc wyery t z eszą f. Meto złotego pozłu: Złoże: F fuc uol, czyl * [,]: f* f w [,] orz, : < < < zchoz: <* f >f, >* f <f. N początu wyery, zeląc przezł [,] weług złotego pozłu t.66.

24 F <F F [, ] z ole te przezł zely weług złotego pozłu przy czy est uż eą z wrtośc. t. wrtow terpolc prosyc Złożee: F est prolą. Wyzczy F w 3 putch:,, 3 ; terpoluey lu prosyuey fucę szuy u w puce 4 prol przechozące przez te puty; stępe 4 zstępue ee z,, 3 ; wyzczy owe 4 ; wrue zończe est, że F 4 est lso F 3 z zą ołoścą. Meto or l fuc zlżoych o wrtowych, lecz: ży rou,, 3 ogą wyzczć e rozeżość, gy,, 3 są prwe proste wtey uży ro, truość uerycz, rozeżość; ożlwe są oscylce woół u zst zeżośc. Meto t est użytecz w ostte fze lzc. eto pró łęów Jest oprose poęzy poszuwe stce wrtową terpolcą. - put strtowy, początowy ro gy F <F suces, ; α; gze α> zzwycz 3. czy postępu gy F >F epowozee, -; gze < zzwycz -.4 czy otrc Test powtrzy, ż o uzys z F<ε. 39. Oów etoy roowe lzc fuc. w ty etoę splesów. przeszuwe losowe Wetor wyery losowo zgoe z rozłe rówoery lu orly, o śrou w lepszy ze zlezoych putów przy ze szeroośc. Stosowe gy: c e woo o F, F l ów, l ustle rozsąego putu strtowego. z eego pretru Szuy u wzglęe że ze zeych po ole F/. Neezpeczeństwo w przypu wąwozu w ty przypu stosue sę ulepszee etoy. eto Roseroc Meto t poleg wyou eego pełego cylu lzc wzglęe oleo wszystch pretrów, stępe ze os ułu współrzęych, t y e z os wyzczł erue o putu początowego o ońcowego w ostt cylu lzc, stępue owy cyl w owy ułze współrzęych. Meto t est ło efetyw l użego. eto splesów Wyery gze est wyre putów P, P,..., P wyzczy w ch F. P H P L puty, w tórych F est opoweo węsz esz. Nstępe wyzczy śreą rytetyczą wszystch putów z poęce P H P sr. Olczy P orz P : P P sr - P H FP < FP L > P 3P sr -P H FP > FP L > P,5P sr -P H Put P H zstępuey przez lepszy z P P. Jeżel że e est lepszy o P H, to tworzyy sples oprty o P L, o wyrch eszych o połowę ż poprzee.

25 Zlety etoy: eczuł płyte, ł lość olczeń fuc, węsze ożlwe ro, rozsąy erue poszuwń, ezpecz szy leo o u, e estyty łęów pretrów. 4. Oów etoy gretowe lzc fuc. eto węszego spu Poąże w eruu wyzczoy przez g gret. Jeżel lzc w -D oł, olee poszuw w eruch ortogolych - eto uze eego pretru. eto Newto Ząc wrtość fuc, perwszą orz rugą pochoą - lzc fuc wrtowe w rou: T T F F g G gze g - gret w, G - stł cerz, u: G g Vg, gze VG - - cerz owrc Meto t to -D opowe etoy -D terpolc wrtowe te se wy: estl, rozeż gy V e est oto oreślo. Zlety to tost: ro e est owoly - oreśloy przez etoę, erue róży o gretu - r po uwgę orelc pretrów. Używ lso, gy fuc est ot wrtow. Jest o postwą welu ych eto. eto sprzężoych eruów - owoly wetor; T AA A A T - sprzężoy o 3... Tw. sewec lowych lzc w ży z sprzężoych eruów lzue ogólą fucę wrtową zeych. Dowó: T T fuc: F F g G eru sprzężoe: T, G, g - o oce lowe: y g c wtey: gze F F F F c, wzglęe G T T c y y G F y y T c ; T y T G T y G stle y Zst y y, przy czy F stł sę suą ezleżych -pretrowych fuc wrtowych. Mlzc ze wzglęu y wzłuż eruu est ezleż o lzc wzglęe pozostłych sprzężoych eruów. eto gretów sprzężoych wyorzystue tylo -sze pochoe:

26 g g g T g g T g g T g g T g g 4. Oów etoy Newto zee etry. Meto Newto: Fuc est lsy C. Proces tercyy, w rou : α V F V H wetor eruu poszuwń, α ługość rou or t y lzowć fucę α F α, α. Hes fuc f to F H. Istot etoy poleg olczu V w ży rou, co powoue uży ł olczeń. Meto zee etry: Cele est zeszee łu olczeowego wyzczee V - wyorzyste forc z poprzech roów tercyych. Szuy: V V C yspouąc,, F, F. Korzystąc z twerze o lzc w eruch sprzężoych orz z foruły T T Dvo-Fletcher-Powell, otrzyuey wzór orecyy: δ δ V µ µ V V V T T µ δ µ V µ 4. Opsz tech lzc glole fuc. lgoryt Gelf-Cetl. strtuey z wetor - lol lzc -. l wetor,. ług losowy ro z o, 3. w - lol lzc -. w, 4. ług ro wzłuż - o, 5. w - lol lzc -. w, 6. ług ro wzłuż -... t. Meto est elol - przeszuwe zrówo w eruu rosących leących wrtośc F, z preferecą w eruu leących przewg szu zeżoścą. O ośc ecyue wyór rou - zwyle etoą pró łęów. W - r ryteru ztrzy; zwyle: czs olczeń, lcz wywołń F, uzyse F esze o pewe wrtośc, ztoczee oł true o stwerze eto Golste - Prce w lole u Usuęce u w przez trsforcę: F [F F ]/[- T G- ] G - oto oreślo o w u - w owu for wrtow zwsze ot, czyl po zlezeu F y:. gy F < - zlezoo lepsze głęsze u,

27 . gy F > - zlezoo e u lole e lepsze o poprzeego - z tego wetor tworzyy owe F, zwąze z F t F z F. Meto ł prost, oprt włsoścch ltyczych, le groz zpętlee. 43.Optylzc otorycz Optylzc otorycz est eą z głęz optylzc wyorzystyw est tetyce stosowe, fortyce tże w ch opercyych teor złożoośc olczeowe. Dzezą optylzc otorycze est optylzc proleów tch, gze zór wyolych rozwązń est ysrety, zś główy cele est zlezee lepszego ożlwego rozwąz. O se optylzc D: fuc f : A -> R l pewego zoru A zwerącego lczy rzeczywste Szuy: t eleet leżący o A, że f f l wszystch leżących o A "sylzc" lo tego, że f f l wszystch leżących o "lzc". Typowy prole z te zezy są.. prole owożer TSP, prole lych rzew rozpących lu prole sylego sorze. Prole owożer: Prole owożer przestw sę stępuąco: owożer us owezć N st w t sposó, y wrócł o st, z tórego wyruszył poouąc eszą rogę. Mus wyzczyć węc soe tą trsę ęzy st, y cłowty oszt ego poróży ył eszy. N weścu: syetrycz cerz oległośc N*N N wyścu: perutc zoru {,,,N} t, że p.: N / Mhtt legth f. ry pelty! L { y y λ µ µ } Zge NP.-zupełe oeterstc polyol ą rozwąz o złożoośc ~e N : wele stop swooy, ysrete wyluczoe poszuwe eruu f. celu L łączy przecwstwe cele cząstowe. Typow fuc celu oectve fucto slr: wszyste cele sprowz sę o eego wele lolych ów rzęu e N w prtyce: potrzee ore rozwąze; e us to yć. glole Nezęe:. C reprezetc ofgurc ułu. gc 3. proceur geerc oleych ofgurc; p. l TSP: owrócee oleośc oegu 5-cu górych wstwee 5-cu górych ęzy ole

28 Heurysty : tertve proveet : ceptowe są zy zeszące f. celu 44. Przestw etoę sulte elg. Jest to przył stosow eto fzy sttystycze w optylzc. Przył zstosow: p. w optylzc otorycze proleu owożer. Zge te ą rozwąz o złożoośc e N. W prtyce e zwsze szu sę u glolego. Aelg w fzyce: -topee cecz, stopowe powole oże T, w że tep. ługo, o uzys rówowg tercze > uporząowe w rysztł strutur o le eerg Aloge: ozłuące oleuły pretry, - uły położeń oleuł ofgurce. Algoryt:. Ustly {T,...,T } repet l:; T:T l ; :; wygeeru ofgurce C repet C >C schet Metropols szue optyle ofgurc w e tep. olcz g C, g utl rówowg l TT. lole l:l; T:T schoze utl l> przeszlśy przez wszyste tep. Sprwze, czy uł est w rówowze A utrzyywć T prze N pró N uych pró g< B ustlo lcz pró. wyoć pró C >C. Zchowć gc 3. Porówć g C l lu osttch zestwów po - próch > r stote zy > owe T. Strt: stope > oreślć typowe g wyrć T>> g E. 45. Oów etoę wrcyą rozwązyw rówń różczowych. ϕ ϕ α est rówe Euler-Lgrge fucołu: I π [ ϕ] [ ϕ ϕ αϕ] zst rozwązywć rówe różczowe - szuy fuc: π ϕ C [, ], ϕ ϕ π, prosyuące I[ ϕ ] Nech ϕ, ϕ,..., ϕ,... - y cąg lowo ezleżych fuc tworzących ocu [, π ] uł zupeły. Cąg te zwey ułe współrzęych. N U N ϕ - prosyc u I, N - uzysuey z wruów rzegowych, - z wruu u fucołu I[ U N ] [ N ] I U ;,,..., N

29 W rezultce ochozy o zreuow zge o rozwąz ułu N rówń lowych o N ewoych. 46. Przestw zę poego rów różczowego uł rówń lowych l etoy różc sończoych. Wprowzy stę: h,,,...,n; Nh / N te stce prosyuey potrzee fuce pochoe p. rugą: ϕ ϕ ϕ ϕ O h h rówe różczowe po zstąpeu ze sę w uł rówń różcowych: ϕ h ϕ ϕ h α ;,,..., N ϕ ; ϕ N Szuy wetor ϕ. Ne est to or eto. A. wyprowz wzor... Błą wzglęy reprezetc zeoprzecowe. Przyy stępuące ozcze: - - postw systeu lcze - lcz rzeczywst - fl reprezetc zeoprzecow - e cech wył w reprezetc zeoprzecowe - t - lość cyfr w reprezetc zeoprzecowe Wówczs y: e e Reprezetc zeoprzecow wyos: fl Błą wzglęy est oreśloy o: E fl Dlsze postępowe zleży o przyęte etoy zorągl lczy fl. Te ops otyczyć ęze sytuc, gy flr, gze r. Wówczs łą wzglęy wyos: E t t e e e t e e t

30 Terz leży sę zstowć, lcz ęze ł węszy łą wzglęy. Nperw zuwży, że łą wzglęy oż przestwć w stępuący sposó: t, t, E, E Oe te postc łęu pozwlą wosowć o ty, e powy yć. N postwe y, że powo yć esze, zś węsze. Wtey łą ęze eszy. Stą y:.,...,t -.t..., Perwszy wrue wy z ftu, że lczy zeopozycye są zorlzowe t. rze zcząc cyfr est róż o. T węc lcz wyos: t t t t t t, tost est rówe: t Terz y uż wszyste potrzee force, y olczyć łą reprezetc zeoprzecowe: t t t t t t E t t t E. Wyzcz wsź uwruow poego z.

31 Przy zu polegący wyzczeu f: K f /f, w y przypu sr.z,4 3. Wyzcz wsź uulc poego lgorytu. 4. Iterpolc etoą Lgrge. szuy welou przylżącego ą węzł fucę W... Otrzyuey uł rówń z ewoy:... y y rozwązuey go etoą Krer otrzyuey. D. y D gze D są oley opełe lgerczy eleetów -te oluy cerzy A cerz A- cerz współczyów ułu rówń. Postwąc o grupuąc rze te sł, w tórych występuą eowe y otrzyuey W y Φ...y Φ Gze fuce Φ,..., Φ są welo stop co wyże Dl żego zchoz zleżość W y Φ...y Φ Stą wy, że Φ gy <>, gy y oreślć fucę Φ leży zleźć welo stop, tóry w putch,..., -,,..., est tożsoścowo rówy zeru, w puce rów sę eośc. Φ λ poewż Φ węc λ po wyrugowu stłe λ ze wzorów otrzyuey Φ / Zte W

32 y Przyuąc ozczee ω ożey go zpsć o W co est rówe ω y. ω. ^^^^^ gze y y ω est wrtoścą pochoe welou w puce ęący zere welou 5. Wyprowź wzór łą terpolc etoą Lgrge. Zł.:,,..., [,] P wel. terpolcyy Lgrge f C [,] Tez: f η [,] η [,]: fp *! Dowó: l : f P owol ηspeł * l oreśly gt: t gtft-p t-[f-p ] gt C [,] l t : g l t: g gt esc zerowe:,,,..., z tw. Rolle : g ηf t η-[f-p ] t η ω y.. ω ' t t t...

33 stą wy uż tez 6. Kucze fuce slee. Fuc sleą sześceą cuc sple fucto zywy fucę zuową z welu weloów trzecego stop w te sposó, że fuc f e we perwsze pochoe są wszęze cągłe. Ntost trzec pocho oże eć ecągłośc w putch. Fuce slee f to te, że l < <...<. zchozą rówośc f y <<. Ze to zwsze esończee wele rozwązń. Dowol fuc sle sześce z węzł { }. spełąc wru h h tl [, ] h y y Jest l [, etycz z weloe trzecego stop q ty t y ht t[ t t],,... gze współczy,,...,. spełą uł lowy tróprzeątowy rówń h h h h 3 h h,...- Poewż te uł. ewoych tylo.- rówń, węc o eozczego oreśle fuc slee potrze wóch otowych wruów. Dw otowe wru wspoe w twerzeu oż wyrć wele sposoów. Nczęstszy z ch wy stą, że lł stowący fzyczy opowe fuc slee est prostolowy poz przezłe [, ], tz. est f l < l >. Stą q '' q '' Po pewych olczech prowz to o rówń 3 3 Jeśl te rów stosue sę w prosyc fuc, tóre rug pocho e est zere w srych putch, to otrzyue sę ore przylżee z łęe rzęu h 4, eśl wszyste h są rówe h w polżu śro przezłu, tost w ego srych częścch łą est zwyle węszy. Wyerąc cze otowe wru, oż otrzyć syptotycze ouł łęu, tórego rzą est rówy eoste Oh 4. T oyfc wruów ewele e ze w śrou przezłu. 7. Kwrtowe fuce slee.

34 Wyprowzee wzoru terpolcę sple stop rugego. Przyy stępuące ozcze: l, to putów, ęących pozłe oc, z est wrtość fuc w tych putch h oległość poęzy oley put y f ły srót y f troche węszy srót S szu fuc sple ; przezł, - S frget spleu w przezle ;, ęący weloe stop rugego Zuwży perw, że w ży z przezłów ; fuc S est weloe stop rugego, co ozcz, że e perwsz pocho est fucą lową. Ozczy: M f Są to orete stłe. Pochoą spleu w przezle ; oż zte przestwć stępuąco: S ' M M h h Moż tut zuwżyć, że w powyższy spełoe są wru: S ' M S ' M Jeśl rówe scłuey, ostey: S M M A h h Gze A est pewą stłą cłow. Terz uwzglęy wrtośc fuc w zych putch. Dostey rówń l -. S y S y Co po postweu wzoru e uł: M A y h M A y h Terz wyp zuwżyć, że h srócć co trze: h M A y h M A y Stą oż wylczyć współczy A : y y h A M M 4 Pozoste prole wylcze współczyów M l. Ay tego ooć leży soowć eszcze eo ruące rówe. Ty rze złożyy, że terpoluey fucę peroyczą, co e wrue: S ' S ' M M Korzystąc z powyższego orz z ułu 3 wylczy, że:

35 Co oż pęe zpsć przy użycu cerzy: h h h M M y y l... M M M y y h h M y y M y y h h 8. Wyprowź wzór prosyce weloe uogóloy. ϕ,,,..., uł fuc zowych poprzestrze X F ϕ gze są t oreśloe y Nech H,,..., w [ F f ] yło esze. w [ f ϕ ] gze w > l,,...,. Nstępe olczy pochoe cząstowe H po przyrówuey o zer. Otrzyuey uł rówń z ewoy. W postc cerzowe: w w w... w w F 3 w w w... w w F w w w... w w F 9. Aprosyc śreowrtow eo. Fuce zowe: cąg eoów ϕ,,,... Fuc prosyuąc f ϕ Mąc ą fucę F oreśloą ysrety zorze putów { },,,...,. Poszuw est fuc f t, że ω [ F f ] osąg wrtość lą Uł orly przyue postć: ω [ F ] ω ω F,,,...,

36 w postc cerzowe: ω ω F, g, ω ω ω ω... G A ω ω B ω F ω F ω F. Aprosyc śreowrtow welo ortogoly. Def. Fuce f g zywy ortogoly ysrety zorze putów {,,...,} eżel f g [ f ] >, [ g ] > Def. Cąg fucyy {ϕ } zywy ortogoly zorze putów { }, eśl :, ϕ ϕ >, Dl weloów ortogolych uł orly postć: w [ F ϕ ] ϕ,,.., w ϕ ϕ w ϕ ϕ w ϕ cerz ste sę gol.. Uowo włsość su weloów Czeyszew. W przypu weloów ortog. Tez: Ze wszystch weloów -tego stop ze współczye woący eszą orę sylą w [ -, ] welo - T. Jego or syl est rów -. Dowó e wprost. Przypuśćy, że stee welo p, ze współczye woący, t że p < - l żego [ -, ]. Nech,,... ęze ocętą putu estrelego welou T. My węc p < - T, p > - T, p < - T t. ż o. Wy stą, że welo p - - T ze z w ży z przezłów,,...,. Ale p - T ą te s współczy woący, stą ch różc est stop - - sprzeczość.. Wyzcze prosyc Pe.

37 Jest to prosyc e welo lgerczy przylżee wyere M L R,. Stosue sę ą, gyż z putu wze ożlwośc wyorzyst szy cyfrowych przylżee wyere e esze łęy syle ż przylże welo stop N gze N, zwłszcz ż przylże wzor Tylor czy Mclur. Zgee sprowz sę o zleze N wrtośc współczyów weloów L M. tch, że: M L f orz że fuce M L f ą w puce węce rówych pochoych. Oczywśce l otrzyuey przylżee fuc f szerege potęgowy Mclur. Złóży, że fucę f oż w pewy otoczeu putu rozwąć w zeży szereg Mclur, poto że fuce weloów L M. są wzglęe perwsze. Nech: M L Poewż lorz us yć oreśloy w zerze, węc przyy, że. Rozwęce fuc f w szereg Mclur postć: c f łą prosyc wyos: c M L f poewż chcey, y zchozło, R f orz, R f l,...,,, trze y w lczu wyrże łą zły wszyste wyrzy o potęgch eszych o. My węc: stą: c > < r c c s c r r r s l,,,..., l l,,,..., l

38 Jeżel uł rozwąze to otrzyy współczy przylże R L,. M T otrzye przylżee stosuowo łe łęy w polżu zer, tóre e rosą gy sę o zer olly. 3. Kwrtury eleetre: trpezów, prostoątów, Spso. Wzór prostoątów: y, f f y p y p! p f p y f f y h R 4 h 3 f '' y 9 h 5 f 4 y Wzór trpezów f f y h f ' y... f f y h f ' y f [ f f h ] h f '' y h f y Wzór Spso: I R E F sposó: I T E 4F 5 4 S h[ f 4 f f ] ; E h f y 6 88 Oprt terpolc -go rzęu le oł l fuc sześceych. 4. Wyprowź wzór wrturę złożoą Spso wrz ze wzore e łą. Przezł cłow [,] zely rówych częśc o ługośc h-/, przy czy est przyste. W przezłch [, h],..., [-h, ] o ługośc h stosuey wzór Spso, wy suuey otrzyuey: Sfh/3[f f f f 4...f - 4f f 3...f - ] Nech f 4 C 4 [,]. Błą złożoego wzoru Spso orzystąc z łęu wzoru eleetrego wyos: 5 / h 4 E f f ξ, gze ξ -h, h 9 Poewż pocho f 4 est cągł, węc stee put ξ [, ] t, że:

39 Stą y: 4 E f f ξ 4 8 / f ξ f ξ Schet cłow etoą Roerg. Dzeląc przezł cłow,;>,,.. rówych częśc wporwząc ozcze h,. h f, f, Możey wzór złożoy z trpezów w postc T., h f., f f I wyzć, że łą tego wzoru wyos I f T,.. h C, Przy czy wspólczy C, e zleżą o zleżą o, f Oreśly T, T, T, T, My wówczs I f T, h C,. h Ozcząc

40 C.., 3. C,, stą C, I f T,.. h C, Oreśląc ogóle T, T, T T,., Łtwo oż uowoć, że c... 5 c, 6. Gze I f T, 3. c.. h Moż wyzć, że l.>głowy sł łeu I9f-T., zwer czy h. Z tego wy, że T., oż przestwć w postc oc lowe T,,..., T., węc T., oż zpsć w postc T., h Gze. f. h, h Lczy., są ote l wszystch.,.

41 6. Węzły wrtury Guss. Przy ustloe wze p lcze N rozptruey prole wyoru węzłów współczyów t, y rzą wrtury ył wyższy. Tą wrturę zywy wrturą Guss. My N stłych o wyzcz, oż e t orć y wrtur ył oł l weloów stop eszego ż N. T wrtur stee, est ey e rzą wyos N, t wec prole sprowz sę o opoweego wyoru węzłów w wrturze. Kwrtur Guss Nech w ęze fucą wgową otą w przezle [, ]. Jeśl puty,,.., są zer welou ϕ. stop. z rozy weloów f w A f A f... A f ortogolych zwąze z w to wzór: O współczych.. A δ w...est oły l wszystch weloów stop Twerze: - Współczy A wrtury Guss są ote - Reszt wrtury Gss est wzore f ξ ϕ w c f! Gze ϕ! ξ

42 7. Wyprowź wzór wg wrtury Guss. Wg,,..., oż wyzczyć ząc ocęte,,..., z ułu rówń: w ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ gze, grce cłow, ϕ -ty welo ortogoly, w fuc wgow. Zer w wetorze z prwe stroy rów orą sę z ftu, ż ϕ,..., ϕ - są ortogole o ϕ stłe. 8. Po uowo twerzee o zeżośc procesu tercyego h. f ożey zpsć o φ esończoą lość sposoów, geeruey cąg { }, gze φ -

43 9. Meto Newto-Rphso e rzą zeżośc. Meto N-R Złoże: f; α - prosty perwste; - przylżee α; Nech α - h Rozwy f w szereg Tylor: fαf - hf - h*f -... {resztę poy} stą: f f h f ' wec f ' Rzą zeżośc etoy N-R Złoże: F rugą pocho cągłą α est poeyczy; ε -α - łą przylże

44 Po rozwęcu f w szereg Tylor otrzyuey: fαf α- f /α- f ξ gze ξ t, α po pozeleu przez f otrzyuey: f α f '' ξ α α f ' f ' stą ε ε f '' ξ f ' l α ε ε f f '' α ' α. Po uowo twerzee o zeżośc procesu tercyego rozwązyw AX. t t Cąg M B z owoly wetore strtowy est zeży o eego grczego wtey tylo wtey gy proeń spetrly cerzy tercye ρ M <. Dowó: ε t t - wetor łęu w terc t, M W t t M W ε t ε t ε t t M M ε - wetor strtowy łęu t t gy M ze sę w procese terc to: ε M ε. Do oreśle zeżośc potrzey est slr ε t t t. Żąy y o pewego t : ε < ε. Mcerz terc różych wrtośc wetorów Ms ρ s. Rozły: ε α s rzuty e ose α - pltu w eruu s t t t t ε M αs α M Ms... αρ s ρ s l t ε α t ρ s, gze ρ p p - proeń spetrly cerzy terc t stą ρ < wrue zeżośc.. Po ole wzory roocze cerzowe l eto tercyych Jcoego, S-R, SOR, Czeyszew. Jcoego: ADLU; MI-D - A; WD -, L- pogol, U-gol DB-gol z golych eleetów cerzy A t D t L U, Guss-Sel G-S S-R: A L D U B t [ t ];

45 MI-B - AI-B - BU-B - U t t B U B t t t D L L U t [ ] * t ** t * wyzcze w eżące terc t > przewg Jcoego wzrost efetywośc Meto oleych relsc - SOR: Icze psy wzór rooczy SR: t t t t [ ] r t t poprw o strego rozwąz Przyspeszee zeżośc: t t t ωr, ω - pew lcz Wzór rooczy: t t t ω[ t ] ω Zps cerzowy: t t t t D ω D ω[ L U ] po uporząowu: t t D ω L [ I ω D U ] ω D ωl M W B Czeyszew: B - WA welo cerzowy M-WA*A W rę oleych terc sz cerz terc ęze uległ ze. Zleźć WU t, y: W U U proeń spetrly eszy Przyspeszee Czeyszew etoy SOR: ω- w etoze SOR stłe, tut e ρρm ω ω ρ t 3 ω, l t,,,... t ρ ω opt ω ω 4 U. Poż zł lgoryt Cooley -Turey FFT przyłze wyzcz trsforty l 8 putów. t

46 Wyzcze trsforty l 8 putów: Nech ω e π ω 8 ω ω N ego postwe ęzey orzystć z pry wzorów rooczych: c ω e c ω e 8 Poższ tel przestw olee ro olczeń. N początu lczy są rozrzuce w opowee częśc część zstępuąc, pote słe we współczy Fourer c c - c ω 4 3 c 3 -ω c c 4 4 c -c 4 c ω 8 c 5 5 c ω 8 -c 5 c ω 8 c 6 6 c ω 8 -c 6 3 c 3 ω 3 8 c 7 7 c 3 ω 3 8 -c c c c 5 5 ω 4 7 c 7 5 -ω Oreśl ość prosyc różcowe perwsze ruge pochoe orzystąc z lzy oów Fourer.

47

48 4. Z stlość ueryczą poych egze lgorytów cłow rówń różczowych zwyczych. A. pyt przeroowe. Atule teece w olczech uże sl. Fzy łze uży cs rozwó sprzętu lgorytów. Z rou ro corz tesze proety. Poprzez D 3D-pls oelg o 7-hour wether. Rozwó e tylo sprzętu le eto.

49 Buow wrtulych lortorów zzwycz est to tńsze przył: tuele eroycze, zz pró z roą ąrową ASCI Accelerte Strtegc Coputg Isttuto. Dl progru est stote owołe sę o pęc w stosuu o częstotlwośc procesor. Algoryt lepe wszysto w reestrch użyce SRAM, DRAM - ośweże po że operc wolesze. Bechr o rchtetury oputerów Pęć pozł reestry, poręczą, opercyą, główą.. weloprocesorowe szyy. wspól pęć 3. rchtetur lstrow 4. rchtetur rozproszo p. SETI p. NEOS Networ-Ele NEOS Softwre Lrry Użytow efue prole ęzy pooy o Fortru, przesył, serwer oue progr o rozw. proleów, wprowz e pooccze, lue o prwzwego progru, wyoue olcze. Gotowe rzeczy t e us ch psć s w ou NETSOLVE - syste sło powązych oputerów - opory uszoze - wele esc/wele proleów

50 Pooe Nf Coucto Lrry for Glol Coputg Glous Proet Syulce pole wl ule lrowe Syulc że l z oso są chwle, gy c sę e zee, cewe są tylo oety sę zerzą.. Mesce eto oputerowych teor, esperyet, syulc oputerow. Metoy oputerowe w ch uowych prcch żyersch zysły uż ewestoową pozycę, wye sę, że prwzwy ch rozwt est opero prze. Esperyety wrtule są zcze tńsze, łtwesze, szysze ż te prwzwe, eocześe ogą ostrczć rzo precyzyych forc. Moż ślezć w owoly oece pretry ułu ęącego przeote esperyetu, oż przeprowzć esperyet ewyoywly w prtyce, p. zć tretorę opero co oryte steroy przewzeć, czy zgrż o sze plece. Pooych przyłów choć oże e spetulrych są uż oece set, gze syulce oputerowe przyczyły lu wręcz uożlwły rozwąze powżych proleów uowych czy żyersch. Często etoy uerycze są eyy sposoe rozwąz, w przypu proleu Ferego-Psty-Ul y eowyrowego łńcuch s putowych z ozływ elowy, eego z perwszych hstorycze zgeń rozwązych z poocą oputer. W osttch ltch etoy oputerowe ooszą tże wele sucesy w fzyce che osągęc uowe ty polu zostły uhoorowe groą Nol w rou 998, le są róweż e o przecee w echce, eletrotechce, eletroce, geoez, eoo, eogrf, psycholog, ch opercyych wet w poltyce. 3. Schrteryzu postwowe etoy syulc oputerowe. 4. O użyteczośc weloów Czeyszew w olczech ueryczych. Weloy są przyłe weloów ortogolych. T ccos*rccos T *T - -T - Ortogolość: -zer weloów Czeyszew T,, T T π, T T, π,, Używe są w: - prole optylego ooru węzłów terpolc Wrtość łęu terpolc Lgrge wyos: f e ω, gze ω...! J wć ze wzoru łą te e est oreśloy tylo fucą, le róweż oore poszczególych węzłów. Prole te ożey rozwązć z poocą weloów Czeyszew węzł są zer weloów Czeyszew przezle [-,]. Z poocą prostych trsforc przezł usy uogólć, otrzyuey wzór węzły: [ cos π ] w przezle,. Welo W wyzczoy przez te węzły e e ogół eszego łęu, lecz tylo eszą wrtość oszcowń. Węzły te e są rozeszczoe rówoere, le są oe zgęszczoe ońcch przezłów.

51 - o cłow etoą Guss ω f A f, gze zer welou π π Cłowe w przezle [-,] z fucą wgową. A, cos N N - prosyc eost Użyce weloów Czeyszew zst potęg rówoery rozł łęu. f c c T f T c, T welo Czeyszew π - prosyc śreowrtow 5. Meto ve coquer w lgorytch ueryczych. Algoryty zel zwycęż wyorzystywe są tże w etoch ueryczych. Przyłe est cłowe uerycze, gze ooue sę pozłu zego przezłu poprzezły po tórych stępue cłowe stępe sclee wyu. Wele eto poo, ż e est w t turly sposó zgo ze schete postępow zel zwycęż e sę sforułowć w sposó uożlwący rówoległe prowzee olczeń. Jest to zgoe z tuly teec w zeze olczeń wele sl, stą eto zel zwycęż zue zstosowe w że zeze eto ueryczych. 6. O przytośc weloów ortogolych w olczech ueryczych. weloy Czeyszew o optylego ooru węzłów terpolc o z weloów ułu orlego o prosyc - Gr Czeyszew - Legere P! 3 cłow etoą Guss f ω A f ω - fuc wgow Kwrtur przezł wg Legere -; Czeyszew -; Lguerre Herte ; - ; c e - olee zer weloów ortogolych ϕ { } P, P P P T, T T T T L, L H, L e H H H P c c c L H c L c

52 ???? Aprosyc eost Zst potęg w przylżeu p.: Czeyszew T c f ω Rówoery rozł łęu T f c π 7. Błą etoy łęy wyące z rytety oputerowe. 8. Ogóle o etoch tercycyh w olczech ueryczych: ogóly lgoryt, potrzee twerze, złożoość olczeow, ey są przyte... Jeą z częśce powących sę eto w olczech ueryczych est terc, co w przypu eto ueryczych ozcz częśce olee przylże. Mówąc ogóle, terc ozcz powtrze pewe wzorcowe czyośc lu procesu. Jest ą że olczee typu: F. Iterc est ey z wżeszych rzęz zrówo prtyczego, teoretyczego proleów lowych elowych. Brzo często stosue sę tercę o rozwązyw ułów rówń. W ty przypu { } est cąge wetorów, F est fucą o wrtoścch wetorowych. Gy tercę stosue sę o rówń różczowych, wtey { } ozcz cąg fuc, w F est wyrże, w tóry oże występowć cłowe lu e operce fucch. Neołączy eleete proceur tercyych są twerze, tóre zpewą zeżość terc l opowech ych weścowych proceur. Złożoość olczeow zwsze zleży lowo o lośc terc, ltego proceury tercye stosuey, gy lcz terc est z złoże ł w prtyce ozcz to często, że zowly sę wye z góry orczoy pewy łęe. 9. Przestw estrpolcę Rchrso, po przyły e stosow. Meto uzysw wyów o uże ołośc przy użycu foruł sego rzęu. h - ro, E łą olczeń postć syptotycz h E przy czy ogą zleżeć o f, e zleżą o Olcze l oł wrtość ϕ,ϕ ϕ - wyzczoe h h h h h h / / ϕ ϕ ϕ ϕ h h h h h h h h h h ϕ ϕ ϕ

53 zwęszee eszego wył potęg h???we pozwl poprwć wy wet gy o rzu wyro etoę rzęu Szczególy przype użyteczy l wrtur: ϕ N h K h O h pozwl reurecye geerowe: h N h [4 N N h],,3, Przestw zgee stlośc lgorytów ueryczych w oprcu o przyły poze w trce stuow przeotu. Algoryt olczeowy est uerycze stly, wtey, gy zwęsząc ołość olczeń oż owole, steące rozwąze wyzczyć z owolą ołoścą przy czy w orete ego relzc uerycze ożlwe est osągęce co wyże ołośc grcze, ęące oszcowe łęu rozwąz, tórego e oż zeszyć l e etoy olczeowe. Mr stlośc lgorytu oreśl węc wzglęą zę rozwąz przy zurzeu ych pozoe łęu reprezetc. Mrę tą ożey uwżć z wsź uwruow z, gyż est rą wrżlwośc z ewele wzglęe zy ych. Jeżel ze est orze uwruowe, to rozwązuąc e z poocą lgorytu uerycze stlego otrzyuey rozwąze z ewel łęe wzglęy. Przył :. e /!... e 5.5 zły lgoryt oey uże lczy y otrzyć łą e 5.5 / e 5.5 / E * e,,3 przy E 9 otrzyuey wy z poz zresu [,] wzccz łęu Rozwąze: E - -E / 3,. Terz ży rou zeszy łą rzy lgoryt stly. Algoryt uerycze wyższe ośc lgoryt uerycze poprwy

54 w ϕ ˆ : ˆ ρ, ˆ e zurzoe pozyc reprez wˆ ϕ ˆ w~ : wˆ w~ ρ w w~ oe rozwąozwe l ych zurzoych wy l ˆ zurzoy pozoel. reprez. Algoryt A zywy uerycze stly w lse {ϕ,d}, eżel stee stł K, t, że l: D, osttecze sle rytety -t zchoz: ϕ fl A K P, ϕ P, ϕ ρ w ϕ ϕ ˆ w ˆ. Oceń przytość zych C ęzyów progrow o rozwązyw zgeń olczeowych; zcz o ustle uzse spsu ryterów. Porówe C, C Jvy. Kryter: rytety ęzy zsczy wpływ ołość olczeń, szyość zł, lote wuowe ostępe łą ostępość lote ogrcz zstosow ęzy, ożlwość prowze olczeń rozproszoych. rytety: w Jve e są ostępe typy usge, co ogrcz welość przechowywych lcz eueych, syl lość tów przezczo o przechowyw typów cłowtych zeoprzecowych to 8 tów, e ż w przypu C/C etórych pltforch, oleość tów w Jve est ustlo e zwsze opow oleośc opowee l ego procesor co oże spowlć olcze; że z ęzyów e oferue lcz zespoloych o typów wuowych wygoeszy o użyc w ty przypu est C z sprwą ls ożlwośc przełow opertorów; w przypu tlc reprezetuących cerze wetory Jv e uostęp wye rytety wsźowe ze z C, w C est o ogrczo szyość: progry pse w C/C o ęzych oplowych ogą yć o lu o lustu rzy szysze ż ch opowe pse w Jve ęące ęzye terpretowy, e wrz z oley wers wyość Jvy rstycze poprw sę lote strowe ęzyów są porówywle, wszyste ęzy posą ogty wchlrz lote Jv uożlw prowzee olczeń rozproszoych przy poocy wygoych wuowych echzów RMI, serlzc, C/C strowo e pos tch ożlwośc Ze zych ęzyów o olczeń poeycze szye lepe e sę C/C, eyy tute Jvy est łtw o użyc ożlwość prowze olczeń rozproszoych. Schrteryzu porów poze lote uerycze. BLAS Bsc Ler Alger Suprogrs