MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.

Transkrypt

1 CIERZE I ZIŁNI N CIERZCH Nech usloe będze cło dwe lczby urle, cerzą o wyrzch z cł wymrch zywmy kżdą fukcję cerz ką zpsujemy w posc belk ) cerz zpsujemy róweż wele ych sposobów, w zleżośc od ego jką jej cechę chcemy wząć pod uwgę lub podkreślć I k, możemy zpsć mcerz jko określoo wymry mcerzy), ozczoo wyrzy mcerzy),, zwo wyrzy, określoo wymry) lub po prosu dokłdejsze formcje są eporzebe lub wykją z koeksu) Cąg, zywmy -ym werszem mcerzy ) Cąg,, zywmy -ą kolumą mcerzy ) cerz zywmy kwdrową, jeśl W przecwym wypdku mówmy, że mcerz jes prosoką dl podkreśle, że e jes kwdrow) l mcerzy kwdrowej podje sę jede wymr l mcerzy kwdrowej defujemy główą przekąą jko cąg W mcerzy kwdrowej moż wyróżć wyrzy leżące pod przekąą wyrzy leżące pożej przekąej cerz kwdrow zyw sę mcerzą rójkąą, jeśl wszyske jej wyrzy leżące pod główą przekąą lub wszyske wyrzy leżące pożej główej przekąej są zerm cerz kwdrową zyw sę symeryczą, jeśl dl kżdych

2 cerz zyw sę ysymeryczą lub skośe symeryczą), jeśl dl kżdych W mcerzy skośe symeryczej wszyske wyrzy leżące główej przekąej są rówe zeru cerz kwdrow zyw sę dgolą, jeśl wszyske jej wyrzy poz główą przekąą są zerm cerz kwdrow zyw sę jedoskową, jeśl jes dgol jej główej przekąej są sme jedyk cerz ę ozczć będzemy przez lub W szczególośc, dzł mcerzch są określoe sępująco Nech Sumą mcerzy jes mcerz sępując

3 Jeśl, o mcerz jes zdefow k cerzą przecwą do mcerzy ) jes mcerz Złóżmy erz, że mmy dwe mcerze: ożemy zdefowć loczy ych mcerzy według sępującego przepsu Jeżel, o jes mcerzą o wymrch, kórej wyrzy określoe są formułą dl wszyskch wskźków, gdze orz Podkreślmy moco, że możemy wykoć możee ylko kch mcerzy,, dl kórych lczb kolum mcerzy jes rów lczbe werszy mcerzy W rezulce może orzymujemy mcerz, kór m yle werszy co mcerz yle kolum co mcerz ożąc mcerze jperw sprwdzmy, czy możemy je pomożyć, sępe uslmy wymry loczyu mcerzy Poem wylczmy wyrzy loczyu w dowolej kolejośc), być może ylko e, kóre chcemy zć

4 Nerudo sprwdzć, że jeśl orz, o Podobe, jeśl orz, o Przez -ą poęgę mcerzy kwdrowej rozumemy loczy egzemplrzy mcerzy Twerdzee o rozwju wyzczk po werszu lub kolume l kżdej kwdrowej mcerzy ] zchodz dl dowole wybrego : [ j ) ) ) dl dowole wybrego j: j ) ) ) j j j j j j j j gdze j ozcz mcerz powsłą z mcerzy przez skreślee - ego wersz j- ej kolumy W przypdku mcerzy o młych wymrch pomoce jes sępe werdzee Twerdzee o dwóch prosych meodch lcze wyzczk l mcerzy j l mcerzy Przykłd Oblczymy wyzczk z mcerzy dwem meodm: rozwjjąc wyzczk p po drugej kolume

5 sępe oblczmy orz Osecze ) meodą Srrus 8 ) Twerdzee o włsoścch wyzczk mcerzy Wyzczk mcerzy zwerjcej kolumę lub wersz skłdjący sę ylko z zer jes rówy zero Wyzczk mcerzy zwerjcej dwe ycze kolumy lub dw ycze wersze jes rówy zero Pomożee wyzczk przez dowol lczbę R c ozcz pomożee jedej dowole wybrej kolumy przez lczbę c lub jedego dowole wybrego wersz p l mcerzy kwdrowych B zchodz B B ) Twerdzee o opercjch e zmejących wyzczk ode do dowolego wersz ego dowole wybrego wersz pomożoego przez dowolą lczbę R c e zme wrośc wyzczk ode do dowolej kolumy ej dowole wybrej kolumy pomożoej przez dowolą lczbę R c e zme wrośc wyzczk Trspoowe mcerzy e zme wyzczk z ) T ) ) ) c c c c O

6 efcj mor mcerzy l kżdej mcerzy wymru m morem sop k dl k m{ m, } k N zywmy kżdy wyzczk sop k z mcerzy powsłej przez usuęce z mcerzy m k werszy k kolum Przykłd Nech będze mcerzą wymru or sop powsje przez skreślee dowolych werszy 5 kolum N przykłd po skreśleu wersz orz, 5 kolumy orzymujemy mor 5 efcj dopełe lgebrczego mcerzy l mcerzy kwdrowej ] wymru dl dopełeem lgebrczym elemeu j mcerzy zywmy lczbę j j ) j, dze j [ j ozcz mcerz powsłą z mcerzy przez skreślee - ego wersz j-ej kolumy efcj mcerzy eosoblwej cerz kwdrową ] zywmy osoblwą, gdy [ j W przecwym przypdku mówmy, że mcerz jes eosoblw Twerdzee o mcerzy odwroej cerz kwdrow jes odwrcl wedy ylko wedy, gdy jes eosoblw Jeżel mcerz kwdrow ] wymru dl jes gdze eosoblw, o [ j, m j ozczją dopełe lgebrcze elemeów mcerzy 5 5 m O m T

7 efcj rzędu mcerzy Njwększy ze sop ezerowych morów mcerzy zywmy rzędem mcerzy ozczmy rz Twerdzee o rzędze mcerzy eosoblwej cerz kwdrow wymru jes eosoblw wedy ylko wedy, gdy jes rzędu Poewż sopeń mor e jes wększy od wymrów mcerzy o wymrch m, o oczywśce rz m{ m, } UKŁY RÓWNŃ INIOWYCH Ukłd rówń posc b b m m m b zywmy ukłdem m rówń lowych z ewdomym, b R j Przyjmując ozcze b, b b orz O m m m b m m,,,, gdze ukłd rówń możemy zpsć rówowże w posc mcerzowej b, gdze zywmy mcerzą współczyków ukłdu, b wekorem wyrzów wolych wekorem ewdomych odkowo mcerz posc U [ b] m m O m b b bm zywmy mcerzą rozszerzoą uzupełoą) ukłdu rówń Rozwązywlość ukłdu rówń rozsrzyg werdzee Kroecker-Cpellego

8 Twerdzee Kroecker-Cpellego Ukłd m rówń lowych z ewdomym b m rozwąz wedy ylko, gdy rz rzu Przy ym jeżel rz rzu, o ukłd m dokłde jedo rozwąze, jeżel rz rzu r <, o ukłd m eskończee wele rozwązń zleżych od r prmerów efcj ukłdu rówń Crmer Ukłd rówń lowych z ewdomym Crmer wedy ylko, gdy b zywmy ukłdem Twerdzee o rozwązch ukłdu rówń Crmer Nech ozcz mcerz powsłą przez zsąpee -ej kolumy w mcerzy kolumą wyrzów wolych b w ukłdze rówń Crmer Wedy rozwąz ukłdu spełją rów Przykłd Rozwążemy ukłd rówń W ym celu zpsujemy mcerze dl,,,, 5 b 5 orz lczymy rząd mcerzy zczyjąc od oblcze : ) 8 ) ) Poewż 8, o ukłd rówń jes ukłdem Crmer Wobec ego worzymy mcerze wylczmy wyzczk 5, 5, 5

9 8,, 56 Zgode z werdzeem rozwązm ukłdu są 8 8, 8, 8 56 Rozwąz powyższe mogą być zpse wekorowo l oszczędośc mejsc rozwąz możemy zpsć w forme pozomej wykorzysując rspozycję mcerzy [ ] T lub [ ] T Przykłd Rozwązemy ukłd rówń eozczoy: W ym celu zpsujemy mcerze, b orz lczymy rząd mcerzy zczyjąc od oblcze : ) ) ) ) ) ) ) ) ) Poewż jes jedyym morem sop, węc < rz Jedocześe poewż seje mor sop drugego p, o rząd mcerzy jes rówy Zgode z werdzeem Kroecker-Cpellego musmy zbdć rząd mcerzy uzupełoej Po perwsze zuwżmy, że mor jes róweż morem mcerzy uzupełoej ukłdu U,

10 węc rząd mcerzy U jes rówy co jmej dw Pozosje sprwdzć wrośc morów sop rzecego W mcerzy U seją czery mory sop rzecego:,,, Po oblczech, kóre pozoswmy czyelkow, okzuje sę, że wszyske są rówe zero Sąd U rz mocy werdze seje eskończee wele rozwązń zleżych od r prmerów Zuwżmy erz, że ukłd rówń opry jwększym ezerowym morze jes ukłdem Crmer, czyl zzczjąc w ukłdze rówń elemey wchodzące w skłd mor orzymujemy, że ukłd jes ukłdem Crmer dl kżdej wrośc zmeej Podswjąc zgode z werdzeem Crmer orzymujemy rozwąz ) ) ) ) ), co łącze z dje