Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego.

Transkrypt

1 3. Wzór Tlor. Przpomm tu z wzór Tlor ze względu ego worzste w zgdec terpolc róŝczow cłow umerczego. Jeśl uc e perwszc pocodc est cągłc w przedzle domętm [] to dl dowolc putów z przedzłu [] zcodz!! ξ gdze put ξ leŝ pomędz. W powŝszm wzorze ozcz -tą pocodą uc. Alogcze twerdzee mm dl uc dwu zmec. Jeśl uc orz wszste e pocode cząstowe Ŝ do rzędu są cągłe w pewm domętm prostoące płszczźe put orz leŝą w tm prostoące to!! θ θ < θ < Opertor d dzłą stępuąco: d d d d d uc pocode po prwe stroe olcze są w puce. 3. Scemt róŝcow. W dlszc rozwŝc pomoc ędze eedorote tel olec róŝc elemetów dego cągu uporządow w oreślo sposó:

2 Kolee olum tego scemtu otrzmuem przez olee odemow p. td. N przłd dl cągu lcz {} dostem scemt Scemt tego tpu pomoce są w olczec wowc ręcze le teŝ prz progrmowu sstemtczego olcz pewc wrŝeń. 3.3 Iterpolc. Iterpolc welomow. Zmowć sę ędzem terz zgdeem terpolc tz. dor te uc g Ŝe dl zdc putów est g. Jeśl put są wrtoścm pewe uc to mówm Ŝe g terpolue ucę. Iterpolcę stosuem do dopsow uc do tel putów p. uzsc z dośwdcze le tŝe przlŝć ucę ewgodą w zstosowc p. osztową w olczu ą dogodeszą. Spreczum eszcze Ŝe często mówm o terpolc eśl wrtośc uc terpoluące olczm wewątrz przedzłu wzczoego przez put tomst wzcze wrtośc te uc zewątrz tego przedzłu to estrpolc est to zde ogół rdzo rołome. Szczególe zczee m terpolc welomm ą sę ędzem zmowć. Zde tóre ccem rozwązć est stępuące: de est putów zwc węzłm terpolc wrtośc w tc putc. Ccem zleźć welom p moŝlwe Ŝszego stop t Ŝe p dl... Jeśl lcz są prm róŝe to stee dołde ede welom stop co wŝe spełąc powŝsz wrue. Welomu tego moŝ szuć w postc p c c K c K Jest to wzór terpolc Newto. W rdze zwrte postc zpsue sę go stępuąco c p.

3 Współcz w powŝszm wzorze d sę wrzć przez tzw. lorz róŝcowe: c [... ] [ ] ] [ Ilorz wŝszc rzędów wzcz sę reurece: ] [ ] [ ] [ K K K. Wstrcz do tego zomość węzłów orz wrtośc czl [ ]. Nprośce tworzć odpowedą telę: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 3 ] [ ] [ 3 ] [ 3 ] 3 [ 3 ] Współcz welomu w tel zostł pogruoe. I postć welomu terpolcego zd est wzorem terpolcm Lgrge. l p We wzorze tm l są welomm zleŝm ede od węzłów le e od wrtośc w tc węzłc. Zde są wzorem l. PoewŜ welom terpolc oreślo est edozcze o wzor oreślą te sm welom coć zuwŝee tego wmg prc prz przesztłcec. Ią metodą zleze welomu est poszuwe współczów prz olec potęgc p... Prowdz to do ułdu rówń lowc: L L L. cerz tego ułdu zw est mcerzą Vdermode. Szue współcz moŝ zleźć rozwązuąc ułd. Ne est to ed metod zlec.

4 3.4 Zwso Rugego. Wdwć sę mogło Ŝ m gęśce rozmeszczoe są węzł terpolc tm lepsz ędze e eet. OtóŜ ozue sę Ŝe e est to prwdą. Prz rówoodległc węzłc oserwue sę często osclce zcowe uc terpoluące rńcc przedzłu w tórm prowdz sę terpolcę. Osclce te rstą wrz ze zwęszem lcz węzłów. Jest to tzw. zwso Rugego lsczm przłdem est terpolc uc 5 rówo rozmeszczom węzłm w przedzle [-] ptrz ćwcze. Jeśl stee moŝlwość dooru węzłów to w przedzle [-] powo sę werć węzł zde wzorem cos π... Węzł te są zerm welomu Czeszew odpowedego stop ptrz dle zw sę e węzłm Czeszew. Ic uŝce pozwl zcze zreduowć wstępowe zws Rugego. Węzł Czeszew są węzłm optmlm do terpolc w przedzle [-]. W przpdu przedzłu ego Ŝ [-] moŝ woć odpowede podstwee: p. eśl [-] to podstwąc t ½ ½ otrzmuem t [ ]. Gd e m moŝlwośc woru węzłów moŝ rozwŝć terpolcę ucm slem lu zstosowe prosmc ptrz dlsze podrozdzł. 3.5 Wzor terpolce dl rówoodległc węzłów. W terpolc eoecze teresue s postć welomu terpolcego. Często ccem tlo podstwe wrtośc uc w węzłc zleźć e wrtośc pomędz węzłm. Oczwśce eśl zdzem welom terpolc to łtwo olczm ego wrtośc dl Ŝądc putów. oŝ e ed olczć ez zdow welomu. W tm przpdu często mm do cze z terpolcą w rówo rozmeszczoc węzłc. Jeśl olee węzł są odległe o : to moŝ pozć Ŝe zcodz wzór terpolc Newto dl węzłów rówoodległc: m p p K p m m p p K p m p ξ! m! Potrzee wrtośc olczm ze scemtu róŝcowego tpu:

5 Put w tórm ccem wzczć wrtość uc zdue sę mędz. Potrzee współcz w tm scemce zduą sę przeąte. oŝ teŝ utworzć wzor orzstące z róŝc zduącc sę tm smm pozome co p. p p p p p p 3 p!! 3! p p p p 4 K 4! lu p p p p p p 3 p!! 3! p p p p 4 K 4! Są to wzor Newto-Guss. 3. Iterpolc odwrot. Iterpolcę odwrotą stosuem prz rozwązu stępuącego prolemu: mm tlcę wrtośc uc ccem rozwązć rówe c c est pomędz dl pewc w sze tlc. Nzupełe ogóle mąc tlcę wrtośc moŝem przestwć olum potrtowć e o tlcę g gdze g est ucą odwrotą do. etodą opsą w 3.3 wzczm terz welom terpolc dl g po czm moŝem olczć ego wrtość gc. Jeśl put w tlc są rówoodległe o wrtość to często m mesce p. gd orzstm z tlc mtemtczc to moŝem postąpć cze. Korzstm ze wzoru terpolcego dl putów rówoodległc p. wzoru terpolcego Newto z 3.5. Nec sze szue speł p m wted 3 c p p p p p p p K Po przesztłceu moŝem przepsć tę zleŝość w postc p ϕ p gdze 3 ϕ p c K p p p p p Rówe to rozwązuem terce o perwsze przlŝee przmuąc c p stępe olcząc olee przlŝe p ϕ p.

6 3.7 Iterpolc ucm slem. ZłóŜm Ŝe mm węzłów... uporządowc w oleośc < <... <. Fucę sleą stop zwm tą ucę S tór w Ŝdm z przedzłów [ ] est welomem stop co wŝe orz m cągłą - pocodą w [ ]. Im słow ucę S slem grcc przedzłów z welomów odpowedego stop dąc o cągłość odpowede pocode. Szczególe często uŝwe są uce slee stop trzecego sześcee. Szum ztem te uc tór w Ŝdm z przedzłów est welomem stop trzecego est cągł m cągłą perwszą drugą pocodą. m przedzłów czl potrzeuem zleźć welomów stop 3 rzem 4 współczów. S to welom terpoluąc w przedzle [ ]. Cągłość uc w - putc slee ozcz S - S dl... - m stąd wruów współcz. Nstępe dostem z wrtośc uc w src putc: S orz S. Cągłość perwsze pocode w putc slee S - S... - de olec wruów tle smo dostem z cągłośc druge pocode S - S... - Rzem mm 4 wru. PoewŜ est 4 współczów ozcz to stope swood prz c wzczu. Jedm ze sposoów c worzst est przęce Ŝe drug pocod w src putc est rów S S De to tzw. turle uce slee. Wrtośc współczów de sę wzczć z pewego ułdu rówń lowc wącego z powŝszc wruów. Fuce slee pozwlą dopsowć głdą rzwą do putów terpolc stąd c gels zw sples cuc sples dl uc slec sześcec pocodząc od sple merńsego rzw dącego sę wgć. 3.8 Aprosmc średowdrtow welomm ortogolm. W rozdzle. wprowdzlśm poęce przestrze lowe z loczem slrm. OtóŜ przestrzeń tą tworzą uce cągłe w pewm przedzle [ ] locz slr dwu uc g oreślo est stępuąco g g w d w est ucą wgową. Dwe uce g są ortogole eśl g. Ilocz slr oreśl ormę euldesową. Zde prosmc średowdrtowe est stępuące. Ccem przlŝć ucę cągłą w przedzle o omcę lową

7 * c ϕ dc uc ϕ ϕ... ϕ. Współcz doerm t wŝo orm euldesow łędu * ł mesz tz. wrŝee * * w d ło mesze. Jeśl uce ϕ są lowo ezleŝe to zde prosmc średowdrtowe m ede rozwąze * * c ϕ ego współcz spełą rów ormle: * ϕ ϕ c ϕ... Jeśl uce ϕ tworzą ułd ortogol to olczee współczów sę uprszcz. De są oe wted wzorm * ϕ c... ϕ ϕ Brdzo wŝe w prosmc średowdrtowe są ztem rodz welomów ortogolc. Prwdopodoe wŝesze z c są welom Czeszew oreśloe w [ ] wzorem T cos rc cos Dl początowc są to: T T T T T Welom Czeszew spełą wzór reurec T T T T T Są oe ortogole dl loczu slrego z wgą / : g g / d T T π π Welom T zer w [ ] dc wzorem

8 π cos... J uŝ wspomo zer welomów Czeszew wzczą optmle węzł dl terpolc welomowe w [ ]. W prosmc średowdrtowe w [ ] z ucą wgową w uŝw sę welomów Legedre oreśloc wzorem d P P! d Spełą oe wzór reurec: P P P P P Dl początowc są to 3 P P P 3 P Welom Legedre są w [ ] ortogole z wgą rówą czl dl loczu slrego g g d P P. 3.9 RóŜczowe umercze. Zstówm sę ząc wrtośc uc w róŝc putc zleźć wrtość e pocodc w zdm puce. Dl perwsze pocode oszcowe moŝem uzsć z lorzu róŝcowego uŝtego w e dec: ' [ ] oŝem zptć est łąd tego oszcow. Uzsm go z wzoru Tlor. Jeśl est cągł w [ ] stee w to ' '' ξ put ξ leŝ mędz. Stąd ' [ ] '' ξ.

9 W powŝszm wzorze słd [ ]/ to przlŝee pocode tóre uzslśm uŝ wŝe ξ/ to ego łąd. W powŝszm przłdze łąd te zleŝ od w perwsze potędze ztem m mesze tm lepsze oszcowe ed tlo do pewego mometu o dl zt młc zczą odgrwć rolę łęd umercze prz olczu róŝc. Ccelśm zleźć wzor w tórc łąd zleŝ od w moŝlwe wsoe potędze gdŝ wted zmesząc dostem szą reducę łędu. Sorzstm poowe z wzoru Tlor z tórego mm 3 3 ' '' ξ ' Odemuąc strom dzeląc przez mm '' 3 3 ξ 3 3 ' [ ] [ ξ ξ ] prz czm ξ ξ zduą sę w przedzle. Prz złoŝeu Ŝe trzec pocod uc est cągł w tm przedzle stee w m te ξ Ŝe 3 ξ [ 3 ξ 3 ξ ]/ mm 3 ' [ ] ξ Otrzmlśm ztem wzór w tórm łąd zleŝ od w druge potędze. Alogczą metodą moŝ uzsć wzór umercze olcze druge pocode: 4 '' [ ] ξ z łędem zleŝm od lu '' [ 3 ] dl tórego łąd zleŝ od 4. Te drug wzór moŝ otrzmć z perwszego metodą estrpolc opsą Ŝe. 3. Estrpolc Rcrdso Procedur estrpolc słuŝ do elmow olec słdów łędu poprzez odemowe wrtośc olczoc dl zmeoego. Z wzoru Tlor!! Po odęcu tc rówń strom moŝem wzerowć wszste słd z przstm potęgm dostć przlŝee perwsze pocode ' [ ] K 3! 5! Ozcząc F perwszą pocodą ϕ e przlŝee [ ]/ otrzmuem 4 F ϕ 4 K Dl młc węszm słdem łędu est.

10 Olczm przlŝee pocode dl /. m wted 4 F ϕ / / 4 4 / / 4 K Jeśl to rówe pomoŝm strom przez 4 odemem od ego poprzede dl rou otrzmm 4 3F 4ϕ / ϕ 34 / 4 5 / K po podzeleu przez 3 otrzmuem osttecze 4 4 F ϕ / ϕ / K 3 3 Olcząc ztem przlŝee pocode dl orz / stępe orąc c róŝcę z odpowedm współczm dostem przlŝee w tórm łąd zleŝ od w potędze czwrte wŝszc. Nc e sto przeszodze tm sposoem welmowć czło z 4. Ozczm 4 ψ ϕ / ϕ 3 3 Olcząc terz ψ/ moŝąc odemuąc rów dostem F ψ / ψ / K 5 5 Nstępe moŝem ozczć θ ψ / ψ 5 5 logczm sposoem dostem 4 8 F θ / θ c8 K Welmowlśm uŝ wszste czło z w potęgc Ŝszc Ŝ 8. etod t to estrpolc Rcrdso. PoewŜ rozumowe e zleŝ od tego czm są F orz ϕ węc metod stosue sę e tlo do umerczego olcz pewrsze pocode le teŝ w c przpdc. W sstemtczm e stosowu pomoce są stępuące wzor opsuące metodę. Jeśl ccem woć e N roów to zcząc od pewego olczm welośc: F ϕ/ dl... N Nstępe dl dego olczm reurece dl... : F F F F 4 W eece otrzmuem tróątą tlcę z olem przlŝem szue welośc F. F F F F N F F F N F F N O L F N N Podom sposoem moŝ poprwć oszcowe welośc dc wzorem m Ŝ ϕ.

11 3. Pewe zstosow róŝczow umerczego w cem wtowe. RóŜczowe umercze uŝw sę w cem wtowe do olcz pocodc eerg ułdu ed e są dostępe dl de metod lu w dm progrme ltcze wrŝe pocode. W szczególośc perwsze pocode eerg potecle ułdu V po współrzędc tomów des umerue współrzęde tom V/ słuŝą do olcz grdetów prz optmlzc geometr. Z ole po zlezeu mmum eerg ułdu moŝ olcząc druge pocode eerg potecle wzczć stłe słowe dl drgń rmoczc co w z rozwęc eerg w szereg Tlor ocęcu go człoc wdrtowc: V V R V R R R ozcz współrzęde tomów w mmum eerg wetor wcleń z tego mmum. Numercze olcze pocodc wmg tu wcl o młą welość poszczególc tomów z połoŝe rówowg w 3 ezleŝc eruc. Pocode eerg po słdowc pol eletrczego worzstue sę w olczu welośc crterzuącc eletrcze włsośc cząstecze. Jeśl owem eergę cząstecz E rozwem w szereg względem ezt mocego zewętrzego pol eletrczego F ozczee F stosuem uąć pomle pol z eergą to otrzmm E E E F E F F K F F F F F F Perwsz pocod eerg z przecwm zem de odpowedą słdową trwłego mometu dpolowego cząstecz E µ F F tomst druge pocode eerg ze zmeom zem to słdowe tesor polrzowlośc cząstecz E α F F F z druge stro moŝ e teŝ otrzmć o perwsze pocode słdowc mometu dpolowego po polu: µ α F F m stąd z wzór zmę eerg cząstecz w polu eletrczm E F E µf FαF K Olcze prowdz sę tzw. metodą sończoego pol olcząc eergę cząstecz w słm zewętrzm polu ez pol stępe wzcząc odpowedą welość przez róŝczowe umercze. Jolwe moŝ w te sposó olczć momet dpolow e ro sę tego gdŝ mąc w wu olczeń połoŝe ąder tomowc rozłd gęstośc eletroowe moŝ momet dpolow wzczć wprost. Polrzowlość w metodze sończoego pol moŝ uzsć z druge pocode eerg lo o perwszą pocodą mometu dpolowego. NleŜ pmętć Ŝe ze względu

12 tesorow crter te welośc w ogólm przpdu musm przłdć pole w róŝc eruc zleźć wszste pocode cząstowe c Ŝe smetr cząstecz uprośc m zde. 3. Cłowe umercze. Wzór trpezów. etod Romerg. Cł eozczoe z welu uc e wrŝą sę poprzez uce elemetre stąd zczee cłow umerczego. Nturlm sposoem olcze cł ozczoe d est przlŝee uc podcłowe przez ucę łtwą do scłow. Nprostszm przpdem moŝe ć uc low sąd otrzmuem wzór prostoątów przlŝąc pole pod rzwą prostoątem: d orz wzór trpezów przlŝąc pole pod rzwą trpezem: d. Cłuąc łąd terpolc prowdzące do wzoru trpezów moŝ pozć Ŝe łąd wzoru trpezów wos 3 '' ξ ξ Przedzł cłow moŝ podzelć mesze przedzł stosuąc do Ŝdego z c wzór prostoątów lu trpezów lu wzór cłow. Sumuąc oszcow z podprzedzłów dostem wzór złoŝo. Częstm przpdem est podzł wścowego przedzłu prz pomoc rówoodległc o putów. m wted: / Wzór prostoątów m wted postć: d / wzór trpezów: d. Wcodząc ze wzoru Euler-clur moŝ uzsdć podoą do estrpolc Rcrdso metodę polepsz przlŝe cł przez zgęszcze putów podzłu. Jest to metod Romerg. Przedzł [] dzelm podprzedzłów o rówe długośc. Stosuąc złoŝo wzór trpezów olczm wted przlŝe cł dl róŝe lcz putów podzłu:

13 I Nprostsz est sum I [ ] Nstępe olczm oleo I I td. Oczwśce leŝ zwrócć uwgę t Ŝe olcząc I leŝ tlo dołoŝć owe put do I e olczć epotrzee wrtośc uc we wszstc putc. Podoe w scemce estrpolc Rcrdso przlŝe I dą perwszą olumę tel stępe olczm według wzoru I m I m [ I m I m ]. m 4 Dostem osttecze telę corz lepszc przlŝeń cł: I I I I I I I I I 3.3 Wzor Newto-Cotes. O L I J uŝ powedzelśm ogólą metodą olcz cł ozczoe est przlŝee uc podcłowe welomem tór uŝ łtwo scłowć. Jeśl w przedzle cłow [] wrlśm węzł... to moŝem zstosowć wzór terpolc Lgrge p l gdze l W stąd Ŝe d p d Wzór cłow umerczego postc: l d d A * zw sę wdrturą. W przpdu wŝe współcz wdrtur de są wzorem A l d... Jeśl węzł terpolc są rówo rozmeszczoe: to wdrturę * ze współczm podm wŝe zw sę wzorem Newto-Cotes. Zoczm co dostem ze wzoru Newto-Cotes dl. Wted

14 m l l Olcząc cł współcz wdrtur dostem A l d A l d Netrudo zuwŝć Ŝe z wzoru Newto-Cotes wprowdzlśm wzór trpezów d TŜe e przpd wzoru Newto-Cotes dl młc mą swoe włse zw. Podm e poŝe z uŝcem / 3 : d łąd '' ξ Jest to uŝ stwerdzlśm wzór trpezów. 5 4 : d 4 łąd ξ 3 9 Jest to wzór Smpso : d łąd ξ 8 8 Jest to tzw. reguł 3/8. Wzcząc współcz wdrtur moŝem uąć wzcz cłow welomu terpolcego Lgrge. OtóŜ wdrtur oreślo wzorem * mus ć dołd dl welomu stop. W tm rze e współcz muszą spełć ułd rówń d A... Olcząc proste cł po lewe stroe rozwązuąc te ułd dostem współcz wdrtur. etodę tę zw sę metodą eozczoc współczów. Podm eszcze uŝtecz wzór zmę przedzłu cłow. Jeśl mm wzór czl współcz wdrtur dl przedzłu [cd] d c t dt A t to po zme zmec moŝem otrzmć wzór dl przedzłu []: t d c d A. d c d c 3.4 Kwdrtur Guss. ZuwŜm począte Ŝe wzór wdrtur * moŝem tŝe zpsć z ucą wgową w:

15 w d A. ** Wted współcz wdrtur de są wzorem: A l w d... Węzł mogą ć w ogólm przpdu dowole. Powste pte cz eś ułd węzłów są lepsze od c. OtóŜ zcodz twerdzee: Jeśl węzł... są zerm -szego welomu ortogolego p w przedzle [] z wgą w to wdrtur ** o współczc zdc wzorem wŝe est dołd dl Ŝdego welomu do stop włącze. Nzwm ą wdrturą Guss. Z rozdzłu 3.8 w Ŝe dl uc wgowe w / węzłm wdrtur Guss w przedzle [ ] są zer welomu Czeszew odpowedego stop dl uc wgowe w w tm smm przedzle do ostruc wdrtur Guss uŝwm zer welomu Legedre. 3.5 Cł welorote. Cłowe metodm ote Crlo. etod cłow umerczego dą sę uogólć uce welu zmec. N przłd dl cł podwóe w prostoące [] [cd] dzeląc przedzł odpowedo m putów dostem / c c d c/m Odpowedem wzoru prostoątów est I m / odpowedem wzoru trpezów: I / m m 4 [ ] w gdze w dl wewętrzc putów st w /4 dl werzcołów prostoąt w / dl pozostłc putów rzegowc. Dl złoŝoc oszrów płsc uŝw sę często ste złoŝoc z tróątów. Dl cłe o duŝe rotośc opłcć sę moŝe zstosowe metod ote-crlo. ZłóŜm Ŝe ccem olczć cłę I d posłuŝlśm sę cłą edorotą dl przerzstośc w prtce e opłc sę dl c stosowć metod C. Nec r r... r ędą lczm losowm w prtce pseudolosowm o rozłdze prostoątm w [] tz. Ŝd wrtość z tego przedzłu est edowo prwdopodo. Polczm uśredoą wrtość uc w putc r r. OtóŜ wrtoścą oczewą te zmee est szu wrtość cł I.