Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przypomnijmy tu znany wzór Taylora ze względu na jego wykorzystanie w zagadnieniach interpolacji, róŝniczkowania i całkowania numerycznego."

Transkrypt

1 3. Wzór Tlor. Przpomm tu z wzór Tlor ze względu ego worzste w zgdec terpolc róŝczow cłow umerczego. Jeśl uc e perwszc pocodc est cągłc w przedzle domętm [] to dl dowolc putów z przedzłu [] zcodz!! ξ gdze put ξ leŝ pomędz. W powŝszm wzorze ozcz -tą pocodą uc. Alogcze twerdzee mm dl uc dwu zmec. Jeśl uc orz wszste e pocode cząstowe Ŝ do rzędu są cągłe w pewm domętm prostoące płszczźe put orz leŝą w tm prostoące to!! θ θ < θ < Opertor d dzłą stępuąco: d d d d d uc pocode po prwe stroe olcze są w puce. 3. Scemt róŝcow. W dlszc rozwŝc pomoc ędze eedorote tel olec róŝc elemetów dego cągu uporządow w oreślo sposó:

2 Kolee olum tego scemtu otrzmuem przez olee odemow p. td. N przłd dl cągu lcz {} dostem scemt Scemt tego tpu pomoce są w olczec wowc ręcze le teŝ prz progrmowu sstemtczego olcz pewc wrŝeń. 3.3 Iterpolc. Iterpolc welomow. Zmowć sę ędzem terz zgdeem terpolc tz. dor te uc g Ŝe dl zdc putów est g. Jeśl put są wrtoścm pewe uc to mówm Ŝe g terpolue ucę. Iterpolcę stosuem do dopsow uc do tel putów p. uzsc z dośwdcze le tŝe przlŝć ucę ewgodą w zstosowc p. osztową w olczu ą dogodeszą. Spreczum eszcze Ŝe często mówm o terpolc eśl wrtośc uc terpoluące olczm wewątrz przedzłu wzczoego przez put tomst wzcze wrtośc te uc zewątrz tego przedzłu to estrpolc est to zde ogół rdzo rołome. Szczególe zczee m terpolc welomm ą sę ędzem zmowć. Zde tóre ccem rozwązć est stępuące: de est putów zwc węzłm terpolc wrtośc w tc putc. Ccem zleźć welom p moŝlwe Ŝszego stop t Ŝe p dl... Jeśl lcz są prm róŝe to stee dołde ede welom stop co wŝe spełąc powŝsz wrue. Welomu tego moŝ szuć w postc p c c K c K Jest to wzór terpolc Newto. W rdze zwrte postc zpsue sę go stępuąco c p.

3 Współcz w powŝszm wzorze d sę wrzć przez tzw. lorz róŝcowe: c [... ] [ ] ] [ Ilorz wŝszc rzędów wzcz sę reurece: ] [ ] [ ] [ K K K. Wstrcz do tego zomość węzłów orz wrtośc czl [ ]. Nprośce tworzć odpowedą telę: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 3 ] [ ] [ 3 ] [ 3 ] 3 [ 3 ] Współcz welomu w tel zostł pogruoe. I postć welomu terpolcego zd est wzorem terpolcm Lgrge. l p We wzorze tm l są welomm zleŝm ede od węzłów le e od wrtośc w tc węzłc. Zde są wzorem l. PoewŜ welom terpolc oreślo est edozcze o wzor oreślą te sm welom coć zuwŝee tego wmg prc prz przesztłcec. Ią metodą zleze welomu est poszuwe współczów prz olec potęgc p... Prowdz to do ułdu rówń lowc: L L L. cerz tego ułdu zw est mcerzą Vdermode. Szue współcz moŝ zleźć rozwązuąc ułd. Ne est to ed metod zlec.

4 3.4 Zwso Rugego. Wdwć sę mogło Ŝ m gęśce rozmeszczoe są węzł terpolc tm lepsz ędze e eet. OtóŜ ozue sę Ŝe e est to prwdą. Prz rówoodległc węzłc oserwue sę często osclce zcowe uc terpoluące rńcc przedzłu w tórm prowdz sę terpolcę. Osclce te rstą wrz ze zwęszem lcz węzłów. Jest to tzw. zwso Rugego lsczm przłdem est terpolc uc 5 rówo rozmeszczom węzłm w przedzle [-] ptrz ćwcze. Jeśl stee moŝlwość dooru węzłów to w przedzle [-] powo sę werć węzł zde wzorem cos π... Węzł te są zerm welomu Czeszew odpowedego stop ptrz dle zw sę e węzłm Czeszew. Ic uŝce pozwl zcze zreduowć wstępowe zws Rugego. Węzł Czeszew są węzłm optmlm do terpolc w przedzle [-]. W przpdu przedzłu ego Ŝ [-] moŝ woć odpowede podstwee: p. eśl [-] to podstwąc t ½ ½ otrzmuem t [ ]. Gd e m moŝlwośc woru węzłów moŝ rozwŝć terpolcę ucm slem lu zstosowe prosmc ptrz dlsze podrozdzł. 3.5 Wzor terpolce dl rówoodległc węzłów. W terpolc eoecze teresue s postć welomu terpolcego. Często ccem tlo podstwe wrtośc uc w węzłc zleźć e wrtośc pomędz węzłm. Oczwśce eśl zdzem welom terpolc to łtwo olczm ego wrtośc dl Ŝądc putów. oŝ e ed olczć ez zdow welomu. W tm przpdu często mm do cze z terpolcą w rówo rozmeszczoc węzłc. Jeśl olee węzł są odległe o : to moŝ pozć Ŝe zcodz wzór terpolc Newto dl węzłów rówoodległc: m p p K p m m p p K p m p ξ! m! Potrzee wrtośc olczm ze scemtu róŝcowego tpu:

5 Put w tórm ccem wzczć wrtość uc zdue sę mędz. Potrzee współcz w tm scemce zduą sę przeąte. oŝ teŝ utworzć wzor orzstące z róŝc zduącc sę tm smm pozome co p. p p p p p p 3 p!! 3! p p p p 4 K 4! lu p p p p p p 3 p!! 3! p p p p 4 K 4! Są to wzor Newto-Guss. 3. Iterpolc odwrot. Iterpolcę odwrotą stosuem prz rozwązu stępuącego prolemu: mm tlcę wrtośc uc ccem rozwązć rówe c c est pomędz dl pewc w sze tlc. Nzupełe ogóle mąc tlcę wrtośc moŝem przestwć olum potrtowć e o tlcę g gdze g est ucą odwrotą do. etodą opsą w 3.3 wzczm terz welom terpolc dl g po czm moŝem olczć ego wrtość gc. Jeśl put w tlc są rówoodległe o wrtość to często m mesce p. gd orzstm z tlc mtemtczc to moŝem postąpć cze. Korzstm ze wzoru terpolcego dl putów rówoodległc p. wzoru terpolcego Newto z 3.5. Nec sze szue speł p m wted 3 c p p p p p p p K Po przesztłceu moŝem przepsć tę zleŝość w postc p ϕ p gdze 3 ϕ p c K p p p p p Rówe to rozwązuem terce o perwsze przlŝee przmuąc c p stępe olcząc olee przlŝe p ϕ p.

6 3.7 Iterpolc ucm slem. ZłóŜm Ŝe mm węzłów... uporządowc w oleośc < <... <. Fucę sleą stop zwm tą ucę S tór w Ŝdm z przedzłów [ ] est welomem stop co wŝe orz m cągłą - pocodą w [ ]. Im słow ucę S slem grcc przedzłów z welomów odpowedego stop dąc o cągłość odpowede pocode. Szczególe często uŝwe są uce slee stop trzecego sześcee. Szum ztem te uc tór w Ŝdm z przedzłów est welomem stop trzecego est cągł m cągłą perwszą drugą pocodą. m przedzłów czl potrzeuem zleźć welomów stop 3 rzem 4 współczów. S to welom terpoluąc w przedzle [ ]. Cągłość uc w - putc slee ozcz S - S dl... - m stąd wruów współcz. Nstępe dostem z wrtośc uc w src putc: S orz S. Cągłość perwsze pocode w putc slee S - S... - de olec wruów tle smo dostem z cągłośc druge pocode S - S... - Rzem mm 4 wru. PoewŜ est 4 współczów ozcz to stope swood prz c wzczu. Jedm ze sposoów c worzst est przęce Ŝe drug pocod w src putc est rów S S De to tzw. turle uce slee. Wrtośc współczów de sę wzczć z pewego ułdu rówń lowc wącego z powŝszc wruów. Fuce slee pozwlą dopsowć głdą rzwą do putów terpolc stąd c gels zw sples cuc sples dl uc slec sześcec pocodząc od sple merńsego rzw dącego sę wgć. 3.8 Aprosmc średowdrtow welomm ortogolm. W rozdzle. wprowdzlśm poęce przestrze lowe z loczem slrm. OtóŜ przestrzeń tą tworzą uce cągłe w pewm przedzle [ ] locz slr dwu uc g oreślo est stępuąco g g w d w est ucą wgową. Dwe uce g są ortogole eśl g. Ilocz slr oreśl ormę euldesową. Zde prosmc średowdrtowe est stępuące. Ccem przlŝć ucę cągłą w przedzle o omcę lową

7 * c ϕ dc uc ϕ ϕ... ϕ. Współcz doerm t wŝo orm euldesow łędu * ł mesz tz. wrŝee * * w d ło mesze. Jeśl uce ϕ są lowo ezleŝe to zde prosmc średowdrtowe m ede rozwąze * * c ϕ ego współcz spełą rów ormle: * ϕ ϕ c ϕ... Jeśl uce ϕ tworzą ułd ortogol to olczee współczów sę uprszcz. De są oe wted wzorm * ϕ c... ϕ ϕ Brdzo wŝe w prosmc średowdrtowe są ztem rodz welomów ortogolc. Prwdopodoe wŝesze z c są welom Czeszew oreśloe w [ ] wzorem T cos rc cos Dl początowc są to: T T T T T Welom Czeszew spełą wzór reurec T T T T T Są oe ortogole dl loczu slrego z wgą / : g g / d T T π π Welom T zer w [ ] dc wzorem

8 π cos... J uŝ wspomo zer welomów Czeszew wzczą optmle węzł dl terpolc welomowe w [ ]. W prosmc średowdrtowe w [ ] z ucą wgową w uŝw sę welomów Legedre oreśloc wzorem d P P! d Spełą oe wzór reurec: P P P P P Dl początowc są to 3 P P P 3 P Welom Legedre są w [ ] ortogole z wgą rówą czl dl loczu slrego g g d P P. 3.9 RóŜczowe umercze. Zstówm sę ząc wrtośc uc w róŝc putc zleźć wrtość e pocodc w zdm puce. Dl perwsze pocode oszcowe moŝem uzsć z lorzu róŝcowego uŝtego w e dec: ' [ ] oŝem zptć est łąd tego oszcow. Uzsm go z wzoru Tlor. Jeśl est cągł w [ ] stee w to ' '' ξ put ξ leŝ mędz. Stąd ' [ ] '' ξ.

9 W powŝszm wzorze słd [ ]/ to przlŝee pocode tóre uzslśm uŝ wŝe ξ/ to ego łąd. W powŝszm przłdze łąd te zleŝ od w perwsze potędze ztem m mesze tm lepsze oszcowe ed tlo do pewego mometu o dl zt młc zczą odgrwć rolę łęd umercze prz olczu róŝc. Ccelśm zleźć wzor w tórc łąd zleŝ od w moŝlwe wsoe potędze gdŝ wted zmesząc dostem szą reducę łędu. Sorzstm poowe z wzoru Tlor z tórego mm 3 3 ' '' ξ ' Odemuąc strom dzeląc przez mm '' 3 3 ξ 3 3 ' [ ] [ ξ ξ ] prz czm ξ ξ zduą sę w przedzle. Prz złoŝeu Ŝe trzec pocod uc est cągł w tm przedzle stee w m te ξ Ŝe 3 ξ [ 3 ξ 3 ξ ]/ mm 3 ' [ ] ξ Otrzmlśm ztem wzór w tórm łąd zleŝ od w druge potędze. Alogczą metodą moŝ uzsć wzór umercze olcze druge pocode: 4 '' [ ] ξ z łędem zleŝm od lu '' [ 3 ] dl tórego łąd zleŝ od 4. Te drug wzór moŝ otrzmć z perwszego metodą estrpolc opsą Ŝe. 3. Estrpolc Rcrdso Procedur estrpolc słuŝ do elmow olec słdów łędu poprzez odemowe wrtośc olczoc dl zmeoego. Z wzoru Tlor!! Po odęcu tc rówń strom moŝem wzerowć wszste słd z przstm potęgm dostć przlŝee perwsze pocode ' [ ] K 3! 5! Ozcząc F perwszą pocodą ϕ e przlŝee [ ]/ otrzmuem 4 F ϕ 4 K Dl młc węszm słdem łędu est.

10 Olczm przlŝee pocode dl /. m wted 4 F ϕ / / 4 4 / / 4 K Jeśl to rówe pomoŝm strom przez 4 odemem od ego poprzede dl rou otrzmm 4 3F 4ϕ / ϕ 34 / 4 5 / K po podzeleu przez 3 otrzmuem osttecze 4 4 F ϕ / ϕ / K 3 3 Olcząc ztem przlŝee pocode dl orz / stępe orąc c róŝcę z odpowedm współczm dostem przlŝee w tórm łąd zleŝ od w potędze czwrte wŝszc. Nc e sto przeszodze tm sposoem welmowć czło z 4. Ozczm 4 ψ ϕ / ϕ 3 3 Olcząc terz ψ/ moŝąc odemuąc rów dostem F ψ / ψ / K 5 5 Nstępe moŝem ozczć θ ψ / ψ 5 5 logczm sposoem dostem 4 8 F θ / θ c8 K Welmowlśm uŝ wszste czło z w potęgc Ŝszc Ŝ 8. etod t to estrpolc Rcrdso. PoewŜ rozumowe e zleŝ od tego czm są F orz ϕ węc metod stosue sę e tlo do umerczego olcz pewrsze pocode le teŝ w c przpdc. W sstemtczm e stosowu pomoce są stępuące wzor opsuące metodę. Jeśl ccem woć e N roów to zcząc od pewego olczm welośc: F ϕ/ dl... N Nstępe dl dego olczm reurece dl... : F F F F 4 W eece otrzmuem tróątą tlcę z olem przlŝem szue welośc F. F F F F N F F F N F F N O L F N N Podom sposoem moŝ poprwć oszcowe welośc dc wzorem m Ŝ ϕ.

11 3. Pewe zstosow róŝczow umerczego w cem wtowe. RóŜczowe umercze uŝw sę w cem wtowe do olcz pocodc eerg ułdu ed e są dostępe dl de metod lu w dm progrme ltcze wrŝe pocode. W szczególośc perwsze pocode eerg potecle ułdu V po współrzędc tomów des umerue współrzęde tom V/ słuŝą do olcz grdetów prz optmlzc geometr. Z ole po zlezeu mmum eerg ułdu moŝ olcząc druge pocode eerg potecle wzczć stłe słowe dl drgń rmoczc co w z rozwęc eerg w szereg Tlor ocęcu go człoc wdrtowc: V V R V R R R ozcz współrzęde tomów w mmum eerg wetor wcleń z tego mmum. Numercze olcze pocodc wmg tu wcl o młą welość poszczególc tomów z połoŝe rówowg w 3 ezleŝc eruc. Pocode eerg po słdowc pol eletrczego worzstue sę w olczu welośc crterzuącc eletrcze włsośc cząstecze. Jeśl owem eergę cząstecz E rozwem w szereg względem ezt mocego zewętrzego pol eletrczego F ozczee F stosuem uąć pomle pol z eergą to otrzmm E E E F E F F K F F F F F F Perwsz pocod eerg z przecwm zem de odpowedą słdową trwłego mometu dpolowego cząstecz E µ F F tomst druge pocode eerg ze zmeom zem to słdowe tesor polrzowlośc cząstecz E α F F F z druge stro moŝ e teŝ otrzmć o perwsze pocode słdowc mometu dpolowego po polu: µ α F F m stąd z wzór zmę eerg cząstecz w polu eletrczm E F E µf FαF K Olcze prowdz sę tzw. metodą sończoego pol olcząc eergę cząstecz w słm zewętrzm polu ez pol stępe wzcząc odpowedą welość przez róŝczowe umercze. Jolwe moŝ w te sposó olczć momet dpolow e ro sę tego gdŝ mąc w wu olczeń połoŝe ąder tomowc rozłd gęstośc eletroowe moŝ momet dpolow wzczć wprost. Polrzowlość w metodze sończoego pol moŝ uzsć z druge pocode eerg lo o perwszą pocodą mometu dpolowego. NleŜ pmętć Ŝe ze względu

12 tesorow crter te welośc w ogólm przpdu musm przłdć pole w róŝc eruc zleźć wszste pocode cząstowe c Ŝe smetr cząstecz uprośc m zde. 3. Cłowe umercze. Wzór trpezów. etod Romerg. Cł eozczoe z welu uc e wrŝą sę poprzez uce elemetre stąd zczee cłow umerczego. Nturlm sposoem olcze cł ozczoe d est przlŝee uc podcłowe przez ucę łtwą do scłow. Nprostszm przpdem moŝe ć uc low sąd otrzmuem wzór prostoątów przlŝąc pole pod rzwą prostoątem: d orz wzór trpezów przlŝąc pole pod rzwą trpezem: d. Cłuąc łąd terpolc prowdzące do wzoru trpezów moŝ pozć Ŝe łąd wzoru trpezów wos 3 '' ξ ξ Przedzł cłow moŝ podzelć mesze przedzł stosuąc do Ŝdego z c wzór prostoątów lu trpezów lu wzór cłow. Sumuąc oszcow z podprzedzłów dostem wzór złoŝo. Częstm przpdem est podzł wścowego przedzłu prz pomoc rówoodległc o putów. m wted: / Wzór prostoątów m wted postć: d / wzór trpezów: d. Wcodząc ze wzoru Euler-clur moŝ uzsdć podoą do estrpolc Rcrdso metodę polepsz przlŝe cł przez zgęszcze putów podzłu. Jest to metod Romerg. Przedzł [] dzelm podprzedzłów o rówe długośc. Stosuąc złoŝo wzór trpezów olczm wted przlŝe cł dl róŝe lcz putów podzłu:

13 I Nprostsz est sum I [ ] Nstępe olczm oleo I I td. Oczwśce leŝ zwrócć uwgę t Ŝe olcząc I leŝ tlo dołoŝć owe put do I e olczć epotrzee wrtośc uc we wszstc putc. Podoe w scemce estrpolc Rcrdso przlŝe I dą perwszą olumę tel stępe olczm według wzoru I m I m [ I m I m ]. m 4 Dostem osttecze telę corz lepszc przlŝeń cł: I I I I I I I I I 3.3 Wzor Newto-Cotes. O L I J uŝ powedzelśm ogólą metodą olcz cł ozczoe est przlŝee uc podcłowe welomem tór uŝ łtwo scłowć. Jeśl w przedzle cłow [] wrlśm węzł... to moŝem zstosowć wzór terpolc Lgrge p l gdze l W stąd Ŝe d p d Wzór cłow umerczego postc: l d d A * zw sę wdrturą. W przpdu wŝe współcz wdrtur de są wzorem A l d... Jeśl węzł terpolc są rówo rozmeszczoe: to wdrturę * ze współczm podm wŝe zw sę wzorem Newto-Cotes. Zoczm co dostem ze wzoru Newto-Cotes dl. Wted

14 m l l Olcząc cł współcz wdrtur dostem A l d A l d Netrudo zuwŝć Ŝe z wzoru Newto-Cotes wprowdzlśm wzór trpezów d TŜe e przpd wzoru Newto-Cotes dl młc mą swoe włse zw. Podm e poŝe z uŝcem / 3 : d łąd '' ξ Jest to uŝ stwerdzlśm wzór trpezów. 5 4 : d 4 łąd ξ 3 9 Jest to wzór Smpso : d łąd ξ 8 8 Jest to tzw. reguł 3/8. Wzcząc współcz wdrtur moŝem uąć wzcz cłow welomu terpolcego Lgrge. OtóŜ wdrtur oreślo wzorem * mus ć dołd dl welomu stop. W tm rze e współcz muszą spełć ułd rówń d A... Olcząc proste cł po lewe stroe rozwązuąc te ułd dostem współcz wdrtur. etodę tę zw sę metodą eozczoc współczów. Podm eszcze uŝtecz wzór zmę przedzłu cłow. Jeśl mm wzór czl współcz wdrtur dl przedzłu [cd] d c t dt A t to po zme zmec moŝem otrzmć wzór dl przedzłu []: t d c d A. d c d c 3.4 Kwdrtur Guss. ZuwŜm począte Ŝe wzór wdrtur * moŝem tŝe zpsć z ucą wgową w:

15 w d A. ** Wted współcz wdrtur de są wzorem: A l w d... Węzł mogą ć w ogólm przpdu dowole. Powste pte cz eś ułd węzłów są lepsze od c. OtóŜ zcodz twerdzee: Jeśl węzł... są zerm -szego welomu ortogolego p w przedzle [] z wgą w to wdrtur ** o współczc zdc wzorem wŝe est dołd dl Ŝdego welomu do stop włącze. Nzwm ą wdrturą Guss. Z rozdzłu 3.8 w Ŝe dl uc wgowe w / węzłm wdrtur Guss w przedzle [ ] są zer welomu Czeszew odpowedego stop dl uc wgowe w w tm smm przedzle do ostruc wdrtur Guss uŝwm zer welomu Legedre. 3.5 Cł welorote. Cłowe metodm ote Crlo. etod cłow umerczego dą sę uogólć uce welu zmec. N przłd dl cł podwóe w prostoące [] [cd] dzeląc przedzł odpowedo m putów dostem / c c d c/m Odpowedem wzoru prostoątów est I m / odpowedem wzoru trpezów: I / m m 4 [ ] w gdze w dl wewętrzc putów st w /4 dl werzcołów prostoąt w / dl pozostłc putów rzegowc. Dl złoŝoc oszrów płsc uŝw sę często ste złoŝoc z tróątów. Dl cłe o duŝe rotośc opłcć sę moŝe zstosowe metod ote-crlo. ZłóŜm Ŝe ccem olczć cłę I d posłuŝlśm sę cłą edorotą dl przerzstośc w prtce e opłc sę dl c stosowć metod C. Nec r r... r ędą lczm losowm w prtce pseudolosowm o rozłdze prostoątm w [] tz. Ŝd wrtość z tego przedzłu est edowo prwdopodo. Polczm uśredoą wrtość uc w putc r r. OtóŜ wrtoścą oczewą te zmee est szu wrtość cł I.

Metody numeryczne procedury

Metody numeryczne procedury Metod umercze procedur podstwe [Mrc et. l. 997] orz [Broszte et. l. 004] dr ż. Pweł Zlews Adem Mors w Szczece Iterpolc welomow: Zde terpolc poleg zlezeu pewe uc tór przlż dą ucę. Dl uc ze są prz tm wrtośc

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe wyłd r różczowe przylżoe cłowe umerycze r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Perwsz pocod uc Perwsz pocod uc dec: ' lm Ozcze:

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n

Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.

Bardziej szczegółowo

Spójne przestrzenie metryczne

Spójne przestrzenie metryczne Spóe pzeszee ecze De. Pzeszeń eczą zw spóą eżel e d sę e pzedswć w posc s dwóc zoów epsc owc ozłączc. - pzeszeń spó ~ owe Icze es zoe spó eżel dl dowolc pów czl see cągł c : : = = see dog łącząc Tw. ągł

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej Isttt Atomt Iformt Stosowe Poltech Wrszwse Algortm predce w wers ltcze z efetwm mechzmem względ ogrczeń wść Potr Mrs Pl prezetc. Wstęp. Algortm reglc predce 3. Uwzględe ogrczeń łoŝoch sgł sterąc 4. Uwzględe

Bardziej szczegółowo

Różniczkowanie numeryczne

Różniczkowanie numeryczne cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows Różczowe umercze Różczowem umerczm zwm wzcze przblżoc wrtośc pococ uc srete ee lub welu zmec w zc putc obszru. Opercę tą moż woć wuetpowo:

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest

Bardziej szczegółowo

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl

Bardziej szczegółowo

VIII. RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE

VIII. RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE VIII. RÓŻICZKOWAIE UMERYCZE Z defcj pocodej wey, że f ( x+ ) f ( x) f ( x) = ( ), >. (8.) Fucję f(x + ) ożey rozwąć przez zstosowe wzoru ylor: + f x f x f x f x + ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + K + f ( x) +

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.

Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna. terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZA ITELIGECJA WYKŁAD. SYSTEMY EUROOWO-ROZMYTE Częstocow 4 Dr b. ż. Grzegorz Dude Wdzł Eletrcz Poltec Częstocows SIECI EUROOWO-ROZMYTE Sec euroowo-rozmte pozwlją utomtcze tworzee reguł podstwe przłdów

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku?

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. Jaki jest dopuszczalny błąd wyniku? METODY NUMERYCZNE Wkłd. dr h.ż. Ktrz Zkrzewsk, prof.agh Met.Numer. wkłd Pl Aproksmc Iterpolc welomow Przkłd Met.Numer. wkłd Aproksmc Metod umercze zmuą sę rozwązwem zdń mtemtczch z pomocą dzłń rtmetczch.

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)

Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa) Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak Metody numeryzne Wyłd nr 7 dr. Potr Fronz Cłowne numeryzne Cłowne numeryzne to przylżone olzne łe oznzony. Metody łown numeryznego polegją n przylżenu ł z pomoą odpowednej sumy wżonej wrtoś łownej unj

Bardziej szczegółowo

Kwadratury numeryczne

Kwadratury numeryczne Kdrtur umercze Kdrturm umerczm zm zor służące do przlżoego zcz rtośc cłe ozczoch oszrze edo lu elo mrom. Olcze cłe ozczoch oszrze elomrom sprodz sę do elorotego zstoso drtur dl oszru edomroego. Ide postępo

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch t, y zde mogło yć rozwąze przez omputer. Rozwązywe ułdów rówń lowych.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji

Aproksymacja funkcji Aprosymcj fcj. Ogóle sformłowe zgde prosymcj jedowymrowej Sformłowe zgde prosymcj D - prosymcj cągł: zleźć fcję p( x ) prosymjącą (zstępjącą, przylżjącą) dą fcję cągłą ( ) f x w przedzle [ ] p( x ) powy

Bardziej szczegółowo

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. róŝniczkowanie przybliŝone całkowanie numeryczne

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. róŝniczkowanie przybliŝone całkowanie numeryczne Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Metody olczeowe wykłd r 4 róŝczkowe przylŝoe cłkowe umerycze Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Perwsz pochod ukc Ozcze: - ukc określo

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale

Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile

Bardziej szczegółowo

Spójne przestrzenie metryczne

Spójne przestrzenie metryczne lz Włd 5 d d Ćel cel@gedpl Spóe pzeszee ecze De Pzeszeń eczą ρ zw spóą eżel e d sę e pzedswć w psc s dwóc zów epsc wc złączc ρ - pzeszeń spó ~ we Icze es ze spó eżel dl dwlc pów czl see cągł c γ : : γ

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe. Semestr II

Metody obliczeniowe. Semestr II Metody olczeowe Semestr II Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch. Rozwązywe ułdów rówń lowych. Metody ezpośrede tercye.. Sposoy rozwązyw rówń elowych, zgdee optymlzc.. Aprosymc

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA Woskowe sttstcze - egesj koelcj teść Wpowdzee Regesj koelcj low dwóch zmech Regesj koelcj elow - tsfomcj zmech Regesj koelcj welokot Wpowdzee Jedostk zoowośc sttstczej mogą ć chktezowe

Bardziej szczegółowo

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa

Bardziej szczegółowo

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA

SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA POLIECHIK CZĘSOCHOWSK KEDR IŻYIERII KOMPUEROWEJ PRC DOKORSK SYSEMY ROZMYO-EUROOWE RELIZUJĄCE RÓŻE SPOSOY ROZMYEGO WIOSKOWI Roert owc Promotor: dr h. ż. Dut Rutows rof. dzw. P.Cz. Częstochow 999 eszm chcłm

Bardziej szczegółowo

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów . Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc

Bardziej szczegółowo

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska. chł zdows Istytut echolog Iforcyych w Iżyer ądowe Wydzł Iżyer ądowe oltech Krows Iterpolc Iterpolc oże być trtow o szczególy przypde prosyc polegący ty że fuc prosyow fuc prosyuąc przyuą te se wrtośc w

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE

ZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE L.Kowals Zmee losowe welowmarowe ( ΩS P ZMIENNE LOSOWE WIELOWMIAROWE - ustaloa przestrzeń probablstcza. (... - zmea losowa - wmarowa (wetor losow cąg losow. : Ω R (fuca borelowsa P : Β R [0 - rozład zmee

Bardziej szczegółowo

Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna

Rozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna Rozszerzeie zczei smolu cłi Riem Z deiicji cłi Riem widć że isoą rolę odrw uporządowie prosej R prz worzeiu podziłu P. Jeżeli zmieim uporządowie prosej o sum cłowe zmieiją z o zmieiją z różice - -. Przjmiem

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

Algorytmy metod numerycznych. Monika Chruścicka

Algorytmy metod numerycznych. Monika Chruścicka Algoryty etod ueryczych Mok Chruścck Ktolck Uwersytet Luelsk J Pwł II Wydzł Nuk Społeczych, Istytut Ekoo Streszczee Artykuł zwer chrkterystykę etod ueryczych orz podstwowych lgorytów etod ueryczych. Przedstwoe

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka

Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Iormaa - Wład 9 - dr Bogda Ćmel cmelbog@ma.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec

Bardziej szczegółowo

Rozpraszania twardych kul

Rozpraszania twardych kul Wyłd XVIII Rozprszn twrdych u Rozwżmy oddzływne twrdych u opsywne potencjłem V r r Ponewż potencjł jest seryczne symetryczny uncję ową możn zpsć w postc ( r Cm R Ym( m gdze Ym( to hrmon seryczne Rozprszne

Bardziej szczegółowo

dr inż. Zbigniew Szklarski

dr inż. Zbigniew Szklarski Włd : Wetor dr nż. Zgnew Slrs sl@gh.edu.pl http://ler.uc.gh.edu.pl/z.slrs/ Welośc fcne Długość, cs, sł, ms, prędość, pęd, prspesene tempertur, nprężene, premescene, ntężene prądu eletrcnego, ntężene pol

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Matematyka Finansowa

Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Matematyka Finansowa Egzm dl Akturuszy z 5 mrc 0 r. Mtmtyk Fsow Zd Krok : Ay koc roku yło co jmj ml K mus spłć rówość: 000000 50 000 K 50 000 000000 K Krok : Lczymy st kot koc roku zkłdjąc, Ŝ koc roku mmy ml 000000 50 5000

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19

Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19 Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej

Bardziej szczegółowo

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac

Bardziej szczegółowo

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n

460 Szeregi Fouriera. Definicja. Definicja. Układ trygonometryczny. Definicja Układ ortogonalny funkcji ( ϕ n 6 Szeregi Fourier Defiij Dwie fuje ψ :< > C zywmy fujmi ortogolymi przedzile < > gdy ψ Defiij Ciąg fuji ) :< > C zywmy ułdem ortogolym przedzile < > gdy fuje są prmi ortogole przedzile < > tz gdy j j λ

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""

6. *21! 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;! +!!4 oraz  % & !4!  )$!!4 1 1!4 )$$$  ' Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3 35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej. Algorytm DMC z funkcjami bazowymi. Piotr Marusak

Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej. Algorytm DMC z funkcjami bazowymi. Piotr Marusak Isttt Atomt Iformt Stosowej Poltech Wrszwsej Algortm DMC z fcjm bzowm Potr Mrs Pl rezetcj. Wstę. Strow lgortm DMC.. Algortm w wersj merczej.. Algortm w wersj ltczej 3. Algortm DMCBF (z fcjm bzowm) 3..

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 9. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 9. Dr Piotr Fronczak Metod nmerczne Wkłd nr 9 Dr Potr Fronczk Równn róŝnczkowe zwczne - prolem rzegowe BVP Dotcczs omwlśm prolem początkowe równ róŝnczkowe w którc dne ł wrtośc zmennc zleŝnc l c pocodne dl pewne szczególne

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...

Bardziej szczegółowo

ILOCZYNY WEKTORÓW. s równoległe wtedy i tylko wtedy. b =

ILOCZYNY WEKTORÓW. s równoległe wtedy i tylko wtedy. b = St Kowls Włd mtemt dl studentów erunu Mehn włd ILOZYNY WEKTORÓW 3 { : } trówmrow prestre tór mon nterpretow n tr sposo: Jo ór puntów W te nterpret element prestren 3 nw s puntm Nps on e punt m współrdne

Bardziej szczegółowo

instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego

instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego 5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE W INZYNIERII WODNEJ

METODY NUMERYCZNE W INZYNIERII WODNEJ Romuld Szmewcz METODY UMERYZE W IZYIERII WODEJ Wdwcwo Polec Gdse Romuld Szmewcz METODY UMERYZE W IZYIERII WODEJ Gds PRZEWODIZĄY KOMITETU REDAKYJEGO WYDAWITWA POLITEHIKI GDAŃSKIEJ Jusz T eślńs REEZET Wd

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH

BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH Ops ukłdu pomrowego Ukłd pomrow skłd sę z podstwowch częśc: dego geertor drgń relkscjch, zslcz geertor, geertor odese (drgń hrmoczch), oscloskopu. Pokz rsuku schemt deow geertor

Bardziej szczegółowo

I. APROKSYMACJA I INTERPOLACJA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

I. APROKSYMACJA I INTERPOLACJA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Oprcowł: mgr Słwomr Mlewsk Smodzely Zkłd Metod Komputerowych w Mechce L6, WL, PK APROKSYMACJA NTERPOLACJA FUNKCJ JEDNEJ ZMENNEJ Ogóle zgdee proksymcj moż opsć stępująco: De są pukty leżące ądź to do wykresu

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE DLA INŻYNIERÓW. (notatki do wykładu)

METODY NUMERYCZNE DLA INŻYNIERÓW. (notatki do wykładu) EODY NUERYCZNE DLA INŻYNIERÓW ott do włdu eugeusz.rosolows@pwr.wroc.pl Wrocłw, mrzec Sps reśc. Wstęp... 5. Lowe ułd rówń... 9.. Wprowdzee... 9.. etod elmcj Guss..... etod rozłdu LU....4. Itercje metod

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

PRZEPŁYWY MIĘDZYGAŁĘZIOWE. tablica przepływów międzygałęziowych

PRZEPŁYWY MIĘDZYGAŁĘZIOWE. tablica przepływów międzygałęziowych PRZEPŁYWY IĘDZYGŁĘZIOWE. [] Jeą z meto lzy zleŝośc wystęuących w rocesch tworze ozłu roukc mterle są metoy rzeływów męzygłezowych (lzy kłów wyków, lzy utoutut). zł Elemetrym osem ukłu est tut tzw. tlc

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce

Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce ttstk Wkłd 5 Ad Ćel A3-A4 3 cel@gh.ed.pl Wre rozkłd prwdopodoeństw żtecze w sttstce Rozkłd ch-kwdrt o stopch swood - to rozkłd s kwdrtów ezleżch zech losowch o stdrzow rozkłdze orl tz......d. rozkłd o

Bardziej szczegółowo

7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE

7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE 7. SFORMUŁOWAIE IZOPARAMETRYCZE W poprzedch rozdzłch omówlśm elemet skończoe formłowe z pomocą tzw. współrzędch ogóloch. Zkłdlśm że przemeszcze elemet zmeą sę zgode z przętm

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE LINIOWE.

PROGRAMOWANIE LINIOWE. Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. y xy (1.1) x y (1.2) z xyz (1.3)

Równania różniczkowe. y xy (1.1) x y (1.2) z xyz (1.3) ownn oznczkowe Równn óżnczkowe. Wstę Równne óżnczkow nzw ównne zwejące funkcje newdoe zenne nezleżne oz ocodne funkcj newdoc lu c óżnczk. Pzkłd d 5 d d sn d. d d e d d d. z z z z. ównne óżnczkowe zwczjne

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Technika optymalizacji

Technika optymalizacji Nelowe zde optymlzj sttyzej ez ogrzeń - PN ez ogrzeń dr Ŝ. Ew Szlh Wydzł Eletro Ker.: Eletro III r. EZI Sformułowe owe zd optymlzj elowej ez ogrzeń: Fuj elu f( : Zde optymlzj poleg zlezeu wetor zmeyh deyzyjyh,

Bardziej szczegółowo

są dyspersjami wartości mierzonych parametrów A

są dyspersjami wartości mierzonych parametrów A Dopsoe ucj oej eou Dopsoe ucj oej eou Dopsoe ucj oej Ze Y jest oą ucją X Y A A X W poró Y ją rozłd or o dspersj Y tór ogó przpdu róeż zeż od X. Wrtośc X e są orczoe łęd u jgorsz pdu oż je poąć poróu z

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Wektory DR INŻ. ZBIGNIEW SZKLARSKI

Wykład 2: Wektory DR INŻ. ZBIGNIEW SZKLARSKI Włd 2: Wetor DR INŻ. ZIGNIEW SZKLRSKI SZKL@GH.EDU.PL HTTP://LYER.UCI.GH.EDU.PL/Z.SZKLRSKI/ Welośc fcne Długość, cs, sł, ms, prędość, pęd, prspesene tempertur, ntężene prądu eletrcnego, nprężene, ntężene

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty)

1. Algebra wektorów. Rys Wektor w układzie współrzędnych (jego współrzędne i kąty) 1. Alger wetorów Welość wetorową chrterue wrtość, cl moduł, erune, wrot. Możn ą predstwć w sposó grfcn o odcne serown o długośc proporconlne do modułu lu te w sposó nltcn. Sposó nltcn poleg n podnu rutów,,

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Zaawasowae metod umercze Programowae lowe (problem dual, program low w lczbach całkowtch) Dualość est kluczowm poęcem programowaa lowego. Pozwala a udowodee że otrzmwae rozwązaa są optmale. Zagadee duale

Bardziej szczegółowo

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki w chemii. Marek Kręglewski

Zastosowania matematyki w chemii. Marek Kręglewski Zsosow mem w em Mre Kręglews Progrm zjęć. Czm są meod umerze? Tworzee lgormu.. Ierje rozwąze rówe pu =().. Rozwązwe rówń jedej zmeej: meod sej, Newo sez.. Cłowe umerze: meod rpezów Smpso. 5. Różzowe umerze.

Bardziej szczegółowo

Wygładzanie i filtrowanie danych z przeznaczeniem do interpretacji widm spektroskopowych.

Wygładzanie i filtrowanie danych z przeznaczeniem do interpretacji widm spektroskopowych. Uwerstet Moł Koper Wdzł Che Złd Che Fzcze Mrusz Hu Wgłdze fltrowe dch z przezczee do terpretc wd spetrosopowch. rc lcecc wo w Złdze Che Fzcze pod erue prof. ould Wódzego Toruń Sps treśc:. Cheoetr.. Modele.

Bardziej szczegółowo

kwartalna sprzeda elazek

kwartalna sprzeda elazek Modele elowe MODELE NIELINIOWE Prłd. model low elow - orówe). Kwrl sred ele w lch 996-999 wosł: 4 5 6 7 8 9 4 45 5 57 6 64 68 65 68 67 69 7 7 7 75 Wc rogo rec wrł ro 999. Z wres wd, e red jes rosc lec

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 11

METODY KOMPUTEROWE 11 METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Mchł PŁOTKOWIAK Adm ŁOYGOWSKI Konsultcje nukowe dr nż. Wtold Kąkol Poznń / METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Metod wżonych rezduów jest slnym nrzędzem znjdown

Bardziej szczegółowo

Pojęcie modelu. Model ekonometryczny. Przykład modelu ekonometrycznego. Klasyfikacja modeli ekonometrycznych. Etapy analizy ekonometrycznej

Pojęcie modelu. Model ekonometryczny. Przykład modelu ekonometrycznego. Klasyfikacja modeli ekonometrycznych. Etapy analizy ekonometrycznej Poęc modlu Modl s o uproszczo przdsw rzczwsośc Lwrc R Kl: Modl s o schmcz uproszcz pomąc so sp w clu wś wwęrzgo dzł form lub osruc brdz somplowgo mchzmu Główą zlą modlu s możlwość go bzpczgo przprowdz

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w G d y n i w d n i u 2 0 1 4 r po m i d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j i j e d n o s t k a b u d e t o w a ( 8 1-5 3 8 G d y n i a ), l

Bardziej szczegółowo

Zasada wariacyjna mechaniki kwantowej

Zasada wariacyjna mechaniki kwantowej Zsd wry meh wtwe uł eerg: K ( [ ] Hˆ ( K de rmwe (łwe z wdrtem fu przyprz dw est wrt zew eerg w ste psym t fu. Jest t p e gze d p fu. u przyprz dwue wrt zbwe zb wrt fu. Argumetm s zby. D fułu rgumetm s

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa 1

Rozkłady prawdopodobieństwa 1 Rozkłdy rwdoodoeństw Rozkłdy rwdoodoeństw. Rozkłdy dyskrete cągłe. W rzydku rozkłdu dyskretego określmy wrtośc rwdoodoeństw dl rzelczlej skończoej lu eskończoej lczy wrtośc zmeej losowej. N.... wszystke

Bardziej szczegółowo

Ż ś ćł ę ś ś ź ć ę ł ś ś ę ę ę ę ę łę ę ś ę Ś ę ę ł ę ę ę Ń ć Ś ć ę ś Ś Ź Ć ę ę Ę ę ś ę ł ę ę Ć ł ę ć ę ś ę ę ę ść ę ź ś ś ę Ć ę ę ę ł ć ź ę ć ś ł

Ż ś ćł ę ś ś ź ć ę ł ś ś ę ę ę ę ę łę ę ś ę Ś ę ę ł ę ę ę Ń ć Ś ć ę ś Ś Ź Ć ę ę Ę ę ś ę ł ę ę Ć ł ę ć ę ś ę ę ę ść ę ź ś ś ę Ć ę ę ę ł ć ź ę ć ś ł Ą ł ł ś Ń ś ę Ź ł ę Ł ść ę ę ę ś ćź ł ę ś ć ę ś ę ę ę ę ś ęś ś Ż ś ćł ę ś ś ź ć ę ł ś ś ę ę ę ę ę łę ę ś ę Ś ę ę ł ę ę ę Ń ć Ś ć ę ś Ś Ź Ć ę ę Ę ę ś ę ł ę ę Ć ł ę ć ę ś ę ę ę ść ę ź ś ś ę Ć ę ę ę ł ć ź

Bardziej szczegółowo

r h SSE EKONOMETRIA - WZORY p pk Opracowała: Joanna Kisielińska 1 Metody doboru zmiennych Metoda Nowaka Metoda Hellwiga Metoda momentów

r h SSE EKONOMETRIA - WZORY p pk Opracowała: Joanna Kisielińska 1 Metody doboru zmiennych Metoda Nowaka Metoda Hellwiga Metoda momentów Opowł: Jo Kselńs EKONOMETRIA - WZORY Metod doou zmeh Metod Now * t I I I Metod Hellwg om L l l K p p pk h l l K p H l h pk Metod mometów e Regesj post Modele: MNK m s s Y X C s v Opowł: Jo Kselńs Współz:

Bardziej szczegółowo

Ń Ł Ń Ó Ł Ę Ó Ó Ę ĘŚ Ó ÓŚ Ó Ę Ć Ó Ć Ę Ł Ó Ę Ć Ś Ż Ś Ś Ó Ó Ś Ń Ś Ó Ę Ę Ż Ć Ś Ó Ę Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ś Ę Ę Ł Ć Ć Ś Ó Ę Ź Ę Ż Ź Ś Ź Ę Ę Ę Ó Ó Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ę Ę Ć Ę Ć Ł Ź Ę Ę Ś Ń Ę Ć Ź Ó Ź Ó Ó Ę Ć Ć Ć Ź Ę Ę Ć Ę Ę

Bardziej szczegółowo

Zmiana bazy i macierz przejścia

Zmiana bazy i macierz przejścia Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki w chemii. Marek Kręglewski

Zastosowania matematyki w chemii. Marek Kręglewski Zsosow mem w em Mre Kręglews Progrm zjęć. Czm są meod umerze? Tworzee lgormu.. Ierje rozwąze rówe pu =().. Rozwązwe rówń jedej zmeej: meod sej, Newo sez.. Cłowe umerze: meod rpezów Smpso. 5. Różzowe umerze.

Bardziej szczegółowo

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1

Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej

Bardziej szczegółowo

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne 2017/2018

Metody Numeryczne 2017/2018 Mod urcz 7/8 Ior Sosow III ro Iżr Oczow II ro Włd 5 Rodzj roscj 8 8 8 - - - - 3 8 8 6 8 roscj rocj roscj jdosj [ ] roscj śrdowdrow d Twrdz Wrsrss ów ż d dowoj ucj oż zźć wo o dowo ł odchu s od j ucj Br

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej Rozwiązywie ułdów rówń liiowych Metod elimicji Guss 2 Postwieie zgdiei Niech dy będzie ułd rówń postci b x x x b x x x b x x x 2 2 2 2 2 22 2 2 2 Powyższy ułd rówń liiowych z iewidomymi moż zpisć w postci

Bardziej szczegółowo

ć ż Ą ź ź ź Ź ć ć ź ż Ł ć Ź ź Ł ć ż ż Ć Ł ż ć ć ź ż Ł ć Ź Ć Ć Ł ż

ć ż Ą ź ź ź Ź ć ć ź ż Ł ć Ź ź Ł ć ż ż Ć Ł ż ć ć ź ż Ł ć Ź Ć Ć Ł ż ż Ź ż Ł ż Ś ż ć ż ć Ł Ś ż ż ż ż ź ż Ź ż ż Ż ć ć ż Ź ż ć ż ć ć ż ć ż Ą ź ź ź Ź ć ć ź ż Ł ć Ź ź Ł ć ż ż Ć Ł ż ć ć ź ż Ł ć Ź Ć Ć Ł ż ż Ź ż ź ż Ź ź Ź ćź ż Ś Ł ć ż ż ć ż ż ć ż ż ć ż ć ż ż Ł ż ź Ł ż Ł ż ć ż

Bardziej szczegółowo

Johann Wolfgang Goethe Def.

Johann Wolfgang Goethe Def. "Maemac ą ja Facuz: coolwe m ę powe od azu pzeładają o a wój wła jęz wówcza aje ę o czmś zupełe m." Joha Wola Goehe Weźm : m m Jeżel zdeujem ucje pomoccze j : j dla j = m o = m dze = Czl wacz pzeaalzowad

Bardziej szczegółowo

= v. T = f. Zagadnienia. dkość. 1 f T = Wielkości charakteryzujące przebiegi okresowe. v = 2πrf. Okres toru. dy dt. dx dt. v y. v x. dy y.

= v. T = f. Zagadnienia. dkość. 1 f T = Wielkości charakteryzujące przebiegi okresowe. v = 2πrf. Okres toru. dy dt. dx dt. v y. v x. dy y. Zgdnen Welośc chtezujące pzebeg oesowe Welośc chtezujące pzebeg oesowe (cl, oes, częstotlwość) uch jednostjn po oęgu (pę lnow, pzspeszene sł dośodow) uch obotow bł sztwnej (zwąze welośc lnowch z ątow)

Bardziej szczegółowo

SELEKCJA: JAK JEDNA POPULACJA (STRATEGIA) WYPIERA INNĄ

SELEKCJA: JAK JEDNA POPULACJA (STRATEGIA) WYPIERA INNĄ W stronę bolog: dnama oulacj Martn. owa Evolutonar Dnamcs elna Press 6 SELEKCJ: JK JED POPULCJ (STRTEGI) WYPIER IĄ Model determnstczn ( a ) ( b ) : Dodając stronam mam a b czl średne dostosowane (ftness).

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1

METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1 METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss

Bardziej szczegółowo

Nadokreślony Układ Równań

Nadokreślony Układ Równań Mchł Pzos Istytut echolog Iforcyych Iżyer Ląoe Wyzł Iżyer Ląoe Poltech Kros Noreśloy Uł Róń Z oreśloy ułe loych róń lgebrczych y o czye sytuc, gy lczb loo ezleżych róń est ęsz ż yr przestrze (lczb zeych).

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego

Bardziej szczegółowo

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA

1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA .4. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA.4.. Wetor przemeszcze Rozwżmy bryłę (cło mterle) o dowolym sztłce meszczoą w prostoątym łdze odese O (rys. ) Rys. gdze ozcz położee (mesce) pt mterlego w tym łdze,,,

Bardziej szczegółowo