ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Transkrypt

1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w loścach b,...,b. Dostawcam mogą być a przykład zakłady produkcye, pukty odprawy, hurtowe, magazyy, tp. Odborcam sklepy, hurtowe, e pukty popytu a towar. Nech mędzy każdym -tym dostawcą, a każdym -tym odborcą stee bezpośrede połączee trasportowe oraz są zae koszty trasportowe edostk produktu c w postac pewych lczb wymerych (=,..,m; =,..,). W praktyce moża zakładać, że wszystke wartośc a, b, c są lczbam całkowtym. Moża to zawsze osągąć poprzez dobór odpowede skal merzea. Zagadee trasportowe polega a ustaleu takch lośc przewozu towarów od dostawców do odborców, aby zostało zaspokooe zapotrzebowae wszystkch odborców oraz - aby sumaryczy koszt trasportu był mmaly. Ilośc przewożoych towarów od dostawców do odborców tworzą tak zway pla przewozu. Aby rozwązać zagadee trasportowe (ZT) trzeba zaleźć tak pla przewozu, dla którego sumaryczy koszt trasportu est mmaly. Wszystke dae weścowe możemy prezetować w postac tablcy trasportowe: Odborcy Dostawcy B B B b b b A a c c c A a c c c A m a m c m c m c m

2 W stadardowe postac ZT postać tę będzemy azywal zamkętym zagadeem trasportowym (ZZT) - przymuemy ograczee, że sumarycza podaż est rówa sumaryczemu popytow spełoy est tak zway waruek blasu: m a b Gdy ZT est otwarte, to blas e est spełoy. Mogą zaść dwa przypadk: m a) m a b b) a b Aby przekształcć otwarty model do zamkętego korzystać dale ze stadardowych metod rozwązywaa ZT stosuemy astępuącą metodę przekształceń otwartego ZT a zamkęty. W przypadku a) wprowadzamy do tablcy trasportowe dodatkowego. fkcyego dostawcę A m+, który dyspoue a m m b a edostkam towaru, przy czym koszty trasportu edostek takego towaru do odborców są zeram, tz. c m+, =, =,...,. Tym samym otrzymuemy zamkęte ZT. W przypadku b) dodaemy fkcyego odborcę B + oraz postępuemy aalogcze ak w przypadku a). Przy budowau modelu matematyczego ZT wprowadzamy zmee x, =,...,m; =,...,, które ozaczaą lość towaru trasportowaego od -tego dostawcy do -tego odborcy. Jeżel x ozacza lość produktu wysłaego z puktu A do puktu B to model matematyczy zamkętego zagadea trasportowego moża zapsać w postac: wyzacz wartośc x, =,...,m; =,...,, dla których fukca wartość ameszą, przy ograczeach: m z c x przymue x. a, =,...,m; (rówae ozacza, że cały towar mus być wywezoy od wszystkch dostawców);

3 m x. b, =,...; (zapotrzebowae wszystkch odborców mus być zaspokooe);. x. Aalzuąc sformułowae ZT w postac modelu matematyczego wdzmy, że w tym modelu wszystke ograczea oraz fukca celu maą potęgę ede, tz. ogóle rzecz borąc ZT est szczególym przypadkem ZPL moglbyśmy rozwązywać to zagadee metodą smpleksową. Ale steą zacze efektywesze metody rozwązaa ZT. Twerdzee ZT.. Zagadee trasportowe (ZT) ma co ame edo rozwązae dopuszczale. ab Takm rozwązaem mogą być wartośc x = a ab b. Te fakt moża sprawdzć podstawaąc wskazae wartośc bezpośredo do modelu matematyczego: dla każdego =,...,m mamy x = a b a a a b a b a a,, ale z założea x = a. aalogcze z popytem a towar wdzmy, że twerdzee est spełoe. Postępuąc Twerdzee ZT.. Mmale rozwązae dopuszczale ZT wymaga co awyże m+- dodatch wartośc x. Take rozwązaa azwao bazowym. Ne będzemy przeprowadzać tu dowodu twerdzea, skupmy sę a ego terpretac. Twerdzee ozacza, że optymalego rozwązaa moża szukać tylko pośród dopuszczalych rozwązań bazowych. Te fakt stote zmesza lość możlwych waratów rozwązań. Nech, dla przykładu mamy m=8 =. Mamy 8 ewadomych, 8 komórek macerzy trasportowe do wypełea. Okazue sę (z twerdzea wyże), że e we wszystkch komórkach są rozwązaa dodate.

4 Dodate przewozy mogą być tylko w m+- komórkach bazowych (będze ch 8+-=7), a w pozostałych (8-7=6) są zera. Na te podstawe zbudowao klka algorytmów rozwązaa ZT. Każda z tych metod realzue astępuący schemat rozwązaa: - aperw budowae est początkowe bazowe rozwązae; - dale sprawdza sę, czy est oo rozwązaem optymalym; - eśl e est rozwązaem optymalym, to budue sę owe rozwązae bazowe, które ezacze róż sę od poprzedego zów sprawdza sę, czy est oo rozwązaem optymalym; - w te sposób, po skończoe lośc kroków, otrzymamy rozwązae optymale. Dla budowaa początkowego bazowego rozwązaa stee klka sposobów. Naprostszy z ch korzysta z zasady kąta półoco-zachodego.... Metoda polega a operacach: dla półoco-zachode kratk w eszcze e wypełoe częśc tablcy trasportowe ustalamy wartość przewozu towaru ako mmum pomędzy aktualą podażą popytem dla te kratk. Dale aktualzuemy tę podaż popyt odemuąc od tych wartośc wartość oblczoego mmum. Wersz lub kolumę tabel, w które otrzymalśmy po aktualzac zero wypełamy zerowym przewozam. Dla pozostałe, eszcze e wypełoe częśc tablcy powtarzamy procedurę. Jeśl przy aktualzac podaży popytu otrzymamy zero w werszu w kolume to tylko edo z tych zer (dowole) uważa sę za zero zwykłe, druge podkreślamy

5 ako aktywe trzeba e uwzględć w koleym kroku ustalea wartośc przewozów. W tak sposób zawsze zadzemy bazowe rozwązae dopuszczale zaweraące m+- kratek bazowych (ewetuale razem z kratkam zaweraącym ). Przykłady Odborca dostawca m+-=+-=7 Odborca dostawca Istee klka metod rozwązaa ZT. Będzemy korzystal z tzw. metody potecałów. Nech dae będze początkowe bazowe rozwązae dopuszczale. Dla takego rozwązaa oblczamy take wartośc u, =,m oraz v, =,, dla których we wszystkch kratkach bazowych spełoe są rówaa u +v =c. Rówań takch mamy m+- oraz m+ zmeych ewadomych u, v, tz. że mamy eokreśloy układ rówań. Do rozwązaa takego układu wystarczy ede z ewadomych przypsać określoą wartość. Wtedy pozostałe wartośc ewadomych zostaą łatwo edozacze określoe. Zalezoe wartośc u, v, dla wszystkch werszy kolum azywamy potecałam. Oblczamy Δ= (u +v )-c dla wszystkch kratek ebazowych. Zostało udowodoe astępuące kryterum optymalośc: eśl w tabel trasportowe dla steącego

6 rozwązaa bazowego wszystke Δ są mesze bądź rówe zero to wyzaczoy pla bazowy trasportu towarów est plaem optymalym. Tym samym otrzymuemy rozwązae ZT. Jeśl kryterum optymalośc e est spełoe buduemy owy pla bazowy, dla którego wartość fukc celu est mesza od wartośc fukc celu poprzedego plau bazowego. W tym celu spośród Δ> wyberamy max Δ ech te wartośc odpowada p. kratka (s,t). Zazaczoa kratka ektóre z steących kratek bazowych tworzą w tabel trasportowe tzw. cykl rozładowaa. Tak cykl est cągem kratek bazowych poczyaąc od (s,t), przy czym każde prześce mędzy tym kratkam (pozome lub poowe) zawera kratk bazowe ostatm prześcem est prześce do (s,t). Kratkom tego cyklu przypsuemy umery,,... określamy wartość λ=mx dla kratek cyklu o umerach parzystych. Oblczamy owe wartośc przewozów w kratkach cyklu dodaąc λ do wartośc przewozów w kratkach cyklu o umerach eparzystych odemuąc λ od wartośc przewozów w kratkach o umerach parzystych. Przy takm odemowau otrzymuemy co ame edą kratkę o zerowe wartośc przewozu. Taką kratkę elmuemy ze zboru kratek stare bazy otrzymuemy owy bazowy pla przewozów. Jeżel przy odemowau λ otrzymamy węce ż edą kratkę bazową zerową to tylko edo z tych owych zer uważamy za zwykłe, a pozostałe dowole zera podkreślamy będą to zera bazowe. Dla owego plau bazowego oblczamy potecały, sprawdzamy kryterum optymalośc. Po skończoe lośc kroków otrzymamy rozwązae optymale dla ZT.

7 Przykład: (pogruboe fragmety to wyścowa tablca ZT) U= U= U= U=- U5=- V= V= V=5 V= Uwag: suma a=<5=suma b, to a5=. f=95, f=85, f=75, f=f m=68.. ALGORYTM ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO:. Budowa tablcy welkośc przewozów (metodą kąta półoco-zachodego): Oblcz m{a,b ) wstaw ako x ; {gdy a =b to ako x wstaw a oraz x =, dla wszystkch lub b oraz x =, dla wszystkch Wtedy przy aktualzac podaży popytu otrzymuemy zero w werszu w kolume. Jedo z tych zer traktuemy ak zwykłe, druge est ako aktywe uwzględamy w koleym kroku ustalaa welkośc przewozów} Powtarza oblczae m dla klatek wysuętych abardze a p.-zach. w zmodyfkowae tablcy. Sprawdzamy, czy m+- est rówe lośc klatek bazowych {ak e wróć do lub 8}. Oblczamy f k =[x ] [c ], k=,,,.... METODA POTENCJAŁU: a) w oparcu o klatk bazowe ada potecały wg przepsu u +v =c

8 b) dla klatek ebazowych oblcz = (u +v )-c Jeśl dla każdych, mamy, to pla est optymaly {KONIEC} Jeśl NIE: 5. Kładzemy * w klatce o awększe dodate 6. Tworzymy cykl po klatkach bazowych zaczyaąc go kończąc w klatce * umeruąc wybrae do cyklu klatk od edyk {klatka * ma umer } 7. Oblczamy mmum z wartośc x w klatkach o umerach parzystych 8. Przesuwamy w klatkach cyklu {mogą powstać ZERA BAZOWE} 9. Wracamy do. Przykład:. Czy ZT=ZZT? a? b a b = (tak, ZT=ZZT). Tablca przewozów wypełoa metodą kąta półoco-zachodego: a b M{6;}= a b a =6-; b =-

9 a b a b M{;6}= a =-; b =6- a b Powtarzamy, aż wypełoa zostae cała tablca przewozów: a b 6. Czy m+-=lość kratek bazowych? m+-=+-=6 a b 6

10 . Koszt trasportu zwązay z aktualą tablcą trasportową: f =[x ][c ] f =x+x+x+x+x+6x=. Czy koszt est mmaly? METODA POTENCJAŁU u = u = 6 v = v = v = v = u = a) w oparcu o klatk bazowe ada potecały wg przepsu u +v =c u +v =c + v = u = u = 6 v = v = v = v = u = b) dla klatek ebazowych oblcz = (u +v )-c Jeśl dla każdych, mamy, to pla est optymaly = (u +v )-c = (+)-=- = (+)-=- = - = = = Isteą klatk ebazowe, gdze >. Pla trasportu e est optymaly.

11 5. Kładzemy * w klatce o awększe dodate * u = u = 6 v = v = v = v = u = 6. Tworzymy cykl po klatkach bazowych zaczyaąc go kończąc w klatce * * u = u = 6 v = v = v = v = u = (,)(,)(,)(,)(,)(,) Numeruemy wybrae do cyklu klatk od edyk {lub plusa} (,) (,) (,) (,) (,) (,) Oblczamy mmum z wartośc x w klatkach o umerach parzystych =m(x,x,x ) =m(,,)= 8 Przesuwamy w klatkach cyklu {mogą powstać ZERA BAZOWE} - * u = u = 6 v = v = v = v = u =

12 9. Wracamy do powtarzamy procedurę. m+-=6 f =. 6 8 u = u = 6 v = v = v = v = u = METODA POTENCJAŁU 6 8 u = u =- 6 v = v = v = v = = = - = - = < < u =- 6 8 u = u =- * 6 v = v = v = v = u =-

13 (,) (,) (,) (,) =6 6 6 u = u = 6 v = v = v = v = u = f =8. METODA POTENCJAŁU 6 6 u = u =- 6 v = v = v = v = u =- = = - < = < < < KONIEC

14 Metoda mmum macerzy Metoda kąta półoco-zachodego cechue sę tym, że przy ustalau rozwązaa początkowego berzemy pod uwagę tylko zasoby puktów odprawy zapotrzebowae puktów odboru, e uwzględaąc kosztów trasportu. Do metod, które uwzględaą koszty c ależy metoda mmum macerzy. Przykład:. Czy ZT=ZZT? a? b a b = (tak, ZT=ZZT). Zadź ameszy współczyk kosztów trasportu c ==c Wyberamy komórkę (,) m{,}==x a b Zapotrzebowae puktu odboru B zostało zaspokooe, węc przymuemy x =x =. a b

15 Powtarzamy procedurę szukaa ameszego współczyka kosztów trasportu a zmodyfkowae tabel: c = Wyberamy komórkę (,) m{8,6}=6=x c = m{6,6}=6=x a b Popraw blas: a =b =, węc a przykład b = 6 a b Powtarzamy, aż wypełoa zostae cała tablca przewozów: a b Czy m+-=lość kratek bazowych? m+-=+-=6 a b

16 . Koszt trasportu zwązay z aktualą tablcą trasportową: f (mmum_macerzy)=[x ][c ] f =6x+x+6x+x+x+6x=8