data utworzenia: styczeń 2006, data modyfikacji: styczeń 2011 WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH

Transkrypt

1 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH Metodą umeryczą zyw sę kżdą metodę oblczeową sprowdzlą do opercj rytmetyczych dodw, odejmow, może dzele Są to podstwowe opercje mtemtycze, ze od weków przez człowek tkże rozpozwle przez kżdy procesor komputerowy N fudmece tych czterech dzłń lczbowych moż zbudowć cłą bzę oblczeową dl mej lub brdzej skomplkowych zgdeń (p oblcze perwstk kwdrtowego z lczby eujemej, le też opercje cłkow różczkow umeryczego) Dltego zzwyczj przez umerykę rozume sę dzedzę mtemtyk zjmującą sę rozwązywem przyblżoym zgdeń lgebrczych I rzeczywśce, odkąd zjwsk przyrodcze zczęto opsywć przy użycu formlzmu mtemtyczego, pojwł sę potrzeb rozwązyw zdń lzy mtemtyczej czy lgebry Dopók były oe eskomplkowe, dwły sę rozwązywć ltycze, tz z użycem pewych przeksztłceń lgebrczych prowdzących do otrzymyw rozwązń ścsłych dych problemów Z czsem jedk, przy powstwu corz to brdzej skomplkowych teor opsujących zjwsk, problemy te stwły sę tyle złożoe, ż ch rozwązywe ścsłe było lbo brdzo czsochłoe lbo też zgoł emożlwe Numeryk pozwlł zjdywć przyblżoe rozwąz z żądą dokłdoścą Ich podstwową zletą był ogólość tk formułowych lgorytmów, tz w rmch dego zgde e mło zcze czy było oo proste czy też brdzo skomplkowe (jwyżej wązło sę z wększym kłdem prcy oblczeowej) Ntomst wdą był czsochłoość Stąd prwdzwy reess metod umeryczych stąpł wrz z powszechym użycem w prcy ukowej mszy cyfrowych, w szczególośc mkrokomputerów (od lt sedemdzesątych) Dzś złożoość metody umeryczej e jest żdym problemem dzesątk żmudych dl człowek opercj rytmetyczych wykouje komputer o wele wżejsz stł sę lz otrzymego wyku (gł pod kątem jego dokłdośc) tk, by był o możlwe jbrdzej wrygody Oczywśce metody umerycze mogą służyć do rozwązyw kokretych zgdeń lgebrczych (tkch jk p rów elowe czy problemy włse) N ogół jedk są oe osttm ogwem w łńcuchu zwym modelowem W celu określe zchow sę jkegoś zjwsk w przyrodze (tu uwg będze skerow zgde fzycze, czyl odwrcle), buduje sę szereg jego przyblżeń zwych modelm Modele buduje sę przyjmując corz to owe złoże hpotezy uprszczjące Z rzeczywstego systemu fzyczego jperw powstje model mechczy, (czyl zbór hpotez dotyczących p mterłu, środowsk, zchow obcąże td) Jego reprezetcją mtemtyczą jest model mtemtyczy, czyl ops jego zchow sę przy określoych wrukch mechczych w postc ukłdu rówń różczkowych cząstkowych ( ogół) Nstępy w kolejośc model umeryczy poleg zme welkośc cągłych dyskrete ozcz przejśce do ukłdu rówń lgebrczych, do rozwąz którego służy wybr metod umerycz Po otrzymu wyku umeryczego (przyblżoego) leży przeprowdzć lzę błędu Nleży zuwżyć, ż błąd końcowy będze obrczoy błędm ze wszystkch poprzedch etpów modelow, węc: Błędem eukoym (błędem modelu), Błędem metody, Błędem umeryczym

2 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Błąd modelu zwykle wąże sę z przyjęcem złych prmetrów początkowych lub brzegowych przy jego tworzeu Może sę też okzć, ż przyjęto zbyt dleko dące uproszcze eoddjące dobrze wruków rzeczywstych, w jkch odbyw sę de zjwsko Mmo tego ogół buduje sę modele w mrę proste, stępe przeprowdz lzę wrżlwośc, tz sprwdz, jk duży wpływ m dy pojedyczy czyk jego fukcjoowe Błąd metody wąże sę z przyjęcem mło dokłdych prmetrów dl tej metody (zbyt rzdk podzł obszru cągłego skończoe odck) lub z zstosowem zbyt mło dokłdej metody (mmo dokłdych prmetrów) Metod umeryczych dl dego zgde jest ogół brdzo dużo Wybór powe być dokoy z uwg przewdywą postć rzeczywstego zchow sę zjwsk Błąd umeryczy wąże sę ścśle z precyzją wykoywych oblczeń (ręczych przez człowek, przez klkultor, przez komputer) Wyróżć moż błąd obcęc błąd zokrągleń Błąd obcęc wystąp, gdy rozwjjąc dą fukcję w szereg odrzucmy eskończoą lczbę wyrzów od pewego mejsc, zchowując jedye pewą początkową ch lczbę (w klkultorch dzłm perwotym są opercje dodw, odejmow, może dzele, tomst wszystke e, p oblcze wrtośc fukcj trygoometryczych wąże sę z rozwjem tychże fukcj w szereg potęgowe z dą dokłdoścą obcęc) Błąd zokrągleń wąże sę z reprezetcją ułmków dzesętych eskończoych (leży przy tym pmętć, ż komputer prowdz oblcze z włścwą dl dego typu lczbowego precyzją, tomst pokzywć grfcze wyk może z dokłdoścą żądą przez użytkowk wtedy potrzeby formtu prezetcj zokrągl z dą dokłdoścą tk smo jest zresztą w klkultorch) I klsyfkcj błędu umeryczego (tu rozumego jko dokłdość) to: Błąd względy (bezwymrowy), Błąd bezwzględy Przyjmując ozcze: x - welkość przyblżo orz x - welkość ścsł, moż zpsć x x błąd bezwzględy δ x x błąd względy ε Błąd względy jko x bezwymrowy często przedstwy jest w procetch Pode smej wrtośc x w umeryce jest bezwrtoścowe mus jej towrzyszyć jed z powyższych dokłdośc, (co zpsuje sę jko: x ± δ lub x( ± ε ) ) Wżym pojęcem w umeryce jest pojęce cyfr zczących Perwsz cyfr zcząc to perwsz ezerow cyfr lcząc od lewej stroy ułmk dzesętego W prktyce jest to cyfr, do której moż meć zufe, ż e pochodz z zokrągle, lecz zlzł sę tm z rzeczywstych oblczeń Np 45 (4 cyfry zczące), 45 (7 cyfr zczących), 45 (5 cyfr zczących), 45 (4 cyfry zczące) td Dokłdość końcow mus meć tyle cyfr zczących, le mją wruk początkowe Ozcz to w prktyce, ż e moż prowdzć oblczeń zchowując p trzy mejsc po przecku, ostteczy wyk podwć bezkre z wększą ż t dokłdoścą Będze o wtedy bezwrtoścowy, gdyż błąd zokrągleń może wkrść sę wet perwszą pozycję dzesętą, zwłszcz jeżel w trkce oblczeń przeprowdzo często dzł dzele odejmow, które obżją dokłdość wyku

3 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń ROZWIĄZYWANIE NIELINIOWYCH RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH Njprostszym wykorzystem metod umeryczych jest umerycze rozwązywe rówń lgebrczych elowych Nelowość może być pochodze geometryczego (p w mechce przyjęce teor dużych odksztłceń czy przemeszczeń) lub fzyczego (elowe zwązk kostytutywe, gdy mterł e podleg lowemu prwu sprężystośc) Końcowym efektem tkego modelow w przestrze jedowymrowej przy jedej zmeej ezleżej jest rówe postc: F( x ) Tworząc w określoy sposób rówe postc: x f ( x), gdze f ( x ) jest dowolą, elową fukcją zmeej x moż stworzyć cąg lczbowy postc x + f ( x ) () rozpoczyjąc oblcze od dowolej ( ogół) lczby x, zwej puktem strtowym: x, x f ( x ), x f ( x ), x f ( x ), () Grfcze proces te poleg szuku puktu wspólego dl prostej y x orz krzywej y f ( x) Jeżel wyko sę odpowedo dużo tkch oblczeń, to przy odpowedch wrukch, jke mus spełć fukcj f ( x ), proces okże sę zbeży (do określoej lczby ˆx ) Rówe () zyw sę wtedy schemtem tercyjym, cąg przyblżeń () procesem tercyjym Lczby potrzebych tercj e d sę z góry określć (będze o fukcją puktu strtowego orz postc schemtu tercyjego) Dltego o mejscu przerw tercj muszą śwdczyć dodtkowe kryter Formułuje sę je defując stępujące eujeme welkośc sklre: () x+ x Tempo zbeżośc: ε, x Resduum: F( x ), F( x ) () + ε Ilość tercj: ε () : + () () () () Wtedy o zkończeu oblczeń decydowć będą wruk: ε ε dop, ε ε dop, mx Dw perwsze są ezleże od sebe powy być spełoe rówocześe Trzec jest dl () () ch ltertywą Lczby (tu: bezwymrowe) ε, ε, są dym z góry welkoścm dopuszczlym dop dop mx

4 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Przy formułowu powyższych kryterów użyto welkośc względych, (które mogą być łtwo porówywe mędzy sobą) Czsm wskze jest użyce welkośc wymrowych, le wtedy określee czy lczb jest mł czy duż e jest już tke oczywste Mlejące tempo zbeżośc śwdczy o zbeżośc dego schemtu tercyjego do jedej skończoej wrtośc (tu: x ˆ x ) Schemt tercyjy rozbeży może dwć corz wększe lczby wrz ze wzrostem lczby tercj (rozbeżość jko zbeżość do eskończoośc), może oscylowć pomędzy dwem różym wrtoścm (tzw proces estbly) lub po prostu okzć sę osoblwym dl dego x Tke sytucje wychwytuje tempo zbeżośc, które zmst systemtycze mleć utrzymuje sę tym smym pozome lub eogrczee rośe do eskończoośc Ntomst młość kryterum resdulego (resztkowego) śwdczy o spełeu wyjścowego rów lgebrczego () Może sę bowem zdrzyć, ż sm zbeżość procesu e gwrtuje zbeżośc schemtu do włścwego rozwąz x,tj tkego, że F( x ) Wtedy ˆx x wykże te fkt ezerowe resduum, tomst tempo zbeżośc będze mmo to mleć Dopero spełee obydwu kryterów gwrtuje uzyske przyblże włścwego rozwąz wyjścowego rów () Procesy tercyje mogą być zbeże rozbeże jedostroe (wtedy zblżmy sę lub oddlmy od włścwego rozwąz z jedej stroy od dołu lub od góry) lub dwustroe (wyk tercj skczą z jedej stroy wrtośc ścsłej drugą cyklcze, przyblżjąc sę do ej lub oddljąc) Przykłdy tkch procesów pokzują poższe rysuk Moż zuwżyć pewą cechę wspólą dl fukcj prwej stroy f ( x ) w przypdku procesów zbeżych rozbeżych Wszystko zleży od chyle fukcj w pewym, b ), w którym poszukwe jest rozwąze Fukcje strome otoczeu (przedzle [ ] powodują rozbeżość schemtu Tą stromość określ sę przez kąt chyle wykresu do os x, kryterum zbeżośc wyk z wruku Lpschtz Twerdzee Jeżel f ( x ) speł wruek Lpschtz: [ ] f ( x ) f ( x ) L x x, < L <, x, x, b to rówe lgebrcze x f ( x) posd co jmej jedo rozwąze w przedzle [, b ] Twerdzee Jeżel f ( x ) speł twerdzee, to proces tercyjy x f ( x ) jest zbeży do rozwąz ścsłego rów x f ( x) dl x [, b] + przy dowolym pukce strtowym x 4

5 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń y y x sc x sc x x x x x x x x x x Proces zbeży dwustroe Proces rozbeży dwustroe y y x sc x sc x x x x x x x x x x Proces zbeży jedostroe Proces rozbeży jedostroe Kosekwecją powyższych twerdzeń jest stępujący wosek: jeżel kąt chyle fukcj ( ) x x, x jest mejszy ż 45º, to schemt tercyjy jest f x pewym przedzle [ ] zbeży przy dowolym pukce strtowym Tges kąt chyle lczymy podstwe lorzu różcowego fukcj f ( x ) O ewetulej zbeżośc lub rozbeżośc decyduje schemt, dokłdej: sposób zjdyw fukcj prwej stroy f ( x ) Sposób te stow podstwę klsyfkcj dlszych metod tercyjych N ogół schemt powe meć zpewoą bezwrukową stblość zbeżość Rówe wyjścowe: F( x ) METODA ITERACJI PROSTEJ x x + f ( x ) 5

6 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Sposób zjdyw fukcj f ( x ) e jest z góry określoy, może pochodzć z prostego przeksztłce: F( x) F( x) + x x f ( x) x Tk schemt e m zgwrtowej zbeżośc stblośc METODA ITERACJI PROSTEJ Z RELAKSACJĄ Pojęce relkscj w umeryce ozcz gerecję w tempo zbeżośc wyku W metodze tercj prostej moż zrobć modyfkcję polegjącą obróceu wykresu fukcj ( ) f x względem początku ukłdu o tk kąt, by proces tercyjy był optymle szybko zbeży w okolcy dego puktu (pukt optymlej zbeżośc) Relkscj e tylko poprw tempo zbeżośc, le róweż potrf zmeć wyjścowy schemt rozbeży zbeży Wrtość kąt leży wyzczyć optymlzując owo otrzymy schemt poprzez dode do strego czyk lowego odpowdjącego z obrót (pukt optymlej zbeżośc ogół utożsmy jest z puktem strtowym x ): x f ( x) x + α x f ( x) + α x x( + α) f ( x) + α x f ( x) α x x + g( x) + α + α x g( x) Optymlzujemy owy schemt tercyjy: g '( x ) f '( x ) α + ( α ) + α + α α f '( x ) Tk polczoe α wstwmy do schemtu x g( x) : f ( x) f '( x ) x x f '( x ) f '( x ) Końcow postć schemtu tercyjego metody tercj prostej z relkscją: x x f ( x ) f '( x ) x '( ) '( ) + f x f x METODA STYCZNYCH (NEWTONA) 6

7 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Dl pewego otocze h puktu x rozwjmy wrtość wyjścowej fukcj F( x + h) w szereg Tylor: F( x + h) F( x) + F '( x) h + F ''( x) h + F( x) + F '( x) h Ustljąc x podstwjąc F( x + h) moż oblczyć przyrost h przy uprzedm odrzuceu wyrzów rozwęc wyższych rzędem ż perwszy (zleryzowy przyrost): F( x) h F '( x) Dl dej pry sąsedch przyblżeń zchodz: x + x + h Stąd po podstweu z h otrzymujemy schemt metody: x x + F( x ) x F '( x ) Grfcze metod Newto poleg budowu styczych w kolejych przyblżech x począwszy od puktu strtowego orz szuku mejsc zerowych tych styczych Wzór metodę Newto moż też otrzymć stosując metodę relkscj bezpośredo do wyjścowego rów F( x ) Z jest też modyfkcj metody dl perwstków welokrotych (jeżel rówe F( x ) tkeż posd): x U ( x) F( x) F( x) F ''( x) x+ x, U ( x), U '( x) U '( x ) F '( x) ( F '( x)) METODA SIECZNYCH W metodze Newto do schemtu tercyjego potrzeb jest zjomość pochodej fukcj F( x ) Aby ukąć jej różczkow, moż lczbową pochodą oblczć w sposób przyblżoy korzystjąc z wrtośc lorzu różcowego Wtedy potrzebe są zwsze dw pukty wstecz, by zbudowć koleje rozwąze (grfcze stycz przechodz w seczą), tkże smym początku oblczeń x, x x x x+ x F( x ) F( x ) F( x ) METODA REGULA FALSI Jeżel zstosujemy metodę seczych lub styczych do fukcj eregulrej, któr w sposób gwłtowy przechodz z wypukłej wklęsłą lub z mlejącej rosącą, jest 7

8 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń ebezpeczeństwo, ż koleje przyblże rozwąz uceką dleko od początkowego przedzłu bez żdych szs powrót zlezee sesowego rozwąz Pomoc może sę okzć pew modyfkcj metody seczych, gdze jede z puktów, których buduje sę koleje secze, jest z góry ustloy (jest to jede z puktów strtowych), tomst drug z ch jest puktem zmeym W rze oddle sę kolejych przyblżeń od obszru strtowego, w cągu stępych tercj stąp powrót w jego okolce x (pukt stły), x x x x+ x F( x ) F( x) F( x ) METODA BISEKCJI (POŁOWIENIA) Metod bsekcj leży do jstrszych jprostszych metod tercyjych, oprócz zjdyw perwstków rówń róweż jest wykorzystyw przy zgdech optymlzcj fukcj Dl wyjścowego rów F( x ) szuk o przyblże rozwąz wewątrz przedzłu x (, b) Stąd, by metod zdzł, mus być gwrcj ste mejsc zerowego w tym przedzle: F( ) F( b) < + b Przy kżdej tercj oblcz sę środek przedzłu x Nstępe sprwdz sę, w którym z podprzedzłów (, x ) orz ( x, b ) leży mejsce zerowe te przedzł podleg dlszemu dzeleu Jeżel F( ) F( x) < to b x, w przecwym przypdku x Podzł przedzłu (, b ) ekoecze mus stępowć dwe rówe częśc, moż go dzelć p w tzw złotym stosuku (czyl tk, by b b x b x x ) Przykłd Podć schemty tercyje rozwąz rów s( x) + x metodm: () tercj prostej, () tercj prostej optymle szybko zbeży, () Newto, (v) seczych, (v) regul fls Zstosowć tk sformułowe schemty do zleze dwóch kolejych przyblżeń rozwąz strtując z puktu x (dl metody seczych regul fls przyjąć drug pukt strtowy x 5) Po kżdym kroku tercyjym określć tempo zbeżośc orz tempo zmy resduum Wyjścowe rówe: F x x + x F x ( ) s( ), ( ) Perwstk ścsłe rów: x 655, x sc sc () metod tercj prostej Z rów F( x ) wyzczmy w dowoly prosty sposób zmeą x, p x s( x) + 8

9 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń () Schemt tercyjy: Oblcze: Krok : () x x x+ s( x ) +,,,, x s( x ) + s( ) e x x () F( x ) s(4467) 4467 F( x) s( ) ( ) e 6976 Krok : x e e s( x ) + s(4467) x x () x F x 4995 () ( ) s(6955) 6955 F( x ) s( ) ( ) Z dokłdoścą x metod tercj prostej z relkscją () 6 e < otrzymo po 6 tercjch wyk Korzystjąc z poprzedego schemtu metody tercj prostej x f ( x) : x s( x) +, zjdujemy owy schemt optymle szybko zbeży w okolcy puktu strtowego x f ( x) s( x) + f '( x) cos( x) s( x) + f '( x) cos( x ) cos( ) 994 s( x ) + s( ) + f '( x ) f '( x ) 994, 8866, 664 f '( x) f '( x ) Schemt tercyjy: x x s( x) x,,,, Oblcze: Krok : 9

10 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń x 8866 s( x ) x e 8866 s( ) ( ) 5859 x x () x () F( x ) s(5859) 5859 F( x ) s( ) ( ) e Krok : x 8866 s( x ) x 44 e e x x () x F x 455 () ( ) s(44) 44 F( x) s( ) ( ) Z dokłdoścą x () 6 e < otrzymo po 8 tercjch wyk () metod Newto Postć wyjścow rów: F( x) s( x) + x, F( x) Oblczee pochodej fukcj F( x ) : F '( x) cos( x) + x x Schemt tercyjy: s( x ) + x x+ x,,,, cos( x ) + x Oblcze: () () x 88, e 6889 e 67 () () x 6478, e 5985, e 854 x 655, e <, e < () 6 () 8 4 (v) metod seczych Postć wyjścow rów: F( x) s( x) + x, F( x) Schemt tercyjy: x, x 5 x x x+ x (s( x) + x ),,, s( x ) + x s( x) x Oblcze:

11 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń x 95596, e e 9554 () () () () x 78578, e 68, e 56 x 655, e <, e < () 6 () 8 5 (v) metod regul fls Postć wyjścow rów: Pukt stły: x F( x) s( x) + x, F( x) Schemt tercyjy: x, x 5 x x+ x (s( x ) + x ),,, 97 s( x ) x Oblcze: () () x 95596, e e 9554 () () x 4446, e 84684, e 57 x 6548, e <, e < () 6 () 6 7 Przykłd Rówe z poprzedego zd rozwązć w sposób przyblżoy metodą bsekcj Przyjąć przedzł (,) Rozwąze zleźć z dokłdoścą Postć wyjścow rów: F( x) s( x) + x, F( x) Początek przedzłu:, koec przedzłu: b Oblcze zestwoo w tbel: + b x F( x ) F( ) e dop b e x () x x δ F( x ) ()

12 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń UKŁADY RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Rozwązywe ukłdów rówń lgebrczych (lowych lub elowych) to jczęścej spotyky problem lgebrczy w zgdech fzyk Stąd potrzeb oprcow prtu lzy tkch ukłdów, jczęścej w forme wektorowej mcerzowej Poewż dzł wykoywe będą już e pojedyczych lczbch tylko welkoścch mcerzowych, leży wprowdzć pojęce ormy (wektor, mcerzy) stowącej reprezetcję tej welkośc w postc pojedyczej lczby rzeczywstej dodtej Defcj Norm wektorow x z wektor x V wektorow, jest sklrem spełjącym stępujące wruk: x, x x, x V α x α x x V, R, x + y x + y x,y V Njczęścej używe ormy wektorowe: x x mx x x ( ) α, gdze V to low wymrow przestrzeń, orm Eukldes (średo kwdrtow),, orm Czebyszew (mksmum), p p x x, p, uogólee dwóch powyższych przypdków ( p - orm Eukldes, p - orm Czebyszew) Defcj Norm mcerzow A z mcerzy kwdrtowej ( j spełjącym stępujące wruk: A, A A, α A α A, α R, A + B A + B, 4 A B A B Njczęścej używe ormy mcerzowe: A A j j ( ) mx j j A, orm Eukldes (średo kwdrtow),, orm Czebyszew (mksmum) ) jest sklrem

13 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Często używe jest też pojęce średej ormy Eukldes Wtedy przed perwstkowem sumy kwdrtów współrzędych dzel sę dodtkowo tą sumę przez lczbę wyrzów METODA NEWTONA RAPHSONA Metod służy do rozwązyw ukłdów rówń elowych stow uogólee metody tercj prostej dl welu rówń jedocześe Twerdzee F : x, b R,,,, leży do wymrowej przestrze eukldesowej Nech [ ] R Nech x f ( x ) speł stępujące wruk f jest określoe cągłe w R, orm jkobow z f speł wruek J ( x ) L, f F F x x J f F F x x dl kżdego x R m f ( x ) róweż leży do Wtedy dl kżdego rozwąz ɶx R x R cąg tercyjy + ( ) x f x jest zbeży do jedozczego Rozwżmy pukt x orz jego blske otoczee x + h Wtedy F ( x + h) Rozwjjąc osttą welkość wektorową w szereg Tylor otrzymuje sę: ( ) F ( x) F x F ( x + h) F ( x) + h + h + F ( x) + J ( x) h + R( x) x x Leryzując powyższy zwązek ze względu h wylczjąc wektor h otrzymuje sę: - ( ) + ( ) - ( ) ( ) F x J x h h J x F x ( ) ( ) x x + h x x J x F x Przy tkm zpse schemtu koecze byłoby odwrce mcerzy J - ( x ) kżdym kroku Aby tego ukąć, moży sę strom przez J( x ), co prowdz do sformułow ukłdu rówń lowych (rozwązywych ltycze lub umerycze) x J( x) x + J ( x) x - F ( x)

14 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Kryter przerw tercj w przypdku welowymrowym: () x+ x () ε ε dop, x + () F ( x+ ) () ε ε dop F ( x ) Njczęścej sprwdz sę rozwąze dl dwóch rodzjów orm: dl ormy mksmum, któr wychwytuje jwększy błąd w obszrze rozwąz średej ormy kwdrtowej, któr mów o średej jkośc rozwąz Isteją róże modyfkcje metody Newto Njprostsz poleg e zmeu wyjścowej mcerzy jkobowej, co pocąg wększą lczbę kroków, ż przy oryglej metodze, le tylko dl jedego oblcz mcerzy (pomoce może być omwe w dlszych rozdzłch oprcow rozbce czyk trójkąte) Możlwe jest też uktule mcerzy co pewą lczbę kroków, węc tm, gdze mcerz mogł ulec stotej zme I metod poleg dokou relkscj x J( x) x + J ( x) x - α F( x ) (jczęścej α,, 4 - tzw drelkscj) W przypdku wyrźej oscylcj rozwąz (p wyk przechodz z jedej drugą stroę os x ) możlwe jest wprowdzee przyśpesze zbeżośc tercj metodą Atke Wprowdzjąc ozcze: x - wrtość rozwąz j-tym kroku, x - rozwąze ścsłe moż zpsć lowy zwązek: x x α( x x ) j Przy złożeu, że współczyk α jest stły dl dwóch sąsedch tercj, moż zpsć ukłd rówń dl trzech kolejych przyblżeń rozwąz: x x α( x x ) x x α( x x ) Rozwązując go ze względu x otrzymuje sę zwązek: x x x x x x + x Wzór leży używć osobo dl kżdej zmeej ezleżej poprwjąc wrtość otrzymą -tym kroku tercj 4

15 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Przykłd Rozwązć stępujący ukłd rówń elowych Rphso Przyjąć wektor strtowy x {, } y x x + y 8 przeprowdzć lzę błędu Przyjąć stępujące pozomy błędu: ε metodą Newto Po kżdym kroku tercyjym, ε () 6 () 8 dop dop Wektor fukcyjy: F ( x, y) y x F ( x, y) F ( x, y) x + y 8 F F x y y Mcerz jkobow: J ( x, y) ( x, y) F F x y x y Wektor strtowy: x 884 Schemt tercyjy: J( x, y ) x J ( x, y ) x F ( x, y ) x + + y x+ y x y x x+ x y y + x y y x y 8 y + + Alz błędów: x x+ x?? () x y y 8 () () ( ) x y + x + F x+ + () < dop, < dop x+ x+ F ( x) y x y + x + y 8 ε ε ε ε Krok : y y x y x y x x x y y x y y x y 8 y x y x 8 x y 6 y 884 Błędy w orme eukldesowej: 5

16 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń e e () e () e x ( 4 ) x + e e e 865 x 4 4 e ( ) e ( ) F x ( 6 ) + e + e e F( x) e ( 8 ) e Błędy w orme mksmum: e e e e () m () m x x m m m 4 x m m ( F x) m + m m 6 F( x) m m m m Sprwdzee kryterum zbeżośc: ε ε ε ε 865 > ε () () 6 e dop > ε () () 6 m dop > ε () () 8 e dop > ε () () 8 m dop Krok : y x y x y x x x y y x y y x y 8 y x x y y 67 Błędy w orme eukldesowej: 6

17 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń e , 6667 x x () ( () ) e F x e e + e e ee x 4 F( x) 8 e e Błędy w orme mksmum: 67 e e e , 6 x x () ( () ) m F x m m m m em x 4 F ( x) 8 m m 67 m m Sprwdzee kryterum zbeżośc: ε ε ε ε 545 > ε () () 6 e dop 6667 > ε () () 6 m dop 6 > ε () () 8 e dop 6 > ε () () 8 m dop Krok : 4555 x x y y 57 Błędy w orme eukldesowej: e x x F ( x ) e 554, 859 ( ) () e () e ee x F x e e x x F ( x) Błędy w orme mksmum: () m () m em 57, em 47 x F ( x ) Sprwdzee kryterum zbeżośc: m m ε ε ε ε 554 > ε () () 6 e dop 859 > ε () () 6 m dop 57 > ε () () 8 e dop 47 > ε () () 8 m dop td 7

18 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Wyk spełjące kryter zbeżośc otrzymo po szóstej tercj x x, y { } Poższe wykresy przedstwją tempo zbeżośc rozwąz resduum: w skl dzesętej logrytmczej lczoe dl obydwu powyżej zstosowych orm Temp zbeżośc resduum tempo zbeżośc, resduum,5, r tercj CoEuk CoMx ResEuk ResMx Temp zbeżośc resduum - skl logrytmcz log(tempo zbeżośc, resduum) ,5,5 log(r tercj) CoEuk CoMx ResEuk ResMx 8

19 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Przyśpeszee zbeżośc metodą Atke m ses wtedy, gdy rozwąze wyrźe skcze, przechodząc cyklcze z jedej stroy drugą pewej ustloej wrtośc W przypdku powyższym wyrźe obserwow jest zbeżość od góry, węc włączee lgorytmu Atke e jest uzsdoe może popsuć dobre już rozwąz Od stroy formlej jego zstosowe będze poległo oblczeu owej, poprwoej wrtośc rozwąz po trzecm kroku tercyjym Rozwąze uzyske po trzecm kroku: x 5 y 57 Poprwee współrzędej x : Poprwee współrzędej y : x y x x x x x + x y y y y y + y Nstępy krok tercyjy ( ) uwzględłby oczywśce już poprwoe powyżej wrtośc rozwąz: 994 x x y y4 Wrtośc rozwąz po tym kroku z dokłdoścą do sześcu mejsc po przecku rówją sę wykow ścsłemu UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH W metodze Newto Rhpso po leryzcj rówń leży rozwązć ukłd rówń lowych Sposób lgebrczy (metod Crmer) wymg lcze wyzczków jest dość kłopotlwy Dltego wprowdzoo szereg metod umeryczych do rozwązyw tkch ukłdów rówń Rozwży będze stępujący problem lgebry: Ax b, det( A ) A - mcerz współczyków ukłdu ( ), x wektor rozwązń ( ), b wektor prwej stroy (wyrzy wole) ( ) Klsyfkcj metod do rozwązyw powyższego zgde może operć sę włsoścch mcerzy współczyków Wtedy moż rozróżć: T mcerz symetryczą: A A, T mcerz dodto określoą: x Ax >, R, x mcerz o dużym rozmrze: >>, 4 mcerz o specjlej strukturze (p psmowej) 9

20 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Metody rozwązyw moż podzelć wtedy : metody elmcj (polegją odpowedm rozkłdze mcerzy A czyk stępe wylczeu jedego po drugm wszystkch rozwązń) są ucążlwe oblczeowo, le z to dją wyk ścsły, p metod Guss Jord, metod Choleskego; metody tercyje (polegją zstosowu prostych metod tercyjych do kżdego z rówń lgebrczych z osob, co dje w rezultce cąg wektorów przyblżeń rozwąz ścsłego), p metod Jcobego, metod Guss Sedel, metod Rchrdso; metody kombowe (elmcyjo tercyje); metody specjle, p metody lzy frotlej czy metody mcerzy rzdkch (mcerz m wele zer, mło współczyków ezerowych, p metod Thoms) Metody elmcj, które zostą omówoe pożej, polegją rozkłdze wyjścowej mcerzy A czyk, tzw czyk trójkąte L U: A L U Mcerz dolotrójkąt L m stępującą włsość: współczyk ezerowe występują jedye pożej wyrzów, j przekątej główej, tj L : lj, mcerz górotrójkąt U m włsość ( ), j > odwrotą: współczyk ezerowe położoe są powyżej przekątej główej, tj, j < U : uj Po zlezeu tego rozkłdu rozwązuje sę tzw pozore ukłdy ( ), j rówń: krok wprzód: Ly b orz krok wstecz: Ux y Ukłdy, dzęk swojej trójkątej strukturze, pozwlją uzyske kolejych rozwązń rekurecyje wersz po werszu zczyjąc lczee od góry (przy mcerzy dolotrójkątej) lub od dołu (przy mcerzy górotrójkątej) METODA GAUSSA JORDANA Ax b, det( A ) j x b,,,, j j Wzory dl wersj elmcj elemetów pod przekątą główą krokem wstecz: Ab Uy Ux y x m ( k ) ( k ) ( k ) j j k kj b b m b ( k ) ( k ) ( k ) k k, gdze: mk, k,,, ; k +,, ; j,, ( k ) k ( k ) kk x b j x j,,,,, j +

21 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Wzory dl wersj elmcj elemetów d przekątą główą krokem wprzód: Ab Ly Lx y x m ( k ) ( k ) ( k ) j j k kj b b m b ( k ) ( k ) ( k ) k k, gdze: mk, k,,,; k,,; j,, ( k ) k ( k ) kk x b j x j,,,, j Wzory dl wersj pełej elmcj elemetów mcerzy: Ab Uy Lx x m ( k ) ( k ) ( k ) j j k kj b b m b ( k ) ( k ) ( k ) k k, gdze: mk, k,,, ; k +,, ; j,, ( k ) k ( k ) kk m ( k ) ( k ) ( k ) j j k kj b b m b ( k ) ( k ) ( k ) k k, gdze: mk, k,,,; k,,; j,, ( k ) k ( k ) kk b x,,,, W przypdku, gdy przy det( A ), mmo to przy oblczu współczyk m k wyrz ( k ) kk leży odwrócć kolejość werszy (o umerch orz k ) tblcy złożoej z wyrzów mcerzy współczyków orz wyrzów wektor prwej stroy Moż też rozwązywć ukłdy rówń z welom prwym strom, wtedy cłą mcerz prwych stro ( B [ b ], gdze m jest lczbą prwych stro) przetwrz sę rówocześe ( m) j Przykłd Rozwązć metodą elmcj Guss Jord ukłd rówń Ax b, gdze 6 A 6, 9 b 5 Zstosow zoste wersj pełej elmcj wyrzów mcerzy do postc dgolej Z wyrzów mcerzy A orz wyrzów wektor b budujemy tblcę lczb: W perwszym kroku elmcj podlegją elemety pod przekątą główą (z mcerzy A powste mcerz górotrójkąt U), kolejo -, - orz Do zerow -

22 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń używmy czyk elmcj m Jest o rówy lorzow wyrzu, który m sę wyzerowć ( - ) przez odpowdjący mu wyrz stojący w perwszym werszu od góry, który e uleg zme (tu: wersz perwszy, wyrz ) Nstępe zme podleg kżdy wyrz w werszu drugm (łącze z osttą kolumą wyrzów wolych) wg przepsu: owy wyrz rów sę różcy strego wyrzu loczyu współczyk m przez wyrz z tej smej kolumy z wersz górego ezmeego dl tego kroku (zowu wersz perwszy) Stąd ow postć wersz drugego: ( ) +, 6 ( ) ( ) 6 4, ( ) ( ), b 9 ( ) ( 6) 9 7 Podobe dl wyzerow wyrzu współczyk m owy zestw wyrzów: ( ) +, ( ) ( ), ( ) ( ) 9, b 5 ( ) ( 6) Tblc wyrzów po tym kroku wygląd stępująco: Cły proces sprowdz sę tk prwdę do pomoże perwszego rów jperw przez - dodu go do drugego stępe przez - dodu go do trzecego W stępym, osttm górotrójkątym kroku elmcj podleg (dwe ) Współczyk m Terz werszem, którym sę e zme jest wersz drug! Dltego w mowku jest e - Postć owego wersz po elmcj (wyrz perwszy e uleg zme moż to łtwo sprwdzć, bo sto d m ):, Tblc wyrzów wygląd terz stępująco: , b

23 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Postć mcerzy górotrójkątej: U Mcerz dolotrójkątą tworzy sę 7 stępująco: L m Łtwo sprwdzć, ż LU A m m Terz elmcj podlegją wyrzy d przekątą, kolejo, - orz - Do elmcj współczyk m do elmcj - : m 7 / 7 7 / 7 Postć tblcy po przeksztłcech: Ostt krok wymg wyzerow - Ostte m Końcow postć tblcy (mcerz A jest terz dgol): Ostte przeksztłcee poleg podzeleu osttej kolumy wyrzów wolych przez odpowede wyrzy dgole ( b, b 4 5, b ) Z włsośc 7 mcerzy jedostkowej (, Ix b x b ) wyk, ż wyrzy wole są poszukwym rozwązm wyjścowego ukłdu, czyl:

24 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń x Przykłd Rozwązć metodą elmcj Guss Jord ukłd rówń N podstwe ukłdu budujemy tblcę: 6 4 x x 4 x x Współczyk do wyzerow perwszej kolumy: m, m, m4, do drugej: 6 6 m, m4 Dlej koecze jest wyzerowe wyrzu 4 Jedk oblczee 7 7 współczyk m 4 wymgłoby dzele przez zero ( m 4 ) Czy to ozcz, że "" wyjścow mcerz był osoblw? Ne, po prostu wyjścow kolejość rówń powoduje tke ułożee współczyków mcerzy w tkm wypdku leży zmeć kolejość werszy w powyższym przykłdze ulegą zme wersze trzec czwrty Wtedy zero wskoczy włścwe sobe mejsce Ntomst osoblwość mcerzy skutkowłby w postc późejszego dzele przez zero w czse oblcz wyrzów wektor rozwązń Dlsze przeksztłce tblcy:

25 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń x x x x METODA CHOLESKIEGO Metod oprcow jest dl mcerzy współczyków symetryczych dodto określoych T Dzęk tkm włsoścą mcerzy A jest możlwy stępujący jej rozkłd: A L L Ze sprwdzeem symetr mcerzy e m ogół problemów, mus być spełoy wruek: T A A,, j,,, Ntomst bde dodtej określoośc jest ogół j j kłopotlwe, dltego pomoce może okzć sę stępujące twerdzee: Twerdzee Jeżel mcerz A o współczykch rzeczywstych jest symetrycz ścśle domując przekątej główej dodtkowo posd wszystke elemety dgole dodte, to mcerz A jest dodto określo Mcerz zywmy ścśle domującą przekątej główej, jeżel: > j,,,,, j j Wzór rozkłd mcerzy w metodze Choleskego orz wzory ewdome wektory x y: j l jj jj l jk k l l l j j ( j k jk ) l jj k ( j j ),,, l j y b l y x y l j x j,,, j + l Przykłd, j,,, ; j +,, 5

26 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Rozwązć ukłd rówń Ax Choleskego b, gdze 4 6 A 5, b metodą elmcj 5 8 Aby zstosowć metodę Choleskego do eosoblwego ukłdu rówń, leży sprwdzć wruek symetr dodtej określoośc mcerzy A Symetr jest speło, gdyż,, Do zbd dodtej określoośc wykorzystmy tw: mcerz symetrycz jest domując przekątej główej, gdyż: 4 > +, 5 > + 4, 5 > + Rozłożee mcerzy A czyk trójkąte T L L : 4 l l l l 5 l l l l 5 l l l l T Dokoując odpowedch możeń werszy mcerzy L kolum mcerzy L porówując wyk z odpowedm wyrzem mcerzy A wyzczmy eze wyrzy l j : l l 4 l 4 l l l l l l l l l + l 5 l 5 l 5 + l l l l l l l l l + l + l 5 l 5 l l 5 Mcerz dolotrójkąt: Mcerz górotrójkąt: Krok wprzód Ly b : l L l l l l l l l l T U L l l l 6

27 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń 6 y y 6 y y ( y ) + y y (8 y ) 4 y 8 4 T Krok wstecz L x y : 4 x x x x ( x ) + x x 4 x ( + x ) Ostteczym wektorem rozwązń jest wektor x Wymge zwąze z dodtą określooścą mcerzy A może być w wyjątkowych T sytucjch espełoe Wtedy mcerze trójkąte L L steją w dzedze lczb zespoloych, le końcowe rozwąze jest rzeczywste o le tylko ukłd e jest osoblwy Metody tercyje, w odróżeu od metod elmcyjych, dostrczją w wyku metod tercj prostej (z relkscją) cłego zboru przyblżeń wektor rozwązń, który przy - odpowedej lczbe tercj będze zbeży do rozwąz ścsłego x A b W metodch tercyjych z kżdego z rówń wyzczmy ewdomą (z -tego rów pochodz -t ewdom) z pomocą wszystkch pozostłych Newdome te podlegją oblczeu podstwe zjomośc poprzedego przyblże, smym początku zjomośc wektor strtowego Tk dzł metod Jcobego, któr zwsze korzyst z wyków z poprzedej tercj, tomst metod Guss Sedel korzyst z formcj z ktulej tercj, jeżel jest to już możlwe Metody te są zbeże, jeżel mcerz A jest dodto określo (jest to wruek wystrczjący zbeżośc) Sformułowe problemu: Ax b, det( A ) x b,,,, j j j METODA JACOBIEGO () () () () x { x, x,, x } ( k + ) ( ( k ) x b j x j ),,,, j j Po rozłożeu mcerzy A skłdk: sformułowć w zpse mcerzowym: Ax b Lx + Dx + Ux b moż lgorytm 7

28 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń ( k ) ( k ) x + D ( L+ U) x + D b METODA GAUSSA - SEIDELA () () () () x { x, x,, x } ( k + ) ( ( k + ) ( k ) x b j x j j x j ),,,, j j + W zpse mcerzowym: ( k + ) - ( k + ) - ( k ) x D L x D U x + D b Kryter przerw procesu tercyjego są tke sme dl obydwu powyższych metod: kotrol temp zbeżośc: ε x x ( k + ) ( k ) () () ε ( k + ) dop ( k + ) A x b () () kotrol welkośc resduum: ε ε dop A x b x Zstosowe relkscj poleg poprweu wektor rozwązń po kżdym kroku tercyjym wg wzoru:, xɶ x + λ ( x x ), ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) gdze λ jest prmetrem relkscj (przyjmowym rbtrle początku lub ustlym dymcze po kżdym kroku) Przykłd Rozwązć ukłd rówń Ax b, gdze A 5, b metodą tercj 5 8 () Jcobego Przyjąć wektor strtowy x {,,} Po zpsu trdycyjym powyższego ukłdu wylczeu z kżdego z rówń kolejych ewdomych, otrzymujemy schemt tercyjy metody Jcobego ( k + ) ( ) ( 6 k x + x ) 4x x 6 4 ( k + ) ( k ) ( k ) x + 5x x x ( + x + x ) 5 x 5x 8 + ( k + ) ( ) (8 k x + x ) 5 8

29 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń () Rozpoczyjąc oblcze od wektor strtowego x {,,} otrzymujemy cąg przyblżeń wektor rozwązń, po kżdym kroku kotrolując błąd oblczeń (tempo zbeżośc resduum lczoe dl dwóch rodzjów orm: eukldesowej mksmum): Itercj perwsz ( k ): () () x ( 6 + x ) ( 6 + ) () () () x (+ x + x ) ( + + ) () () x (8 + x ) (8 + ) ε x x Ax b 667 () () () () () () ε e () ε e,,, () ε () () () x ε Ax b m ε m 5 Itercj drug ( k ): () () x ( 6 + x ) ( 6 + 6) 4 4 () () () x ( + x + x ) (+ ( 5) + 6) () () x (8 + x ) (8 + 6) ε x x ε 9 Ax b ε 4,, ε, () () x ε m 6 Ax b ε m 5 () () () e () e Itercj trzec ( k ): () () x ( 6 + x ) ( ) () () () x (+ x + x ) (+ ( ) + 84) () () x (8 + x ) (8 + 64) ε x x ε 9 Ax b ε 589,, ε, () () x ε m 64 Ax b ε m 54 () () () e () e 9

30 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Proces jest brdzo wolo zbeży do rozwąz ścsłego x {,, } Po pętstu (5) tercjch otrzymo wyk x {-9, , } Aby przyśpeszyć oblcze, moż zstosowć techkę, p drelkscj z prmetrem λ 6 Wtedy poprwoe rozwąz po drugm kroku tercj wyosć będą: () () () () x x + λ ( x x ) ( + 5) () () () () x x + λ ( x x ) (64 6) 664 () () () () x x + λ ( x x ) (84 6) 984 Dopero dl tych wyków polczoe błędy wyoszą: ε x x ε 9 Ax b ε 76,, ε, () () x ε m 49 Ax b ε m () () () e () e Poższe wykresy przedstwją temp zbeżośc rozwąz resduum rów dl opcj metody bez relkscj w ormch: dzesętej logrytmczej tempo zbeżośc rozwąz resduum dokłdośc (rozw res),,8,6,4, 5 5 r tercj CoEuk CoMx ResEuk ResMx

31 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń tempo zbeżośc rozwąz resduum - skl logrytmcz log(dokłdośc (rozw res)) -,5 - -,5 - -,5 - -,5-4 -4,5,,4,6,8, log(r tercj) CoEuk CoMx ResEuk ResMx Moż spodzewć sę wększego przyśpesze zbeżośc po zstosowu metody tercyjej Guss Sedel Przykłd 5 Rozwązć powyższe zde metodą tercj Guss Sedel Wyjścowy ukłd rówń: Ax b, gdze 4 6 A 5, b 5 8 Schemt tercyjy metody Guss Sedel (zmodyfkowy schemt metody Jcobego): ( k + ) ( ) ( 6 k x + x ) 4x x 6 4 ( k + ) ( k + ) ( k ) x + 5x x x (+ x + x ) 5 x 5x 8 + ( k + ) ( ) (8 k + x + x ) 5 Tm gdze to jest możlwe wykorzystuje sę już formcję jśweższą z ktulego kroku tercyjego k + Itercj perwsz ( k ):

32 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń () () x ( 6 + x ) ( 6 + ) () () () x (+ x + x ) (+ ( 5) + ) 5 5 () () x (8 + x ) (8 + ) ε x x Ax b 65 () () () () () () ε e () ε e,,, () ε () () () x ε Ax b m ε m 4 Itercj drug ( k ): () () x ( 6 + x ) ( 6 + ) () () () x ( + x + x ) (+ ( 5) + 6) () () x (8 + x ) (8 + 64) ε x x ε 79 Ax b ε,, ε, () () x ε m 448 Ax b ε m 6 () () () e () e Itercj trzec ( k ): () () x ( 6 + x ) ( ) () () () x (+ x + x ) (+ ( 8) + 856) () () x (8 + x ) ( ) ε x x ε 66 Ax b ε 475,, ε, () () x ε m 64 Ax b ε m 576 () () () e () e (5) Po pętstu tercjch otrzymo rozwąze x {-,, } z dokłdoścą do sześcu mejsc po przecku Wykresy zbeżośc przedstwoo pożej

33 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń tempo zbeżośc rozwąz resduum dokłdośc (rozw res),8,6,4, r tercj CoEuk CoMx ResEuk ResMx tempo zbeżośc rozwąz resduum - skl logrytmcz log(dokłdośc (rozw res)) -4-4,5-5 -5,5-6 -6,5-7,5,,5, log(r tercj) CoEuk CoMx ResEuk ResMx

34 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Odwrce mcerzy dolotrójkątej ODWRACANIE MACIERZY D jest mcerz dolotrójkąt L o wymrze, szuk jest mcerz C tk, że L C I Mcerz C, odwrot do mcerzy L jest róweż mcerzą dolotrójkąt Wzory ogóle: c,,, l cj lk ckj,,, j,,, l k j Przykłd Odwrócć mcerz dolotrójkąt c L 4 C c c 5 6 c c c c L C I 4 c c 5 6 c c c Dokoujemy możeń odpowedch werszy mcerzy L kolum mcerzy C tk, by wyzczyć wyrzy mcerzy C z kżdym rzem porówując wyk tych możeń z odpowedm wyrzem mcerzy jedostkowej c + c + c c c + c 4 + c 6 c c + c 5 + c c + c 4 + c 6 c c 5 + c 6 c c c 6 4

35 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń C Odwrce mcerzy górotrójkątej D jest mcerz górotrójkąt U o wymrze, szuk jest mcerz C tk, że U C I Mcerz C, odwrot do mcerzy U jest róweż mcerzą górotrójkąt Wzory ogóle: c,, u j cj uk ckj,, j,, + u k + Przykłd 4 Odwrócć mcerz górotrójkąt c c c U 4 5 C c c 6 c c c c U C I 4 5 c c 6 c Postępowe jest detycze jk w przypdku mcerzy dolotrójkątej 5

36 c Słwomr Mlewsk + + c c + c c 4 c + c + c 6 c 6 c + c + c 5 c + c 4 + c 5 c 4 c + c + c c 5 C Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Metod Choleskego Jest to metod odwrc mcerzy symetryczych, dodto określoych Poleg o T rozłożeu wyjścowej mcerzy czyk trójkąte: A L L stępe odwróceu kżdego z ch osobo wymożeu tk, że: Wzory rozkłd mcerzy A czyk trójkąte: - - T A L L j l jj jj l jk j,, k j lj ( j lk l jk ) j +,, l jj k T Po uzysku mcerzy dolotrójkątej L górotrójkątej L odwrc sę je korzystjąc ze wzorów zprezetowych w poprzedch podrozdzłch, stępe moży obydwe mcerze odwrote, le w odwrotej kolejośc Metody powąze z rozwązywem ukłdów rówń Z defcj mcerzy odwrotej do mcerzy A wyk stępując zleżość: 6

37 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń c c c c c c - A A I c c c Powyższy zps moż rozbć ukłdów rówń, z których kżdy służy do oblcze - kolejej, k-tej kolumy mcerzy A c k b k c k b k k,,,, ck bk gdze wyrzy wektor prwej stroy: b jk dl j k dl j k W zleżośc od metody rozwązyw tych ukłdów rówń moż mówć o metodch elmcj (p metod elmcj Guss wtedy rozwązuje sę jede ukłd, le z prwym strom) lub metodch tercyjych (p metod Jcobego lub metod Guss-Sedl) Metod elmcj Guss Trsformcj podlegją wyjścow mcerz eosoblw A orz mcerz C, któr początku, j oblczeń jest mcerzą jedostkową, tz Cj, j m ( k ) ( k ) ( k ) j j k kj c c m c ( k ) ( k ) ( k ) j j k kj, gdze: mk, k,,, ; k +,, ; j,, ( k ) k ( k ) kk m ( k ) ( k ) ( k ) j j k kj c c m c ( k ) ( k ) ( k ) j j k kj, gdze: mk, k,,,; k,,; j,, ( k ) k ( k ) kk cj cj,, j,,, 7

38 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń NADOKREŚLONY UKŁAD RÓWNAŃ Jeżel w dym ukłdze rówń lowych Ax b jest węcej rówń ż ewdomych zmeych, to tk ukłd zyw sę dokreśloym Jeżel wszystke rów są lowo ezleże, to ukłd e m jedego wspólego rozwąz, tj puktu, w którym wszystke proste przecją sę W tkm wypdku szuk sę tzw pseudorozwąz, czyl puktu, który e leży żdej prostej, le jego odległośc od kżdej z prostych są mmle w sese jkeś ormy Nech A będze mcerzą m, gdze (lczb werszy) ozcz lczbę rówń, tomst m (lczb kolum) ozcz lczbę ewdomych W ukłdze dokreśloym: >m, w ukłdze edookreśloym: <m Nech b będze wektorem wyrzów wolych o wymrze W perwszym kroku buduje sę wektor ε ( ε, ε,, ε ) zwerjący odległośc prostych od pseudorozwąz Nstępe szuk sę m ε Jeżel zstosujemy ormę średokwdrtową: ε ε + ε + + ε, to dlsze postępowe zyw sę metodą jmejszych kwdrtów Moż też stosowć ormę mksmum Metod jmejszych kwdrtów Zps wskźkowy (korzysty przy oblczech ręczych): m ( j j ) - fukcjoł błędu j B x b m B ( x b ) k j j x k j - mmlzcj fukcjołu Nowy ukłd rówń lowych (wymr: m m ): m x b, k,,, m k j j k j Zps mcerzowy (korzysty przy mplemetcj komputerowej): B ( Ax b) ( Ax b) B T A ( Ax b) x T T A A x A b Przykłd Rozwązć dokreśloy ukłd rówń x + y x + y x y x y x y x y + T 8

39 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń B( x, y) ε ( x, y) ( x + y ) + ( x y) + ( x y + ) B ( x + y ) + ( x y) + ( x y + ) x B ( x + y ) ( x y) 4 ( x y + ) y 6 x y x x + 6y 6 9 y pseudorozwąze Moż też polczyć mksymly błąd tego wyku: Bmx B( x, y) 8574 Czsm stosuje sę też tzw wżoą metodę jmejszych kwdrtów Aby zwększyć lub zmejszyć wpływ jedego z rówń wyk końcowy, moż przypsć kżdemu z rówń wgę (fukcję lub lczbę) m wększą tym blżej tej prostej będze leżło pseudorozwąze Wprowdz sę dgolą mcerz wgową: W dg{ w },,,, zberjącą wg przypse wszystkm rówom Odpowede modyfkcje ostteczych ukłdów rówń są stępujące: w zpse wskźkowym: w zpse mcerzowym: m w x w b, k,,, m k j j k j T T A WA x A W b Przykłd Rozwązń dokreśloy ukłd rówń z przykłdu, przypsując kżdemu z rówń wgę będącą jego umerem kolejym w, w, w Wg: Fukcjoł błędu: B( x, y) ( x + y ) + ( x y) + ( x y + ) B ( x + y ) + ( x y) + ( x y + ) x B ( x + y ) ( x y) 4 ( x y + ) y x 4y 8 x 9689, Bmx x + y 8 y

40 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń WARTOŚCI WŁASNE I WEKTORY WŁASNE MACIERZY Wrtoścm włsym mcerzy A stop zywmy tke wrtośc λ, λ,, λ prmetru λ, dl których ukłd rówń A x λx () m ezerowe rozwąze Wektor x r, spełjący przy λ λr ukłd rówń (), zywmy wektorem włsym mcerzy A Ukłd () m ezerowe rozwąze wtedy, gdy jego wyzczk jest rówy zero, tz ( A λi ) Po rozwęcu powyższego wyzczk otrzymmy rówe lgebrcze stop : + λ + λ + + ( ) λ zwe rówem chrkterystyczym mcerzy A Perwstk tego rów są oczywśce wrtoścm włsym mcerzy A Przykłd Nech 4 A Zjdzemy terz rówe chrkterystycze mcerzy A A λi λ 4 λ λ λ Rozwjjąc te wyzczk według elemetów perwszego wersz, otrzymujemy λ λ ( λ) λ 4 λ λ ( λ)( λ)( λ)( λ) 4[( λ)( λ) + ] ( λ 4)( λ )( λ )( λ + ) 4

41 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Wrtośc włse mcerzy A są rówe λ 4, λ, λ, λ4 Aby otrzymć wektory włse, leży rozwązć ukłd rówń A x λx, gdze zmst λ będzemy podstwć koleje oblczoe wrtośc włse Podstwjąc λ 4, orz ozczjąc współrzęde wektor włsego przez v, v, v, v 4, otrzymujemy stępujący ukłd 4 v v lub po rozpsu v v 4 v v v4 v4 v + 4v4 4v v + v 4v v 4v v + v + v 4v 4 4 skąd oblczmy v 4 v, v v, v4 v Oczywśce wektor włsy e jest określoy jedozcze Jeżel dodtkowo dokoć jego ormlzcj, p zżądć, by jego jwększ współrzęd był rów jedośc to wtedy otrzymmy x (,,, ) 4 4 Podobe otrzymmy pozostłe wektory włse x (,,, ), x (,,,), x4 (,,, ) 4 Moż oczywśce czej zormlzowć dy wektor x, p tk, by jego długość był rów jedośc, tz x v + v + + v Pod w powyższym przykłdze metod zjdyw wrtośc włsych orz wektorów włsych jest brdzo prcochło, szczególe w przypdku mcerzy wysokego stop Dltego też rzdko rozwązuje sę problem włsy mcerzy podstwe defcj Szczególe kłopotlwe może być wyzczee smych wrtośc włsych, gdy welom występujący w rówu chrkterystyczym e m perwstków wymerych Przykłd Nech 4

42 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń A 4 Rówe chrkterystycze λ ( A λi ) λ 4 λ po rozwęcu (p względem perwszego wersz) m postć stępującego welomu λ λ λ Welom te e posd perwstków wymerych, (co łtwo sprwdzć, gdyż mogłyby oe wyosć odpowedo λ,, 9, 7 le żd z tych lczb e speł rów) Rówe trzecego stop posd odpowede wzory swoje perwstk rzeczywste, (jeżel steją) tzw wzory Crd, le są oe dość ucążlwe w użycu Dltego posłużymy sę w tym przypdku metodm umeryczym dl określe jedego z perwstków, by pozostłe dw wyzczyć już w sposób ltyczy Budując z powyższego welomu schemt tercyjy dl metody Newto F λ λ λ λ ( ) λ λ λ λ λ λ λ F( ) F '( λ ) λ λ orz strtując p z λ otrzymujemy dl czterech kolejych tercj λ λ λ 78 λ Ostt wyk moż uzć już z stysfkcjoujący gdyż odpowdjące mu tempo λ λ4 zbeżośc jest reltywe młą lczb λ 4 Ztem przyjmujemy do dlszych oblczeń λ λ4 758 W celu wyzcze pozostłych perwstków rów dzelmy wyjścowy welom przez ( λ 758) otrzymując w rezultce λ λ λ λ λ λ ( 758)( ) Rówe kwdrtowe rozwązujemy w zy ltyczy sposób wyzczjąc pozostłe dw perwstk Osttecze wrtośc włse mcerzy A wyoszą (w kolejośc rosącej) λ 968, λ 758, λ

43 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Dl porów ltycze polczoe wrtośc włse wyoszą 969, 759, 5947 Ztem powyższe welkośc umerycze są brdzo dobrym przyblżeem ścsłych wyków ltyczych Dlej postępujemy podobe jk w przykłdze w celu wyzcze wektorów włsych Dl λ 968 odpowdjącego jej wektor v ( x, y, z) budujemy ukłd rówń λ x 968 x λ 4 y y λ z 4968 z Do dwóch perwszych rówń (trzece to tożsmość w stosuku do ch) dołączmy wruek jedostkową długość wektor włsego 968 x + y z x y + 4 z x + y + z Rozwąze tego ukłdu dje współrzęde wektor v x 765 y 5754 z 857 Alogcze oblcze moż przeprowdzć dl pozostłych wrtośc włsych Odpowdjące m wektory włse wyoszą v ( x, y, z ) x 878 y 4589 z 6948 v ( x, y, z ) x 479 y z 498 W ogólośc dl dowolej mcerzy może okzć sę, ż d mcerz e posd wrtośc włsych rzeczywstych lub posd wrtośc włse welokrote W drugm przypdku e steje jede uormowy wektor włsy, le cły ch zbór leżący kokretej płszczyźe Brdzo często występującym mcerzm w ukch techczych są mcerze symetrycze, p w mechce cł odksztłclego tkm mcerzm są mcerz prężeń mcerz odksztłceń dl mterłu zotropowego Moż wykzć stępujące twerdzee: Twerdzee Kżd mcerz symetrycz dodto określo posd wszystke wrtośc włse rzeczywste dodte róże od sebe Przykłd Mcerz prężeń dl płskego stu pręże ops jest w kżdym pukce cł A 4

44 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Zleźć postć mcerzy w ukłdze włsym orz jej keruk główe Ukłdmy rówe chrkterystycze (tu róweż zywe rówem wekowym lub sekulrym) λ ( A λi ) λ 5λ + 4 λ Wrtośc włse wyoszą λ, λ 4 Wektory włse: dl λ x x + y y x + y stąd x 86497, y 5775 dl λ 4 4 x x + y 4 y x + y stąd x 5775, y 86497, Dl wektorów włsych (tu: wersorów wyzczjących ose główe) mcerzy symetryczych steje wruek ch wzjemej ortogolośc T T x x y y co sprowdz sę do oblcze loczyu sklrego wektorów (dl wektorów prostopdłych loczy sklry jest rówy zeru) W ltyczej umeryczej lze problemów włsych mcerzy pomoccze są stępujące twerdze: Twerdzee Jeżel mcerz posd róże wrtośc włse to steje zbór lowo ezleżych wektorów włsych, z dokłdoścą do stłej, co ozcz stee jedozczych keruków tych wektorów Twerdzee (Cyley Hmlto) Mcerz symetrycz drugej wlecj ( chrkterystycze A ) speł swoje włse rówe j 44

45 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń A I A + I A I I, A A A A A A gdze I, I, I są jej ezmekm Twerdzee 4 Jeżel g( x) jest welomem, λ jest wrtoścą włsą mcerzy A, to g( λ ) jest wrtoścą włsą mcerzy g( A ) Przykłd 4 Wrtośc włse mcerzy A wyoszą λ {,,,} B A A + A I Oblczyć wrtośc włse mcerzy Kosekwecją twerdze 4 jest przeesee zleżośc medzy mcerzm A B zleżość mędzy ch wrtoścm włsym, czyl: λ λ λ + λ B A A A co pozwl brdzo łtwo oblczyć wrtośc włse mcerzy B λ + 4 ( ) ( ) ( ) 8 λ + λ + λ + Twerdzee 5 Trsformcj mcerzy A przez podobeństwo e zme jej wrtośc włsych Jeżel R jest mcerzą eosoblwą to trsformcją przez podobeństwo zywmy - przeksztłcee R A R Wrtośc włse tej owej mcerzy są tke sme jk wrtośc włse mcerzy wyjścowej A Twerdzee 6 Trsformcj ortogol mcerzy A e zme jej wrtośc włsych jej ewetulej symetr T Jeżel Q jest mcerzą eosoblwą tką, że Q Q I to trsformcją ortogol T zywmy przeksztłcee Q AQ Wrtośc włse tej owej mcerzy są tke sme jk wrtośc włse mcerzy wyjścowej A Twerdzee 7 (Gerszgor) Nech A będze mcerzą kwdrtową o wymrze wyrzch (, j,,, ) Jeżel określmy dysk u,,,, o środkch odpowdjącym wyrzom przekątej j 45

46 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń główej mcerzy promech R, gdze włsych) moż oszcowć poprzez wzory: R k to wdmo mcerzy A (zbór wrtośc k k λ λ, λ λ λ m mx m mx > m( R ) < mx( + R ) Oszcow powyższe stją sę rzeczywstym wrtoścm λm λ mx dl mcerzy ścśle domującej przekątej główej Mcerz zywmy mcerzą ścśle domującą przekątej główej, jeżel: > j,,,, j j Przykłd 5 Oszcowć wdmo wrtośc włsych korzystjąc z twerdze Gerszgor dl mcerzy: A 4 Wyrzy przekątej główej:, 4, Promee dysków: R + 4, R +, R + 5 Oszcowe wrtośc włsych: λ m 4 6 > m 4 m 6, λm > λmx < mx 4 mx 7 + 8, λmx < czyl λ 6,8 W rzeczywstośc mcerz A m jedą wrtość włsą rzeczywstą rówą: 9886 meszczącą sę w powyższym przedzle Jedym z zstosowń powyższego twerdze jest jego wykorzyste do zbd dodtej określoośc dej mcerzy kwdrtowej A Mcerz A o wymrze zywmy mcerzą dodto określoą, jeśl jest eosoblw T ( det( A ) ) orz dl dowolego wektor x R speło jest erówość x A x > 46

47 Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń Poewż bde dodtej określoośc mcerzy z defcj jest kłopotlwe, stosuje sę to tego róże twerdze, oprócz twerdze -szego tkże: Twerdzee 8 Jeżel mcerz kwdrtow A o wyrzch rzeczywstych jest ścśle domując przekątej główej m dodte wyrzy przekątej główej to A jest dodto określo Często róweż wykorzystuje sę do bd dodtej określoośc mcerzy pojęce podwyzczk mcerzy: jeśl zk podwyzczków mcerzy (od rzędu -szego ż do rzędu -tego) tworzą przemey cąg lub są tke sme to mcerz jest dodto określo Według twerdze -szego, by wykzć, że mcerz jest dodto określo, leży udowodć, ż jej wrtośc włse są dodte róże od sebe Poewż twerdzee Gerszgor oszcowuje wdmo mcerzy, moż go zstosowć w celu zbd perwszej tezy Ntomst zbde, czy wrtośc włse są od sebe róże, wymg zstosow tzw cągów Sturm e będze rozwże w tym oprcowu Przykłd 6 Wykorzystć twerdzee Gerszgor do zbd dodtej określoośc stępujących mcerzy: A B Dl mcerzy A: λm > m m, λm > λ (, 4) + 4 λmx < mx mx 4 + 4, λmx < Wosek: mcerz A może być dodto określo Dl mcerzy B: λm > m 4 m, λm > 4 λ (,7) + 6 λmx < mx 4 mx 7 + 7, λmx < Wosek: mcerz B e jest dodto określo 47