Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n

Transkrypt

1 lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6

2 lkowe_um- td. td. Błąd metod prostokątów Zkłdm, że () m drugą pocodą cągłą w przedzle <, >. Njwększą wrtość ukcj w przedzle <, > ozczm przez M. Moż wkzć, że łąd przlże wrtośc cłk wrtoścą prwej stro rów (6), zdeow jko / d (8) jest określo erówoścą M (9) Metod trpezów /6 -- :9:

3 lkowe_um- -- :9: /6 d () gdze td. Błąd metod trpezów Zkłdm, że () m drugą pocodą cągłą w przedzle <, >. Njwększą wrtość ukcj w przedzle <, > ozczm przez M. Moż wkzć, że łąd przlże wrtośc cłk wrtoścą prwej stro rów (), zdeow jko d ()

4 jest określo erówoścą lkowe_um- M () Metod mpso (metod prol) Krzwą () zstępujem łukm prol drugego stop. Złożm podto, że jest lczą przstą. Zzczm to zstępując przez. Puktów ( =,,..., -, ) jest ztem +. d d g () gdze g ( ) A B () Nec prol g() przecodz przez pukt M( -, - ), N(, ), P( +, + ). Wówczs prw stro rów () wos /6 -- :9:

5 lkowe_um- -- :9: 5/6 )d ( B A B A B A B A B A (5) czl d g (6) Przlżo wrtość cłk d ) ( jest rów polu 5 gdze td. Dodjąc prwe stro rówń (6) dl =,,..., - otrzmujem wzór mpso )d ( (7) Błąd metod mpso Zkłdjąc cągłość czwrtej pocodej ukcj () w przedzle <, > orz ozczjąc przez M jwększą wrtość ukcj () w tm przedzle moż określć górą grcę łędu olcz cłk metodą mpso d (8)

6 z pomocą zleżośc lkowe_um- M (9) 8 gdze () 6/6 -- :9:

7 rcrdso_ekstrpol Ekstrpolcj crdso Ekstrpolcj crdso poleg olczu dokłdejszej wrtośc cłk podstwe dwóc wrtośc wzczoc umercze dl różc welkośc podprzedzłów, jke podzelo jest przedzł cłkow. Metodę moż użć wted, gd dspoujem wzorem łąd metod cłkow. Zstosowe ekstrpolcj crdso do metod trpezów przlżoego cłkow Błąd metod trpezów wrż wzór ( ) ( ) () Nec ( ) ( ) I ędze przlżoą wrtoścą cłk wzczoą metodą trpezów, łędem olcze cłk prz welkośc podprzedzłu. Wówczs dokłdą wrtość cłk moż wzczć z rów ( ) + ( ) I ( ) I I + () c ( ) gdze c = jest stłą ( prz złożeu, że jest ezleże od welkośc I jest przlżoą wrtoścą cłk wzczoą metodą trpezów, ( ) łędem olcze cłk prz welkośc podprzedzłu, moż psć podprzedzłu ). Alogcze, gd ( ) ( ) + ( ) I ( ) I I + () c Po przrówu prwc stro rówń () orz () otrzmujem ( ) c I ( ) I + + () c Z rów () wzczm c c I ( ) I ( ) (5) Po podstweu prwej stro rów (5) do rów () dostjem ( ) I ( ) I I I( ) + (6) Błąd zleżośc (6) jest rzędu o ( ) o ( )., podczs gd łąd metod trpezów jest rzędu / :

8 rcrdso_ekstrpol Metod cłkow przlżoego omerg łącz metod trpezów ekstrpolcj crdso. Poższ tel przedstw kolejość olczeń w metodze omerg I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, I, o( ) o( ) o( 6 ) o( 8 ) o( ) Procedur: ) olczm I, orz I, ) wkoujem ekstrpolcję crdso dl I, orz I, otrzmujem I, ) olczm I, ) wkoujem ekstrpolcję crdso dl I, orz I, otrzmujem I, 5) wkoujem ekstrpolcję crdso dl I, orz I, otrzmujem I, 6) olczm I, 7) wkoujem ekstrpolcję crdso dl I, orz I, otrzmujem I, 8) wkoujem ekstrpolcję crdso dl I, orz I, otrzmujem I, 9) wkoujem ekstrpolcję crdso dl I, orz I, otrzmujem I, td. / :