Ramowy program laboratorium z metod numerycznych. Skrócone instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych.

Transkrypt

1 Rmowy progrm lbortorum z meto umeryczyc. Srócoe strucje o ćwczeń lbortoryjyc. erm Nr emty Wprowzee, zsy zlcze, regulm, BHP tp. Ćw. Błęy. czby zmeoprzecowe IEEE 754. Epslo mszyowy Ćw. Rozwązywe ułu rówń lowyc metoą elmcj Guss 4 Ćw. Rozwązywe ułu rówń lowyc metoą Guss-Sel 5 Ćw. 4 Rozwązywe rówń elowyc metoą tercj prostej. Meto weloroow z orecją Ate. 6 Ćw. 5 Rozwązywe rówń elowyc metoą Newto metoą seczyc 7 Ćw. 6 Rozwązywe ułów rówń elowyc meto Newto- Rpso 8 Ćw. 7 Iterpolcj ucj ysretej 9 Ćw. 8 Aprosymcj ucj metoą jmejszyc wrtów I 0 Ćw. 9 Aprosymcj ucj metoą jmejszyc wrtów z wyorzystem rozłu mcerzy weług wrtośc szczególyc SVD Ćw. 0 Aprosymcj metoą jmejszyc wrtów II o wygłz orz estymcj prmetrów sygłów wejścowyc Ćw. Algorytmy cłow umeryczego Ćw. Rozwązywe rówń różczowyc meto prostoątów meto trpezów 4 Ćw. Rozwązywe rówń różczowyc meto Ruge-Kutty IV rzęu 5 Zlczee. erm rezerwowy Wrocłw,.0.06 r.

2 Ćwczee. Błęy. czby zmeoprzecowe IEEE 754. Epslo mszyowy. Progrm ćwcze: Błęy zorągleń:. Sprwzć wy złń: 5; b ; c 4; b??? e c??? Dl zmeyc zelrowyc jo lczby zmeoprzecowe wszysto wyje sę być o. J sę zmeą wrtośc e jeśl zmee, b c zostą zelrowe jo typu cłowtego ze zem? t65; bt6; ct64;. Sprwzć wy zł polegjącym 0000-rotym owu o pewej lczby, p. zer, wrtośc ;. Dowe leży wyoć w pętl p. typu FOR. Nleży sprwzć wy ow w przypu gy zme jest: typu ouble typ powójej precyzj omyśle używy przez MAAB, gze wrtość przecowywej lczby jest oow zgoe ze strem IEEE 754 z wyorzystem 64 btów; lczby rzeczywste zmeoprzecowe b typu sgle typ pojeyczej precyzj, opowe typu lot zego w języu C, gze wrtość przecowywej lczby zgoe ze strem IEEE 754 jest oow z wyorzystem btów; lczby rzeczywste zmeoprzecowe Aby zelrowć tą zmeą w MAABe leży użyć ucj sgle: sgle; Poto sprwzć wy zł: sum *0000; Nstępe porówć uzyse wy z wrtoścą spozewą sumy. N tórym mejscu po przecu zjuje sę błą. Są sę wzęły różce? Co sę bęze zło z błęem gy lczbę tercj zwęszymy z ? Aby zwęszyć lczbę wyśwetlyc ere mejsc wyu moż użyć omey: ormt log lub ormt log g.. Sprwzć wy zł wy 0*.--. Dzłe wyoć z wyorzystem MAAB orz plcj lultor wbuowego w system opercyjy Wows, orz jprostszy lultor sprzętowy? Który z tyc lultorów jest lepszy? pmętjmy przy tym o osztc użytyc rzęz: Mtlb to oszt o. 00tys zł, Wows o. 400zł, jprostszy lultor o. 4zł. Sprwzć wy opercj: *4-? 4. Porówć ze sobą wrtośc poższyc wyrżeń zcowć postć wyrżeń:

3 b Sprwzć wrtość stłej π, orz wrtość ucj sπ: p wy sp Czy wy jest rówy 0? J jest błą? 6. Sprwzć wy zł: srte-6 -? 7. Czy 0, to prost o zpmęt przez omputer lczb rzeczywst? Sprwzć wy zł progrmu: 0.0; or :0 0.; e sp wy poprwy ; else sp jest róże o, czyl 0. to brzo ewygo l omputer lczb!!!! ; e; 8. Ile to jest rówe? Zmeej przypsć wrtość 767 stępe oć o ej, tj. wy. J jest wy? zmeą leży zelrowć jo cłowtą, tj. t6767. Zmeej przypsć wrtość -767 stępe ojąć o ej -0, tj. wy - 0. J jest wy? zmeą leży zelrowć jo cłowtą, tj. t Sprwzć wrtośc stępującyc wyrżeń: tm't8' tm't8' tm't6' tm't6' tm't' tm't' tm't64' tm't64' tm'ut8' tm'ut6' tm'ut' tm'ut64' tm'ut8' tm'ut6' tm'ut' tm'ut64' elp tm elp tm relm'sgle' relm'ouble' relm'sgle' relm'ouble' elp relm elp relm

4 Dołość oblczeń: 9. Sprwzć wy zł: ^5 ^5? 0. Nrysowć wyres ucj w przezle <0.9996,.0004> tej postwe wyzczyć jej mejsc zerowe. Sorotowć uzyse wy z złem polece roots. Przeprowzć rz jeszcze rozwż j wyżej le tym rzem l ucj: 4 Porówć przeysutowć ze sobą ucje orz osągęte l c wy. Epslo mszyowy: Epslo mszyowy jest wrtoścą oreśljącą precyzję oblczeń umeryczyc wyoywyc lczbc zmeoprzecowyc. Często jest eow jo jmejsz lczb eujem, tórej oe o jeośc je wy erówy. Iym słowy, jest to jmejszy ε, l tórego stępujący wrue jest uzwy z espełoy przyjmuje wrtość łsz: ε. ecj, coć powszece przyjęt jest je prwzw tylo l lczby.0, gyż l lczb węszyc wrtość epslo jest zwyle węsz, l mejszyc opoweo róweż sę zmejsz. Im mejsz wrtość epslo mszyowego, tym węsz jest wzglę precyzj oblczeń. Wrtośc tej je e leży mylć ze zwyle użo ższą jmejszą lczbą uzwą przez mszyę z różą o zer. Epslo mszyowy jest zleży o mplemetcj. Precyzj oblczeń jest ogrczo o stroy sprzętowej przez rozmr rejestrów, tóryc są wyoywe oblcze, o stroy progrmowej przez typ yc użyty o reprezetow lczb zmeoprzecowyc. Epslo wyzczoy l ej lczby moż róweż trtowć jo mrę oległośc o tej lczby o jblższej ej lczby, tór jest w oły sposób reprezetowć w ej jest róweż. Ze: Npsć progrm służący o wyzcz wrtośc epslo mszyowego l lczb zmeoprzecowyc pojeyczej powójej precyzj sgle ouble. W tym celu moż sorzystć z stępującego lgorytmu:. przyjąć początową wrtość ε, gze: -lczb l tórej ccemy wyzczyć wrtość epslo.. sprwzć czy spełoy jest wrue: ε. jeśl wrue jest spełoy tz. że zlezoo wrtość epslo. Jeśl wrue e jest spełoy to pozel epslo przez ε ε wróć o puu. Porówć ze sobą wy uzyse l lczb:, 0-6, 0-4,, 0 6, 0 4 reprezetowyc jo lczby zmeoprzecowe pojeyczej powójej precyzj. Korzystjąc z MAAB ucj eps, wyzczyć wrtośc epslo mszyowego l lczb typów j wyżej porówć je z wym uzysym smozele. 4

5 Ćwczee. Meto elmcj Guss rozwązyw ułu rówń lowyc Ze: Korzystjąc z proceury GAUSS.M psć progrm o rozwązyw ułów rówń lowyc. Wszów: psć włsy progrm, w tórym bęze owołe o proceury GAUSS: gussa,b; gze: A - mcerz rów, b - wetor prwej stroy, - wetor rozwąz. Zstosowć tę proceurę o rozwąz ułu rówń A b poego przez prowzącego. b Korzystjąc z trójątej mcerzy uzysej po perwszym etpe proceury elmcj Guss oprcowć proceurę o oblcz wyzcz mcerzy. Zstosowć tę proceurę o oblcze wyzcz mcerzy A sorzystć z przyłowego progrmu E_GAUSA.M. c Korzystjąc z rozwązń rów lgebrczego z mcerzą oprcowć progrm o owrc mcerzy wrtowej owolego stop. W olejyc,.. rozwązc przyjąć w crterze wetor prwej stroy wetor zerowy z jeą tylo jeyą leżącą pozycj : b [ ] Zstosowć tę proceurę o mcerzy A ; wy porówć z rezulttem uzysym postwe proceury MAAB v A. 5

6 6 Ćwczee. Meto Guss-Sel tercyjego rozwązyw ułów rówń lowyc Rozptrywy jest stępujący uł rówń b b b Meto Guss-Sel tercyjego rozwązyw ułu rówń przyber ormę stępującego lgorytmu.. Uporząowć wyjścowy uł rówń t, by w mcerzy współczyów A jwęsze co o moułu elemety zlzły sę przeątej, co jest oreśloe stępującym wruem j j >,...,,,, j...,,,. Przyjąć wru początowe {} { } Powtrzć proces tercyjy b b b, co może być zpse w stępującej ogólej postc j j j j j j b l olejyc roów tercj,, ż spełoy zoste wrue <ε,,..., m gze ε - złożo ołość oblczeń. Ze: Stosując tę metoę rozwązć uł rówń poy przez prowzącego. Uwg: psć progrm, tóry utomtycze porząuje mcerz współczyów ro orz oreśl rozwąze ro l ogólego przypu owolego z.

7 Ćwczee 4. Meto prostej tercj rozwązyw rówń elowyc z orecją Ate. Rozptrzmy rówe elowe o postc 0 Meto prostej tercj poszuw wrtośc, l tórej spełoe jest rówe poleg przesztłceu go o postc g l tórej moż sormułowć stępującą regułę tercyją g 0 z wrum początowym: 0. Algorytm prowz o rozwąz, gy proces tercyjy jest zbeży. Zbeżość jest zpewo, gy spełoy jest stępujący wrue. Dl owole wybrej zmeej ξ zcoz erówość g g ξ K ξ 4 gze K <. Wrue te leo e zwsze jest spełoy, co yswluje cłą metoę, jo sposób zjow mejsc zerowyc ucj. Aby rozszerzyć obszr zbeżośc przyspeszyć zbeżość procesu tercyjego moż stosowć jego orecję weług metoy Ate. Korecj jest ooyw postwe trzec olejyc wrtośc,, przyblże, uzysyc weług metoy prostej tercj weług stępującej reguły p Wy tej orecj przyjmuje sę w crterze olejego przyblże rozwąz: 5, p po czym stępują zów w ro proceury o olejej orecj 5. W te sposób uzysuje sę lgorytm o stępującej postc. 4. Przyjąć wru początowe 0 0, 0 - umer rou tercj 5. Wyoć w ro prostej tercj y g z g y 6. Sorygowć wy: Δ z y y Δ 4. Jeśl bs Δ > eps,, przejź o Ze: Stosując tę metoę zleźć mejsc zerowe ucj poej przez prowzącego. Przestwć grcze przebeg ucj w poblżu rozwąz rozwązń. 7

8 Ćwczee 5. Rozwązywe rówń elowyc metoą Newto metoą seczyc Ze: Zleźć wszyste mejsc zerowe ucj j w zu 4. meto tercj prostej tercj z orecją Ate postwe: - lgorytmu Newto, - metoy seczyc. Przestwć grcze przebeg ucj w poblżu rozwąz rozwązń. Przeprowzć lzę porówwczą wszystc tz. 4 meto byc w z., 4 5 po ątem: - poprwośc zjow rozwązń, - wpływu wruów początowyc wy rozwąz, - łów oblczeowyc czs oblczeń lość tercj, - wpływu przyjętyc różyc wrtośc prmetru eps, ww. - e. 8

9 Ćwczee 6. Meto Newto-Rpso rozwązyw ułów rówń Ze: Stosując metoę Newto-Rpso wyzczyć rozwąze poego przez prowzącego ułu rówń elowyc. Wy zlustrowć grcze. Przelzowć wpływ wruów początowyc wy rozwąz. 9

10 Ćwczee 7. Iterpolcj ucj ysretej Iterpolcj poleg przestweu ucj w postc cągłej, gy z jest o w postc ysretej. Jest to ztem ze owrote o ysretyzcj lub próbow welośc cągłej. Złóżmy, że l ego zboru zmeyc ezleżyc z przezłu < ; b > :,,..., ze są przyporząowe m wrtośc ucj: y, y,..., y. Zem terpolcj jest wyzczee przyblżoyc wrtośc ucj l wrtośc zmeyc ezleżyc z przezłu < ; b >, lecz e bęącyc putm ze zboru,,..., puty te tworzą tzw. węzły terpolcj. ypowym przyłm zstosow terpolcj jest oblcze cłe orz pocoyc ucj ysretyc w czse lub oreślee wrtośc ucj ej w postc tbelryczej. W crterze ucj terpolcyjej jczęścej jest stosowy welom. Złóżmy, że jest ucj w postc tblcy, w tórej putom,,...,, zwym węzłm terpolcj przyporząowe są wrtośc,,...,. Zł sę, że j l j. Ozczmy tą różcę Wyrże Δ zyw sę lorzm różcowym perwszego rzęu. Opoweo tże: Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ - lorz trzecego rzęu 4 Δ Δ ogóle: Δ l,,...,,,,..., 5 Welom terpolcyjy Newto m stępującą postć: Δ... Δ P Δ... 6 Moż sprwzć, że: P l,,...,. Algorytm terpolcyjy Newto sprowz sę ztem o oblcze lorzów różcowyc orz oreśle wrtośc welomu l oretej wrtośc zmeej. Wże zczee m przype, gy wszyste puty stłe węzły są jeowo o sebe oloe. Wówczs mmy: cost orz Δ Δ Δ, Δ, Δ Δ Δ l,,...,,,,..., zę czemu uprszcz sę reprezetcj ucj terpolującej 6, gyż:,,,,..., 7 Wprowzjąc ową zmeą:, ztem:, otrzymmy z 6 Δ Δ Δ P 8 Przył. Oreślć ogólą postć welomu terpolcyjego Newto l ucj ysretej reprezetowej przez trzy oleje rówooloe puty. W tym przypu welom terpolcyjy 8 jest ogrczoy o trzec wyrzów: 0

11 Δ Δ P, co po postweu opowec wrtośc przyjmuje stępującą ormę jest oległoścą o początu przezłu: P Postwjąc jest w te sposób wzglęą oległoścą o początu przezłu otrzymmy: P Po uporząowu otrzymmy: 4 P W te sposób, przył, wrtość ucj w śrou rugego 5, oc moż oszcowć stępująco: ,5 P Fucję terpolującą moż wyorzystć o oreśle lgorytmu umeryczego różczow. Opoweą ormułę uzysuje sę przez różczowe ucj terpolującej: P D N przył, l prosymcj -putowej j w Przyłze otrzymmy: P P ' lub [ ] 4 ' P. Dl różczow ońcu przezłu otrzymmy: D 4. Poobe, w śrou przezłu: D. Ze: Pomr welośc y obyw sę ze stłym oresem próbow. Wy pomru jest umeszczoy w poższej blcy y Stosując -putową terpolcję oreślć wrtośc tej ucj orz jej pocoej z m-rote węszą częstotlwoścą próbow z oresem.

12 Ćwczee 8. Aprosymcj metoą jmejszyc wrtów I Ze: Obserwowy proces jest oreśloy stępującą ucją: t As ω t ϕ δ t gze: ω, ϕ, A, moel złóceń: δ t poje prowzący. Pomr sygłu t obyw sę metoą cyrową z częstotlwoścą próbow. Pomr jest prosymowy z pomocą wóc moel: welomowego trygoometryczego ołą postć moel ustl prowzący. Oreślć współczy obu moel postwe pomru sygłu w perwszym orese słowej postwowej. Nrysowć przebeg sygłu oryglego obu prosymcj.

13 Ćwczee 9. Meto Njmejszyc Kwrtów z wyorzystem rozłu mcerzy weług wrtośc szczególyc SVD Dowol mcerz A m może być przestwo w stępującej postc: A UWV gze: U - mcerz m m, tórej olumy spełją stępującą zleżość: m u u j,, j, to zczy, są wzjeme ortogole; Σ 0 W - mcerz m wrtośc szczególyc, przy czym: 0 0 σ σ Σ, σ σ σ r 0, r rzą mcerzy A * ; σ r V - mcerz wrtow, tórej olumy spełją stępującą zleżość: v v j,, j, węc są róweż wzjeme ortogole. Z powyższego opsu wy, że: U U V V VV Kolumy mcerzy U są wetorm włsym mcerzy wrtowej AA, tomst olumy mcerzy V są wetorm włsym mcerzy A A. Wrtośc szczególe rozłu węc elemety gole mcerzy Σ - są tomst perwstm wrtowym wrtośc włsyc mcerzy AA lub A A. Zleżość jest zyw rozłem mcerzy A weług wrtośc szczególyc g. SVD Sgulr Vlue Decomposto. Wy stą sposób oblcz mcerzy rozłu. Wetor włsy mcerzy H speł stępujące rówe: H λ 4 przy czym λ jest wrtoścą włsą mcerzy H. W tm przypu mów sę, że wetor jest sojrzoy w wrtoścą włsą λ. W celu oreśle wrtośc włsyc λ orz opowjącyc m wetorów włsyc leży rozwązć rówe 4, co jest rówowże stępującej zleżośc: 0 H λ 5 Jeozcze rozwąze 5 uzysuje sę wówczs, gy spełoy jest wrue: λ λ m et H λ 0 6 M M M w λ m m m mm * Rzą mcerzy r jest jwęszą lczbą ezleżyc werszy lub olum mcerzy.

14 Rozwąze rów 6 jest rówowże zlezeu perwstów welomu m-tego stop wzglęem λ. W ogólym przypu jest ztem m wrtośc włsyc: λ, λ,.. λm. Postwjąc olejo te wrtośc włse o 5 otrzymuje sę m rówń: λ M m 7 λ M m m m 0,,,.., m, M M mm λ m po rozwązu tóryc uzysuje sę m wetorów włsyc : [ ],,..,m. W rozptrywym przypu mcerz, H AA jeśl oblcz jest mcerz U lub H A A jeśl oblcz jest mcerz V. Mcerz Σ powstje przez uporząowe perwstów z wrtośc włsyc mcerzy H. W strowyc progrmc o rozłu mcerzy weług wrtośc szczególyc stosowe są zzwyczj e, brzej eetywe lgorytmy w stosuu o przestwoego powyżej. Włścwośc rozłu SVD: A UWV, A VW U 8 m A A VW U UWV VW WV, AA UWW U 8b A A A A VW U # gze - mcerz pseuo-owrot 8c W W # Σ m ; elemety gole mcerzy Σ moż oblczyć jo owrotośc opowec elemetów golyc mcerzy Σ. Osttą zleżość moż bezpośreo wyorzystć o rozwązyw zń MNK: # # H y VW U y 9 gze: y - wetor pomrów, - wetor poszuwyc prmetrów ucj prosymującej. Zstosowe z użycem progrmu MAAB: [U,W,V]svA; rozł mcerzy A weług wrtośc szczególyc, [C,D]egA*A'; wrtośc włse mcerzy A*A'. Ze:. Oreślć rozł mcerzy A poje prowzący weług wrtośc szczególyc. Oblczyć wrtośc włse wetory włse mcerzy A A orz AA. Porówć ob wy.. Sprwzć zwąze 8c: A A A VW U. Rozwązć problem MNK z Z 8 z pomocą metoy SVD. 4

15 Ćwczee 0. Aprosymcj metoą jmejszyc wrtów II Ze: Obserwowy proces jest oreśloy stępującą ucją: t A s ω t ϕ A sωt ϕ A5 s5ωt ϕ 5 δ t gze: ω, ϕ, A, ϕ, A, ϕ 5, A 5 orz moel złóceń δ t poje prowzący. Korzystjąc z metoy jmejszyc wrtów oreślć współczy ltrów ortogolyc o estymcj m-tej rmoczej sygłu. Fltry powy relzowć przetwrze zgoe z stępującym zleżoścm: X X mc ms p p N 0 N 0 N, c N s gze: c, s - współczy ltrów, N - lczb próbe sygłu w orese słowej postwowej. Pomr sygłu t obyw sę metoą cyrową z częstotlwoścą próbow. Do oreśle współczyów ltru przyjąć moel sygłu, tóry poje prowzący. Dooć przetwrz sygłu zgoe z oreślć mpltuę wszej rmoczej. 5

16 Ćwczee. Cłowe ucj Ze: Oblczyć wrtość cł l poej przez prowzącego ucj jeej zmeej orzystjąc z metoy: - prostoątów, - trpezów, - Smpso. przy zej ługośc rou cłow. Porówć otrzyme wy z wrtoścą uzysą ltycze. 6

17 Ćwczee. Rozwązywe rówń różczowyc meto prostoątów meto trpezów. Ze: Dl oreśloego przez prowzącego rów różczowego, oreśloyc wruów początowyc, przestwć grcze rozwąze weług metoy trpezów orz ejwej metoy Euler. Przyjąć ro cłow rówy. 7

18 Ćwczee. Rozwązywe rówń różczowyc Ze: Dl ego przez prowzącego ułu rówń różczowyc, z wrum początowym, stosując metoę Ruge-Kutty 4-rzęu oreślć przebeg rozwąz w przezle t 0 t m, przyjmując stły ro cłow.wy przestwć grcze. Porówć rozwąz l różyc wrtośc. Uwg: oprcowć progrm o stępującej struturze: e Głów Proceur Proceur Ruge-Kutty Oblcze pocoej prwej stroy rów wy 8

19 Ćwczee 4 progrm rozszerzoy. Wyorzyste rozłu U o rozwązyw ułu rówń lowyc Ze:. Dooć rozłu U mcerzy współczyów A ułu rówń lowyc A b z z meto elmcj Guss rozwązyw ułu rówń lowyc trójąte mcerze orz U.. Zleźć wetor rozwąz w wóc etpc, rozwązując olejo stępujące rów: z b stępe U z, pmętjąc, że U b, gze U A.. Wyzczyć wrtość wyzcz mcerzy A postwe wrtośc wyzczów mcerzy U. 4. Porówć uzyse rezultty z wym zł ucj U progrmu MAAB przyłowe użyce: [,U] lua; b [,U,P] lua; - z porząowem mcerzy A mcerzą permutcj 5. Porówć uzyse rezultty z wym otrzymym w zu. 9