Matematyka stosowana i metody numeryczne

Transkrypt

1 Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx = F (b) F () Podstwijąc w miejsce funkcji podcłkowej f(x) wielomin lgebriczny ϕ(x) = f 0 N 0 (x) + f N (x) + + f n N n (x) = f i N i (x) otrzymmy tzw. wzór kwdrturowy. 0. Kwdrtur cłkowni Wzorem kwdrturowym (kwdrturą) nzywmy: I(f) = f(x) dx ϕ(x) dx = f i N i (x) dx = w i f i = S(f) w którym w i = N i (x) dx, i = 0,,,..., n są tzw. współczynnikmi wgowymi (wgmi). Wrtość w i określ wielkość udziłu rzędnej f i f(x i ) w wrtości cłej sumy S(f). W zleżności od sposobu postępowni przy wyborze położeń węzłów interpolcji w przedzile cłkowni kwdrtury dzielimy n dwie grupy:. kwdrtury Newton - Cotes, węzły są rozmieszczone równomiernie w cłym przedzile cłkowni (zmknięte końce). kwdrtury Guss, węzły są rozmieszczone nierównomiernie, tk by zminimlizowć błąd kwdrtury (otwrte końce)

2 0. Kwdrtury Newton - Cotess 0.. Wzór prostokątów Po zstosowniu interpolcji funkcji podcłkowej f(x) z pomocą wielominu ϕ(x) = f(x 0 ) = const. otrzymujemy I(f) = f(x) dx f(x 0 ) dx S(f) = (b ) f(x 0 ) () W zleżności od wyboru położeni węzł x 0 otrzymujemy wzory: ) lewych prostokątów, gdy x 0 = b) środkowych prostokątów, gdy x 0 = ( + b)/ c) prwych prostokątów, gdy x 0 = b 0.. Wzór trpezów Jeśli do interpolcji funkcji f(x) zstosujemy interpolcję z pomocą wielominu liniowego Lgrnge, to otrzymmy wzór kwdrturowy, nzywny wzorem trpezów. I(f) = f(x) dx f 0 L 0 + f L dx = 0..3 Wzór Simpson f() x b b + f(b) x b S(f) = b f() + f(b) () Zstosownie kwdrtowej interpolcji Lgrnge prowdzi do wzoru: f(x) dx f 0 L 0 + f L + f L dx = (x c)(x b) f 0 ( c)( b) + f (x )(x b) (c )(c b) + f (x )(x c) dx (b )(b c) Osttecznie kwdrtur (wzór) Simpson przyjmuje postć: f(x) dx 3 h ( f f + f ) = S(f), h = b Wzór Simpson jest rzędu czwrtego, co ozncz, że jest dokłdny nie tylko dl wielominów stopni drugiego, lecz tkże dl wielominów stopni trzeciego tzn. I(W 3 ) = S(W 3 ) orz I(W 4 ) S(W 4 ) (3)

3 0.3 Kwdrtury Guss Dokłdność kwdrtury możn zwiększyć rezygnując z wrunku równomiernego rozmieszczeni węzłów interpolcji. Wrtości wg orz położeni węzłów cłkowni ustl się tk by kwdrtur cłkowni przybliżon był wzorem dokłdnym dl jednominu możliwie wysokiego stopni. w i x k i = x k dx, k = 0,,,..., n + W prktyce wgi i punkty Guss nie wyzncz się z powyższego wrunku. Są one stblicowne dl rodziny pewnych wielominów ortogonlnych (z wgą) w przedzile <, >. l.p. ξ i, i = 0,..., n w i, i = 0,..., n ξ 0 = 0 w 0 = ξ 0 = +/ 3 w 0 = ξ = / 3 w = 3 ξ 0 = w 0 = 5/9 ξ = 0 w = 8/9 ξ = 0.6 w = 5/9 4 ξ 0 = w 0 = ξ = w = ξ = w = ξ 3 = w 3 = W ogólnym przypdku gdy liczymy cłkę z dowolnego przedziłu (, b), konieczn jest trnsformcj liniow między dnym przedziłem przedziłem <, >, tk by możn było zstosowć dne z tbeli. Wzory n trnsformcję (, b) <, > co dje: ξ = x b b orz wzór kwdrturowy Guss: Przykłd: Obliczyć S(f) = x = + b + b ξ dξ = b dx dx = b dξ f(x) dx = b f(x) dx b ( + b f + b ) ξ dξ ( + b w i f + b ξ i ). (4) f(x) gdy f(x) = 4 x x + dl =.0, b =.0, co ozncz, że h = b =,. Zstosowć dwupunktową metodę Guss (n = ): 3

4 Rozwiąznie: w 0 = w =, ξ 0 = / 3, ξ = / 3 f(x)dx = b b f f(ξ) dξ b ( + b Wyniki dl przedstwinych wzorów: + b w i f(ξ i ) = ) ( + b + f b 3 3 ) = Wrtość dokłdn I(f) = Wzór Postć kwdrtury Wrtość prostokątów: lewych S(f) = h f() = 4 środkowych S(f) = h f( +b) = prwych S(f) = h f(b) = 0 trpezów S(f) = h f() + f(b) = Simpson S(f) = h 3 Guss dl n = S(f) = b 0.4 Wzory złożone (sumcyjne) f() + 4 f(+b ) + f(b) = w i f(ξ i ) = Brdzo skutecznym sposobem podwyższni dokłdności cłkowni numerycznego jest dokonnie podziłu przedziłu, b n podprzedziły j, b j, j =,,..., N przy zchowniu związków: Terz możn zpisć: =, b N = b, b i = i+, i =,,..., N. I(f) = f(x) dx = j j f(x) dx = I (f) + I (f) + + I N (f) (5) Do obliczni kżdego skłdnik I i (f) sumy możn wykorzystć dowolny wzór kwdrturowy Metod lewych, środkowych i prwych prostokątów () f(x j ) = H ( ) f 0 + f + f + + f N (b) f( x j x j ) = H ( ) f 0 + f + f f N N 4

5 gdzie f j j = f ( x j +x j ), j =,,..., N (c) f ( ) x j ) = H (f + f + + f N 0.4. Metod trpezów lub f(x)dx H N ( ) f(x j + f(x j ) = H f 0 + f + f + + f N N f 0 + f j + f N Metod Simpson f(x)dx 3 H ( f 0 + f N ) + 4 ( f + f f N ) + (f + f f N ), przy czym H = (x N x 0 )/N, (N musi być liczbą przystą) Metod Guss gdzie f(x)dx b N X i = x j + x j+ lpc= + x j+ x j w i f(x i ), ξ i. Różniczkownie numeryczne Zdnie różniczkowni numerycznego poleg n obliczeniu wrtości pochodnych k tego rzędu funkcji y = f(x), z pomocą wzorów przybliżonych tzw. wzorów różnicowych. Są to wzory służące do obliczeni pochodnej w węźle i z pomocą znnych wrtości funkcji w innych węzłch, np.: mmy dne wrtości funkcji f(x 0 ), f(x ), f(x ) w równo oddlonych węzłch x 0, x, x, nleży zbudowć wzory różnicowe do obliczeni pierwszej i drugiej pochodnej w węzłch x i, i = 0,,.. Rozwinięcie funkcji w szereg Tylor f(x + h) = f(x) + hf (x) + h f (x) + 6 h3 f (x) + 4 h4 f IV (x) Centrlne wzory różnicowe f = h ( f 0 + f ), f = h (f 0 f + f ) 5

6 .. Ilorz wprzód..3 Ilorz wstecz f 0 = h ( 3 f f f ), f 0 = h (f 0 f + f ) f = h (f 0 4 f + 3 f ), f = h (f 0 f + f ) 6