Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego"

Transkrypt

1 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe zgdnieni decyzyne część I Formułownie, grficzne rozwiązywnie i grficzn nliz wrżliwości. Wstęp Progrmownie liniowe nleży do ednych z nowszych dziedzin mtemtyki. Stnowi ono dził szersze dziedziny nzywne progrmowniem mtemtycznym. Progrmownie mtemtyczne zmue się metodmi poszukiwni rozwiązń zdń, które w sposób ogólny możn sformułowć nstępuąco: lub z minimlizowc z f Zmksymli zowc (.) przy wrunku D (.) Symbol może oznczć nieznną liczbę rzeczywistą, nieznny wektor, którego skłdowymi są liczby rzeczywiste, nieznną funkcę, nieznny wektor, którego skłdowymi są funkce itd. W przypdku progrmowni liniowego est wektorem, którego skłdowymi są liczby rzeczywiste, tzn. eżeli skłdowych tych est n, to est on elementem przestrzeni n-wymirowe i oznczmy go zwykle symbolem. Symbol f ozncz dną funkcę, które wrtość poszukiwny powinien mksymlizowć (lub minimlizowć). Funkcę tę nzywny funkcą celu lub funkcą kryterilną. W przypdku progrmowni liniowego m on postć: z c... c... cn n czyli est on funkcą liniową. n, gdzie c są liczbmi rzeczywistymi, Symbol D ozncz dny zbiór, z którego możn wybierć. Zbiór ten może być określony ukłdem wrunków, które mogą być sformułowne np. w postci równń i nierówności. Wrunki te nzywmy wrunkmi ogrniczącymi. W przypdku progrmowni liniowego mogą one mieć postć: Kzimierz Duzinkiewicz

2 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne i i... i... in n bi, lub i... i... in n bi i in n i, lub b, orz 0, gdzie i są liczbmi rzeczywistymi, czyli są one równnimi lub nierównościmi liniowymi. Rozwiązniem dopuszczlnym zdni progrmowni mtemtycznego nzywmy kżdy element zbioru D. Rozwiązniem optymlnym zdni progrmowni mtemtycznego nzywmy element zbioru D mksymlizuący (lub minimlizuący) wrtość funkci ( ) f. W przypdku mksymlizci est to więc tki element zbioru D, że: m f D f Chociż pierwsze oprcowni n temt progrmowni liniowego powiły się w ltch trzydziestych ubiegłego stuleci, to ednk zsdniczy rozwó te dziedziny przypd n ego lt pięćdziesiąte. Rozwó ten związny był z zproponowniem przez G. B. Dntzig' metody rozwiązywni zdń progrmowni liniowego nzwne metodą simpleksową orz oprcowniem progrmów komputerowych w których zstosowno tę metodę do ich rozwiązywni. Miło to miesce w ltch Obecnie istnieą również inne metody rozwiązywni zgdnień progrmowni liniowego, które zostną przedstwione w innym oprcowniu. Progrmownie liniowe znlzło brdzo wszechstronne zstosownie w rozwiązywniu zgdnień optymlizci sttyczne. Wynik to przede wszystkim z prostoty formułowni zdń progrmowni liniowego orz duże efektywności obliczeniowe metody simpleksow. Metody progrmowni liniowego znlzły nwcześnie zstosownie głównie w trzech dziedzinch: w zgdnienich woskowych, w zgdnienich ekonomii głęzi przemysłu orz w zgdnienich tzw. gier dwuosobowych. Późnie główny ciężr zstosowń progrmowni liniowego przesunął się n dziedzinę zstosowń przemysłowych. Możn tut wymienić nstępuące: Przemysł chemiczny. Zstosowni w przemyśle chemicznym związne były głównie z zgdnienimi sterowni (plnowni) produkci i zpsów. Kzimierz Duzinkiewicz

3 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Przemysł węglowy. W te głęzi przemysłu zstosowni progrmowni liniowego związne były z zgdnienimi rozplnowni dostw węgl z skłdnic do miesc zpotrzebowni. Cywilne linie lotnicze. Prce w te dziedzinie związne były z plnowniem lotów i eksplotcą linii lotniczych. Łączność. Główne prce dotyczyły optymlnego proektowni i wykorzystni sieci telekomunikcynych. Hutnictwo. W te dziedzinie sformułowno szereg modeli odnoszących się do plnowni produkci. Przemysł ppierniczy. Zstosowni w te dziedzinie dotyczyły lokci zmówień w kilku zkłdch, plnowni trnsportu i sortymentu ppierów. Przemysł rfineryny i petrochemiczny. T dziedzin przemysłu dostrczył wielu różnorodnych i interesuących zstosowń progrmowni liniowego. Nwżniesze wśród nich dotyczyły komponowni różnych gtunków benzyn, optymlizci dostw surowców do kilku rfinerii orz optymlnego plnowni produkci i zpsów. Kolenictwo. Model progrmowni liniowego zostł tu zstosowny do optymlnego plnowni przebiegu pociągów towrowych n głównych trsch koleowych. Poz zstosownimi przemysłowymi rozwiły się również zstosowni w innych dziedzinch. Możn tut wymienić zstosowni w grotechnice, w nlizch ekonomicznych, w nlizie ruchu drogowego.. Chrkterystyk zdń progrmowni liniowego.. Formułownie zdń progrmowni liniowego Złóżmy, że bdmy system, istnieący rzeczywiście lub dopiero proektowny, n którego dziłnie, to znczy n to, kie dziłlności będą przez niego relizowne, kie będą rozmiry tych dziłlności, m wpływ szereg różnorkich czynników, k n przykłd ludzie, surowce, wyposżenie technologiczne, pieniądze itp. Złóżmy tkże, że dl systemu tego esteśmy w stnie wskzć określony cel dziłni. Podeście od strony progrmowni liniowego do tkiego systemu poleg n tym, iż trktue się system ko rozkłdlny w tym sensie, że możn w nim wyróżnić pewne elementrne funkce zwne dziłlnościmi. Przykłdem dziłlności może być proces przerobu surowc n określone instlci technologiczne, proces Kzimierz Duzinkiewicz 3

4 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne mgzynowni surowc, półproduktu lub produktu, proces sprzedży produktu lub półproduktu itd. Kżd, w tki sposób wyróżnion, dziłlność może być rozumin ko "mgiczn skrzynk" do które wpływą pewne czynniki, które będziemy nzywli wsdmi, tkie k np. surowce, półprodukty, z które wypływą inne czynniki, które będziemy nzywli uzyskmi, tkie k np. półprodukty, produkty. Szczegóły tego co dziee się wewnątrz skrzynki interesuą edynie technolog lub konstruktor. Formułuącego zdnie progrmowni liniowego interesuą edynie strumienie wsdów i uzysków orz ich rozmiry. Różne postcie wsdów i uzysków stnowią skłdniki dziłlności. Po określeniu zbioru dziłlności skłdących się n bdny system nleży wybrć dl kżde z nich, spośród e skłdników, tkie wielkości, które w sposób ednoznczny określą e intensywność. Wielkością tką może być np. eden z wsdów. Wielkości te nzyw się zwykle zmiennymi decyzynymi lub wielkościmi decyzynymi. W zdnich progrmowni liniowego dl tk określonych dziłlności spełnione są nstępuące złożeni: Złożenie : PROPORCJONALNOŚĆ Wrtości wsdów i uzysków różnych skłdników dziłlności są zwsze proporconlne do e intensywności. Jeżeli chcemy relizowć kąś dziłlność z podwóną intensywnością, to musimy się liczyć z dwukrotnym zwiększeniem wielkości wsdów i uzysków. Złożenie : NIEUJEMNOŚĆ Wrtości wybrne wielkości chrkteryzuące intensywność określone dziłlności muszą być nieuemne. Złożenie 3: ADDYTYWNOŚĆ Poszczególne skłdniki zdefiniownych dziłlności systemu, wsdy i uzyski, powiązne są ze sobą szeregiem zleżności. System est również zwykle połączony z otoczeniem np. przez dziłlności zkupu surowców, sprzedży produktów itd. W zdniu progrmowni liniowego wszystkie te zleżności muszą być wyrżone z pomocą zleżności liniowych. Kzimierz Duzinkiewicz 4

5 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Złożenie 4: LINIOWOŚĆ FUNKCJI CELU Mir efektywności osiągni celu systemu musi być funkcą liniową intensywności dziłlności zdefiniownych w systemie. REASUMUJĄC: w procesie formułowni zdni progrmowni liniowego nleży uwzględnić nstępuące podstwowe etpy: () Rozłożyć bdny system n pewne elementrne funkce zwne dziłlnościmi; dl kżde z nich określić wsdy i uzyski () Dl kżde dziłlności określić zbiór wielkości decyzynych określących ednozncznie rozmiry ilościowe dziłlności (3) Zbudowć ukłd lgebricznych zleżności liniowych opisuących system i ego powiązni z otoczeniem. (4) Utworzyć liniową funkcę celu systemu... Postć mtemtyczn zdń progrmowni liniowego N podstwie przedstwionego przykłdu widć, że w ogólne postci sformułowni zdni progrmowni liniowego wystąpią nstępuące skłdniki: () funkc celu postci: Zmksymli zowc lub z minimlizowc z c... c... cnn (.7) () zsdnicze wrunki ogrniczące o edne z nstępuących postci: (3) wrunki nieuemności postci: b, i, k, i N (.8) i i in n i b, i k, k, i N (.9) i i in n i b, i k, m, i N (.0) i i in n i 0,,s,s n (.) Kzimierz Duzinkiewicz 5

6 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Wrunki nieuemności nie muszą dotyczyć wszystkich zmiennych. Jeżeli s n, to wrunki nieuemności nzywmy pełnymi. Przedstwion powyże postć sformułowni zdni progrmowni liniowego nzywn est postcią mieszną. Metod simpleksow wykorzystue postć zpisu zdni progrmowni liniowego zwną postcią stndrdową. Postć t chrkteryzue się tym, że: () zsdnicze wrunki ogrniczące są dne w postci równń; () elementy prwe strony ogrniczeń b i są liczbmi nieuemnymi; (3) wrunki nieuemności są pełne. Ztem zdnie progrmowni liniowego w postci stndrdowe m postć: Zpis I stndrdowe postci zdni progrmowni liniowego: Zmksymlizowc lub z minimlizowc z c... c... cnn liniow funkce celu : (.) przy ogrniczenich: i m i m in n... n mn n b b, b n i b b, i m 0 b, 0 m 0 (.) 0,,n (.3) Przy rozwiązywniu zdń progrmowni liniowego metodą simpleks, nleży e zpisć w postci stndrdowe Jeżeli sformułowne przez ns zdnie progrmowni liniowego m postć mieszną musimy przed przystąpieniem do ego rozwiązni sprowdzić go do postci stndrdowe. Możn to zrobić korzystąc z nstępuących zsd: Kzimierz Duzinkiewicz 6

7 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Zsd. Jeżeli b i 0, to i-te ogrniczenie nleży pomnożyć przez - Zsd. Jeżeli zmienn m być uemn, dokonuemy podstwieni: 0 (.4) Zsd 3. Jeżeli zmienn nie m ogrniczeni n znk, dokonuemy podstwieni:, 0, 0 (.5) Zsd 4. Kżd nierówność: b (.7) i i in n i est równowżn ukłdowi wrunków: b, (.8) i i in n ni i ni 0 Zsd 5. Kżd nierówność: est równowżn ukłdowi wrunków: i... i... in n bi (.9) b, (.0) i i in n ni i ni 0 Zmienną n i, którą dodemy lub odemuemy od lewe strony nierówności, by tę nierówność zmienić n równowżne równnie, nzywmy zmienną swobodną lub uzupełniącą. Zmienną dodwną do lewe strony nierówności nzywmy zmienną niedoboru, zś zmienną odemowną od lewe strony nierówności nzywmy zmienną ndmiru. Wprowdzone zmienne uzupełniące wchodzą do funkci celu ze współczynnikmi równymi zeru. W zdnich progrmowni liniowego możemy, k to zznczono wyże, rozwżć dw rodze optymlizci funkci celu: mksymlizcę lub minimlizcę. Z punktu Kzimierz Duzinkiewicz 7

8 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne widzeni postępowni obliczeniowego wygodnie est ogrniczyć się do rozptrywni zdń o ednym rodzu optymlizci np. mksymlizci. Nie zmniesz to ogólności rozwżń poniewż zwsze możn zstąpić eden rodz optymlizci rodzem przeciwnym. Rozwżć będziemy zdni mksymlizci. Twierdzenie.: Zdnie progrmowni liniowego z funkcą celu: Minimlizo wc z c (.)... c... cnn est równowżne zdniu progrmowni liniowego z funkcą celu: Mksymliz owc Jest przy tym spełnion zleżność: z c (.) m z... c... cnn minz Słuszne est również nstępuące twierdzenie: Twierdzenie.: Jeżeli w zdniu progrmowni liniowego zstąpimy funkcę celu postci: z c... c... cn n (.3) funkcą celu postci: c... c... c d, p 0 z p (.4) n n to rozwiąznie optymlne, o ile ono istniee, dl obu zdń będzie identyczne. Dl stndrdowe postci zdni progrmowni liniowego stosue się różne e zpisy. Poz zpisem I przedstwionym powyże możn nczęście spotkć nstępuące: Zpis II: n Zmksymli zowc z c (.5) n przy ogrniczenich b b, 0 i,, m (.6) i i i 0,,n (.7) Zpis III: Zmksymli zowc z c T (.8) Kzimierz Duzinkiewicz 8

9 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Kzimierz Duzinkiewicz 9 0 b b A, ogrniczenich przy (.9) 0 (.30) gdzie: m i n n mn m m in i i n b b b, c c c,, b c A Zpis IV: n c z zowc Zmksymli (.3) 0 b b, przy ogrniczenich n (.3),n 0, (.33) gdzie: m i m i b b b, b.3. Grficzne rozwiązywnie zdń progrmowni liniowego - studium przypdków Powyże podny był przykłd pokzuący w ki sposób możn formułowć zdni progrmowni liniowego. Pokżemy w ki sposób możn grficznie rozwiązywć zdni progrmowni liniowego. W sposób grficzny możn rozwiązywć zdni z dwiem zmiennymi decyzynymi. W prktyce zdń o tkim rozmirze rcze się nie spotyk, ednkże n tkich przykłdch możn dobrze zilustrowć pewne

10 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne podstwowe poęci wykorzystywne przy rozwiązywniu i nlizie zdń progrmowni liniowego o dużych rozmirch. Przykłd. Pewn firm produkue dw rodze frb: dl prc wewnętrznych (I) i zewnętrznych (E). Wyprodukowne frby kierowne są do sprzedży hurtowe. Do produkci frb stosue się dw surowce A i B. Mksymlne dostępne dziennie ilości tych surowców wynoszą odpowiednio 6 i 8 t. Zużycie surowców A i B n edną tonę odpowiednie frby pode tbel. Surowiec Zużycie surowc w tonch Mksymln n tonę frby dostępn dziennie Frb E Frb I ilość surowc A 6 B 8 Bdnie rynku pokzło, że dzienny popyt n frbę I nigdy nie przewyższ popytu n frbę E o więce niż tonę. Poz tym ustlono, że popyt n frbę I nigdy nie przekrcz ton n dobę. Ceny hurtowe edne tony frb są równe: 3.p. dl frby E, i.p. dl frby I. Jkie ilości frby E i I powinn produkowć firm, by dochód z produkci był mksymlny? Rozwiązuąc to zdnie możn wyróżnić dwie dziłlności: produkc frby E i produkc frby I. Jko zmienne decyzyne dl tych dziłlności dogodnie est przyąć: - dzienn produkc frby E w tonch; - dzienn produkc frby I w tonch. Funkc celu: Ogrniczeni: Zmksymlizowć z 3 Zsoby dzienne surowc A 6 Zsoby dzienne surowc B 8 Kzimierz Duzinkiewicz 0

11 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Różnic popytu n frbę I i E Popyt n frbę I Wrunki nieuemności 0, 0 Pierwszy krok przy grficznym rozwiązywniu zdni progrmowni liniowego - grficzne przedstwienie obszru rozwiązń dopuszczlnych. Obszr ten dl przykłdu przedstwiony est ko zcieniowny wielokąt ABCDEF n rys..7. W kżdym punkcie tego obszru spełnione są wszystkie ogrniczeni zdni. Rys..7. Przykłd. Obszr rozwiązń dopuszczlnych i lini stłe wrtości funkci celu Drugi krok to wrysownie lini stłe wrtości funkci celu i zznczenie kierunku e wzrostu. N rys..7 est to prost przechodząc przez początek ukłdu współrzędnych. Aby znleźć rozwiąznie optymlne przemieszczmy prostą stłe wrtości funkci celu w kierunku e wzrostu (rozwiązuemy zgdnienie mksymlizci) dopóty, dopóki nie zndzie się on n grnicy obszru rozwiązń dopuszczlnych (rys..8). Kzimierz Duzinkiewicz

12 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne W nszym przykłdzie nstąpi to w punkcie C. Punkt C est punktem przecięci prostych ogrniczeń () i (); wrtości zmiennych i w tym punkcie możn ztem otrzymć ko rozwiąznie ukłdu równń: 6 8 Rozwiąznie to wynosi: funkci celu wynosi z 3. 3,, odpowidąc temu rozwiązniu wrtość 3 3 Rys..8. Przykłd. Zndownie rozwiązni optymlnego Zwróćmy uwgę, że rozwiąznie optymlne związne est z punktem wierzchołkowym obszru rozwiązń dopuszczlnych. Jest to cech chrkterystyczn rozwiązń optymlnych zdń progrmowni liniowego. Kzimierz Duzinkiewicz

13 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Zwróćmy uwgę n eszcze eden fkt. Zsdnicze ogrniczeni nszego zdni sprowdzone do postci stndrdowe mą postć (ukłd równń liniowych): Mmy ztem n 6, m 4. Ustliliśmy uż, że w punkcie optymlnym 3,. W punkcie tym oczywiście. Nietrudno policzyć, że ,. Rozwiąznie optymlne nszego zdni, sformułownego w postci stndrdowe wynosi ztem: Widć, że w rozwiązniu tym liczb niezerowych skłdowych wynosi 4 (pozostłe skłdowe są równe zeru) i est równ liczbie zsdniczych ogrniczeń nszego zdni. Rozwiąznie o tkich włściwościch nosi nzwę rozwiązni bzowego. Możn, postępuąc podobnie k powyże, pokzć, że rozwiązni związne z wszystkimi punktmi wierzchołkowymi obszru rozwiązń dopuszczlnych są rozwiąznimi bzowymi tzn. mą co nwyże m skłdowych niezerowych. Pokżemy terz, wykorzystuąc możliwości metody grficzne rozwiązywni zdń progrmowni liniowego, w ki sposób możn nlizowć wrżliwość otrzymnego rozwiązni optymlnego n zminy prmetrów modelu. Późnie pokżemy, w ki sposób nlizy tkie możn uzyskć korzystąc z dnych obliczeniowych metody simpleks. Pierwsze zdnie nlizy wrżliwości Kzimierz Duzinkiewicz 3

14 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Po znlezieniu rozwiązni optymlnego w pełni uzsdnione est pytnie o to, k mogą wpłynąć n to rozwiąznie zminy zsobów odpowiednich skłdników procesów. Interesuące są dw nstępuące spekty: () O ile możn zwiększyć zsób określonego skłdnik dl poprwieni wrtości funkci celu z? () O ile możn zmnieszyć zsób określonego skłdnik przy zchowniu otrzymne wrtości funkci celu z. Poniewż zsoby kżdego ze skłdników określone są przez prwe strony ogrniczeń, ten rodz nlizy wrżliwości zwykle nzyw się nlizą wrżliwości n zminy prwe strony ogrniczeń. Znim odpowiemy n te pytni dokonmy pewne klsyfikci ogrniczeń modelu liniowego. Dl otrzymnego rozwiązni optymlnego możemy ogrniczeni modelu podzielić n: ktywne i niektywne. Jeżeli ogrniczenie odpowidące dnemu skłdnikowi przechodzi przez punkt rozwiązni optymlnego, to ogrniczenie tkie nzywmy ktywnym; w przeciwnym przypdku nzywmy e niektywnym. W nszym przykłdzie dl otrzymnego rozwiązni ogrniczenimi ktywnymi są ogrniczeni () i (), niektywnymi (3) i (4). Jeżeli kieś ogrniczenie est ktywne to odpowidący mu skłdnik nzywmy deficytowym, poniewż est on wykorzystywny w cłości. Skłdnik z którym związne est ogrniczenie niektywne nzywmy niedeficytowym tzn. posidnym w pewnym ndmirze. W nlizie wrżliwości n zminy prwe strony określ się: () nwiększe dopuszczlne zwiększenie zsobu skłdnik deficytowego, pozwlące zwiększyć wrtość funkci celu z; () nwiększe dopuszczlne zmnieszenie zsobu skłdnik niedeficytowego, nie zmieniące otrzymne wrtości funkci celu z. W nszym przykłdzie deficytowymi skłdnikmi są zsoby surowców A i B. N rys..9 przedstwiono sposób określeni grnicy do kie możn by zwiększyć zsób skłdnik A, by poprwić wrtość funkci celu z. W punkcie K ogrniczenimi ktywnymi są ogrniczeni () i (4), obszrem rozwiązń dopuszczlnych ste się wielokąt ABKEF. W punkcie tym ogrniczenie () (n zsób surowc A) ste się ogrniczeniem zbędnym, poniewż kikolwiek dlszy wzrost zsobu surowc A nie wpływ n obszr rozwiązń dopuszczlnych. Ztem, ilość zsobu surowc A nie nleży zwiększć pond wrtość, przy które odpowidące mu ogrniczenie stnie się zbędnym t. prost () przedzie przez nowy punkt optymlny K. Nietrudno Kzimierz Duzinkiewicz 4

15 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne policzyć współrzędne tego punktu: A wynoszący 7t. 3, i odpowidący mu zsób surowc Rys..9. Przykłd. Anliz wrżliwości rozwiązni n zminę prwe strony ogrniczeni ktywne N rys..9 przedstwione est też zobrzownie nlogiczne nlizy dl zsobów surowc B. Rozwżymy terz zgdnienie zmnieszni elementów prwe strony dl ogrniczeń niektywnych. Zilustrownie te nlizy przedstwione zostło n rys..0. Ogrniczenie (4) określ grniczny poziom popytu n frbę I. Z rysunku wynik, że, nie zmieniąc optymlnego rozwiązni, możn prostą (4) obniżyć ż do przecięci się e z punktem optymlnym: 3, - obniżenie popytu n frbę I do 3 3 poziomu 3 nie wpłynie n rozwiąznie optymlne. Podobną nlizę możn przeprowdzić dl ogrniczeni (3) - różnicy popytu. Nie zmieniąc optymlnego rozwiązni możn prostą (3) przesunąć ż do przecięci się e z punktem optymlnym. W punkcie tym prw stron ogrniczeni (3) przymie wrtość -. Ztem - Kzimierz Duzinkiewicz 5

16 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne rozwiąznie optymlne nie zmieni się, eżeli popyt n frbę E przewyższy popyt n frbę I o nie więce niż t. Wyniki przeprowdzone nlizy możn zwrzeć w tbeli. Mksymln Mksymln Zsób Rodz zsobu zmin ilości zmin dochodu zsobu przy zminie Deficytowy + + /3 Deficytowy /3 3 Niedeficytowy Niedeficytowy - /3 0 Rys..0. Przykłd. Anliz wrżliwości rozwiązni n zminę prwe strony ogrniczeni niektywne Drugie zdnie nlizy wrżliwości W pierwszym zdniu nlizy wrżliwości bdliśmy wpływ n rozwiąznie optymlne zsobów deficytowych skłdników. Przy ogrniczenich n nkłdy, Kzimierz Duzinkiewicz 6

17 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne związne z pozyskniem większe ilości zsobów istotne może być pytnie: który z zsobów nleży powiększć w pierwsze koleności? W tym celu wprowdzimy chrkterystykę cenności kżde dodtkowe ednostki zsobu skłdnik deficytowego: Mksymln y przyrost wrtosci funkci celu z i Mksymln y dopuszcz ln y przyrost zsobu i Korzystąc z dnych uzysknych w poprzednim zdniu możemy określić cenności kżdego z zsobów. Wyniki zestwione są w tbeli. Zsób Rodz zsobu Wrtość i.p./t Deficytowy 3 Deficytowy Niedeficytowy Niedeficytowy 4 0 Uzyskne wyniki wskzuą, że dodtkowe nkłdy w pierwsze koleności nleży skierowć n pozysknie dodtkowych ilości skłdnik B, potem skłdnik A. Trzecie zdnie nlizy wrżliwości W trzecim zdniu nlizy wrżliwości próbuemy odpowiedzieć n pytnie: k n otrzymne rozwiąznie optymlne wpływą zminy współczynników funkci celu? Zmin współczynników funkci celu wpływ n nchylenie proste stłe wrtości funkci celu. Możn zuwżyć, że wybór tego lub innego punktu wierzchołkowego ko punktu rozwiązni optymlnego zleży, przy określonym zbiorze rozwiązń dopuszczlnych, włśnie od nchyleni proste stłe wrtości funkci celu. Ozncz to, że zmin współczynników funkci celu może prowdzić do zminy punktu rozwiązni optymlnego i związne z tym zminy zbioru ogrniczeń ktywnych i sttusu tego lub innego skłdnik (tzn. skłdnik deficytowy może stć się niedeficytowy i n odwrót). Możn ztem rozwżć nstępuące zgdnieni: Kzimierz Duzinkiewicz 7

18 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne () Jki est przedził zmin (zmnieszeni lub zwiększeni) tego lub innego współczynnik funkci celu, dl którego nie dochodzi do zminy rozwiązni optymlnego? () O ile nleży zmienić ten lub inny współczynnik funkci celu, by uczynić określony skłdnik niedeficytowy deficytowym i n odwrót? Rozwżymy npierw pierwsze zgdnienie dl nszego przykłdu. Postć funkci celu w przykłdzie est nstępuąc: z c c Dl przykłdu spróbumy określić przedził zmin c przy c const, potem c przy c 3 const. Zilustrownie tkie nlizy przedstwione est n rys... Je wynik est nstępuący: przy c const c 4 przy c 3 const 3 c 6 Dl kżde z tych sytuci, eżeli wrtości współczynników funkci celu wydą poz wskzny przedził, otrzymmy lbo lterntywne rozwiązni optymlne (punkty C i D lub C i B) lbo nowe rozwiąznie optymlne (punkt D lub B). Dl pierwsze nlizowne sytuci, kiedy tylko cen c, skłdnik ste się niedeficytowym, skłdnik 4 deficytowym. Ozncz to że, eżeli cen frby E stnie się mniesz niż.p. nleży zmienić pln produkci - produkowć mksymlnie dopuszczlną ilość frby I i ogrniczyć produkcę frby E. Podobne nlizy możn przeprowdzić dl pozostłych możliwych sytuci. Kzimierz Duzinkiewicz 8

19 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys... Przykłd. Anliz wrżliwości n zminy współczynników funkci celu Przykłd. Zmksymli zowc z 3 przy ogrniczenich: 4 3 0, Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys... Jest to przykłd zwierący ogrniczeni zbędne. Rozwiąznie optymlne osiągne w punkcie B wynosi T i zwier 4 = m skłdowych niezerowych. Kzimierz Duzinkiewicz 9

20 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys... Przykłd. Zbędne ogrniczeni Przykłd 3. Zmksymli zowc przy ogrniczenich: z , 0 Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..3. Jest to przykłd zwierący ogrniczenie zbędne, przechodzące przez punkt rozwiązni optymlnego. Rozwiąznie optymlne osiągne w punkcie C wynosi T zwier < m = skłdową niezerową. Rozwiąznie tkie nzywmy rozwiązniem zdegenerownym. Punkty rozwiązń zdegenerownych mogą wystąpić w zdniu również ko rozwiązni nieoptymlne. Kzimierz Duzinkiewicz 0

21 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys..3. Przykłd 3. Rozwiąznie optymlne zdegenerowne Przykłd 4. Zmksymli zowc z 3 przy ogrniczenich: , 0 Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..4. Jest to przykłd ilustruący możliwość wystąpieni rozwiązń optymlnych wielokrotnych. Punktmi wierzchołkowymi rozwiązń optymlnych są punkty C ( T ) orz D ( T ). W obydwu tych punktch wrtość funkci celu wynosi z 4. Tką smą wrtość funkci celu de oczywiście kżdy punkt leżący n proste (). Współrzędne tych punktów możn obliczyć w nstępuący sposób: Kzimierz Duzinkiewicz

22 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne ( ) To osttnie wyrżenie mówi, że punkt est wypukłą kombincą liniową punktów i. Rys..4. Przykłd 4. Rozwiązni optymlne wielokrotne Przykłd 5. Zmksymli zowc z przy ogrniczenich: , 0 Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..5. Jest to przykłd ilustruący możliwość wystąpieni rozwiązń dących nieskończoną wrtość funkci celu czyli tzw. rozwiązń nieogrniczonych. Przypdek ten k widć może Kzimierz Duzinkiewicz

23 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne wystąpić (chociż nie musi - ptrz przykłd 6), eżeli obszr rozwiązń dopuszczlnych est nieogrniczony. Rys..5. Przykłd 5. Rozwiązni nieogrniczone Przykłd 6. Zmksymli zowc przy ogrniczenich: z 6 4 0, 0 Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..6. Jest to przykłd ilustruący istnienie skończonych rozwiązń optymlnych przy nieogrniczonym obszrze rozwiązń dopuszczlnych. Kzimierz Duzinkiewicz 3

24 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys..6. Przykłd 6. Skończone rozwiąznie optymlne przy nieogrniczonym obszrze rozwiązń dopuszczlnych Przykłd 7. Zmksymli zowc przy ogrniczenich: z , Ilustrc grficzn przykłdu przedstwion est n rys..7. Jest to przykłd ilustruący możliwość brku rozwiązń dopuszczlnych. Kzimierz Duzinkiewicz 4

25 Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Rys..7. Przykłd 7. Brk rozwiązń dopuszczlnych Kzimierz Duzinkiewicz 5

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx& LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy

SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy SCHEMAT UNKTOWANIA Wojewódzki Konkurs rzedmiotowy z Mtemtyki dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 0/03 Etp rejonowy rzy punktowniu zdń otwrtych nleży stosowć nstępujące ogólne reguły: Ocenimy rozwiązni zdń

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..

Bardziej szczegółowo

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne 1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r.

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r. złącznik nr 3 do uchwły nr V-38-11 Rdy Miejskiej w Andrychowie z dni 24 lutego 2011 r. ROZSTRZYGNIĘCIE O SPOSOBIE ROZPATRZENIA UWAG WNIESIONYCH DO WYŁOŻONEGO DO PUBLICZNEGO WGLĄDU PROJEKTU ZMIANY MIEJSCOWEGO

Bardziej szczegółowo

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Wykłd Litertur: M. Lssk, Mtemtyk dl studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn W. Krysicki, L.Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich cz. i cz.. Pomocnicze

Bardziej szczegółowo

Metody określania macierzy przemieszczeń w modelowaniu przewozów pasażerskich. mgr inż. Szymon Klemba Warszawa, r.

Metody określania macierzy przemieszczeń w modelowaniu przewozów pasażerskich. mgr inż. Szymon Klemba Warszawa, r. Metody określni mcierzy przemieszczeń w modelowniu przewozów psżerskich mgr inż. Szymon Klemb Wrszw, 2.07.2013r. SPIS TREŚCI 1 Podstwy teoretyczne 2 Rol mcierzy przemieszczeń 3 Metody wyznczni mcierzy

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej znak graficzny karta A02 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej znak graficzny karta A02 część A znak marki krt A02 część A znk mrki znk grficzny Port Lotniczy Olsztyn-Mzury wyróżni spośród innych obiektów w Polsce wyjątkowe położenie. Większość z nich znjduje się w dużych mistch, tymczsem nowy terminl powstje

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo