Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)"

Transkrypt

1 MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/ Tdeusz Rdzik (Wrocłw) Gry czsowe (rtykuł wspomnieniowy o prof. Stnisłwie Trybule) Streszczenie. Prc jest rtykułem wspomnieniowym o prof. Stnisłwie Trybule. Wprowdz on czytelnik w temtykę tzw. gier czsowych (gmet of timing), będących w kręgu jego głównych zinteresowń w osttnich dwudziestu ltch. Gry czsowe stnowią jeden z istotnych dziłów studiownych w teorii gier. Opisują one pewien szczególny rodzj sytucji konfliktowych między dwiem ntgonistycznymi stronmi, gdzie kżd z nich musi zdecydowć, w jkich momentch pewnego przedziłu czsowego nleży podjąć konieczne decyzje, by ich skutek był dl niej njkorzystniejszy. Specyfiką w złożenich tkich modeli jest to, że obie strony przy określniu tkich optymlnych momentów podejmowni swych decyzji muszą kierowć się dwiem nwzjem sprzecznymi zsdmi. Pierwsz z nich mówi, że dl kżdej ze stron korzystniej jest podjąć decyzję jk njpóźniej, gdyż wtedy oprt jest on n dokłdniejszej informcji zdobywnej w dłuższym czsie (tj. do momentu jej podjęci), co skutkuje większą jej efektywnością. Ntomist według drugiej zsdy, wcześniej podjęt efektywn decyzj którejkolwiek ze stron eliminuje osttecznie drugą stronę z gry. Prof. Trybuł studiowł wszechstronnie w swych prcch wiele różnych modeli gier czsowych (w 23 opublikownych rtykułch), znjdując między innymi optymlne strtegie zchowni dl obu stron w tk opisnych sytucjch konfliktowych. W pierwszej części prcy czytelnik zostje zznjomiony z ogólną definicją gier czsowych i ich teoretyczną strukturą. Nstępnie szeroko przedstwion jest histori rozwiązń różnych, wielodecyzyjnych gier czsowych od początków teorii, z uwzględnieniem różnych wersji ich możliwych modeli (dyskretne, nie-dyskretne, głośne, ciche, klsy I i II). W kolejnym rozdzile przedstwion jest pewn, unifikując teori opisując podstwy wzjemnych związków pomiędzy grmi czsowymi dyskretnymi i nie-dyskretnymi, stnowiącymi główny podził dl tych gier. Prc kończy się rozwżnimi nd pewnym, szczególnym przypdkiem gry czsowej klsy II przedstwionej w konwencji pojedynku dwóch grczy i rozwiąznej przez prof. Trybułę, dl którego bez trudu możn znleźć relistyczną interpretcję modelu wlki hndlowej lub mrketingowej dwóch firm n rynku. Pokzuje on, że nwet w prostym, wydłoby się, modelu tkiej gry, poszukiwnie postci strtegii optymlnych prowdzi do brdzo skomplikownych rchunków, zsługą utor jest to, że potrfił wyprowdzić z nich zwrte explicite formuły strtegii umożliwijące dowiedzenie ich optymlności. Słow kluczowe: gry czsowe, głośne, ciche, klsy I i II, dyskretne, nie-dyskretne, optymlne, histori gier czsowych. [67]

2 68 T. Rdzik 1. Wstęp. Profesor Stnisłw Trybułę spotkłem po rz pierwszy w wrześniu roku 1972, kiedy to rozpocząłem prcę w Instytucie Mtemtyki Politechniki Wrocłwskiej, dołączjąc do grupy systentów uczestniczących w prowdzonym przez niego seminrium ze sttystyki i teorii gier. Prof. Trybuł zfscynowny już wtedy problemtyką gier czsowych, spowodowł, że ten entuzjzm udzielił się mnie i trójce moich kolegów, Antoniemu Styszyńskiemu, Krzysztofowi Orłowskiemu i Andrzejowi Cegielskiemu. I tk w okresie nstępnych dziesięciu lt brdzo ktywnie włączyliśmy się w bdni tych gier, czego owocem było powstnie w rmch nszej czwórki około 25 prc zwierjących wiele istotnych uogólnień dotychczsowych wyników. Nleży tu wspomnieć, że bez entuzjzmu Profesor, bez Jego wielogodzinnych dyskusji z nmi, i bez Jego idei i pomysłów, którymi się szczodrze znmidzielił,większośćztychprcnigdybyniepowstł.tkwięc,mimo, że prof. Trybuł nie pojwił się formlnie jko współutor tych prc, poprzez swoje zngżownie, pomoc i dyskusje w trkcie ich powstwni, był On relnie ich współutorem. Dodtkowym efektem opieki Profesor nd nszą czwórką były cztery nsze doktorty i jedn hbilitcj wszystkie w problemtyce gier czsowych. W ltch nstępnych, j i moi koledzy powoli odchodziliśmy od gier czsowych, przechodząc do bdń w innych dziedzinch. Jednkże wtedy, już w ltch dziewięćdziesiątych, prof. Trybuł powrócił do swej fscyncji grmi czsowymi i osttnie kilknście lt swego życi poświęcił ich dlszemu bdniu. W tym okresie opublikowł 23 prce z gier czsowych, bdjąc różnorkie ich modele, co omwim brdziej szczegółowo w podrozdzile 3.8. Oczywiście wkłdem prof. Trybuły w rozwój teorii gier czsowych są nie tylko Jego włsne prce z tej temtyki, le tkże prce cłej nszej czwórki, o czym już wcześniej wspomniłem. Dltego też, w rozdzile 3. omwim historię rozwoju gier czsowych, gdzie nsz wkłd ( więc i Profesor) jest wyrźnie pokzny. Jeśli chodzi o orgnizcję niniejszego rtykułu, to jest on nstępując. Rozdził 2 zpoznje czytelnik z ogólną definicją gier czsowych i wprowdz w ich temtykę. Rozdził 3 omwi szczegółowo historię gier czsowych. Rozdził 4 jest poświęcony wprowdzeniu czytelnik w teorię związków między grmi czsowymi dyskretnymi i ciągłymi, co jk wydje się, pozwoli rozbudowć intuicje umożliwijące mu lepsze zrozumienie tych gier. W rozdzile 5. omwim pewien szczególny model gry czsowej bdny i rozwiązny w jednej z prc przez prof. Trybułę. Pokzuje on szczególne zdolności profesor rdzeni sobie z komplikcjmi rchunkowymi przy poszukiwniu spójnych formuł opisujących bdne obiekty. 2. Wprowdzenie do ogólnej definicji gier czsowych. Wroku 1948, merykńsk korporcj RAND (RAND Corportion) stworzył ze-

3 Gry czsowe 69 spół nukowców złożony z mtemtyków, sttystyków, ekonomistów i psychologów do bdni różnych problemów związnych z spektmi niepewności w ówczesnym globlnym świecie. Jednym z rezulttów tych studiów, osiągniętych w rmch tego progrmu, było rozwiąznie wielu zgdnień sformułownych w postci odpowiednich problemów dl dwuosobowych gier o sumie zerowej, nzywnych pojedynkmi, czy też grmi czsowymi (kiedy opisywły zjwisk w nieco ogólniej). Jeden z członków tego zespołu, mtemtyk Dvid Blckwell, szczególnie mocno przyczynił się do rozwinięci problemtyki sformułowni w języku teorii gier wielu prktycznych problemów i do znlezieni rozwiązń dl wielu tkich gier. Współprcowł on z wielu innymi znnymi mtemtykmi, między innymi z A. Girshickiem, L. S. Shpleyem, R. Bellmnem i I. Glicksbergiem, inicjując w tmtym czsie powstnie nowej problemtyki w rmch gier o sumie zerowej i trfnie rozpoznjąc szeroki zkres możliwych zstosowń gier czsowych, w szczególności w opisywniu i wyjśniniu różnych konfliktowych sytucji n polu ekonomii i n polu militrnym. Od tego czsu zostło sformułownych wiele ogólnych problemów w dziedzinie tych gier i otrzymno wiele interesujących wyników. Jednk, żeby możn było powiedzieć o tym coś więcej, musimy podć n początku definicję gry czsowej w formie n tyle ogólnej, żeby znlzł się tm cł bogt kls tkich gier studiownych w literturze. Zrobimy to w nieco innej (le w równowżnej) konwencji, niż pionierzy tej dziedziny. Rozwżmy nstępujący model gry o sumie zerowej: w grze bierze udził dwóch grczy, I i II (opisywnych tkże w dlszej części prcy liczbmi 1 i 2), z początkowymi wielkościmi odpowiednio E 1 i E 2 pewnych jednorodnych zsobów. Zkłd się, że grcze mogą w dowolny sposób utylizowć/rozprowdzć część lub cłość swoich zsobów w pewnym ogrniczonym przedzile czsowym, przyjętym dl obu grczy jko przedził [0, 1]. Rozprowdznie zsobów odbyw się więc w czsie. W konsekwencji, zchownie grczy w tej grze może być opisne pewną prą (μ 1,μ 2 ) dwóch mir n przedzile [0, 1]. Miry te odzwierciedlją sposób rozprowdzni zsobów przez grczy. Dlej zkłd się, że dl kżdego możliwego wyniku gry w postci pry mir (μ 1,μ 2 ), grcz I wygryw od grcz II wrtość K(μ 1,μ 2 ), gdzie K jest pewną ustloną funkcją wypłty. Celem grcz I jest zmksymlizownie wygrnej K(μ 1,μ 2 ), podczs gdy grcz II dąży do jej zminimlizowni. W opisie i dokłdniejszej nlizie tkiej gry nstępn jej cech musi zostć dodefiniown. Minowicie to, czy oponent grcz i, i = 1, 2, jest w stnie śledzić historię gry, tzn. czy może on n bieżąco obserwowć sposób rozdzielni zsobów przez grcz i? Jeśli tk, mówimy, że grcz i dysponuje zsobmi głośnymi. Jeśli nie, to mówimy, że dysponuje on zsobmi cichymi. Tk więc wskzny typ zsobów grczy prowdzi do jednego

4 70 T. Rdzik z trzech możliwych typów gier czsowych: gr Γ gg (głośn), w której obj grcze dysponują głośnymi zsobmi, Γ cc (cich), w której obj grcze dysponują zsobmi cichymi, orz gr Γ gc,(mieszn), w której grcz I m głośne, grcz II ciche zsoby. Jest oczywiste, że możliw struktur strtegii zchowni grcz w grze zleży istotnie od typu zsobów jego przeciwnik i jest o wiele brdziej skomplikown w sytucji, gdy te zsoby są głośne, niż gdy są ciche. Nietrudno jednk zuwżyć, że kżd tk uogólnion gr czsow jest cłkowicie zdeterminown przez nstępujące dw czynniki: (1) przez informcję o typie zsobów (ciche, głośne) będących w dyspozycji grczy i (2) przez modyfikcję tej uogólnionej gry czsowej polegjącej tylko n tym, że typ zsobów grczy zostje zmieniony n cichy, czyli grcze zostją pozbwieni wszelkiej możliwej informcji o zchowniu swych przeciwników w czsie gry. T modyfikcj, uniezleżnijąc grę czsową od typu zsobów grczy, będzie dlej nzywn jej grą bzową, jej postć normlną opiszemy przez (1) Γ = E 1, E 2,K, z nstępującą interpretcją: dl i =1,2,zbioryE i są zbiormi elementów opisujących wszystkie możliwe relizcje rozprowdzeni zpsów przez odpowiednio grczy I i II, wzdłuż przedziłu czsowego [0, 1] (wygodnie jest te relizcje utożsmić z mirmi n [0, 1]), K jest funkcją wypłty (dl grcz I), określoną n wszystkich prch tkich relizcji. I tk n przykłd w grze o typie pojedynku n przedzile czsowym [0, 1], w którym obj grcze dysponują tylko po jednej kcji, możn kżdą z nich utożsmić z zpsmi wielkości 1, wszystkie możliwe relizcje rozprowdzeni zpsów grczy mogą być opisne (niezleżnie od rodzju tych kcji typu głośnego lub cichego) przez dowolne pry liczb (x, y) z przedziłu czsowego [0, 1] oznczjących odpowiednio momenty utylizcji kcji grczy I i II. Z kolei kżdą tką prę liczb (x, y) możn utożsmić z prą mir probbilistycznych (δ(x),δ(y)) skoncentrownych cłkowicie w punktch x i y, lepiej odzwierciedljących relizcję utylizcji niepodzielnych zpsów (o wielkości 1) obu grczy, czyli ich kcji. A więc gry bzowe dl wspomninych wyżej gier czsowych o typie pojedynków zrówno z kcjmi cichymi, jk i głośnymi są identyczne, ze wspólną ich funkcją wypłty K(x, y) K(δ(x),δ(y)) i z identycznymi zbiormi strtegii grczy E 1 = E 2 = {δ(z) :z [0, 1]}. Wobec tego, co powiedzino powyżej, jest nturlnym złożyć o grze bzowej (1) dowolnej uogólnionej gry czsowej, że dl i = 1, 2: (A1) przestrzeń strtegii E i grcz i jest pewnym podzbiorem klsy wszystkich mir μ i n zbiorch borelowskich przedziłu [0, 1], spełnijących wrunek μ i ([0, 1]) E i (tu μ i ([0,t)) jest interpretown jko t wielkość

5 Gry czsowe 71 zsobów i-tego grcz, któr zostł wykorzystn do momentu t, sm μ i ozncz strtegię czystą grcz); (A2) K : E 1 E 2 R jest funkcją wypłty (opisującą oczekiwną wygrną przez grcz 1 wypłcną przez grcz 2). Możn ntychmist zuwżyć, że postć normln gry Γ cc jest identyczn z jej grą bzową Γ, le nie jest to dlej prwdziwe dl gier Γ gg i Γ gc. W prcy Rdzik i Goldmn [30] pokzno, że postć normln gry Γ gc jest cłkowicie zdeterminown przez grę bzową Γ i informcję o typie zsobów grczy, i to smo pozostje prwdziwe jedynie dl pewnych przypdków gry Γ gg. Ogólnie jednk, problem wzjemnych związków pomiędzy grmi Γ i Γ gg jest brdzo złożony i rczej dleki od osttecznego rozwiązni. W tejże prcy pokzno również, że jeśli gr bzow Γ m wrtość v osiągną w pewnych strtegich czystych (μ 1,μ 2 ), to wszystkie gry czsowe Γ cc, Γ gc, Γ cg i Γ gg, dl których Γ jest ich wspólną grą bzową, mją tką smą wrtość v, (μ 1,μ 2 ) jest prą strtegii optymlnych grczy we wszystkich tych czterech grch. Jeśli gr bzow Γ, więc i równowżn jej Γ cc, nie mją wrtości w strtegich czystych, wtedy możn bdć ich probbilistyczne rozszerzeni, szukjąc wrtości gry Γ cc i optymlnych strtegii miesznych grczy. Wtedy jednk pozostłe trzy gry czsowe Γ gc, Γ cg i Γ gg, wywodzące się od tej gry bzowej, będą już njczęściej miły inną wrtość i inne strtegie optymlne (czyste lub mieszne) dl grczy. Rozwżmy terz nstępną możliwą włściwość zsobów grczy, które mogą być dwojkiego rodzju: niepodzielnego kiedy zsoby grcz skłdją się jedynie z pewnej skończonej liczby niepodzielnych kcji, kżd o tej smej wielkości 1, i kżd z nich może być zutylizown tylko w jkimkolwiek momencie przedziłu czsowego [0, 1]; orz drugi rodzj zsobów: podzielny gdy grcz je posidjący jest zdolny rozdzielć je w czsie w sposób cłkowicie dowolny (ciągły lub nieciągły), w tym przedzile. To dje sumpt do rozwżni nstępnych trzech typów gier czsowych: dyskretn gdy obj grcze mją zsoby tylko niepodzielnego typu, niedyskretn gdy obj mją zsoby podzielne, orz mieszn wsytucji, gdy jeden z grczy m zsoby jedynie podzielne, drugi jedynie niepodzielne. Tk więc modele gier czsowych mogą być nlizowne pod kątem różnych możliwych konfigurcji włściwości zsobów (głośne, ciche, dyskretne i niedyskretne). W prcy będziemy wykorzystywć symbole Γ gg (k, l), Γ cc (k, l) lub Γ gc (k, l) dl oznczni dyskretnych gier czsowych z odpowiednio k i l niepodzielnymi kcjmi będącymi w dyspozycji grczy 1 i 2, i z odpowiednim typem kcji (głośny, cichy). Anlogicznie, przez Γ gg (E 1,E 2 ), Γcc (E 1,E 2 ) lub Γ gc (E 1,E 2 ) będą oznczne tkie niedyskretne gry czsowe, gdzie E 1 i E 2 są wielkościmi zsobów posidnych przez grczy. W końcu, Γ gg (k, E)

6 72 T. Rdzik i Γ cc (k, E) oznczją tkie gry czsowe, gdzie grcz 1 m k niepodzielnych kcji, grcz 2 m tylko podzielne zsoby w ilości E. Historycznie, pojęcie klsycznych pojedynków (dyskretnych i niedyskretnych) jest zrezerwowne dl pewnej podklsy uogólnionych gier czsowych, tkich, że funkcj wypłty K ich bzowych gier Γ (opisując wygrną grcz 1) jest zgodn z nstępującymi pięciom złożenimi o grze. Minowicie, zkłd się wtedy dodtkowo: (B1) dl i =1, 2, grczi podejmujący jedną ze swoich kcji (jkąkolwiek niepodzielną jednostkę ze swoich zsobów) w pewnym momencie t [0, 1], odnosi sukces z prwdopodobieństwem P i (t); o funkcji P i (t), tzw. funkcji celności lub sukcesu związnej z tym grczem i znnej obu grczom, (zwykle) zkłd się, że jest niemlejąc i ciągł, spełnijąc równości, P i (0) = 0 i P i (1) = 1; (B2) grcze podejmują swoje dziłni w grze niezleżnie od siebie, tj. nie uzyskują żdnej informcji w czsie gry o zchowniu swych przeciwników; (B3) zdrzeni opisujące nieodniesienie sukcesu przez grcz w kżdych dwu różnych, rozłącznych podprzedziłów przedziłu czsowego [0, 1] są niezleżne; (B4) gr się kończy w pierwszym momencie odniesieni sukcesu przez któregokolwiek z grczy, lub, jeżeli to nie nstąpi, w chwili t =1; (B5) wygrną w grze dl grcz 1 definiuje się jko +1, 1 lub0,odpowiednio w nstępujących trzech przypdkch: () gr kończy się sukcesem tylko grcz 1; (b) tylko grcz 2 odnosi sukces; (c) gr się kończy wspólnym sukcesem obu grczy, lub żden z grczy nie odnosi sukcesu w grze. Dl pojedynków dyskretnych typu Γ gg (k, l), Γ cc (k, l) lubγ gc (k, l) pięć dodtkowych złożeń wprowdzonych powyżej determinuje jednozncznie funkcję wypłty K w bzowej, wspólnej grze Γ. Możn ją równowżnie przedstwić, jko funkcję K k + l zmiennych, zdefiniowną n produkcie zbiorów X = { x k [0, 1] k :0 x 1 x 2... x k 1} i Y = {ȳ l [0, 1] l :0 y 1 y 2... y l 1}; tu x i i y j opisują momenty, w których odpowiednio grcz 1 podejmuje swoją i-tą kcję, grcz 2 podejmuje swoją j-tą kcję. Terz po utożsmieniu wektorów x k zmirmiμ 1 o cłkowitej msie k i skoncentrownymi we współrzędnych x i wektor x k zmsą1wkżdymznich(inlogicznie dl ȳ l ), pojedynki dyskretne pozostją w cłkowitej zgodności z konwencją definicji gry bzowej Γ.

7 Gry czsowe 73 Jeśli chodzi o pojedynki niedyskretne, to funkcj wypłty K wichgrze bzowej Γ nie jest jednozncznie wyznczon przez wcześniej postwione wrunki (B1) (B5). Ale, jk okzuje się, po dodniu do nich jeszcze jednego wrunku (tkże brdzo blisko związnego z dyskretnymi i niedyskretnymi pojedynkmi), jednoznczność funkcji K może być zpewnion. Będzie to szeroko dyskutowne w rozdzile 4. Ntomist w nstępnym rozdzile przedstwimy historię bdń i uzysknych wyników w dziedzinie wielodecyzyjnych gier czsowych. 3. Histori rozwiązń wielodecyzyjnych gier czsowych. Od roku 1948, kiedy to zostły sformułowne pierwsze modele pojedynków dyskretnych, otrzymno wiele interesujących rezulttów w dziedzinie gier czsowych. Główną trudnością w bdniu tkich gier był (i jest w dlszym ciągu) sytucj, że wciąż nie znmy tkich ogólnych twierdzeń w teorii gier, które dwłyby odpowiedź n pytnie o istnieniu wrtości gier czsowych i optymlnych strtegii grczy. Nwet w njprostszych przypdkch dyskretnych, cichych pojedynków, funkcj wypłty jest funkcją nieciągłą. Z drugiej strony, struktur pojedynków z kcjmi głośnymi jest niesłychnie złożon, poniewż strtegie grczy muszą zleżeć nwzjem od npływjącej w czsie gry informcji o zchowniu ich oponentów w cłym przedzile czsowym. W ten sposób gry te stją się w istocie grmi ekstensywnymi z nieciągłymi funkcjmi wypłty i z kontinuum możliwych lterntyw w kżdej pozycji. To krótkie wprowdzenie wystrczjąco zznjmi czytelnik z potencjlnymi, ogromnymi trudnościmi, jkie pojwiją się przy bdniu gier czsowych. Poniżej, w dziewięciu częścich, przedstwimy historię problemów i uzysknych wyników w tej dziedzinie Początki teorii. Niech Γ (k, l) ozncz klsę pojedynków dyskretnych (gier czsowych), zwierjących tkie gry z cichymi i głośnymi kcjmi w trzech podstwowych konfigurcjch, tj. gier Γ gg (k, l), Γ cc (k, l) i Γ gc (k, l). Pierwsze przypdki gier Γ (1, 1) zostły sformułowne i rozwiązne przez merykńskich mtemtyków w ltch , w rmch rportów RAND Corportion. W szczególności tcy mtemtycy, jk Blckwell, Shiffmn, Girshick, Bellmn, Glicksberg i Shpley sformułowli i rozwiązli wiele typów różnych modeli pojedynków. Jeśli chodzi o pierwsze, wżniejsze prce o pojedynkch typu Γ (1, 1), to możemy tu wyliczyć prce Blckwell [2, 3], Blckwell i Girshick [4] orz Bellmn i Girshick [1]. Pierwsze dwie prce nlizują pojedynki z dowolnymi funkcjmi celności. W pierwszej z nich znleziono rozwiąznie ogólnego głośnego pojedynku Γ gg (1, 1), przy osłbionym złożeniu, że funkcje celności nie muszą być monotoniczne. Z kolei, drug z tych prc dje rozwiąznie ogólnego cichego pojedynku Γ cc (1, 1), przy czym zstosowno tm pewne

8 74 T. Rdzik rozszerzenie techniki poszukiwni tzw. optymlnych strtegii wyrównujących. W nstępnych dwóch prcch są studiowne nieco wzbogcone modele pojedynków, przy złożeniu, że P 1 (t) =P 2 (t) =t dl t [0, 1]. Minowicie, w pierwszej z nich jest nlizown gr Γ gg (1, 1) przy złożeniu posidni losowych kcji (tj. możliwych do podjęci tylko z pewnym prwdopodobieństwem) przez grczy, podczs gdy w drugiej prcy jest studiowny pojedynek Γ cc (1, 1) n przedzile czsowym [c, 1], gdzie c (0, 1) Gry czsowe klsy I i II. Njbrdziej ogólne wyniki w dziedzinie cichych gier czsowych n kwdrcie jednostkowym typu Γ cc (1, 1), z ogólną funkcją wypłty K(x, y) ściśle monotoniczną po kżdej zmiennej, nleżą do Shiffmn [33] dl modelu symetrycznego (K(x, y) = K(y,x)), i do Krlin [12] dl modelu niesymetrycznego. Pierwszy z tych utorów pokzł, że rozwiąznie w przypdku symetrycznym, które jest identyczne dl obu grczy, przybier jedną z pięciu możliwych postci i może być uzyskne przez rozwiąznie pewnego równni cłkowego drugiego rodzju. Krlin [12] rozszerzył rezultt Shiffmn do przypdku niesymetrycznego, pokzując, że nlogiczn metod prowdzi do konieczności przenlizowni czternstu możliwych przypdków. Metod znjdowni rozwiązń dl gier czsowych w obu wspomninych prcch odwołuje się w sposób istotny do teorii dodtnich opertorów cłkowych. Ogólnie zkłd się o funkcji wypłty K(x, y) w tkich grch, że jest niemlejąc względem x i nierosnąc względem y odpowiednio poniżej i powyżej przekątnej, i z możliwymi nieciągłościmi n niej. Tkie gry (zwierjące w sobie tkże gry czsowe Γ cg ) nzywne są w literturze grmi czsowymi klsy II. Wrto tu tkże wspomnieć, że były również bdne gry czsowe klsy II w wersji gier o sumie niezerowej, pewne częściowe rezultty możn znleźć w prcy Sudżute [36]. Nstępny ogólny wynik dotyczący gier Γ (1, 1) znjduje się w prcy Glicksberg [11]. Autor ten znlzł rozwiąznie ogólnych dyskretnych głośnych gier czsowych typu Γ gg (1, 1). Gry tkie, nzywne w literturze grmi czsowymi klsy I, tym się różnią od nlogicznych gier czsowych klsy II, że wrtości ich funkcji wypłty K(x, y) nie zleżą od większej ze zmiennych x, y. Poz tym, niezleżnie od poprzedniego utor, również Krlin [12] otrzymł rozwiąznie tego problemu, nwet w nieco pełniejszej postci, stosując metodę sprowdzeni tych gier do grnicy pewnego ciągu gier czsowych klsy II i nlizy grnicznych włsności ich strtegii optymlnych Głośne dyskretne pojedynki. Omówimy terz historię brdziej złożonych dyskretnych gier czsowych Γ gg (k, l) z liczbą posidnych kcji przez grczy większą od 1. Niestety, brk tu rezulttów o tkim stopniu ogólności, jkie zostły otrzymne dl gier czsowych klsy I i II przez Glicksberg i Krlin. Mimo to rozwiązno wiele interesujących i brdzo trudnych pro-

9 Gry czsowe 75 blemów dotyczących tej temtyki. Pierwszy z tych rezulttów znjduje się w książce Blckwell i Girshick [5], gdzie utorzy znleźli rozwiąznie głośnego pojedynku Γ gg (k, l) z dowolną liczbą kcji u grczy, k, l 1,izrównymi funkcjmi celności P 1 (t) =P 2 (t) =t. Autorzy pokzli, że wszystkie te pojedynki Γ gg (k, l) mją wrtości i skonstruowli ε-optymlne strtegie dl obu grczy o rekursywnej strukturze. Niestety, ich metod nie pozwl n rozwiąznie tkich pojedynków przy złożeniu P 1 (t) P 2 (t). Nstępne istotne uogólnienie osttniego rezulttu nleży do Fox i Kimeldorf [9], którzy rozwiązli głośny dyskretny pojedynek Γ gg (k, l) z ogólnymi, ciągłymi i niemlejącymi funkcjmi celności, z ogrniczeniem P i (0) = 0,P i (1) = 1 dl i = 1, 2. Znlezione tu ε-optymlne strtegie mją również rekursywną strukturę, le o wiele brdziej złożoną w porównniu do znlezionych w poprzednim przypdku. Jednkże ich metod, pomimo że był oprt n wielce złożonych i subtelnych rozwżnich, okzł się nieefektywn przy próbie rozwiązni tego pojedynku Γ gg (k, l) z cłkowicie ogólnym złożeniem o funkcjch celności, 0 P i (0) <P i (1) 1, i =1,2.Kolejny utor, Żdn [63], otrzymł nstępny, brdzo istotny wynik dotyczący pojedynku Γ gg (k, l). Pokzł on z pomocą wielce skomplikownej teorii, specjlnie zbudownej dl potrzeb tego problemu, że te gry, rozwżne jedynie przy złożeniu ciągłości funkcji celności z wrunkiem, P i (0) = 0,P i (1) < 1 dl i = 1, 2, wciąż mją wrtość i znlzł postć ε-optymlnych strtegii dl obu grczy. Nleży tu wspomnieć, że wrunek o funkcjch celności, przyjęty przez Żdn, nie mógł być pominięty ze względu n zstosowną tm metodę rozwiązni problemu. Złożenie, P i (0) = 0, i = 1, 2, przyjęte w osttnich trzech prcch dotyczących pojedynku Γ gg (k, l) było konieczne ze względu n zdptowne tm metody. Znlezione ε-optymlne strtegie miły tką rekursywną strukturę, któr nie mogł być przeniesion n ogólniejszy przypdek gier Γ gg (k, l) z ogrniczeniem, P i (0) 0, i = 1, 2. To ogrniczenie zostło osttecznie przezwyciężone w prcy Rdzik [28], gdzie znleziono kompletne rozwiąznie pojedynku Γ gg (k, l) zk, l 1, przy brdzo ogólnych złożenich, że funkcje celności są funkcjmi ciągłymi, niemlejącymi, spełnijącymi nierówności, 0 P i (0) P i (1) 1, i =1,2. W tym celu zostł zbudown specjln teori do nlizy włsności strtegii optymlnych i wrtości pewnych gier mcierzowych z niepełnymi zbiormi dopuszczlnych pr czystych strtegii grczy. Okzło się, że w przypdku P i (0) > 0dli = 1, 2, struktur ε-optymlnych strtegii jest o wiele brdziej skomplikown w porównniu z przypdkmi rozwżnymi w trzech wspomninych prcch. N koniec wrto dodć, że pewne symptotyczne włsności głośnych dyskretnych pojedynków (gdy liczby kcji grczy dążą do nieskończoności) były dyskutowne w prcy Kimeldorf i Lng [15]. Jednkże, pomimo głębokich i mocno złożonych rezulttów otrzym-

10 76 T. Rdzik nych w tej dziedzinie, wciąż nie wiemy, jk rozszerzyć wyniki Glicksberg i Krlin dl gier czsowych Γ gg (1, 1) klsy I do nlogicznych gier Γ gg (k, l) przy złożeniu k, l Ciche dyskretne pojedynki. Omówimy terz historię ogólnych cichych dyskretnych pojedynków Γ cc (k, l) zk, l 1. Njbrdziej przełomowy rezultt n tym polu znjdujemy w prcy Restrepo [31]. Jest tm pokzne, że dl wszystkich k, l cichy pojedynek Γ cc (k, l), z ciągłymi, różniczkowlnymi funkcjmi celności spełnijącymi wrunki P i (0) = 0, P i (1) = 1 i P i (t) > 0 dl i =1,2i0<t<1 zwsze m wrtość i zostły tm znlezione optymlne strtegie dl obu grczy. Pomimo szlenie interesujących i ogromnie głębokich rozwżń, metod zproponown przez tego utor okzł się niewystrczjąc do znlezieni twierdzeni uogólnijącego wynik Krlin o grch czsowych klsy II do większej niż 1 liczby kcji u grczy. Resumując, pytnie, jk rozszerzyć rezultt Krlin do ogólnych gier czsowych Γ cc (k, l) zk, l>1, pozostje wciąż otwrtym problemem. Jk dotychczs, pewne istotne uogólnienie wyniku uzysknego przez Restrepo zostło otrzymne jedynie w dwóch prcch Cegielskiego [7, 8]. W pierwszej z nich złożono, że liczby kcji będących w posidniu grczy są losowe, podczs gdy w drugiej prcy jest studiowny ten pojedynek przy złożeniu P i (1) < 1dli = 1, 2; wciąż jednk z ogrniczeniem P i (0) = 0 dl i =1,2, przyjętym w obu prcch. Wrto tu tkże wspomnieć o jeszcze jednej modyfikcji gier Γ cc (k, l), gdzie w złożenich o pojedynku wprowdz się element opóźnieni co do efektu podjęci kcji przez grczy (Orłowski i Rdzik [20]) Mieszne dyskretne pojedynki. Jeśli chodzi o mieszne dyskretne pojedynki Γ gc (k, l), to w tej temtyce nie są znne jkieś brdziej ogólne wyniki. Wydje się, że tego rodzju pojedynki są grmi stwrzjącymi bdczom njwiększe trudności. Jest brdzo zskkujące, że n przykłd nwet tk prosty pojedynek jk Γ gc (2, 1), przy złożeniu P 1 (t) P 2 (t), pozostje do dziś wciąż nierozwiąznym problemem. Jedynie częściowe i brdzo szczególne problemy w tej temtyce (choć mocno złożone) zostły dotychczs rozwiązne, pomimo że liczb opublikownych prc jest rczej zncząc. Wyliczymy jedynie kilk njistotniejszych z nich. Dotyczą one różnych modyfikcji tkich miesznych pojedynków, njczęściej z ogólnymi funkcjmi celności. Kurisu [17] rozwiązł pewną klsę pojedynków Γ cg (1, 1) z tką modyfikcją, że kcj grcz II m włsność głośności ze stłym opóźnieniem ; tk więc t kls gier zwier w sobie ob klsyczne pojedynki Γ cg (1, 1) i Γ cc (1, 1), jko swoje dw ekstremlne podprzypdki. W nstępnej, interesującej, prcy [16], Kurisu znlzł rozwiąznie (z pomocą obliczeń komputerowych) pojedynku Γ gc (2, 1) przy złożeniu, P 1 (t) =P 2 (t) =t, le zstosown przez niego metod nie pozwl n rozwiąznie ogólniejszych

11 Gry czsowe 77 przypdków tkich gier. Smith [34] rozwiązł tki model pojedynku, w którym grcz I m jedną cichą i jedną głośną kcję, ntomist grcz II jest w posidniu tylko jednej głośnej kcji. Dlej, Styszyński [35] znlzł rozwiąznie ogólnego miesznego pojedynku Γ cg (k, 1) z k>1. Osttnie dw wyniki zostły uogólnione w dwóch prcch Rdzik i Orłowskiego [22, 23], gdzie jest studiowny tki model pojedynku, w którym grcz II m tylko jedną głośną kcję, ntomist grcz I może posidć dowolną liczbę kcji cichych i głośnych, które z złożeni musi podejmowć w dowolnej, le z góry zdnej kolejności, znnej grczowi II n początku gry. Jeszcze inn modyfikcj miesznych pojedynków typu Γ (1, 1) był studiown w prcy Skguchiego [32], gdzie dopuszcz się tkże sytucje, że grcze mogą nie posidć kcji, przy czym wiedz oponentów o tym jest tylko częściow. Nleży tu tkże wspomnieć jeszcze o innym modelu pojedynku typu Γ (1, 1), nlizownym w dwóch prcch Teroki ([37, 38]), gdzie wbudown jest dodtkow włściwość losowego momentu kończeni gry Ciche niedyskretne pojedynki. Nstępną klsą gier czsowych szeroko nlizownych w literturze były ciche niedyskretne pojedynki oznczne dlej przez Γ cc (E 1,E 2 ). Różnią się one od klsycznych cichych dyskretnych pojedynków tym, że grcze dysponują możliwością cłkowicie dowolnego sposobu ( ciągłego lub nieciągłego ) rozdzielni swoich zsobów wzdłuż przedziłu czsowego. Kompletne rozwiąznie tkiej gry możn znleźć w książce Krlin [13]. W tym modelu zkłd się, że grcze mogą rozdzielć swoje zsoby jedynie w sposób ciągły wzdłuż przedziłu czsowego [0, ), zgodnie z jkąkolwiek, le ogrniczoną intensywnością. Również Ynovsky [62] studiowł pewną, ogólniejszą wersję pojedynku nlizownego przez Krlin. Jednkże konstrukcj funkcji wypłty w pojedynkch niedyskretnych rozwżnych w tych prcch był rczej dlek, jeśli chodzi o sformułownie i interpretcję, od nlogicznych funkcji definiownych w klsycznych dyskretnych pojedynkch. Bliższy związek pomiędzy tymi dwom rodzjmi gier zostł po rz pierwszy zuwżony w prcch Lng i Kimeldorf [18, 19], gdzie utorzy sformułowli w nieco inny sposób model gry Γ cc (E 1,E 2 ) i rozwiązli ją w dwu wersjch. W pierwszej z nich utorzy rozwżją cichy niedyskretny pojedynek przy złożeniu, że P 1 (t) = P 2 (t), i że grcze dysponują możliwością dowolnego, le tylko ciągłego sposobu rozdzielni swych zsobów wzdłuż przedziłu czsowego. W drugiej prcy podli oni rozwiąznie tego modelu wolnego już od wszelkich ogrniczeń n rozdzielnie zsobów przez grczy, przy P 1 (t) P 2 (t). Strtegie optymlne grczy tm znlezione są strtegimi czystymi, co w konsekwencji powoduje, że pozostją one optymlne również w pojedynkch Γ gc (E 1,E 2 )i Γ gg (E 1,E 2 ). Nstępnie Positielsky [21] znlzł postć strtegii optymlnej dl gr-

12 78 T. Rdzik cz II w pojedynku Γ gc (E 1,E 2 ), mjącą tzw. włsność wyrównywni przeciw wszystkim istotnym strtegiom grcz I, tj. włsność polegjącą n tym, że niezleżnie od sposobu zchowni grcz I wynikiem gry jest prwie zwsze jej wrtość. Wrto tu tkże wspomnieć, że pewne symptotyczne włsności pojedynków niedyskretnych i ich związki z dyskretnymi były dyskutowne w prcy Kimeldorf i Lng [14]. Jeśli chodzi o dw modele gier Γ cc (E 1,E 2 ) dyskutowne powyżej (przy zdefiniowniu ich n przedzile jednostkowym), to okzło się, że nleżą one do tej smej klsy cichych niedyskretnych pojedynków. Jedyną różnicą jest tylko to, że w modelu Krlin funkcje celności spełniją wrunek, P i (1) = 1 e 1, ntomist w modelu Lng i Kimeldorf spełniją wrunek, P i (1) = 1, i =1, 2. (Pozostłe równości P i (0) = 0 są wspólne w obu modelch). Ten fkt jest szeroko dyskutowny w rozdzile 4., gdzie funkcj wypłty dl gier Γ cc (E 1,E 2 ) jest konstruown w pewien nowy ksjomtyczny sposób. Osttni z tych wyników dotyczący cichych niedyskretnych pojedynków zostł otrzymny w prcy Rdzik [25], gdzie znleziono rozwiązni dl tkich gier przy cłkowicie ogólnym złożeniu: P i (0) 0, P i (1) 1dl i = 1, 2. Podno tm też kompletną chrkteryzcję strtegii optymlnych. Jest on nlogiczn do znlezionej przez Krlin dl gier czsowych klsy II. Jest rczej zskkującym fktem, że w przypdku, P 1 (1) < 1, P 2 (1) = 1, grcz II m jedynie strtegię ε-optymlną. Zproponown metod jest znczącym rozszerzeniem metody z prcy Lng i Kimeldorf [19]. N koniec wrto dodć, że pewn modyfikcj powyżej rozwżnych pojedynków był nlizown w prcy Rdzik i Orłowskiego [24] Ciche mieszne pojedynki. Nstępną brdzo nturlną klsą gier czsowych są ciche mieszne pojedynki oznczne dlej przez Γ cc (1,E), w których grcz I m jedną niepodzielną kcję i zchowuje się jk w dyskretnym pojedynku, grcz II ntomist jest w posidniu pewnej ilości E zsobów podzielnych i może grć zgodnie z regułmi obowiązującymi w pojedynkch niedyskretnych. Dl tkich modeli otrzymno dotychczs rczej niewiele istotniejszych rezulttów i wciąż brkuje dl nich koherentnej teorii. Pierwszymi, którzy przyczynili się do sformułowni i rozwiązni pewnych różnorkich przykłdów tkich gier, byli Gillmn, Blckwell, Shiffmn, Bellmn i Krlin. Wszyscy oni studiowli tkie modele tych gier, w których grczowi II wolno było rozdzielć swe zsoby jedynie w sposób ciągły i z ogrniczoną intensywnością. Ich związki z klsycznymi dyskretnymi pojedynkmi były rczej dlekie. N początku problem ten był studiowny w prcy Blckwell i Shiffmn [6] i innych niepublikownych prcch Weiss, Bellmn i Blckwell. Tkie modele gier z interpretcją pewnych kmpnii reklmowych były prezentowne w prcy Gillmn [10]. Były one tkże studiowne przez Krlin [13], który zstosowł nową metodę oprtą w du-

13 Gry czsowe 79 żej mierze n lemcie Neymn Person do znlezieni postci strtegii optymlnej dl grcz I. Poz tym mmy tu jeszcze tylko dw wyniki w tej temtyce i nleżą one do Rdzik [26, 27]. W obydwu tych prcch są studiowne mieszne ciche pojedynki typu Γ cc (k, E), le w nieco innej wersji w stosunku do tych dyskutownych powyżej, bliżej związnych z dyskretnymi pojedynkmi. W pierwszej z tych prc podno kompletną chrkteryzcję rozwiązń pojedynku Γ cc (1,E), w którym grczowi II wolno rozdzielć jego zsoby bez jkichkolwiek ogrniczeń. W drugiej prcy nlizowny jest ogólniejszy model pojedynku Γ cc (k, E) przyk>1. Pokzno tm, że tkie pojedynki zwsze mją wrtość i znleziono optymlną strtegię dl grcz II Dorobek Prof. Trybuły w teorii gier czsowych. Trybuł jest jednym z njbrdziej płodnych utorów w temtyce gier czsowych. Minowicie, jest smodzielnym utorem 21 prc ([39] [59]) z tej dziedziny orz współutorem dwóch monogrfii ([60], [61]). Jk już wspomnieliśmy we wstępie, swoje bdni tych gier rozpoczął prktycznie dopiero n początku lt dziewięćdziesiątych, gdy prwie wszystkie njistotniejsze uogólnieni modeli gier czsowych zostły już wcześniej rozwiązne (w ltch siedemdziesiątych i osiemdziesiątych). Z tego też względu, Trybuł skupił się n bdniu tylko pewnych szczególnych modyfikcji klsycznych modeli pojedynków opisnych we wcześniejszych rozdziłch. Te modyfikcje njczęściej brdzo mocno komplikowły dotychczsowe modele doprowdzjąc do tego, że poszukiwnie strtegii optymlnych grczy wymgło niesłychnego kunsztu rchunkowego utor. Ogólnie gry rozwżne przez Trybułę w jego prcch mją postć pewnych, brdzo specyficznych pojedynków dwóch grczy. Zkłd się tm, że grcze mogą poruszć się względem siebie w różnorki sposób, tkże ukrywć się przed przeciwnikiem (w zleżności od bdnego modelu), posidjąc przy tym jedną lub więcej kcji (głośnych lub cichych) dl których prwdopodobieństwo sukcesu grcz przy podjęciu kcji zleży od odległości od przeciwnik, nie od czsu trwni pojedynku. Dlszą modyfikcją w modelch Trybuły jest dopuszczenie, że grcz może posidć dw rodzje kcje, oprócz stndrdowych, tkże tkie, które mogą być użyte dopiero w momencie spotkni grczy, prwdopodobieństwo ich użyci może być mniejsze od jedności. Trybuł w swoich prcch rozptruje różnorkie wrinty tkich pojedynków, przy czym nieznczne różnice w ich opisch powodują gwłtowne zminy w znjdownych postcich strtegii optymlnych. Wspólną cechą jego prc jest to, że otrzymywne w nich postcie strtegii optymlnych są opisywne z pomocą brdzo spójnych formuł, przy czym są one konsekwencją niezmiernie skomplikownych rozwżń rchunkowych, co stnowi rzeczywiście o kunszcie utor. W osttnim rozdzile omwimy szczegó-

14 80 T. Rdzik łowo jeden z tkich pojedynków Jeśli chodzi o monogrfię [60], to w przewżjącej części zostł on poświęcon grom czsowym. Czytelnik znjdzie tu niezliczoną ilość przykłdów rozwiązń gier o zróżnicownym stopniu trudności. Osttni rozdził książki stnowi njbrdziej zwnsowną część książki, omwijącą wielodecyzyjne gry czsowe w różnych możliwych konfigurcjch. Rozwżmy tu modele dyskretne typu m kcji przeciw n kcjom z brkiem informcji, z częściową i z pełną informcją. W kilku oryginlnych przykłdch (z rozwiąznimi) pokzujemy wielką złożoność tkich gier, zwłszcz przy poszukiwniu strtegii optymlnych grczy i ich uzsdniniu. Drugą część tego rozdziłu stnowią rozwżni dotyczące niedyskretnych gier czsowych typu M zsobów przeciw N zsobom tkże przy różnej ilości informcji. Djemy tu bogty przegląd tkich gier z ciekwymi przykłdmi ich rozwiązń. Rozdził ten kończy się dyskusją nd otwrtymi problemmi w tej temtyce. Ntomist drug monogrfi ([61]) jest wyrźnym rozszerzeniem poprzedniej, gdzie między innymi dodno rozdził o grch czsowych o sumie niezerowej Uwgi końcowe. Z przedstwionej dyskusji wynik, że w osttnich kilkudziesięciu ltch nie zdołno zbudowć jednej, koherentnej i wystrczjąco ogólnej teorii, któr by stysfkcjonująco opisywł i dwł możliwość rozwiązywni cłej szerokiej klsy gier czsowych. Pomimo tego, że w tym okresie rozwiązno wielką liczbę brdzo ogólnych problemów związnych z tą temtyką, musimy krytycznie przyznć, że wiele z nich dotyczy rczej wąskich i brdzo szczególnie zdefiniownych modeli. Przyczyną tego był nie tylko ogromn złożoność modeli i różnorkie trudności z problemmi związnymi z informcją, które się tm pojwiły. Po prostu wciąż brkuje nm ogólnych i efektywnych metod dl tej dziedziny. Żeby znleźć rozwiąznie jkiejkolwiek ogólniejszej gry czsowej, njczęściej musimy zbudowć njpierw teorię specjlnie przystosowną dl jej potrzeb. Jk dotychczs, wciąż nie m jednorodnej teorii, któr byłby stysfkcjonując dl szerszych kls gier czsowych. Prktycznie dysponujemy tką teorią jedynie dl gier czsowych Krlin klsy I i II, gdzie funkcj wypłty jest definiown przez ogólniejsze funkcje K(x, y) n kwdrcie jednostkowym. Niestety, t piękn teori jest cłkowicie bezsiln przy bdniu ogólniejszych gier czsowych, w których funkcje wypłty są zdefiniowne n przestrzenich wielowymirowych. Stąd też pytnie, czy istnieje jedn, ogóln teori opisując cłość gier czsowych, pozostje pytniem otwrtym. N koniec wrto ndmienić, że w prcy [29] zebrno kilk njistotniejszych otwrtych problemów w tej dziedzinie i postwiono pewne hipotezy co do ich rozwiązń.

15 Gry czsowe Wzjemne związki pomiędzy grmi. Rozwżmy jkikolwiek pojedynek, tj. grę czsową, dl której odpowidjąc jej gr bzow Γ spełni wrunki (A1) (A2) i (B1) (B5) z rozdziłu 2 1. Niech P i (t), 0 t 1, będzie funkcją celności grcz i. Z definicji, P i (t) opisuje prwdopodobieństwo zdrzeni, że grcz i odniesie sukces w momencie t, wsytucji, gdy utylizuje on jedną jednostkę ze swoich zsobów (jedną kcję) dokłdnie w chwili t. Dl dowolnego wektor z m =(z 1,z 2,...,z m ) spełnijącego 0 z 1 z 2... z m 1, niech I( z m ) definiuje mirę n [0, 1] z cłkowitą msą m skoncentrowną w punktch z 1,z 2,...,z m z msmi 1 w kżdym z nich. Dlej, dl kżdej strtegii μ i grcz i i dl kżdego przedziłu D [0, 1], definiujemy Q μ i i (D) jko prwdopodobieństwo, że grcz i, rozdzieljący swoje zsoby zgodnie z mirą μ i, odniesie sukces w jkimkolwiek momencie przedziłu D. Okzuje się, że ogólnie, Q μ i i (D) nie jest jednozncznie wyznczon przez sme funkcje celności P i (t) i złożeni (B1) (B4), wcześniej wspomnine. Z drugiej strony, funkcj zleżn od dwóch zmiennych, Q μ i i (D) okzuje się być fundmentln przy konstrukcji wypłty K(μ 1,μ 2 )grybzowejγ. Minowicie, przy oznczenich (2) Q i (t) def = Q μ i i ([0,t]), Qi (t) def =1 Q i (t), wzór określjący funkcje wypłty może być łtwo wyprowdzony, jko (3) K(μ 1,μ 2 )= Q 2 dq 1 Q 1 dq 2. [0,1] Aby usprwiedliwić powyższą formułę, zuwżmy, że Q i (t) reprezentuje prwdopodobieństwo, że grcz i nie odniesie sukcesu w podprzedzile [0,t]. Ztem wielkość Q 2 (t)dq 1 (t) jest iloczynem prwdopodobieństw tego, że grcz 1 odniesie sukces w przedzile (t, t + dt) orz prwdopodobieństw zdrzeni, że grcz 2 nie odniesie sukcesu przed momentem t. Ztem grnic sum prwdopodobieństw (równ pierwszej cłce w (3)) jest prwdopodobieństwem tego, że grcz 1 odniesie sukces przed grczem 2, zpewnijąc mu wypłtę +1 (z powodu wrunku (B5)). Podobne rgumenty stosują się do drugiej cłki we wzorze (3). W dlszej części, dl dowolnej miry μ będziemy też stosowć oznczenie Q μ def i (t) = Q μ i ([0,t)). Według definicji, w pojedynku dyskretnym grcze mogą rozdzielć swoje zsoby jedynie zgodnie z mirmi tomowymi postci I( z m ). Możn łtwo pokzć z pomocą złożeń (B1) (B5) z rozdziłu 2, że Q I( z m) i (t) =1 s t[1 P i (z s )], 0 t 1. [0,1]

16 82 T. Rdzik W ten sposób, wobec (2) i (3), złożeni (B1) (B5) jednozncznie wyznczją grę bzową Γ pewnego dyskretnego pojedynku. Nie jest to regułą w przypdku pojedynków niedyskretnych. Aby wielkość Q μ i i (t) był wyznczon jednozncznie dl wszystkich μ i, muszą być dodne pewne nowe wrunki. Poniżej przenlizujemy trzy możliwe podejści do konstrukcji Q μ i i (t) Model I. Ten model był rozwżny w dwu równowżnych wersjch, n [0, 1] i n [0, ), jko przedziłch czsowych, w prcy Blckwell i Shiffmn [6] orz Krlin [13]. Tu zprezentujemy go n [0, 1] w nieco ogólniejszej formie. Złóżmy, że funkcj Q μ i i (t) spełni: (4) Q μ i i ([t, t + h]) = μ i ([t, t + h]) A i (t)+o(h), p.w., 0 t 1, dl kżdej bsolutnie ciągłej miry μ i n [0, 1], gdzie A i (t) jest pewną ciągłą i monotoniczną funkcją spełnijącą (5) A i (0) = 0, A i (1) = 1. (Funkcję A i (t) nzywmy zmodyfikowną funkcją celności. Nie jest on identyczn z funkcją celności). Wrunek (4), przez zstosownie stndrdowych rgumentów związnych z przejściem do grnicy, prowdzi do wzoru: (6) Q μ i i (t) =1 exp A i (u)dμ i (u), 0 t 1, [0,t] dl kżdej bsolutnie ciągłej miry μ i. Terz, jeśli formlnie rozszerzymy wzór (6) do zbioru wszystkich mir μ i,topopodstwieniuμ i = I(t), otrzymmy (7) P i (t) =1 exp[ A i (t)], 0 t 1, z powodu oczywistej równości P i (t) =Q I(t) i (t). Model ten jest ztem (ptrz (7) i (5)) zgodny z dyskretnymi pojedynkmi, gdzie funkcje celności spełniją: P i (0) = 0 i P i (1) = 1 e Model II. Lng i Kimeldorf [18] zproponowli wyminę funkcję A i (t) w (4) n inną, zdefiniowną n [0, 1) i spełnijącą wrunki A i (0) = 0, A i (1 ) =. Terz możemy powtórzyć rozwżni dotyczące modelu I, żeby otrzymć w konkluzji, że model II jest zgodny z dyskretnym pojedynkiem, z P i (0) = 0 i P i (1) = Model III. Zrówno rozwżni w modelu I jk i II zwierją pewne ogrniczeni. Minowicie, chociż formuł (6) n Q μ i i (t) jest dobrze zdefiniown dl wszystkich mir μ i, wrunek (4) jest zgodny z (6) jedynie dl

17 Gry czsowe 83 bsolutnie ciągłych mir μ i. Nie jest trudno sprwdzić, że dl nieciągłych mir wrunek (4) może być sprzeczny z (6), n przykłd dl μ i = I(t) z h 0. Z drugiej strony, w modelu II, Q μ i i (t) i przez to tkże niedyskretne pojedynki są zdefiniowne n [0, 1) zmist n [0, 1]. To ogrniczenie zostło usunięte w prcy [26], co prezentujemy poniżej. Niech P i (t) będzie jkąkolwiek funkcją celności n [0, 1] spełnijącą wrunki 0 P i (0), P i (1) 1, niekoniecznie monotoniczną czy ciągłą. Jest cłkowicie nturlnym, żeby dl funkcji (D) def (8) Q μ i i =1 Q μ i i (D) żądć spełnieni nstępujących czterech wrunków: (C1) dl kżdego zbioru mierzlnego D [0, 1] i dl wszystkich t D i α 0, αi(t) 0 Q i (D) 1, QI(t) i (D) =1 P i (t); (C2) dl kżdego zbioru mierzlnego D [0, 1] i dl wszystkich t D i α, β 0, Q (α+β)i(t) αi(t) βi(t) i (D) = Q i (D) Q i (D) ; (C3) dl dowolnej miry μ n [0, 1] i dl wszystkich niepustych mierzlnych zbiorów D [0, 1], inf t D Q αi(t) i (D) Q μ i (D) sup t D Q αi(t) i (D), gdzie α = μ(d); (C4) dl kżdego ciągu {D m } prmi rozłącznych podzbiorów zbioru [0, 1], i dl kżdej miry μ n [0, 1], ( ) Q μ i D m = Q μ i (D m). m m Zuwżmy, że w istocie wrunki (C1) i (C4) są powtórzeniem złożeń (B1) i (B3) z rozdziłu 2. Pozostłe dw wrunki są nowe. Wszystkie cztery mją prostą, brdzo nturlną interpretcję. Terz zprezentujemy główny rezultt z nich wynikjący, który dje precyzyjną i jednoznczną odpowiedź n pytnie o możliwą postć funkcji Q μ i (t). Twierdzenie 4.1. Dl dowolnej mierzlnej funkcji celności P i (t) n [0, 1] wrunki (C1) (C4) jednozncznie wyznczją funkcję Q μ i (t) wpostci (9) Q μ i (t) =1 exp log[1 P i (u)]dμ(u), 0 t 1, [0,t] dl wszystkich mir μ n [0, 1]. (Wg definicji: exp( ) =0,log0=, 0 ( ) =0).

18 84 T. Rdzik Dowód. Wobec (8), żeby pokzć (9), wystrczy sprwdzić, że wrunki (C1) (C4) są równowżne nstępującemu stwierdzeniu: dl dowolnej miry μ n [0, 1] i dl wszystkich mierzlnych zbiorów D [0, 1], ( ) (10) Qμ i (D) =exp log[1 P i (u)] dμ(u). D Minowicie, nie jest trudno sprwdzić, że (C1) i (C2) implikują (10) dl wszystkich mir postci μ = αi(t) spełnijącychα 0, 0 t 1. Nstępnie łtwo pokzujemy z pomocą definicji cłki Lebesgue, że wrunki (C3) i (C4) są wystrczjące dl zchodzeni równości (10) dl wszystkich mir. Przeciwn implikcj jest ntychmistow. To kończy nszą konstrukcję modelu III, poniewż pokzliśmy, że formuł (6) z funkcją A i (t) spełnijącą 7, rozszerzon do zbioru wszystkich mir, jest jednozncznym rozwiązniem wyznczonym przez wrunki (C1) (C4). Ten fkt jest ntychmistową konsekwencją wzorów (7), (8) i (9). Uwg 4.1. Jeżeli P i (t) jest monotoniczn, Twierdzenie 3.1 zchodzi po zstąpieniu zbiorów mierzlnych D i D m w (C1) (C4) przez podprzedziły przedziłu [0, 1]. Uwg 4.2. Mir μ = αi(t) odpowid strtegii grcz podjęci cząstki zsobów w ilości α dokłdnie w momencie t. Ze wzoru (9) dostjemy, że dl tkiej strtegii μ, Q μ i (t) =1 [1 P i(t)] α. Możemy to zinterpretowć w ten sposób, że posidnie cząstki zsobów w ilości α przez grcz w pojedynku z funkcją celności P i (t) jest równowżne posidniu jednej kcji (o msie 1) w pojedynku z nową funkcją celności Q i (t) =1 [1 P i (t)] α. Uwg 4.3. Wrto też zuwżyć, że n niedyskretne gry czsowe możn spojrzeć dużo brdziej ogólnie, niż tylko poprzez pryzmt dyskretnych gier czsowych. Minowicie punktem odniesieni wcle nie muszą być funkcje celności P i (t), mogą to być odpowiednio zmodyfikowne funkcje celności A i (t), bez wiązni ich z funkcjmi P i (t) wzorem (7). Po prostu, w pewnych modelch funkcje celności P i (t) mogą nie mieć żdnych sensownych interpretcji. Z drugiej strony, zdnie funkcji A i (t) już cłkowicie determinuje funkcję wypłty w niedyskretnej grze czsowej. Dltego też, w niektórych konkretnych problemch, zsdnym jest rozpoczęcie ich modelowni bezpośrednio od odpowiedniego zdefiniowni funkcji A i (t). 5. Przykłd gry czsowej klsy II. W niniejszym rozdzile opiszemy pewien szczególny przypdek gry czsowej klsy II przedstwionej w konwencji pojedynku dwóch grczy i rozwiąznej przez Trybułę w prcy [58], choć bez trudu możn znleźć dl niej brdziej relistyczną interpretcję modelu wlki hndlowej lub mrketingowej dwóch firm n rynku. Pokzuje on, że nwet w prostym, wydłoby się, modelu tkiej gry, poszukiwnie

19 Gry czsowe 85 postci strtegii optymlnych prowdzi do brdzo skomplikownych rchunków, zsługą utor jest to, że potrfił wyprowdzić z nich zwrte explicite formuły strtegii umożliwijące dowiedzenie ich optymlności Opis gry. Oznczmy przez Γ grę czsową o nstępującej strukturze: W grze bierze udził dwóch grczy I i II, którą jest ich pojedynek toczący się według nstępujących reguł. W momencie t = 0, grcze stojący wodległościd = 1 od siebie rozpoczynją mrsz ku sobie. Zkłd się przy tym, że grcz I posid dw pistolety, jeden z kulą typu A (użycie jej - kcj A) i jeden z kulą typu B (użycie jej - kcj B), ntomist grcz II posid tylko jeden pistolet z kulą typu A. Akcj A może być podjęt przez kżdego z grczy w kżdym momencie, ntomist kcj B może być podjęt przez grcz I dopiero w momencie spotkni obu grczy (czyli, gdy d =0). Podjęcie przez grcz kcji A może zkończyć się sukcesem (trfienie przeciwnik) z prwdopodobieństwem P (t), gdy odległość między grczmi wynosi 1 t, ntomist podjęcie kcji B przez grcz I kończy się sukcesem z prwdopodobieństwem p, przy czym zkłdmy, że (11) 0 p<1. Dodtkowo zkłdmy, że kcj A podejmown przez grcz I jest typu cichego (grcz II nie zn momentu jej podjęci), ntomist grcz I zwsze zn moment podjęci kcji A przez grcz II (typ kcji głośny ). Gr (pojedynek) się kończy w pierwszym momencie sukcesu przez jkiegoś z grczy. Funkcj P (t), 0 t 1, będzie nzywn funkcją sukcesu. Prmetr t będziemy w prcy interpretowć jko czs, co pozwl widzieć rozwżną grę jko rozpoczynjącą się w momencie t = 0 i kończącą się w momencie t = 1 (w przypdku brku sukcesu wcześniej przez któregokolwiek z grczy). Zkłd się, że P (t) jest funkcją rosnącą i ciągłą w przedzile [0, 1], m ciągłą drugą pochodną P (t) w(0, 1), orz spełni: P (0) = 0 i P (1) = 1. Wypłtę dl grcz I definiuje w nstępujący sposób: otrzymuje on +1 gdy wygr on pojedynek (tylko on odniesie sukces), 1 gdy przegr on pojedynek (tylko grcz II odniesie sukces), orz wrtość 0 w pozostłych przypdkch (remis). Zkłdmy, że grcz I dąży do zmksymlizowni swojej wygrnej, podczs gdy grcz II dąży do jej zminimlizowni. W ten sposób rozwżn gr stje się grą o sumie zerowej Postć normln gry. Jest zrozumiłe, że z zbiory strtegii czystych S i T grcz I i II możn przyjąć S = T =[0, 1], przy czym prę (s, t) S T interpretujemy w ten sposób, że n początku gry grcze I i II plnują podjąć swoje kcje A w momentch odpowiednio s i t (kcj B będzie zwsze podjęt przez grcz I w momencie 1, o ile gr nie zkończy się wcześniej). Poniewż z złożeni kcj A grcz II jest głośn, strtegię czystą s grcz I modyfikuje się milcząco w ten sposób, że w przypdku

20 86 T. Rdzik t<sgrcz I zmieni swoją pierwotną decyzję (podjąć kcję A w momencie s) n decyzję s = 1, gdyż wtedy prwdopodobieństwo jego sukcesu P (1) = 1 jest njwiększe. Oznczmy przez K(s, t) oczekiwną wygrną grcz I gdy grcze I i II stosują strtegie czyste odpowiedni s i t. Funkcję K(s, t), 0 s, t 1, będziemy nzywć funkcją wypłty. Ztemtrójk(S, T, K) opisuje postć normlną rozwżnej gry Γ. Nietrudno wywnioskowć nstępującą formułę dl funkcji wypłty K: P (s) (1 P (s))p (t) +p(1 P (s))(1 P (t)) gdy s<t<1, (12) K(s, t) = p(1 P (t)) 2 gdy s = t, 1 2P (t) gdy t<s, P (s) (1 p)(1 P (s)) gdy s<t=1. Dl przykłdu, uzsdnimy powyższą postć funkcji wypłty w sytucji s<t<1. Wtedy może zjść jeden z dwu przypdków: () grcz I podejmując swą kcję A w momencie s odnosi sukces, tj. trfi przeciwnik, lub (b) nie odnosi sukcesu (nie trfi przeciwnik). Prwdopodobieństwo zjści tych przypdków wynosi odpowiednio P (s) i1 P (s). Łtwo zuwżyć, że w przypdku () wygrn grcz I wynosi +1. Ntomist w przypdku (b) mogą się zdrzyć dw dlsze podprzypdki: (b1) grcz II podejmując swą kcję A w momencie t odnosi sukces (z prwdopodobieństwem P (t)) lub (b2) nie odnosi on sukcesu (prwdopodobieństwo tego wynosi 1 P (t)). Wtedy oczekiwn wygrn grcz I wynosi odpowiednio 1 lub p. Stąd oczekiwn wypłt w cłej grze w sytucji s<t<1 wyniesie P (s)(+1) + (1 P (s))[p (t)( 1) + (1 P (t))p], co dowodzi prwdziwości wzoru (12) w przypdku s<t<1. W podobny sposób może być uzsdnion reszt przypdków wzoru (12). Oczywistym jest, że zrówno grcz I jk i II mogą wybrć momenty s i t dl swych czystych strtegii zgodnie z dowolnie wybrnymi przez siebie rozkłdmi prwdopodobieństw n przedzile [0, 1]. Ztem pierwotną postć normlną (S, T, K) gryγ nleży rozszerzyć do trójki (X, Y, K), gdzie X i Y są zbiormi wszystkich rozkłdów prwdopodobieństw n przedzile [0, 1] opisującymi terz zbiory strtegii miesznych odpowiednio grcz I i II, funkcj wypłty K : X Y R (jko oczekiwn wypłt) będzie postci: (13) K(F, G) = K(s, t)df (s)dg(t) [0,1] [0,1] dl dowolnych strtegii F X i G Y grczy.

21 Gry czsowe Konstrukcj strtegii optymlnych. W dlszej części prcy, dl u- proszczeni, strtegie czyste s i t będą interpretowne tkże jko jednopunktowe rozkłdy prwdopodobieństw. Szukjąc strtegii optymlnych F i G dl grczy I i II, w grze Γ iwrtościv tej gry, wystrczy ztem pokzć, że dl wszystkich 0 s, t 1 (14) K(F, t) v i K(s, G) v. Oznczmy przez ξ mieszną strtegię grcz I, któr nkzuje mu podjąć kcję A w pewnym losowym momencie s w przedzile [, 1], według pewnego ciągłego rozkłdu prwdopodobieństw o gęstości f 1 (s). Ztem (15) f 1 (s)ds =1. Podobnie, niech η b ozncz mieszną strtegie grcz II, zgodnie z którą podejmuje on swoją kcję A w pewnym losowym momencie t w przedzile [, 1), według pewnego ciągłego rozkłdu o gęstości f 2 (t), z pozostłym prwdopodobieństwem β równym (16) β =1 f 2 (t)dt podejmuje swą kcję A w momencie t = b. Niech terz η będzie grniczną idelizcją strtegii η b przy b 1,co możn interpretowć w ten sposób, że stosując strtegię η grcz II będzie podejmowł z prwdopodobieństwem β swoją kcję A bezpośrednio przed momentem t = 1, w którym to grcz I zwsze podejmuje swoją kcję B. Przy tym będziemy stosowć nturlną definicję, że dl s [0, 1] 1 (17) K(s, η ) = lim K(s, b 1 ηb )= K(s, t)f 2 (t)dt + βk(s, 1 ), gdzie K(s, 1 ) = lim ε 0+ K(s, 1 ε). Ten teoretyczny zbieg uznni η tkże z strtegię grcz II pozwoli nm wyrźnie uprościć nsze dlsze rozwżni prowdzące w końcu do znlezieni optymlnej strtegii grcz Iiε-optymlnej strtegii grcz II. Nsze rozwżni będą opierć się n heurystycznym złożeniu (mocno umotywownym przez wyniki z litertury gier czsowych), że dl pewnych 0 <<1 i funkcji gęstości f 1 (s) if 2 (t) strtegieξ i η są strtegimi optymlnymi. To z kolei wymusz (ptrz Lemt w [13]) dlszy wniosek, że są one strtegimi wyrównującymi, tzn. spełniją nstępujące dwie równości: (18) K(ξ,t) v (const) K(s, η ) s, t < 1, gdzie v jest wrtością gry Γ.

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego

Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego Uniwersytet Wrszwski Wydził Mtemtyki, Informtyki i Mechniki Jonn Dys Nr lbumu: 233996 Miry ryzyk duln teori użyteczności Yriego Prc mgistersk n kierunku MATEMATYKA Prc wykonn pod kierunkiem dr hb. Wojciech

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Twoje zdrowie -isamopoczucie

Twoje zdrowie -isamopoczucie Twoje zdrowie -ismopoczucie Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Poniższ nkiet zwier pytni dotyczące Pn/Pni opinii o włsnym zdrowiu. Informcje te pozwolą nm zorientowć się, jkie jest Pn/Pni smopoczucie

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt?

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt? D y s k u s j smoleńsk jko nierozwiązywlny konflikt? Wiktor Sorl Michł Bilewicz Mikołj Winiewski Wrszw, 2014 1 Kto nprwdę stł z zmchmi n WTC lub z zbójstwem kżnej Diny? Dlczego epidemi AIDS rozpowszechnił

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r.

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r. złącznik nr 3 do uchwły nr V-38-11 Rdy Miejskiej w Andrychowie z dni 24 lutego 2011 r. ROZSTRZYGNIĘCIE O SPOSOBIE ROZPATRZENIA UWAG WNIESIONYCH DO WYŁOŻONEGO DO PUBLICZNEGO WGLĄDU PROJEKTU ZMIANY MIEJSCOWEGO

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI.

Scenariusz lekcji matematyki w kl. VI. Alin Grodzk Scenriusz lekcji mtemtyki w kl. VI. Temt lekcji: Pol figur płskich - powtórzenie. Celem lekcji jest rozwijnie umiejętności rozpoznwni i klsyfikowni wielokątów, obliczni pól figur orz utrwlnie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Rekuperator to urządzenie

Rekuperator to urządzenie Rekupertor to urządzenie będące sercem cłego systemu wentylcji mechnicznej. Skłd się z zintegrownej obudowy, w której znjdują się dw wentyltory, w nszym przypdku energooszczędne. Jeden z nich służy do

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element MATEMATYKA Wykłd 4 (Funkcje) Pisząc f : (,b) R rozumiemy Ŝe kŝdemu (, b) przyporządkowny zostł dokłdnie jeden element y R. Wykresem funkcji nzywmy zbiór pr (,f()) n płszczyźnie skłdjącej się ze wszystkich

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

Wariacje Funkcji, Ich Własności i Zastosowania

Wariacje Funkcji, Ich Własności i Zastosowania Środowiskowe Studi Doktornckie z Nuk Mtemtycznych Uniwersytet Mrii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Józef Bnś Ktedr Mtemtyki Politechnik Rzeszowsk Wricje Funkcji, Ich Włsności i Zstosowni Lublin 2014 Spis

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Próba określenia czynników determinujących wyniki ocen wprowadzenia euro przez mieszkańców Unii Europejskiej

Próba określenia czynników determinujących wyniki ocen wprowadzenia euro przez mieszkańców Unii Europejskiej Mieczysłw Kowerski Wyższ Szkoł Zrządzni I Administrcji w Zmościu Ewelin Włodrczyk Wyższ Szkoł Zrządzni I Administrcji w Zmościu Prób określeni czynników determinujących wyniki ocen wprowdzeni euro przez

Bardziej szczegółowo

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN OGANICZANIE PZEPIĘĆ W YEMACH PZEYŁ YGNAŁÓW Ochron przed przepięcimi w siecich IDN Andrzej ow Wstęp Wzrost zpotrzeowni n usługi odiegjące od klsycznego przekzu telefonicznego spowodowł gwłtowny rozwój sieci

Bardziej szczegółowo

Metodologia szacowania wartości docelowych dla wskaźników wybranych do realizacji w zakresie EFS w Regionalnym Programie Operacyjnym Województwa

Metodologia szacowania wartości docelowych dla wskaźników wybranych do realizacji w zakresie EFS w Regionalnym Programie Operacyjnym Województwa Metodologi szcowni wrtości docelowych dl wskźników wybrnych do relizcji w zkresie EFS w Regionlnym Progrmie percyjnym Województw Kujwsko-Pomorskiego 2014-2020 Toruń, listopd 2014 1 Spis treści I. CZĘŚĆ

Bardziej szczegółowo

Piłka nożna w badaniach statystycznych 1

Piłka nożna w badaniach statystycznych 1 Mterił n konferencję prsową w dniu 31 mj 212 r. GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY Deprtment Bdń Społecznych i Wrunków Życi Nottk informcyjn WYNIKI BADAŃ GUS Piłk nożn w bdnich sttystycznych 1 Bdni klubów sportowych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

NAUKI SPOŁECZNE PODSTAOWOWE POJĘCIA I ZAGADNIENIA. socjalizacja, więzi i role społeczne, strktury grupowe, struktura życia społecznego

NAUKI SPOŁECZNE PODSTAOWOWE POJĘCIA I ZAGADNIENIA. socjalizacja, więzi i role społeczne, strktury grupowe, struktura życia społecznego NAUKI SPOŁECZNE PODSTAOWOWE POJĘCIA I ZAGADNIENIA socjlizcj, więzi i role społeczne, strktury grupowe, struktur życi społecznego Autor: Elżbiet Czekj JEDNOSTKA i SPOŁECZEŃSTWO Człowiek jest istotą społeczną,

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo