CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "CAŁKOWANIE NUMERYCZNE"

Transkrypt

1 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko

2 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kiedy stosujemy cłkownie numeryczne? W przypdkch elementrnych oblicznie wrtości cłki oznczonej odbyw się n podstwie wzoru Newton-Leibnitz I (f ) = f (x) dx = F (b) F () Powyższy wzór możemy stosowć wtedy, gdy znn jest tzw. funkcj pierwotn F (x) spełnijąc związek: df (x) dx = f (x) Jeśli wyznczenie funkcji pierwotnej jest brdzo trudne lub niemożliwe i/lub funkcj podcłkow f (x) zdn jest w postci tblicy, to możliwe jest stosownie cłkowni numerycznego.

3 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne N czym poleg numeryczne cłkownie? Gdy przedził cłkowni jest skończony, wówczs numeryczne cłkownie poleg n zstąpieniu funkcji podcłkowej f (x) odpowiednim wielominem interpolcyjnym lub proksymcyjnym ϕ(x) zbudownym n zbiorze n + 1 węzłów o współrzędnych x i, i = 0, 1,,..., n. Wymg to wówczs cłkowni jedynie prostych funkcji bzowych z wykorzystniem wzoru n I (f ). W dlszym ciągu omówione zostną njprostsze metody cłkowni numerycznego wykorzystujące interpolcję (proksymcję) funkcji z pomocą wielominów lgebricznych. Podstwijąc w miejsce funkcji podcłkowej f (x) wielomin lgebriczny ϕ(x) = f 0 N 0 (x) + f 1 N 1 (x) + + f n N n (x) otrzymmy tzw. wzór kwdrturowy.

4 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kwdrtur cłkowni Wzorem kwdrturowym lbo krócej kwdrturą nzywmy: I (f ) = w którym f (x) dx w i = ϕ(x) dx = n i=0 N i (x) dx, f (x i ) N i (x) dx = i = 0, 1,,..., n n w i f (x i ) = S(f ) są tzw. współczynnikmi wgowymi (wgmi). Wrtość w i określ wielkość udziłu rzędnej f i f (x i ) w wrtości cłej sumy S(f ). Dokłdność kwdrtury S(f ) jest tym większ, im mniejsz jest różnic I (f ) S(f ) nzywn błędem kwdrtury. i=0

5 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Rząd kwdrtury Njczęściej stosowną mirą dokłdności jest tzw. rząd kwdrtury. Kwdrtur S(f ) jest rzędu r, jeśli dl wszystkich wielominów W (x) stopni mniejszego od r jest I (W ) = S(W ) orz jeśli istnieje tki wielomin W (x) stopni r dl którego I (W ) S(W ). Możn wykzć, że kwdrtury interpolcyjne zbudowne n n + 1 węzłch są rzędu co njmniej n + 1.

6 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kwdrtury dl węzłów równoodległych Njprostszymi kwdrturmi interpolcyjnymi są kwdrtury zbudowne n węzłch równoodległych, o dnych współrzędnych x i = x 0 + i h, i = 0, 1,,..., n. Niewidome współczynniki w i są obliczne z ukłdu n + 1 liniowych równń lgebricznych, które otrzymmy n podstwie kwdrtury zstosownej dl wielominów W k (x) = x k, k = 0, 1,,..., n, dl których I (W k ) = S(W k ). I (W k ) = x k dx = n i=0 w i x k i = S(W k ), k = 0, 1,,..., n skąd n i=0 w i xi k = 1 ( b k+1 k+1 ) k + 1

7 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kwdrtury interpolcyjne ukłd równń 1 w w w n = p 0 x 0 w 0 + x 1 w 1 + x n w n = p 1 x0 w 0 + x1 w 1 + xn w n = p x0 n w 0 + x1 n w 1 + xn n w n = p n Powyższy ukłd równń możn zpisć w postci: w 0 x 0 x 1 x... x n w 1 x0 x1 x... xn w = x0 n x1 n xn... xn n w n 1 (n+1) b 1 (b ) 1 3 (b3 3 ) ) (b (n+1) (n+1) Rozwiązniem tego ukłdu lgebricznych równń liniowych są wrtości wg w i.

8 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór prostokątów Wzór prostokątów Njprostszym sposobem obliczni przybliżonej wrtości S(f ) cłki oznczonej I (f ) jest zstosownie proksymcji funkcji f (x) z pomocą wielominu ϕ(x) = f (x 0 ) = const. Po podstwieniu do wzoru otrzymujemy I (f ) = f (x) dx przy czym w 0 = b. f (x) dx ϕ(x) dx f (x 0 ) dx = (b ) f (x 0 ) = S(f ). (1)

9 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór prostokątów Wybór położeni węzł dl wzoru prostokątów W zleżności od wyboru położeni węzł x 0 otrzymujemy wzory: () lewych prostokątów, gdy x 0 = (b) środkowych prostokątów, gdy x 0 = ( + b)/ (c) prwych prostokątów, gdy x 0 = b

10 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór trpezów Wzór trpezów Jeśli do interpolcji funkcji f (x) zstosujemy interpolcję z pomocą wielominu liniowego zbudownego n bzie Lgrnge, to otrzymmy wzór kwdrturowy, nzywny wzorem trpezów. I (f ) = f (x) dx [ ] f 0 L 1 0(x) + f 1 L 1 1(x) dx = [ f () x b b + f (b) x ] = b [ ] f () + f (b) = S(f ). b ()

11 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór trpezów Wgi dl wzoru trpezów Wgi w i, i = 0, 1 występujące we wzorze trpezów możn wyznczyć rozwiązując ukłd równń: [ ] [ ] [ ] 1 1 w0 b = 1 b w 1 (b ) skąd w 0 = w 1 = 1 (b ).

12 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór Simpson Wzór Simpson Zstosownie kwdrtowej interpolcji Lgrnge prowdzi do wzoru kwdrturowego: f (x) dx [ f 0 L 0 + f 1 L 1 + f L ] dx = [ (x c)(x b) f 0 ( c)( b) + f (x )(x b) 1 (c )(c b) + f (x )(x c) ] dx (b )(b c) Osttecznie kwdrtur (wzór) Simpson przyjmuje postć: f (x) dx = 1 3 h ( f f 1 + f ) = s(f ), h = b (3)

13 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór Simpson Wgi dl wzoru Simpson Dl 3 węzłów równoodległych, tzn. gdy c = 0.5 ( + b) współczynniki wgowe w i, i = 0, 1, we wzorze Simpson oblicz się z ukłdu równń: c b w 0 b w 1 = 1 c b (b ) 1 w 3 (b3 3 ) Po rozwiązniu tego ukłdu otrzymmy w 0 = w = b 6, w 1 = (b ). 3

14 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór Simpson Wzór Simpson f (x) dx = 1 3 h ( f f 1 + f ) = s(f ), h = b Uwg: Wzór Simpson jest jest rzędu czwrtego, co ozncz, że jest dokłdny nie tylko dl wielominów stopni drugiego, lecz tkże dl wielominów stopni trzeciego tzn. I (W 3 ) = S(W 3 ) orz I (W 4 ) S(W 4 ).

15 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzory Newton-Cotes Wzory Newton-Cotes Zstosownie wielominów ϕ(x) corz to wyższych stopni we wzorze kwdrturowym prowdzi do tzw. wzorów Newton-Cotes. S(W k ) = x n=b x 0= f (x) dx n w i f (x i ) = S(f ) (4) Dl wielominów ϕ(x) kolejnych stopni n wrtości współczynników wgowych w i otrzymuje się z rozwiązni ukłdu równń. i=0

16 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzory Newton-Cotes Zestwienie współczynników wgowych Wzory Newton-Cotes W poniższej tblicy są zestwione wrtości współczynników wgowych w i : n w 0 w 1 w w 3 w 4 w 5 m Wrtości wg występujące we wzorze (4) obliczne są według wzoru w i = w i m Uwg: Kwdrtury Newton-Cotes uzyskne przy zstosowniu wielominów interpolujących ϕ(x) stopni n > 8 ujwniją cechy nrstjcej niestbilności kwdrtury interpolcyjnej (3).

17 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór Guss Do podwyższeni dokłdność wzorów kwdrturowych możn zstosowć propozycję Guss, polegjc n optymlizcji położeni n węzłów interpolcyjnych orz doborze odpowiednich wrtości współczynników wgowych. Możn przyjąć, że we wzorze: f (x) dx n w i f (x i ) (5) niewidomymi są nie tylko współczynniki wgowe w i le tkże współrzędne węzłów x i. Ztem równnie (5) zwier (n + 1) niewidomych. Kwdrtur będzie dokłdn gdy f (x) będzie wielominem co njwyżej stopni (n + 1). Wszystkie niewidome możn wyznczyć z ukłdu n + równń dl n + 1 wg w i orz n + 1 węzłów x i, i = 0, 1,, n. i=0

18 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Postć ukłdu równń dl kwdrtury Guss Dl funkcji podcłkowej f (x), któr przyjmuje postć wielominu zgodnie ze wzorem: x k dx = n i=0 otrzymujemy ukłd równń: n i=0 w i x k i, k = 0, 1,,, n + 1 w i xi k = 1 ( b k+1 k+1), k = 0, 1,,, n + 1 (6) k + 1 który jest liniowy ze względu n wgi i nieliniowy ze względu n węzły.

19 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór kwdrturowy Guss w przedzile wzorcowym Odwzorownie przedziłu [, b] n osi x n unormowny przedził [ 1, 1] n pomocniczej osi ξ i odwzorownie do niego odwrotne możn opisć z pomocą wzorów: ξ = x b x = + b + b b ξ (7) co dje wygodny sposób zpisu cłki: f (x) dx = b 1 1 f ( + b + b ξ) dξ orz wzoru kwdrturowego Guss: f (x) dx b n ( + b w i f + b ξ i ). (8) i=0

20 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Oblicznie współczynników dl wzoru Guss Dl tej postci wzoru wrtości w i, ξ i możn obliczyć z ukłdu równń Przykłd: I = ξ k dξ = n w i ξi k, k = 0, 1,,..., n + 1. (9) i=0 ( α1 + α ξ + α 3 ξ + α 4 ξ 3) dξ Wynik ścisły: I = α α 3 = α 1 + 0α + 3 α 3 + 0α 4 I = w 0 f (ξ 0 ) + w 0 f (ξ 0 ) = = w 0 ( α1 + α ξ 0 + α 3 ξ 0 + α 4 ξ 3 0) + w1 ( α1 + α ξ 1 + α 3 ξ 1 + α 4 ξ 3 1) = = (w 0 + w 1 )α 1 + (w 0 ξ 0 + w 1 ξ 1 )α + (w 0 ξ 0 + w 1 ξ 1)α 3 + (w 0 ξ w 1 ξ 3 1)α 4 w 0 + w 1 = w 0 ξ 0 + w 1 ξ 1 = 0 w 0 ξ0 + w 1ξ1 = w 0 = w 1 = 1 ξ 0,1 = ±1/ 3 3 w 0 ξ0 3 + w 1ξ1 3 = 0

21 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Tblic węzłów i wg Guss n ξ i, i = 0,, n w i, i = 0,, n 0 ξ 0 = 0 w 0 = 1 ξ 0 = +1/ 3 w 0 = 1 ξ 1 = 1/ 3 w 1 = 1 ξ 0 = w 0 = 5/9 ξ 1 = 0 w 1 = 8/9 ξ = 0.6 w = 5/9 3 ξ 0 = w 0 = ξ 1 = w 1 = ξ = w = ξ 3 = w 3 = Uwg: Niezleżnie od postci funkcji f (x) 1 0 wrtości wg w i i węzłów Guss ξ i są zwsze tkie sme, 0 zleżą tylko od liczby węzłów interpolcji n.

22 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Przykłd Zstosownie wzorów kwdrturowych dl 1 przedziłu Obliczyć S(f ) = b f (x)dx gdy f (x) = 4 x x + 1 dl = 1.0, b = 1.0, co ozncz, że h = b =,. Rozwiąznie: Przykłdowy tok postępowni dwupunktow metod Guss (n = 1): f (x)dx = b 1 1 f (ξ) dξ b 1 w i f (ξ i ) = i=0 b [ f ( + b + b ) + f ( + b b )] =

23 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Przykłd Wyniki dl prezentownych wzorów Wrtość dokłdn I (f ) = Wzór Postć kwdrtury Wrtość prostokątów: lewych S(f ) = h f () = 4 środkowych S(f ) = h f ( +b ) = prwych S(f ) = h f (b) = 0 trpezów S(f ) = h [f () + f (b)] = 1 Simpson S(f ) = 1 h 3 Guss dl n = 1 S(f ) = b +b [f () + 4 f ( ) + f (b)] = i=0 w i f (ξ i ) =

24 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kwdrtury złożone Podził przedziłu cłkowni n podprzedziły Brdzo skutecznym sposobem podwyższni dokłdności cłkowni numerycznego jest dokonnie podziłu przedziłu [, b] n podprzedziły [ j, b j ], j = 1,,..., N przy zchowniu związków: 1 =, b N = b, b i = i+1, i = 1,,..., N 1. Możn zpisć: I (f ) = f (x) dx = N j=1 j j f (x) dx = I 1 (f ) + I (f ) + + I N (f ) Kżd z cłek oznczonych I j (f ), wystepujcych we wzorze różni się od od cłek I (f ) tylko wrtościmi grnic cłkowni. Do obliczni kżdego skłdnik sumy możn posłużyć się dowolnym wzorem kwdrturowym.

25 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór sumcyjny prostokątów Metod prostokątów Gdy długości wszystkich podprzedziłów [ j, b j ] są sobie równe czyli b j j = H, j = 1,..., N, H = b N, to możemy określić wzory sumcyjne. Przedził cłkowni <, b > dzielimy n N równych podprzedziłów < x 0, x 1 >, < x 1, x >, < x n 1, x n > gdzie H = (b )/N. W kżdym z nich stosujemy wzór złożony: () lewych prostokątów N f (x)dx H f (x j 1) = H (f ) 0 + f 1 + f + + f N 1 j=1 (b) środkowych (średnich) prostokątów N xj xj 1 f (x)dx H f ( ) = H (f ) 01 + f 1 + f f N 1 N j=1 gdzie f j 1 j = f ( x j 1 +x j ), j = 1,,..., N, (c) prwych prostokątów N f (x)dx H f ( ) x j) = H (f 1 + f + + f N j=1

26 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzór sumcyjny prostokątów Ilustrcj metody prostokątów lewych Wzory sumcyjne

27 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór sumcyjny prostokątów Algorytm metody prostokątów 1: funkcj [pr l, pr p, pr s ] = MetodProstoktow (, b, N) : H = b N 3: pr l = pr p = pr s = 0 4: dl j = 0, 1,... N 1 wykonj 5: x l = + j H, pr l = pr l + f (x l ) 6: x p = x l + H, pr p = pr p + f (x p ) 7: x s = x l +x p, 8: koniec dl pr s = pr s + f (x s ) 9: pr l = pr l H, pr p = pr p H, pr s = pr s H 10: koniec funkcji Wywołnie funkcji: [Le, Pr, Sr] = MetodProstoktow(, b, N)

28 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór sumcyjny trpezów Metod trpezów Zb f (x)dx N h i f X fn 1 0 H f (xj 1 + f (xj ) = H + f1 + f + + j=1 lub Zb f (x)dx H N 1 X 1 1 f0 + fj + fn j=1

29 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzór sumcyjny Simpson Metod Simpson Zb f (x)dx 1 H ( f0 + fn ) + 4 ( f1 + f3 + + fn 1 )+ 3 (f + f4 + + fn ), przy czym H = (xn x0 )/N i N musi być liczbą przystą. Wzory sumcyjne

30 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Zstosownie kwdrtury Guss Zstosownie kwdrtury Guss f (x)dx 1 b N N j=1 gdzie X i = x j+x j+1 + x j+1 x j ξ i lpc i=0 w i f (X i ). Tblic węzłów Guss ξ = [ , , ] Tblic wg w = [ , 0.0, ] Wywołnie funkcji: [G] = MetodGuss(, b, N, tbwg, tbwez)

31 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Zstosownie kwdrtury Guss Przykłd podsumownie Oblicz S = Przyjmij = 5, b = 5, N = 3. f (x)dx, gdzie f (x) = 4 x x : funkcj [y] = f (x) : y = 4 x x : koniec funkcji Metod Wynik prostokątów lewych prostokątów prwych prostokątów średnich trpezów Simpson Guss 3pkt dokłdne

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.

Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p. Metody numeryczne Cłkownie Jnusz Szwbiński szwbin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/2002 10:07 p.1/69 Cłkownie numeryczne 1. Kilk uwg ogólnych 2. Kwdrtury Newton Cotes

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Cłkownie numeryczne przy użyciu kwdrtur Pln wykłdu: 1. Kwdrtury Newton-Cotes ) wzory: trpezów, prbol etc. b) kwdrtury złożone. Ekstrpolcj ) Ekstrpolcj Richrdson b) Metod Romberg c) Metody dptcyjne 3. Kwdrtury

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 14

Obliczenia naukowe Wykład nr 14 Obliczeni nuowe Wyłd nr 14 Pweł Zielińsi Ktedr Informtyi, Wydził Podstwowych Problemów Technii, Politechni Wrocłws Litertur Litertur podstwow [1] D. Kincid, W. Cheney, Anliz numeryczn, WNT, 2005. [2] A.

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych DEMN LMO Materiały na ćwiczenia dla grupy 1CB

Elementy metod numerycznych DEMN LMO Materiały na ćwiczenia dla grupy 1CB Elementy metod numerycznych DEMN LMO Mteriły n ćwiczeni dl grupy CB Prowdzący: Łuksz Smg 0 pździernik 0 Spis treści Błąd reprezentcji i rytmetyk zmiennoprzecinkow Uwrunkownie zdni, wskźnik uwrunkowni zdni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag. Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 016/017 Zwód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zwody Przedmiot: MATEMATYKA Kls II (67 godz) Rozdził 1. Funkcj liniow 1. Wzór i

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Elementy aproksymacji i interpolacji funkcji

Elementy aproksymacji i interpolacji funkcji Rozdził 4 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji 4.. Uwgiwstępne W tym rozdzile przedstwimy w sposób zwięzły podstwowe pojęci i metody teorii proksymcji i jej szczególnego przypdku, proksymcji interpolcyjnej,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł TRZECI SEMESTR LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRACA KONTROLNA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ O TEMACIE: Liczby rzeczywiste i wyrżeni lgebriczne Niniejsz prc kontroln skłd się z zdń zmkniętych ( zdń)

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Całkowanie metodą Monte Carlo

Całkowanie metodą Monte Carlo Cłkownie metodą Monte Crlo Pln wykłdu: 1. Podstwow metod Monte Crlo 2. Metody MC o zwiększonej efektywności ) losowni wżonego b) zmiennej kontrolnej c) losowni wrstwowego d) obniżni krotności cłki Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne 1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Interpolacja funkcjami sklejanymi Interpolcj funkcjmi sklejnymi Kzimierz Jkubczyk 19 lutego 2008 Przykłd Rungego Jedyną możliwością uzyskni lepszego przybliżeni w interpolcji wielominowej jest zwiększenie stopni wielominu interpolcyjnego,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7 Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie pracownia z Analizy numerycznej

Sprawozdanie pracownia z Analizy numerycznej Sprwozdnie prcowni z Anlizy numerycznej List nr 3 Zdnie nr 6 Grup p. Pwł Woźnego Jkub Kowlski Nr lbumu: 7 Wrocłw, 7 styczni 8 Spis treści Sformułownie zdni. Sformułownie lgorytmu.............................

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak Cłk oznczon funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Witold Mjdk 6 Spis treści Definicj cłki oznczonej Riemnn Włsności cłki Riemnn Twierdzenie o średniej cłkowej funkcji Pierwsze zsdnicze twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 1. 1. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II 1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE DŁUGOŚCI UZWOJENIA W SŁUPACH ŻELBETOWYCH

OBLICZANIE DŁUGOŚCI UZWOJENIA W SŁUPACH ŻELBETOWYCH OBLICZANIE DŁUGOŚCI UZWOJENIA W SŁUPACH ŻELBETOWYCH Ryszrd J. GRABOWSKI Wydził Budownictw i Inżynierii Środowisk, Politechnik Biłostock, ul. Wiejsk 5A, 5-35 Biłystok Streszczenie: Oprcowno sposoby obliczni

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 05 Egzmin mturlny z mtemtyki str formuł Rozwiązni

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące

Bardziej szczegółowo

2 Całka oznaczona-cd Rozdrobnienia podziałów Warunki równoważne całkowalności Własności funkcji całkowalnych...

2 Całka oznaczona-cd Rozdrobnienia podziałów Warunki równoważne całkowalności Własności funkcji całkowalnych... Spis treści Uzupełnieni do wykłdu. (4 III 200) 2. Jednostjn ciągłość funkcji.................... 2.2 Cłk Riemnn (heurez)..................... 3.3 Cłk Riemnn -konstrukcj................... 4.4 Przykłdy

Bardziej szczegółowo

KATEDRA INŻYNIERII KOMPUTEROWEJ WYDZIAŁ ELEKTRONIKI I INFORMATYKI POLITECHNIKA KOSZALIŃSKA

KATEDRA INŻYNIERII KOMPUTEROWEJ WYDZIAŁ ELEKTRONIKI I INFORMATYKI POLITECHNIKA KOSZALIŃSKA Projekt współfinnsowny ze środków Unii Europejskiej w rmch Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt PO KL 4../9 "Inżynier pilnie poszukiwny" nr umowy: UDA-POKL.4..--4/9- Algorytmy Numeryczne Aproksymcj

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo