Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych"

Transkrypt

1 Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć i jką może uzyskć. Dne wyjściowe do obliczeń, pochodzące z pomirów, z innych, wcześniejszych obliczeń, z dnych ktlogowych urządzeń lub z oszcowń, chrkteryzują się określoną dokłdnością. Nie możn uzyskć dokłdności wyników obliczeń większej niż dokłdność wprowdzonych dnych. Niecelowe jest też wykonywnie obliczeń z dokłdnością większą niż jest to potrzebne. Kto bez zstnowieni podje jko wynik obliczeń przesdnie liczne cyfry wskzne przez klkultor lub komputer, nrż się n zrzut, że nie zdje sobie sprwy z koniecznej i/lub możliwej do uzyskni dokłdności lbo n zrzut nieuczciwego sugerowni nieosiąglnej dokłdności. Błąd przybliżeni. Jeśli zmist wrtości dokłdnej (liczby dokłdnej) x operuje się jej przybliżeniem (liczbą przybliżoną), to: x jest błędem bezwzględnym przybliżeni, x - jest błędem względnym przybliżeni. Jeżeli przy tym widomo, że zwsze i bez zbędnego ndmiru jest spełnion nierówność x < Δ, to: Δ = Δ δ jest górnym kresem błędu bezwzględnego rozptrywnego przybliżeni, jest górnym kresem błędu względnego rozptrywnego przybliżeni. Mirą błędu przybliżeni, ztem i mirą dokłdności, jest wrtość błędu względnego. Zwykle wyrż się ją w procentch. Przykłd Liczb 1,41 jest przybliżeniem wrtości z błędem 0,00413 Z górny kres błędu bezwzględnego możn przyjąć 0,0043, z górny kres błędu względnego 0,0043:1,41 = 0,0030 = 0,30 %. Cyfry znczące (cyfry wrtościowe) przybliżeni dziesiętnego, tzn. podnego w postci liczby dziesiętnej, są to wszystkie jego cyfry z wyjątkiem zer stojących po lewej stronie przybliżeni. Trzy cyfry znczące mją nstępujące liczby: 00 0,0,00 0, ,5 1,85 0,185 0, Sześć cyfr znczących mją nstępujące liczby: , ,3700 0, , Cyfry pewne. Jeżeli błąd bezwzględny przybliżeni nie przekrcz jednostki ( brdziej rygorystycznie: połowy jednostki) osttniego rzędu dziesiętnego (cyfry znczącej osttniej z prwej strony) liczby, to w liczbie występują tylko cyfry pewne. Przybliżeni dziesiętne nleży pisć z zchowniem jedynie cyfr pewnych; inczej mówiąc nleży odrzucić te cyfry znczące, które nie są 1

2 pewne. To włśnie liczb cyfr pewnych w dnym przybliżeniu dziesiętnym określ stopień dokłdności tego przybliżeni. Nstępujące przybliżeni mją trzeci stopień dokłdności (trzy cyfry pewne): 1 stop sześcienn = 0,083 m 3, l cl =,54 cm. Trzecim stopniem dokłdności chrkteryzuje się obliczony prąd zwrciowy początkowy: I k = 7,4 ka 3 Ik = 7,4 10 A. Zpis 7400 A nie jest włściwy, bo zwier 5 cyfr znczących i mylnie sugeruje piąty stopień dokłdności, tylko trzy pierwsze cyfry są pewne. Informcj, iż w określonym miejscu systemu moc zwrciow wynosi GVA nie jest tożsm z informcją, iż wynosi on 000 MVA. n - n W zpisie mnożnik 10 lub 10 wskzne jest posługiwnie się wykłdnikiem potęgowym będącym wielokrotnością cyfry trzy, co czyt się: tto-, femto-, piko-, nno-, mikro-, mi1i-, kilo-, meg-, gig-, ter-, pet-, eks-. Inżynier woli zpis I k = 7, lbo A, który odczytuje jko: dwdzieści siedem i cztery dziesiąte kilomper, chociż mtemtyk z równowżne uzn zpisy: = A, 4 5 Ik =,74 10 A, Ik = 0,74 10 A, I k = 0, A itd., z których kżdy zwier te sme trzy cyfry znczące pewne. Jeżeli przybliżenie m n cyfr znczących pewnych, to jego błąd względny δ spełni nierówność: δ 6 1 n-1, z 10 w której z jest pierwszą cyfrą znczącą dnego przybliżeni. Przybliżenie z błędem względnym δ m n cyfr znczących pewnych, przy czym n jest njwiększą liczbą cłkowitą spełnijącą nierówność Przykłd 1 n ( 1+ z) δ 10. Klkultor wyświetlił jko wynik końcowy obliczeń wykonywnych z błędem względnym δ = 1 % wrtość =, Ile cyfr n tego wyniku jest pewnych? 1 n 1 n ( 1+ ) 0, ,03 10 n =. Pewne są dwie cyfry. Ztem wynik końcowy obliczeń nleży zpisć jko =,6; gdyby to był wynik pośredni obliczeń, wtedy nleżłoby zpisć się jedną (zpsową) cyfrę znczącą więcej: =,56. Przykłd ten zrzem wyjśni, że odrzucnie cyfr niepewnych nie powinno się odbywć odruchowo i bezmyślnie, lecz wymg respektowni podnych niżej zsd zokrąglni liczb. I k Zpisywnie liczb dokłdnych. Jeżeli trzeb zznczyć, że dn liczb jest dokłdn, to po tej liczbie nleży zmieścić w nwisie słowo dokłdnie lub osttnią cyfrę znczącą liczby nleży drukowć czcionką grubą (bold). Dopuszcz się, zwłszcz w rękopisch, podkreślnie osttniej cyfry liczby dokłdnej. l litr = l dm 3 (dokłdnie) l kwh = J l kwh = J (dokłdnie) l kwh = J Zokrąglnie liczb [5]. Jeżeli liczb przybliżon zwier zbędne lub niepewne cyfry, nleży ją zokrąglić zchowując tylko cyfry pewne i tylko tyle cyfr, ile potrzeb. l. Jeśli pierwsz, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest mniejsz niż 5, to osttni

3 pozostjąc cyfr nie uleg zminie, np. przy zokrąglniu do pierwszego miejsc dziesiętnego: 14,4 14,.. Jeżeli pierwsz, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest większ niż 5, to osttnią pozostwioną cyfrę powiększ się o jednostkę. np. przy zokrąglniu do pierwszego miejsc dziesiętnego: 6,48 6,5. 3. Jeśli pierwsz, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równ 5 i nstępuje po niej co njmniej jeszcze jedn cyfr inn niż zero, to osttnią pozostwioną cyfrę powiększ się o jednostkę, np. przy zokrąglniu do pierwszego miejsc dziesiętnego: 1, ,1. 4. Jeżeli pierwsz, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równ 5, i nie nstępuje po niej żdn cyfr inn niż zero, to osttnią pozostwioną cyfrę powiększ się o jednostkę, jeśli jest to cyfr nieprzyst, nie zmieni się jej, jeśli jest to cyfr przyst (zero uwż się z cyfrę przystą). Inczej mówiąc, w tkim przypdku osttni pozostwion cyfr powinn być przyst, np. przy zokrąglniu do pierwszego miejsc dziesiętnego: 0,05 0,0; 0,15 0,; 0,5 0,; 0, ,4. Jest to rezultt konwencji przyjętej w skli międzynrodowej [5] po to, by wykonywne w różnych ośrodkch, prcownich i lbortorich obliczeni, wykorzystujące te sme dne wyjściowe (np. identyczne wyniki pomirów), dwły ten sm wynik końcowy. 5. W przypdku odrzucni więcej niż jednej cyfry, nie nleży liczby zokrąglć w kilku etpch, lecz od rzu odrzucić wszystkie zbędne cyfry zgodnie z podnymi powyżej zsdmi. Przykłd źle 15, ,455 15,46 15,5 16 dobrze 15, Liczby cłkowite nleży zokrąglć zgodnie z zsdmi od l do 5 z tym, że zmist cyfry odrzucć, nleży je zstępowć przez zero. zokrąglnie do setek zokrąglnie do dziesiątek Jeśli liczbę zokrągl się do 50, 5, 0,5 lub 0,05 itd., to njpierw nleży ją podwoić, otrzymny iloczyn zokrąglić odpowiednio do 100, 10, l, 0,1 itd. zgodnie z zsdmi od 1 do 6, nstępnie podzielić przez dw. Aby zokrąglić liczbę 60,5 do 0,5, nleży podwoić ją (10,50), zokrąglić do jedności (10) i podzielić przez dw (60). W rezultcie: 60,5 60. Podobnie postępując z liczbą 60,75, otrzym się nstępujące wyniki: 60,75 (11,5 1) Jeżeli liczbę zokrągl się do, 0, lub 0,0 itd., to njpierw nleży ją pomnożyć przez pięć, otrzymny iloczyn zokrąglić odpowiednio do 10; l; 0,1 itd. zgodnie z zsdmi od 1 do 6, nstępnie podzielić przez pięć. Przykłd Aby zokrąglić liczbę 8,30 do 0,, nleży pomnożyć ją przez pięć (41,50), zokrąglić do jedności (4) i podzielić przez pięć (8,4). W rezultcie: 8,30 8,4. Błąd dziłni n liczbch przybliżonych [1]. Wynik dziłń n liczbch przybliżonych jest tkże liczbą przybliżoną. Błąd wyniku może być wyrżony przez błędy poszczególnych dnych. Zwykle oblicz się górny kres błędu w konwencji the worst cse, tzn. przy złożeniu, że poszczególne błędy skłdowe kumulują się w sposób njbrdziej niekorzystny, mją njwiększą możliwą wrtość bezwzględną i ten sm znk, co prowdzi do nstępujących wniosków. ) Górny kres błędu bezwzględnego sumy lub różnicy przybliżeń równ się sumie górnych kresów błędów bezwzględnych poszczególnych skłdników, n przykłd: 3

4 Δ( b + c d) = Δ + Δb + Δc + Δd b) Błąd względny sumy przybliżeń jest zwrty między njmniejszym i njwiększym z błędów względnych poszczególnych skłdników. N przykłd, jeżeli δ < δb < δc < δd, to błąd względny sumy spełni nierówność: Δ < Δ ( + b + c + d ) + b + c + d Δd < d c) Błąd względny iloczynu lub ilorzu przybliżeń jest równy sumie błędów względnych tych przybliżeń: δ ( b) = δ + δb δ = δ + δb b d) Błąd względny m-tej potęgi liczby przybliżonej jest m rzy większy niż błąd względny podstwy potęgi, co wynik z poprzedniej zsdy: δ ( m ) = m δ e) Błąd względny pierwistk stopni m z liczby przybliżonej równ się 1/m błędu względnego liczby podpierwistkowej: m 1 ( ) = δ δ m Określić błąd wyniku obliczeni wykonnego według wzoru V Błąd względny: Błąd bezwzględny: δv = δr + δh ΔV = V δv Δr Δh = V + r h = r h Określić błąd wyniku obliczeni wykonnego według wzoru x z = 1+ y Błąd względny: δ z = [ δx + δ( 1+ y) ] Błąd bezwzględny: Δz 1 = z δ z z Δx Δy = + x 1+ y Zgdnienie odwrotne rchunku przybliżeń [1]. Chodzi o odpowiedź n pytnie: jk powinn być dokłdność wprowdznych dnych, by otrzymny wynik obliczeń mił złożoną dokłdność? Aby n nie odpowiedzieć, nleży wyprowdzić wzór określjący błąd wyniku, po czym posługując się podnymi wyżej prwidłmi obliczyć, jkie są dopuszczlne błędy dnych wejściowych, by błąd nie przekrczł złożonej wrtości. Problem może mieć różne rozwiązni, zleżnie od przyjętych złożeń. Przykłd Z jką dokłdnością powinny być zmierzone przyprostokątne trójkąt prostokątnego, z których jedn jest około trzy rzy mniejsz od drugiej, by błąd kąt wyznczonego z pośrednictwem tngens nie przekrczł l' (jednej minuty kątowej)? Kąt m być obliczony ze wzoru: ϕ = rctg( /b) z błędem względnym: Podstwijąc b = 3 orz zkłdjąc, że Δ = Δb, otrzymuje się Δ Δϕ = 0,4 = 0,4 δ, 4 Δϕ = b Δ + Δb + b

5 Δ poniewż złożono Δϕ = l' = 0, rd, wobec tego: δ = = 0,0007 = 0,07 %. Ztem przy złożeniu jednkowych błędów bezwzględnych pomiru obu przyprostokątnych, dopuszczlny błąd względny pomiru mniejszej z nich wynosi 0,07 %. Obliczeni przybliżone bez dokłdnego uwzględnini błędów [1]. Przy wykonywniu zwykłych obliczeń inżynierskich nie określ się błędu kżdego wyniku z osobn, lecz przestrzeg się prostych reguł zpewnijących, że wyniki mją n ogół wszystkie cyfry pewne, błąd nie przekrcz kilku jednostek osttniego rzędu. Poniższe zsdy mją znczenie fundmentlne przy wykonywniu wszelkich prktycznych obliczeń. l) Przy dodwniu i odejmowniu przybliżeń dziesiętnych nleży zchowć w wyniku tyle cyfr po przecinku, ile ich jest w tym przybliżeniu, które m njmniejszą liczbę cyfr po przecinku. 14,7 + 37,084 0,777 = 179,1 14,7 0,00475 = 14,7 ) Przy mnożeniu i dzieleniu przybliżeń dziesiętnych nleży zchowć w wyniku tyle cyfr znczących, ile jest ich w tym przybliżeniu, które m njmniejszą liczbę cyfr znczących. 1,33333 = 3 1,33333 =, ,74, ,1 = 6,8 3) Przy podnoszeniu przybliżeni dziesiętnego do kwdrtu lub sześcinu nleży wziąć w wyniku tyle cyfr znczących, ile m ich dne przybliżenie, czyli nleży zchowć jego stopień dokłdności. 3,00 3 = 7,0 3,541 = 1,54 Błąd względny kwdrtu i sześcinu przybliżeni dziesiętnego jest odpowiednio około i 3 rzy większy niż błąd względny smego przybliżeni, więc błąd wyniku potęgowni może przekrczć jednostkę osttniego zchownego w nim rzędu. 4) Przy wyciągniu pierwistk kwdrtowego lub sześciennego z przybliżeni dziesiętnego nleży zchowć w wyniku tyle cyfr znczących, ile m ich dne przybliżenie. 70 = 16, = 1, Błąd względny tkiego pierwistk jest odpowiednio lub 3 rzy mniejszy niż błąd względny smego przybliżeni. 5) We wszystkich obliczenich pośrednich nleży zchowć o jedną cyfrę znczącą więcej niż to wynik z powyższych prwideł; dopiero przy zpisywniu końcowego wyniku obliczeń tę zpsową cyfrę nleży odrzucić. 6) Jeśli pewne przybliżeni dziesiętne mją w dodwniu i odejmowniu więcej cyfr po przecinku, w mnożeniu i dzieleniu, potęgowniu i pierwistkowniu więcej cyfr znczących niż inne przybliżeni, to przed wykonniem obliczeń nleży je zokrąglić do poziomu dokłdności pozostłych przybliżeń z zchowniem cyfry dodtkowej (zpsowej); w końcowym wyniku tę zpsową cyfrę nleży odrzucić. 7) Jeżeli możn brć dne z dowolną dokłdnością, to dl otrzymni wyniku o k cyfrch znczących pewnych nleży wziąć te dne z tką liczbą cyfr znczących, któr zgodnie z zsdmi od l do 4 dje w wyniku (k + l) cyfr pewnych. 5

6 Przykłd obliczeń przybliżonych Obliczyć początkowy prąd zwrciowy przy zwrciu trójfzowym n szynch 15 kv stcji, jk n rysunku. 110 kv S kq " = 1500 MVA 110/16,5 kv/kv 16 MVA u kr = 0,11 15 kv N błąd końcowego wyniku skłdją się: błąd z tytułu pominięci rezystncji obwodu (tu błąd mniejszy niż 0,5 %), błąd z tytułu przybliżeni wrtości mocy zwrciowej n szynch 110 kv (tu błąd zncznie mniejszy niż 0,5 %), błąd przybliżeni wrtości npięci zwrci trnsformtor (według PN-83/E górny kres błędu względnego przy prcy z przekłdnią znmionową wynosi 10 %, przy innym położeniu przełącznik zczepów błąd może być większy). Ten osttni błąd m znczenie decydujące i sprwi, że możn oczekiwć w końcowym wyniku njwyżej dwóch cyfr znczących pewnych. Rektncj systemu poprzedzjącego: cmx U n 1, ,5 1,10 16,5 X Q = ϑt = = = 0, ,00 Ω trzy cyfry znczące " S kq Rektncj trnsformtor: UnT 16,5 X T = ukr = 0,11 = 1,87 Ω trzy cyfry znczące S 16 nt Początkowy prąd zwrciowy n szynch 15 kv: " cmx U n 1,10 15 I k = = = 4,6 ka dwie cyfry znczące ( X + X ) 3 ( 0,0 + 1,87) 3 Q T Zsdy poprwnej prezentcji obliczeń l) Wpisując wrtości liczbowe do wzoru nleży je wpisywć dokłdnie w tej kolejności, w tych miejscch, gdzie występują odpowidjące im oznczeni wielkości w poprzedzjącym wzorze ogólnym. ) W mirę możności nleży wpisywć do wzoru wrtości przybliżone bez cyfr zbędnych (w osttnim wzorze znlzł się wrtość 0,0, nie 0,00, bo m być on dodn do liczby 1,87 o dwóch cyfrch znczących po przecinku). 3) Podstwijąc dne liczbowe do wzoru nleży wpisywć w rkuszch obliczeń i wprowdzć do klkultor lub komputer liczby dokłdne: 3,, π, e, nie ich przybliżeni. 6

7 Pytni kontrolne 1. Podć zokrągleni nstępujących liczb, zwierjące odpowiednio 6, 5, 4, 3 i cyfry znczące: π 0, e /3 15, (uwżnie!). Zokrąglić do pierwszego miejsc dziesiętnego liczby: 0,05 0,450 0,75 1,17 0,85 3, Obliczyć: 1,5 + 1,743 = 1,5 1,743 = 1,743 1,5 =,5 0,0004 =,5 + 0,0004 = 8,7451 π = 8,745 π = 8,745 =,1 8,745 = 8,745 : = 8,745 :,1 = 8,745 = 8,745 3 = 8,75 = 8,7 + 8,745 +,1750 3,7 4,51 = 4. W przepisch o ochronie przeciwporżeniowej możn npisć, że w określonych wrunkch njwiększy dopuszczlny czs trwni npięci dotykowego 50 V wynosi 5,0 s lbo możn npisć, że wynosi on 5 s. Jkie są konsekwencje tej różnicy w zpisie wymgni przepisowego? 7

8 5. Któr z podnych wersji zpisu wrunków technicznych odbioru wyrobów jest niepoprwn? ± 0, czy 17,0 ± 0, czy 17,00 ± 0, b 46,4 ± 0,15 czy 46,40 ± 0,15 czy 46,40 ± 0,15 c 80,555 kg ± g czy 80,555 ± 0,00 kg d 5 mm ± % czy 5,0 ± 0,1 mm 6. W przypdku wielkości związnych zleżnością potęgową y = k x m niewielk zmin wielkości x o p [%] wywołuje zminę w tym smym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m p [%]. Uzsdnić tę prwidłowość i określić popełniny błąd. Przykłd: obniżenie npięci zsiljącego silnik indukcyjny o 3 % wywołuje ceteris pribus zmniejszenie momentu npędowego o około 3 = 6 %, jko że T = k U. 7. Dwom woltomierzmi nlogowymi klsy 1,5, o zkresie pomirowym 300 V, pomierzono jednocześnie npięcie n początku i n końcu linii, by określić występujący w niej spdek npięci: 30 0 = 10 V. Określić górny kres błędu tego obliczeni, jego wrtość bezwzględną i wrtość względną). 8

9 Odpowiedzi n pytni kontrolne 1. Podć zokrągleni nstępujących liczb, zwierjące odpowiednio 6, 5, 4, 3 i cyfry znczące: 6 cyfr 5 cyfr 4 cyfry 3 cyfry cyfry π = 3, , ,1416 3,14 3,14 3,1 e =, ,7188,7183,718,7,7 = 1, ,4141 1,414 1,414 1,41 1,4 /3 = 0, , , ,6667 0,667 0,67 0, , , ,1735 0,174 0, , , ,455 15,45 15,5 15. Zokrąglić do pierwszego miejsc dziesiętnego liczby: 0,05 0,0 0,450 0,4 0,75 0,8 1,17 1, 0,85 0,8 3,500 3,3 3. Obliczyć: 1,5 + 1,743 = 14, 1,5 1,743 = 10,8 1,743 1,5 = 10,8,5 0,0004 =,5,5 + 0,0004 =,5 8,7451 π = 7,4739 8,745 π = 7,47 8,745 = 17,490,1 8,745 = 18,5 8,745 : = 4,376 8,745 :,1 = 4, 8,745 = 76,479 8,745 3 = 668,8 8,75 = 76,6 8,7 + 8,745 +,1750 3,7 4,51 = 75,7 +76,4785 +, ,7 = 137 9

10 4. W przepisch o ochronie przeciwporżeniowej możn npisć, że w określonych wrunkch njwiększy dopuszczlny czs trwni npięci dotykowego 50 V wynosi 5,0 s lbo możn npisć, że wynosi on 5 s. Jkie są konsekwencje tej różnicy w zpisie wymgni przepisowego? W pierwszym wypdku (5,0 s) niedopuszczlny jest czs trwni npięci dotykowego, który po zokrągleniu do pierwszego miejsc dziesiętnego byłby większy niż 5,0 s, tzn. czs t > 5,05 s. W drugim wypdku (5 s) niedopuszczlny jest czs trwni npięci dotykowego, który po zokrągleniu do jedności byłby większy niż 5 s, tzn. czs t 5,5 s. 5. Któr z podnych wersji zpisu wrunków technicznych odbioru wyrobów jest niepoprwn? Niepoprwne są wersje przekreślone (kolumny skrjne 1 orz 3): ± 0, 17,0 ± 0, 17,00 ± 0, b 46,4 ± 0,15 46,40 ± 0,15 46,40 ± 0,15 c 80,555 kg ± g 80,555 ± 0,00 kg d 5 mm ± % 5,0 ± 0,1 mm 6. W przypdku wielkości związnych zleżnością potęgową y = k x m niewielk zmin wielkości x o p [%] wywołuje zminę w tym smym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m p [%]. Uzsdnić tę prwidłowość i określić popełniny błąd. Jeżeli względn wrtość wielkości x wynosi (1± p), to względn wrtość wielkości y wynosi (1 ± p) m, co po rozpisniu w szereg potęgowy Mclurin dje wyrżenie: ( 1 ) ( m 1) m ( m 1) ( m ) m ( m 1) ( m )( m 3) m 3 ± p m = 1± m p + p ± p + p! 3! 4! Uproszczenie, o którym mow, poleg n wzięciu z powyższego rozwinięci tylko dwóch pierwszych wyrzów, poleg n lineryzcji przebiegu bdnej zleżności w pobliżu wybrnego punktu dziłni, n ogół w pobliżu znmionowych wrunków prcy. 4 ±... Biegłe przyswojenie tych prwidłowości brdzo się przydje, kiedy nie m wrunków do przeprowdzni ścisłych obliczeń, duż dokłdność nie jest konieczn. Pmiętć przy tym trzeb, że bd się wpływ zminy tylko jednego prmetru przy milczącym złożeniu, że inne wrunki dziłni pozostją niezmienne. Pmiętć też trzeb, że tkie szcownie jest dopuszczlne tylko przy niewielkich względnych odchylenich od stnu wyjściowego, n przykłd nieprzekrczjących ± 5 % przy zwykle spotyknych wrtościch wykłdników potęgowych. Przykłd 1. Powszechnie widomo, że moment npędowy silnik indukcyjnego jest proporcjonlny do kwdrtu npięci (T = k U ). N pytnie, jk się wobec tego zmieni moment npędowy tkiego silnik przy obniżeniu npięci o 5 % możn niekiedy usłyszeć pochopną i błędną odpowiedź, że zmniejszy się o 5 = 5 %. Poprwne oszcownie brzmi, że zmniejszy się o m p = 5 = 10 %. Ściślejsze obliczenie wykże, że zmniejszy się o (1 0,95 ) 100 = (1 0,905) 100 = 9,75 % 9,8 %. Przykłd : Inż. Józef Bonin z Instytutu Energetyki w Gdńsku wykzł, że w zkresie częstotliwości 50 47,5 Hz moc czynn pobiern przez ogół npędów potrzeb włsnych w pełni obciążonego bloku 360 MW Elektrowni Bełchtów (bez pompy wody zsiljącej npędznej turbiną prową) jest funkcją potęgową częstotliwości npięci zsiljącego o postci P = k f,715, w przybliżeniu: P = k f,7. Podobne zleżności mją kpitlne znczenie przy nlizowniu stbilności systemu w wrunkch wryjnego obniżeni częstotliwości, niedoboru mocy czynnej i zbiegów zmierzjących do utrzymni prcy elektrowni. N pytnie, jk zmieni się moc potrzeb włsnych przy obniżeniu częstotliwości o 3 % (do poziomu 48,5 Hz) możn odpowiedzieć błyskwicznie: zmleje o m p =,7 3 = 8,1 %. Odpowiedź jest wystrczjąco trfn, skoro wynikiem dokłdnego obliczeni jest wrtość: (1 0,97,7 ) 100 = (1 0,91) 100 = 7,895 % 7,9 %. 10

11 7. Dwom woltomierzmi nlogowymi klsy 1,5, o zkresie pomirowym 300 V, pomierzono jednocześnie npięcie n początku i n końcu linii, by określić występujący w niej spdek npięci: 30 0 = 10 V. Określić górny kres błędu tego obliczeni, jego wrtość bezwzględną i wrtość względną). Spdek npięci obliczono nstępująco: ΔU = U 1 U = 30 0 = 10 V Błąd bezwzględny pomiru kżdego z npięć wynosi 1,5 % zkresu pomirowego 300 V (w mierniku nlogowym decydujące znczenie m błąd trciowy, prktycznie niezleżny od wychyleni wskzówki, ztem niezleżny od wrtości wskzywnej): Δ(U 1 ) = Δ(U ) = 0, = 4,5 V Górny kres błędu obliczeni spdku npięci wynosi: błąd bezwzględny: Δ(ΔU) = Δ(U 1 ) + Δ(U ) = 4,5 + 4,5 = 9,0 V błąd względny: Δ( ΔU ) 9,0 = = 0,9 = 90 % ΔU 10 Uzyskny wynik: ΔU = 10 ± 9 V, to znczy ΔU = 1 19 V, nie przedstwi żdnej wrtości. Tk kończą się pomiry polegjące n odejmowniu dwóch wielkości o zbliżonej wrtości. Litertur 1. Bronsztejn I. N., Siemiendijew K. A.: Mtemtyk. Pordnik encyklopedyczny. PWN, Wrszw Położy G. N. i inni: Metody przybliżonych obliczeń. WNT, Wrszw Wilkinson J. H.: Błędy zokrągleń w procesch lgebricznych. PWN, Wrszw PN-68/N-01050: Podstwowe oznczeni mtemtyczne (w roku 007 norm ndl ktuln). 5. PN-70/N-010: Zsdy zokrąglni i zpisywni liczb (w roku 007 norm ndl ktuln). Dne bibliogrficzne: Musił E.: Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych. Biul. SEP INPE Informcje o normch i przepisch elektrycznych, 007, nr 93-94, s

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł TRZECI SEMESTR LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRACA KONTROLNA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ O TEMACIE: Liczby rzeczywiste i wyrżeni lgebriczne Niniejsz prc kontroln skłd się z zdń zmkniętych ( zdń)

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Arkusz I Instrukcj dl zdjącego 1. Sprwdź, czy rkusz egzmincyjny zwier 8 stron (zdni 1 3). Ewentulny brk zgłoś przewodniczącemu zespołu ndzorującego

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.

Bardziej szczegółowo

3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D.

3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D. Sprwdzin Potęgi i pierwistki. Piąt potęg liczby jest równ: A. 0 B. C. D. 4. Iloczyn jest równy: A. B. C. D.. Odległość Ziemi od Słońc jest równ 0 000 000 km. Odległość tą możn zpisć w postci iloczynu:

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 2 Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy MATeMAtyk 2. Propozycj przedmiotowego systemu ocenini. ZP Wyróżnione zostły

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne? KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Temt: Do czego służą wyrżeni lgebriczne? Prowdzący: Agnieszk Smborowicz Liczb jednostek lekcyjnych: 1 2 (w zleżności od zespołu) Cele ogólne Utrwlenie widomości

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r. Typ/orgn wydjący Rozporządzenie/Minister Infrstruktury Tytuł w sprwie szczegółowych wrunków i trybu wydwni zezwoleń n przejzdy pojzdów nienormtywnych Skrócony opis pojzdy nienormtywne Dt wydni 16 grudni

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:... NUMER KONKURSU:... NUMER WNIOSKU

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB Mteriły szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB 1. Wprowdzenie Drgnimi nzywne są procesy, w których chrkterystyczne dl nich wielkości fizyczne

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na.

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na. STOWARZYSZENIE RYNKÓW FINANSOWYCH ACI POLSKA Afiliowne przy ACI - The Finncil Mrkets Assocition Dodtkowe informcje i objśnieni Wrszw, 21 mrzec 2014 1.1 szczegółowy zkres zmin wrtości grup rodzjowych środków

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

WNIOSEK o przyznanie pomocy na zalesianie

WNIOSEK o przyznanie pomocy na zalesianie Agencj Restrukturyzcji i Modernizcji Rolnictw WNIOSEK o przyznnie pomocy n zlesinie 1) rok Potwierdzenie przyjęci wniosku przez Biuro Powitowe ARiMR /pieczęć/... Dt przyjęci i podpis... Znk sprwy - Schemt

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy

SCHEMAT PUNKTOWANIA. Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów. Rok szkolny 2012/2013. Etap rejonowy SCHEMAT UNKTOWANIA Wojewódzki Konkurs rzedmiotowy z Mtemtyki dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 0/03 Etp rejonowy rzy punktowniu zdń otwrtych nleży stosowć nstępujące ogólne reguły: Ocenimy rozwiązni zdń

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego 1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty

Bardziej szczegółowo

2. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. Piętnaście minut przed upływem tego czasu zostaniesz o tym poinformowany przez członka Komisji Konkursowej.

2. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. Piętnaście minut przed upływem tego czasu zostaniesz o tym poinformowany przez członka Komisji Konkursowej. Kod uczni... MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów Rok szkolny 03/0 ETAP SZKOLNY - 5 pździernik 03 roku. Przed Tobą zestw zdń konkursowych.. N ich rozwiąznie msz 90 minut. Piętnście minut

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

Zwróć uwagę. Czytaj uważnie treści zadań i polecenia. W razie potrzeby przeczytaj je kilka razy.

Zwróć uwagę. Czytaj uważnie treści zadań i polecenia. W razie potrzeby przeczytaj je kilka razy. Zwróć uwgę Poniżej znjdziesz kilk wskzówek, którą mogą ci ułtwić npisnie sprwdzinu szóstoklsisty. Njwżniejsz z nich to: Czytj uwżnie treści zdń i poleceni. W rzie potrzey przeczytj je kilk rzy. Zwrcj uwgę

Bardziej szczegółowo

Pakiet aplikacyjny. Niniejszy pakiet zawiera informacje, które musisz posiadać zgłaszając swoją kandydaturę. Zawiera on:

Pakiet aplikacyjny. Niniejszy pakiet zawiera informacje, które musisz posiadać zgłaszając swoją kandydaturę. Zawiera on: Pkiet plikcyjny Stnowisko: Nr referencyjny: Specjlist ds. interwencji ekologicznych CON/2011/01 Niniejszy pkiet zwier informcje, które musisz posidć zgłszjąc swoją kndydturę. Zwier on: List do kndydtów

Bardziej szczegółowo