Macierzy rzadkie symetryczne

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Macierzy rzadkie symetryczne"

Juliusz Sowa
6 lat temu
Przeglądów:

1 Mcierzy rzkie symetryczne Istnieje wielu problemów technicznych i nukowych, w których zstosownie formlizcji mtemtycznej oprowzi o ziłń n mcierzmi rzkimi symetrycznymi. To są zni mechniki, hyromechniki, elektromgnetyzmu, fizyki jąr tomowego, moelownie różnych systemów ekologicznych,. Zwykłe w tkich znich powstją mcierzy rzkie o użym rozmirze setki tysiące i miliony równń. Rzkimi nzywmy tkie mcierzy, wielu elementów których są równe o zer. Dziłni n tkimi mcierzmi wymgją oprcowni specjlnych struktur nych, które nją możliwość obejść opercji n elementmi zerowymi. Nje to możliwość istotnie ponieść wyjność obliczeń i zmniejszyć zpotrzebownie n pmięć główną. Postwowe ziłni n mcierzmi rzkimi: o mnożenie mcierzy przez wektor o fktoryzcje mcierzy o proste i wsteczne postwieni Obliczeni wysokiej wyjności w8

2 Obliczeni wysokiej wyjności w8 Typowymi przykłmi, w których powstją mcierzy rzkie - to są przykły z mechniki konstrukcji

3 Rozwżymy przykł moelu obliczeniowego rmy płskiej. Moel się skł z prętów i węzłów. N rysunku są pone numery węzłów, które użytkownik wprowzi w sposób losowy Stą wynik, że l tego smego moelu obliczeniowego możliwe w różne sposoby przenumerowć węzły. Jk wić z portretów mcierzy, przestwionych po kżym schemtem obliczeniowym, położenie elementów nie zerowych w mcierzy zleży o sposobu numercji. Portretem mcierzy bęziemy nzywli schemt położeń elementów niezerowych, który oznczymy jko. Elementy n głównej igonli zwykłe są różne o zer (zerowe elementy n głównej igonli njczęściej są skutkmi błęów moelu obliczeniowego). Dl ułtwieni pobrni numeru wiersz lub kolumny mcierzy elementy n głównej igonli oznczmy,,, N. Bęziemy uwżli, że kży węzeł zwier tylko jene równnie. To pozwoli nm wprowzić uproszczenie w rozwżnie mteriłu bez utrty generlności. Jeśli kży węzeł zwier n równń, to kży element mcierzy nleży potrktowć jko blok mcierzowy gęst pomcierz - o rozmirze nn trzeb zstąpić kży element opowienim blokiem, co nie zmieni rozwżni generlnego i wniosków osttecznych. Obliczeni wysokiej wyjności w8

4 Struktur rzk l kżej mcierzy wynik z tego, że kży element mcierzy o ineksch ij powstje przy łączeniu prętem (elementem skończonym) węzłów i, j. Jeśli topologi konstrukcji jest tk, że węzły k, m nie są łączone żnym elementem skończonym, to element mcierzy o ineksch k,m bęzie zerowym. Portret mcierzy istotnie zleży o sposobu numercji węzłów, i l mcierzy symetrycznej jej struktur (portret) może być przestwion grfem nieskierownym G(X, E), gzie X zbiór wierzchołków, E zbiór krwęzi grfu. W tym grfu wierzchołki reprezentują węzły moelu obliczeniowego, krwęzi pręty (elementy skończone). Dl mcierzy rzkiej kolumny lbo wierszy (numery równń) są przestwione wierzchołkmi grfu, elementy niezerowe krwęzimi grfu. Przejście o jenego ukłu numercji węzłów o rugiego możn przestwić jko proceur renumercji. N przykł, bęziemy uwżli, że pierwszy ukł numercji (przykł) jest początkowym. Wtey rugi ukł możn przestwić jko nową numercje (kolor czerwony n rugim grfie), i mcierz w nowym ukłzie jest tworzon tk: n pierwszym miejscu stoi wierzchołek, n rugim wierzchołek, trzecim,. Obliczeni wysokiej wyjności w8

5 Obliczeni wysokiej wyjności w8

6 Przejście o jenego ukłu numercji o rugiego możn przestwić w postci mtemtycznej przez tblice permutcyjną (permuttion rry): ol_number = Perm[new_number] Dl przykłu ponego: Perm = ( ) ol_number = Perm[new_number] new_number Przetworzenie mcierzy ukłu równń liniowych lgebricznych przy zminie numercji niewiomych nzyw się permutcjmi. Opertorem tego przetworzeni jest mcierz permutcji P kwrtow mcierz o rozmirze NN (N ilość równń), kż kolumn i kży wiersz której zwierją tylko jeną jeynkę, reszt elementów są zer, P T P = I, B = P T A P, gzie A mcierz o ponej numercji, B mcierz o nowej numercji, P mcierz permutcji. Obliczeni wysokiej wyjności w8

7 7 Obliczeni wysokiej wyjności w8 A := P := B P T A P := B = P T P = Pony przykł:

8 Nzywmy w węzły (wierzchołki) grf sąsienimi, jeśli {, y} E Jeśli Aj Y X ( Y) = X Y{, y}, to sąsieni (przyległy) zbiór l Y jest { E l owoln ego y Y} Przykł: y = Aj {,} Y X ( Y ) = = {,} X Y {, y} { E} Obliczeni wysokiej wyjności w8 8

9 Struktur przyległości grfu to jest list wierzchołków przyległych l kżego wierzchołk grf:,,,,,, Pozycj List wierzchołków Wskźnik pozycji 7 9 Numer wierzchołku Drog o wierzchołku o wierzchołku y ługością L jest zbiór uporząkowny z L+ różnych wierzchołków (,,..., L+ ), Aj( ), i+ i i L Obliczeni wysokiej wyjności w8 9

10 Oległością (,y) pomięzy wom wierzchołkmi grfu spójnego G = ( X, E) jest ługość njkrótszej rogi, któr łączy te wierzchołki. Grf spójny to tki grf, l którego kż pr wierzchołków jest łączoną przynjmniej jeną rog Grf spójny Grf nie spójny; skł się z wóch skłowych, kż z których jest grfem spójnym Obliczeni wysokiej wyjności w8

11 Mimośró wierzchołku : l( ) = m{ (, y) y X } Trzeb onleźć tki wierzchołek y grf, że oległość (, y) l ponego wierzchołku bęzie njwiększą. Śrenic grfu - { l( ) X} = m{ (, y) y X} δ ( G) = m, Trzeb onleźć tki wierzchołek grf, który m njwiększy mimośró l(). Wierzchołek (węzeł) peryferyjny to tki wierzchołek, mimośró którego jest równy śrenicę grf l( ) = δ ( G) Obliczeni wysokiej wyjności w8

12 Struktur poziomów grf z korzeniem w węźle pseuo peryferyjnym: Obliczeni wysokiej wyjności w8

13 Dl mcierzy rzkich ilość elementów niezerowych po fktoryzcji istotnie zleży o sposobu uporząkowni równń: Zpełnienie - (fill in) niezerowy element mcierzy sfktoryzownej, który powstje n pozycji zerowego elementu mcierzy źrółowej Obliczeni wysokiej wyjności w8

14 I. Reorering methos 99 noes, 9 finite elements n equtions Obliczeni wysokiej wyjności w8

15 No reorering -7Mb RCM -8Mb Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8

16 Slon -8Mb PSM+MMD -Mb Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8

17 ND -Mb QMD, MMD 9(9)Mb Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8 7

18 Multilevel Reorering 9 Mb Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8 8

19 Reorering Metho Nonzero entries in fctorize mtri Size of fctorize mtri, Мb No reorering RCM 8 Slon PSM+MMD 8 8 ND 8 7 QMD MMD 7 9 Multilevel Reorering 8 9 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8 9

20 Sposoby przechowywni mcierzy rzkich Chocz mcierzy gęste nie są mcierzmi rzkimi, zczniemy o sposobów przechowywni mcierzy gęstych. Mcierz gęst niesymetryczn Wiersz po wiersze Kolumn po kolumnie Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8

21 Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко. Mcierz gęst symetryczn olny trójkąt Wiersz po wiersze Kolumn po kolumnie

22 Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко. Sposób profilowy oln część, wiersz po wiersze Struktur mcierzy pos Spce[i] Pos[i] 7 9 Dig[i] i Dostęp o elementów mcierzy: [ij] przy i > j pos = Pos[i+] - (i-j); przy j > i pobrć [ji] = [ij]

23 Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко. Sposób profilowy oln część, kolumn po kolumnie Struktur mcierzy pos Spce[i] Pos[i] 9 Dig[i] i

24 Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко. Mcierzy rzkie oln część, wiersz po wiersze Struktur mcierzy źrółowej (l mnożeni przez wektor) pos 7 jn[i] Spce[i] Pos[i] 7 Dig[i] i Dostęp o elementów mcierzy: l nego i pos=pos[i],,pos[i+]-, j = jn[pos]; [ij] = Spce[pos]; (j < i)

25 . Mcierzy rzkie oln część, kolumn po kolumnie Struktur mcierzy źrółowej (l mnożeni przez wektor) pos 7 in[i] Spce[i] Pos[i] 7 7 Dig[i] j Dostęp o elementów mcierzy: l nego j pos=pos[j],,pos[j+]-, i = in[pos]; [ij] = Spce[pos]; (i > j) Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко Obliczeni wysokiej wyjności w8

26 Obliczeni wysokiej wyjności w8 Решение систем разреженных линейных алгебраических уравнений. С.Ю. Фиалко 7. Mcierzy rzkie oln część, kolumn po kolumnie, mcierz sfktoryzown, zpełnienie Struktur mcierzy sfktoryzownej pos 7 8 in[i] Spce[i] Pos[i] Dig[i] j ~ 7

Podobne dokumenty

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco: Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz