5. Zadania tekstowe.

Transkrypt

1 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość 50 km/ prękość s - przebyt rog [km] s - przebyt rog [km] s 0 t ) 50 s s - czs jzy (wzór - czs jzy v Śreni prękość to ilorz cłej rogi przez cły czs. s s s V śr s 8 8 7,5 km/ s s 5s s 8s s Op. Śreni prękość rowerzysty n cłej trsie to 7,5 km/ Przykł. Jcek jest w stnie pomlowć mieszknie przez 6 gozin, jego ojciec to smo mieszknie pomluje w 4 gozin. Ile czsu bęą rzem mlowć to mieszknie. Rozwiąznie zni jest brzo poobne o klsycznego zni z prękością rogą i czsem. nliz : Jcek 6 [] - czs prcy Jck [mieszknie] ilość wykonnej prcy [mieszkni / ] szybkość prcy 6 ojciec 5 [] - czs prcy [mieszknie] ilość wykonnej prcy [mieszkni / ] szybkość prcy 4 wspóln prc x - czs prcy [mieszknie] ilość wykonnej prcy = [mieszkni / ] szybkość prcy x = : 5 = 5 = goziny 4 minuty ( czs to ilorz rogi przez prękość, tutj opowienikiem rogi jest ilość wykonnej prcy, prękości to szybkość prcy.) Op.: Rzem pomlują mieszknie w goziny i 4 minuty.

2 6. Wyrżeni lgebriczne. Przykł. Dl jkic wrtości zmiennyc pone wyrżeni trcą sens liczbowy, l jkic mją sens liczbowy: 48 ) b) 5b 8 b 5 e) 4e 8 f ) c) 4 f c7 c 9 f 5 ) Rozwiązując to znie nleży pmiętć o wóc zsc : - minownik ułmk nie może być równy zero - liczb popierwistkow nie może być ujemn ltego: ) gy + = 0 czyli = - wyrżenie strci sens liczbowy, ntomist (czytj wszystkie liczby oprócz ) posi sens liczbowy. l R \ b) gy b 5 = 0 czyli (b-5)(b+5)=0 czyli b-5=0 lub b+5=0 czyli l b=5 lub b=-5 wyrżenie strci sen, posi sens l b R \ 5, 5 c) gy c + = 0 strci sens, nie m tkiego c by zcoził ten wrunek. Ztem wyrżenie nigy nie trci sensu liczbowego, czyli posi sens ol kżego c, co zpisujemy c R. ) gy = 0 strci sens.(stos. wzór skróconego mnożeni) (+) =0 czyli +=0 czyli l =,5. Wyrżenie posi sens l R \,5 e) gy 4e 8 < 0 czyli e< wyrżenie strci sens liczbowy. Posi sens liczbowy l f) minownik ułmk nie może być zerem i liczb popierwistkow nie może być ujemn ltego : l f 5 0 czyli f 5 wyrżenie trci sens, posi sens gy f > 5.

3 7. Dowozenie. Przykł. Uowonij, że 6 6 jest liczbą nturlną. I meto : wykorzystnie wzorów skróconego mnożeni 6 6 = = 6 N = w moule liczby otnie więc = 6 co nleżło uowonić. II meto : uzsnienie,że nlizown liczb nie jest ujemn, nstępnie poniesienie jej o kwrtu i pierwistkownie jej. Otrzymnie liczby nturlnej stnowi owó zni. - sum wóc pierwistków czyli liczb nieujemnyc jest też liczbą nieujemną ztem 6 6 = x gzie x x x 7 poniewż 7 +4 = x 6 = x ztem x = 6 lub x = - 6 le x 0 N 6 co nleżło uowonić. (ponosimy o kwrtu obie strony) 49 otrzymujemy ztem x = 6 Przykł. Uowonij, że jeżeli ługości trzec wysokości trójkąt spełniją wrunek : to trójkąt jest prostokątny. Złożenie: b Tez : + b = c ( tw. Pitgors) c Dowó: z złożeni wnioskujemy, że njkrótszą wysokością jest, ztem musi to być wysokość opuszczon n njłuższy bok czyli c. Poniewż pole P = 0,5 =0,5b =0,5c i ltego też = b = c stą wynikją nstępujące zleżności : c b b c (*) terz przeksztłcm złożenie tk by otrzymć tezę. / pomnożę obie strony przez / postwim zleżności (*) b c / mnożymy obie strony przez + b = c uowoniono, że boki tego trójkąt spełniją tw. Pitgors ztem jest to trójkąt prostokątny.

4 8. Funkcje Przykł. Określ ziezinę funkcji : ) f(x) = 5x6 x4 - minownik ułmk nie może być równy zero x liczb po pierwistkiem nie może być ujemn x 4 0 ob wrunki możemy zstąpić jenym x - 4> 0 co po rozwiązniu je x >. Możn to zpisć D f = ( ; + ) Przykł. Dl jkic rgumentów wrtości funkcji y = x 4 są otnie. - y > 0 gy x 4 > 0 oprowzmy nierówność o postci iloczynowej ( x )(x+)>0 iloczyn wóc liczb jest otni, gy ob czynniki są otnie lub ob ujemne ltego osttni wrunek zstępujemy nstępującymi: (x >0 i x+ >0) lub (x < 0 i x + < 0) (x > i x > -) lub (x < i x <-) otrzymujemy x > lub x < -. zwróćmy uwgę n użyte spójniki op.: wrtości funkcji y = x 4 są otnie l x ; ; - tkie smo rozwiąznie możn uzyskć gy wyznczymy miejsc zerowe funkcji y = x 4 i oczytmy włsność z wykresu. niebieski frgment wykresu to część spełnijąc wrunki zni tzn. : y > 0. Oczytując ocięte tyc punktów otrzymujemy rozwiąznie zni: - x ; x ; y -4 4

5 Przykł. Zzncz n ukłzie współrzęnyc zbiór punktów spełnijącyc nstępujące wrunki : x > - i y x 4 i y - jeżeli mmy o czynieni z nierównościmi ostrymi obszry ogrniczją linie przerywne, jeżeli zś nierówności są nieostre używmy linii ciągłej. 0 kreślimy prostą o równniu x =- (lini przerywn) i zznczmy obszr n prwo, bo rzęne (y) punktów są owolne, ocięte mją być większe o. 0 kreślimy liną ciągłą wykres funkcji y = x+4 i zznczmy obszr poniżej prostej ( lczego?). 0 Kreślimy linią ciągłą prostą o równniu y = - i zznczmy obszr powyżej prostej. x =- y y=x+4 Poszukiwny obszr 4 jest zcieniowny. Punkty leżące n linic przerywnyc nie nleżą o rozwiązni n linic ciągłyc nleżą. - x y=- Przykł.4 Nrysuj wykres funkcji : l x f(x) = -x + l x 0,5x l x> - kreślimy wykres funkcji y = i zznczmy tylko tę część gzie x - kreślimy wykres funkcji y=-x+ i zznczmy tylko tę część gzie x - kreślimy wykres funkcji y=0,5x- i zznczmy tylko tę część gzie x > y = - x + y y= 4 x - y =0,5 x - Op. Część pogrubion n rysunku to poszukiwny wykres funkcji f(x). 5

6 Konstrukcje Do konstruowni ocinków często wykorzystujemy,,metoę ślimk, którego buow oprt jest n twierzeniu Pitgors i buowniu trójkątów prostokątnyc o przyprostokątnej orz przeciwprostokątnej,, 4, 5, it. 4 Przykł. Mjąc ny ocinek o ługości x skonstruuj ocinek x. Anlizując rysunek wizimy, że wystrczy skonstruowć jeen z wóc trójkątów, w któryc występuje. Oczywiście prościej jest wykorzystć ten,w którym x jest przyprostokątną. Buujemy więc trójkąt prostokątny o nej jenej przyprostokątnej x (n rys. jest to ), orz przeciwprostokątnej x (n rys. 4 ), poszukiwny ocinek x jest rugą przyprostokątną. Korzystnie w zniu z trójkąt o przyprostokątnyc, jest truniejsze bo x x i przeciwprostokątnej wymg wcześniej skonstruowni ocink czyli skorzystni z pierwszego trójkąt w,,ślimku x Przykł. Skonstruuj ocinek o ługości 5 cm. W zniu wykorzystujemy trójkąt o przyprostokątnyc 4 = i orz przeciwprostokątnej 5. Przyjmując ocinek jko cm, konstruujemy trójkąt o nyc 5 wóc przyprostokątnyc cm i cm, przeciw prostokątn jest poszukiwnym ocinkiem o ługości 5 cm. 6

7 Przykł. Mjąc ne w ocinki i b skonstruuj ocinek o ługości x 4 9b przeksztłcjąc zleżność otrzymujemy x =4 9b i lej x + 9b = 4 zleżność zczyn przypominć twierzenie Pitgors i osttecznie x +(b) = () wić stą, że ocinek x jest przyprostokątną trójkąt prostokątnego o przeciwprostokątnej i rugiej przyprostokątnej b. Nleży więc x zbuowć konstrukcyjnie trójkąt o nej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej. b Prztkł.5 Skonstruuj 0 kąt foremny ( 5- kąt). Opis konstrukcji : konstrukcję możn wykorzystć o konstrukcji kąt wykreślmy okrąg o promieniu r i śroku O. - w okręgu kreślimy wie prostopłe śrenice AB i CD. - wyznczmy śroek OC i oznczmy go E. - kreślimy ocinek EB. - w OEB n przeciwprostokątnej EB okłmy ocinek EF równy 0,5r. - ocinek FB jest bokiem 0-kąt foremnego okłmy go więc n okręgu. Łącząc co rugi wierzcołek 0-kąt otrzymujemy 5-kąt foremny. 7

8 0. Plnimetri Ciekwsze twierzeni i efinicje. O trójkątc: - Niec, b,c bęą ługościmi boków trójkąt i c to njłuższy bok. Wtey : 0 jeśli c < + b, to trójkąt jest ostrokątny, 0 jeśli c = + b, to trójkąt jest prostokątny, 0 jeśli c > + b, to trójkąt jest rozwrtokątny. - Śrokowe trójkąt przecinją się w jenym punkcie(śroku ciężkości trójkąt). Punkt ten zieli kżą śrokową w stosunku : ( licząc o wierzcołk). - Dwusieczn kąt w trójkącie zieli przeciwległy bok tk,że zcozi c równość : b c b - W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej c c prwziwe są nstępujące wzory : 0 c = + b 0 b b = xy= c x y - wzory n pole powierzcni trójkąt bc P ; P 4 ; R P p r ; P p( p )( p b)( p c) gzie :, b, c- ługości boków trójkąt R- promień okręgu opisnego n - wysokość opuszczon n bok r promień okręgu wpisnego w -kąt zwrty mięzy bokmi i b p = ( + b + c) : - z trzec nyc ocinków, b, c możn zbuowć trójkąt jeśli np. : b < c < + b ( jeśli > b możn pominąć wrtość bezwzglęną) O okręgc : - Jeśli n okręgu opisny jest czworokąt, o ługościc kolejnyc boków :, b, c, to : + c = b +. - Jeśli n czworokącie opisny jest okrąg to sum przeciwległyc kątów tego czworokąt jest tk sm I wynosi styczn o okręgu jest prostopł o promieni poprowzonego o punktu styczności. 8

9 - Jeśli kąt śrokowy i wpisny oprte są n tym smym łuku to kąt śrokowy jest w rzy większy o wpisnego. - Kąty wpisne oprte n tym smym łuku są równe. - Kąt wpisny oprty n półokręgu jest kątem prostym. - Wzjemne położenie okręgów o promienic r i r tkic, że r > r : oległość śroków okręgi rozłączne zewnętrznie okręgi styczne zewnętrznie > r + r = r + r okręgi przecinjące się okręgi styczne wewnętrznie r - r < < r + r = r - r okręgi rozłączne wewnętrznie okręgi współśrokowe 0 < < r - r = 0 ( jeżeli nie wiomo, który promień jest większy, nleży tm gzie we wzorc jest różnic nłożyć wrtość bezwzglęną) - Wielokąty - wzór n ilość przekątnyc w owolnym n kącie: nn = - wzór n sumę S kątów w n kącie : n 80 S = 0 - wzór n kąt wewnętrzny n n kąt foremnego : n 0 n 80 n 9

10 . Stereometri Przykł. Wyzncz ługość przekątnej D C sześcinu o krwęzi równej. A B - przekątn kwrtu D C A B - krwęź sześcinu - przekątn sześcinu stosując tw, Pitgors l ACC : = i osttecznie Przykł. Wyzncz pole i objętość czworościnu foremnego o krwęzi. - pole cłkowite czworościnu tworzą 4 trójkąty równoboczne ztem : P C 4 czyli po uproszczeniu P C 4 H 9 i lej twierzenie : gzie P 4 AC CC' AC' - by wyznczyć objętość nleży obliczyć wcześniej wysokość H czworościnu korzystjąc z tw. Pitgors l trójkąt AOS. AO H P ztem - bo wysokości równob. H więc objętość V P H V 4 A o P V i osttecznie Przykł. Wyprowź wzór n powierzcnię P b boczną stożk o promieniu postwy r i tworzącej L. - zstosujmy wzory n ługość łuku koł o promieniu L: r 0 L 60 i pole wycink koł o promieniu L : P b Porównując wzory otrzymmy : L P b 60 0 Stą wyznczmy : rl r L L P b L r Powierzcni boczn stożk S C L B 0

11 Życzę powozeni 4.0.0r. o gozinie 00 M.Pośnik