Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny"

Transkrypt

1 1 Grfy hmiltonowski, problm komiwojżr lgorytm optymlny Wykł oprcowny n postwi książki: M.M. Sysło, N.Do, J.S. Kowlik, Algorytmy optymlizcji yskrtnj z progrmmi w języku Pscl, Wywnictwo Nukow PWN, 1999

2 2 Grfy hmiltonowski Df. Cykl (rog) Hmilton jst to cykl (rog), w którym kży wirzchołk grfu występuj okłni rz. Grf jst hmiltonowski (półhmiltonowski), o il posi cykl (rogę) Hmilton. Przykł Grf hmiltonowski Grf półhmiltonowski Grf ni jst ni hmiltonowski ni półhmiltonowski

3 3 Grfy hmiltonowski Tw. (Or, 1960) Jśli G jst grfm prostym o n 3 wirzchołkch i g(u) + g(v) n l kżj pry nisąsinich wirzchołków u i v, to grf G jst hmiltonowski. Dowó: Złóżmy, ż istnij grf G o ponych złożnich l ni jst hmiltonowski. Możmy złożyć, ż G posi rogę Hmilton v 1 v 2... v n orz {v 1,v n } E(G). Stą wynik, ż g(v 1 ) + g(v n ) n to ozncz, ż istnij inks i tki, ż {v 1,v i } E(G) orz {v i-1, v n } E(G), co pokzno n rysunku. To prowzi o sprzczności, gyż v 1 v 2... v i-1 v n v n-1... v i v 1 jst cyklm Hmilton. v 1 v 2 v 3 v i-1 v i v n-2 v n-1 v n

4 4 Grfy hmiltonowski Wniosk (Dirc, 1952) Jśli G jst grfm prostym o n 3 wirzchołkch i g(v) n/2 l kżgo wirzchołk v, to G jst hmiltonowski. Dowó: Wynik z poprznigo twirzni, gyż g(u) + g(v) n l kżj pry (równiż nisąsinich) wirzchołków. Uwg Problm polgjący n stwirzniu czy ny grf G jst hmiltonowski jst NP-zupłny. Ozncz to, ż ni są znn fktywn (ziłjąc w czsi wilominowym) lgorytmy rozwiązując tn problm. Ni jst równiż znn twirzni pojąc wrunki koniczn i osttczn n to, by G był hmiltonowski.

5 5 Problm komiwojżr Dny jst zbiór mist. Komiwojżr chc owizić wszystki mist (kż okłni rz) i powrócić o punktu wyjści. Problm polg n znlziniu njkrótszj trsy o tj włsności. Zfiniujmy powyższy problm w języku torii grfów. Nich bęzi ny grf płny G. Zkłmy, ż z kżą krwęzią i jst skojrzon jj wg (ługość) oznczn lj przz w i. Rozwiąznim problmu komiwojżr jst tki cykl Hmilton, którgo sum wg krwęzi jst minimln. Σ = 26 Przykł

6 6 Problm komiwojżr Uwgi problm komiwojżr jst NP-truny, co ozncz, ż ni są znn lgorytmy o wilominowj złożoności obliczniowj rozwiązując tn problm (przypuszczlni tki ni istniją) w prktyc jstśmy zmuszni posługiwć się wilominowymi lgorytmmi przybliżonymi, tzn. tkimi, któr szybko znjują rozwiązni, któr jst w przybliżniu równ optymlnmu Przykł Jnym z możliwych lgorytmów okłnych jst sprwzni wszystkich możliwych cykli Hmilton i wybrni njkrótszgo. Wą tkigo pojści jst to, ż liczb cykli jst zbyt uż, gyż l n-wirzchołkowgo grfu wynosi (n!)/2. Stą, jśli ysponujmy komputrm sprwzjącym milion prmutcji n skunę, to: n = 10 ilość cykli = (10!)/2 = czs obliczń = 1.8 s n = 20 ilość cykli = (20!)/ czs obliczń 40 tys. lt

7 7 Problm komiwojżr lgorytm optymlny ni jst znny żn wilominowy optymlny lgorytm l tgo problmu i jst mło prwopoobn, ż tki lgorytm w ogól istnij omówiony lj lgorytm polg n przszukiwniu cłj przstrzni rozwiązń poczs obliczń n biżąco uktulnin jst oln oszcowni n ługość optymlnj trsy, zięki czmu wimy, których rozwiązń częściowych n pwno ni się rozszrzyć n rozwiązni optymln i część obliczń możn pominąć rozwżmy przypk nico ogólnijszy, w którym ny jst n wjściu obciążony grf skirowny

8 8 Drzwo przszukiwń Df. Drzwo przszukiwń finiujmy jko zkorznion rzwo, którgo kży wirzchołk opowi pwnmu pozbiorowi rozwiązń. Pozbiory rozwiązń opowijąc synom węzł wynikją z sposobu poziłu zbioru rozwiązń ojc. Uwg: Dl problmu komiwojżr przyjmujmy nstępującą postć rzw przszukiwń: kży wirzchołk opowi rozwiązniom problmu, któr zwirją pwn łuki i jnoczśni innych wybrnych łuków ni zwirją (np. pwnmu wirzchołkowi opowiją optymln trsy zwirjąc łuki (,b),(,h) orz ni zwirjąc łuków (,),(,) i (b,) ) Kży węzł m wóch synów. Po wybrniu nowgo łuku, jn z synów opowi rozwiązniom o ogrnicznich nłożonych w ojcu orz zwirjących, ntomist rugi ni zwirjących.

9 9 Oszcowni oln Uwg: Poczs rlizcji lgorytmu (tzn. poczs trwrsowni rzw przszukiwń) pmiętmy wrtość njlpszgo znlziongo otychczs rozwiązni. Oznczmy ją przz min_sol. Uwg: Z kżym wirzchołkim v rzw przszukiwń jst związn zminn LB. Jst to liczb, któr stnowi oszcowni oln n wrtość kżgo rozwiązni nlżącgo o tgo wirzchołk. Wówczs: jśli LB > min_sol, to wimy, ż ni wrto przszukiwć porzw zkorzniongo w wirzchołku v, jśli LB = min_sol, to porzwo być moż zwir rozwiązni orównując otychczsowmu njlpszmu. Jśli zni polg n wyznczniu owolngo rozwiązni optymlngo, to ni przszukujmy porzw zkorzniongo w wirzchołku v jśli LB < min_sol, to nlży przszukiwć porzwo zkorznion w v (być moż ni cł).

10 10 Rukcj mcirzy Lmt Jśli M jst mcirzą sąsiztw grfu G, to: o owolngo cyklu Hmilton nlży okłni jn lmnt z kżgo wirsz M i okłni jn z kżj kolumny jśli o wszystkich lmntów w wybrnym wirszu (kolumni) ojmimy stłą, to ługość kżgo cyklu Hmilton jst o mnijsz o ługości tgo smgo cyklu, lcz prz ojęcim stłj jśli o wirszy i kolumn wilokrotni ojmimy stł tk,by kży wirsz i kolumn zwirły co njmnij jno zro, to sum ojętych liczb stnowi oln oszcowni optymlngo rozwiązni. Df. Procs ojmowni stłych o wirszy (kolumn) mcirzy sąsiztw nzywmy rukcją. Wniosk Jśli łuk (i,j) nlży o optymlnj trsy komiwojżr znlzionj n postwi zrukownj mcirzy sąsiztw, to (i,j) nlży rowniż o optymlnj trsy w wyjściowym grfi.

11 11 Algorytm rukcji procur Ruc( M ) bgin r := 0; for i := 1 to n o bgin min_row := njmnijszy lmnt w i-tym wirszu; if ( min_row > 0 ) thn bgin ojmij min_row o kżgo lmntu w wirszu i; r := r + min_row; n n; for i := 1 to n o bgin min_col := njmnijszy lmnt w i-tj kolumni; if ( min_col > 0 ) thn bgin ojmij min_col o kżgo lmntu w wirszu i; r := r + min_col; n n; rturn r; n Zminn: M mcirz sąsiztw rozmiru n r sum ojętych wrtości o wirszy i kolumn (jk wynik z poprznigo lmtu, jst to oln oszcowni n ługość cyklu w M)

12 12 Przykł rukcji M= b c b c b c b c r = = 80 Stą, o wrtości LB potomków węzł omy 80 b c b c

13 13 Krytrium wyboru łuku procurfineg( M, r, c ) bgin mx := 1; for i := 1 to n o for j := 1 to n o if Mi,j = 0 thn bgin min_r := wrtość njmnijszgo lmntu w wirszu i z pominięcim Mi,j; min_c := wrtość njmnijszgo lmntu w kolumni j z pominięcim Mi,j; if min_r + min_c > mx thn bgin mx := min_r + min_c; (r,c) := (i,j); n n; rturn mx; n Zminn: M mcirz sąsiztw n rozmir M (r,c) łuk o poziłu zbioru rozwiązń Uwg: Aby utworzyć potomków w rzwi przszukiwń, wybirmy tki łuk, który powouj njwiększy wzrost olngo oszcowni w prwym porzwi. Wrtość, o którą wzrośni LB wyznczmy w zminnj mx.

14 14 Wybór łuku - przykł min_r+min_c=5+3=8 2+0=2 Zrukow. M= 0+0=0 b c b c =12 0+1=1 3+5=8 o poziłu zbioru rozwiązń wybirmy łuk (c,) lwy potomk opowi wszystkim rozwiązniom (cyklom) zwirjącym łuk (c,) prwy potomk zwir wszystki rozwiązni bz (c,)

15 15 Tworzni lwgo syn złóżmy, ż wybrno łuk (c,) w clu utworzni potomków wirzchołk v, lwy syn zwir wówczs zbiór rozwiązń o tych smych ogrnicznich, co w przypku v orz otkowo zwirjących łuk (c,), ozncz to, ż możmy zmnijszyć rozmir mcirzy sąsiztw o 1 poprzz usunięci c-tgo wirsz i -tj kolumny, koljn uproszczni mcirzy polg n zblokowniu łuku (,c) tzn. lmnt mcirzy n przcięciu -tgo wirsz i c-tj kolumny przyjmuj wrtość niskończoność, blokujmy równiż łuk, który tworzy cykl wrz z łukmi onymi poprznio o rozwiązni, wrtość LB wyliczmy ojąc o wrtości LB ojc liczbę r wyliczoną w procurz Ruc

16 16 Dl węzł wyjściowgo v (tutj korzń rzw) LB(v)=0 Zrukow. M= b c Lwy syn - przykł b c (usunięci wirsz c i kolumny ) b b c (zblokowni łuku (,c)) Wrtość oszcowni olngo LB(v l ) l lwgo potomk wynosi ztm LB(v)+r = 0+80 b b c (blokowni łuków tworzących cykl z otychczs wybrnymi ) b b c

17 17 Tworzni prwgo syn złóżmy, ż wybrno łuk (c,) w clu utworzni potomków wirzchołk v, prwy syn zwir wówczs zbiór rozwiązń o tych smych ogrnicznich, co w przypku v orz otkowo ni zwirjących łuku (c,), blokujmy więc łuk (c,) poprzz wpisni wrtości niskończoność n przcięciu c-tgo wirsz i -tj kolumny w mcirzy sąsiztw ni nstępuj zmnijszni rzęu mcirzy sąsiztw w tym przypku wrtość LB wyliczmy ojąc o wrtości LB ojc liczbę r wyliczoną w procurz Ruc orz wrtość wrtość mx wyliczoną w procurz FinEg

18 18 Prwy syn - przykł Dl węzł wyjściowgo r (tutj korzń rzw) LB(r)=0 Zrukow. M= b c b c (zblokowni łuku (c,)) Wrtość oszcowni olngo LB(r p ) l prwgo potomk wynosi ztm LB(r) + r + mx = = 92 b c b c

19 19 Wrunki końc rkurncji Przypk 1: wrtość LB w wirzchołku v jst większ lub równ o njlpszgo znlziongo otychczs rozwiązni. Wówczs rzwo zkorznion w v ni jst przszukiwn. Przypk 2: M jst stopni 2. M on wówczs jną z wóch postci: M= + 0 lub 0 + M= Ztm bz wzglęu n postć mcirzy ni m wyboru co o tgo jki łuki nlży włączyć o końcowgo rozwiązni. Jśli kolumny opowiją wirzchołkom w,x ntomist wirsz u,v to: jśli Mu,w = 0, to o cyklu komiwojżr nlżą łuki (u,w), (v,x) jśli Mu,x = 0, to o cyklu komiwojżr nlżą łuki (v,w), (u,x)

20 20 Algorytm procur TrvrsTr( M, C, LB ) bgin r := Ruc( M ); if LB + r < min_sol thn if C = n 2 thn bgin ołącz w łuki o C i uktulnij min_sol orz zpmiętj now rozwiązni jśli jst lpsz o otychczsowych; n ls bgin mx := FinEg( M, c, ); TrvrsTr( M *, C {(c,)}, LB + r ); if LB + r + mx < min_sol thn bgin Mc, := + ; TrvrsTr(M,C, LB + r ); Mr,c := 0; n n; otwórz mcirz M o postci sprz rukcji; n Zminn: M mcirz sąsiztw C krwęzi nlżąc o cyklu LB wrtość olngo oszcowni l ngo węzł M * powstj z M poprzz usunięci c-tgo wirsz, -tj kolumny i zblokowni łuku (,c) i łuków tworząych cykl z C {(c,)} min_sol inicjlni równ +

21 Przykł M= b c b c LB=0 r = 35 mx=34 21 LB=35 r = 35 mx=5 LB=35 r = 0 mx=41 b c b c b (b,) (,c) > min_sol LB=69 r = 34 mx=23 b c > min_sol b c > min_sol LB=70 r = 0 b 0 0 min_sol =70 (c,) LB+r+mx = =75> min_sol=70 M mcirz wyjściow (prz rukcją), ntomist w wszystkich potomkch pokzno mcirz po rukcji

22 22 Złożoność Czs ziłni procury Ruc wynosi O(n 2 ) Czs ziłni procury FinEg wynosi O(n 3 ) Zpmiętni i otworzni mcirzy to oprcj rzęu O(n 2 ) Zpmiętywni nowgo njlpszgo rozwiązni w czsi O(n) Ozncz to, ż rlizcj lgorytmu TrvrsTr w obrębi jngo węzł wymg czsu O(n 3 ) Złożoność cłgo lgorytmu możn oszcowć ztm przz O(f(n)n 3 ), gzi f(n) jst liczbą węzłów rzw poszukiwń owiznych przz procurę TrvrsTr. Liczb wykonnych obliczń zlży o konkrtnych nych wjściowych i w psymistycznym przypku jst wykłnicz.

Ć W I C Z E N I E N R E-14

Ć W I C Z E N I E N R E-14 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-14 WYZNACZANIE SZYBKOŚCI WYJŚCIOWEJ ELEKTRONÓW

Bardziej szczegółowo

Instrukcje dotyczące systemu Windows w przypadku drukarki podłączonej lokalnie

Instrukcje dotyczące systemu Windows w przypadku drukarki podłączonej lokalnie Stron 1 z 7 Połązni Instrukj otyzą systmu Winows w przypku rukrki połązonj loklni Uwg: Przy instlowniu rukrki połązonj loklni, jśli ysk CD-ROM Oprogrmowni i okumntj ni osługuj ngo systmu opryjngo, nlży

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY PROSTOKĄTNE Informacje techniczne 1 Kanały 2 Kolana 3 Trójniki 5 Odsadzki Czwórniki 7 Przejścia 8 ELEMENTY DACHOWE Podstawy dachowe 9

ELEMENTY PROSTOKĄTNE Informacje techniczne 1 Kanały 2 Kolana 3 Trójniki 5 Odsadzki Czwórniki 7 Przejścia 8 ELEMENTY DACHOWE Podstawy dachowe 9 ELEMENTY PROSTOKĄTNE nomcj tcniczn 1 Knły 2 Koln 3 Tójniki 5 Oszki Czwóniki 7 Pzjści 8 ELEMENTY DACHOWE Postwy cow 9 Wyzutni 11 Czpni powitz 13 Wywitzki 15 Koln czpn 15 NOX STANLESS STEEL 58-512 St Kminic

Bardziej szczegółowo

ZADANIE I OPIS PRZEDMIOTU ZAMÓWENIA SPECYFIKACJA TECHNICZNA (OPIS) OFEROWANEGO SPRZĘTU

ZADANIE I OPIS PRZEDMIOTU ZAMÓWENIA SPECYFIKACJA TECHNICZNA (OPIS) OFEROWANEGO SPRZĘTU ZADANIE I OPIS PRZEDMIOTU ZAMÓWENIA SPECYFIKACJA TECHNICZNA (OPIS) OFEROWANEGO SPRZĘTU Nzw i rs Wykonwy:. I. Systm o ony i trningu koorynji nrwowo-mięśniowj i momntów sił mięśniowyh rozwijnyh w stwh końzyn

Bardziej szczegółowo

5. Zadania tekstowe.

5. Zadania tekstowe. 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PRACY SYSTEMU ENERGETYCZNO-NAPĘDOWEGO STATKU TYPU OFFSHORE Z WYKORZYSTANIEM METODY DRZEW USZKODZEŃ

ANALIZA PRACY SYSTEMU ENERGETYCZNO-NAPĘDOWEGO STATKU TYPU OFFSHORE Z WYKORZYSTANIEM METODY DRZEW USZKODZEŃ MGR INŻ. LSZK CHYBOWSKI Politchnik Szczcińsk Wydził Mchniczny Studium Doktorncki ANALIZA PRACY SYSTMU NRGTYCZNO-NAPĘDOWGO STATKU TYPU OFFSHOR Z WYKORZYSTANIM MTODY DRZW USZKODZŃ STRSZCZNI W mtril przdstwiono

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 2 LISTA SPRAWDZAJĄCA DO WERYFIKACJI ADMINISTRACYJNEJ WNIOSKU O PŁATNOŚĆ

Załącznik nr 2 LISTA SPRAWDZAJĄCA DO WERYFIKACJI ADMINISTRACYJNEJ WNIOSKU O PŁATNOŚĆ Minimlny zkrs pytń. List moż yć rozszrzn przz KK w zlżnośi o wymgń ngo progrmu EWT LISTA SPRAWDZAJĄCA DO WERYFIKACJI ADMINISTRACYJNEJ WNIOSKU O PŁATNOŚĆ lp. Nr projktu Tytuł projktu Nzw nfijnt Okrs rlizji

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

1.1. Układy do zamiany kodów (dekodery, kodery, enkodery) i

1.1. Układy do zamiany kodów (dekodery, kodery, enkodery) i Ukły yrow (loizn) 1.1. Ukły o zminy koów (kory, kory, nkory) i Są to ukły kominyjn, zminiją sposó koowni lu przstwini ny yrowy. 1.1.1. kory kory to ukły kominyjn, zminiją n yrow, zpisn w owolnym kozi innym

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb. Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

Wynik bezpośredniego spotkania między zainteresowanymi drużynami w przypadku 3 lub więcej drużyn tworzona jest małą tabele

Wynik bezpośredniego spotkania między zainteresowanymi drużynami w przypadku 3 lub więcej drużyn tworzona jest małą tabele REGULAMIN I PRZEPISY GRY W PIŁKĘ NOŻNA OBOWIĄZUJĄCE PODCZAS V EDYCJI LIGI LET S MOVE WIOSNA 2013 Rozgrywk Lt s mov mją hrktr mtorsk tzn., h uzstnkm n mogą yć zwony zynn grjąy lu zgłoszn o rozgrywk płkrskh

Bardziej szczegółowo

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych. Przkłd 6 Przkrój złożon z trzh ksztłtowników wlownh Polni: Wznzć główn ntrln momnt bzwłdnośi orz kirunki główn dl poniższgo przkroju złożongo z trzh ksztłtowników wlownh 0800 0 80800 Dn dotzą ksztłtowników

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Fragment darmowy udostępniony przez Wydawnictwo w celach promocyjnych. EGZEMPLARZ NIE DO SPRZEDAŻY!

Fragment darmowy udostępniony przez Wydawnictwo w celach promocyjnych. EGZEMPLARZ NIE DO SPRZEDAŻY! Frgmnt rmowy uostępniony przz Wywnictwo w clch promocyjnych. EGZEMPLARZ NIE DO SPRZEDAŻY! Wszlki prw nlżą o: Wywnictwo Zilon Sow Sp. z o.o. Wrszw 2015 www.zilonsow.pl Prw łoń, lw łoń. Przyłóż obywi łoni

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium Dziłni n ułmkh, krotki i rekory Cz. I. Dziłni n ułmkh Prolem. Oprowć zestw funkji o ziłń rytmetyznyh n ułmkh zwykłyh posti q, gzie, są lizmi łkowitymi i 0. Rozwiąznie

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE PARLAMENTU EUROPEJSKIEGO I RADY (WE) NR 1223/2009 z dnia 30 listopada 2009 r. dotyczące produktów kosmetycznych

ROZPORZĄDZENIE PARLAMENTU EUROPEJSKIEGO I RADY (WE) NR 1223/2009 z dnia 30 listopada 2009 r. dotyczące produktów kosmetycznych 22.12.2009 Dzinnik Urzęowy Unii Europjskij L 342/59 ROZPORZĄDZENIE PARLAMENTU EUROPEJSKIEGO I RADY (WE) NR 1223/2009 z ni 30 listop 2009 r. otyzą prouktów kosmtyznyh (wrsj przksztłon) (Tkst mjąy znzni

Bardziej szczegółowo

Analiza danych jakościowych

Analiza danych jakościowych Analiza danych jakościowych Ccha ciągła a ccha dyskrtna! Ciągła kg Dyskrtna Cchy jakościow są to cchy, których jdnoznaczn i oczywist scharaktryzowani za pomocą liczb jst nimożliw lub bardzo utrudnion.

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Ankieta absolwenta ANKIETA ABSOLWENTA. Losy zawodowe absolwentów PWSZ w Raciborzu

Ankieta absolwenta ANKIETA ABSOLWENTA. Losy zawodowe absolwentów PWSZ w Raciborzu 24 mj 2012 r. Ankit solwnt Wyni I Sttus oowiązująy Symol Stron 1/5 ANKIETA ABSOLWENTA Losy zwoow solwntów PWSZ w Riorzu Dro Asolwntko, Droi Asolwni! HASŁO DO ANKIETY: Prosimy o okłn przzytni pytń i zznzni

Bardziej szczegółowo

2. Regulamin uchwala Rada Nadzorcza na podstawie 69 Statutu Spółdzielni Mieszkaniowej Arka we Wrocławiu.

2. Regulamin uchwala Rada Nadzorcza na podstawie 69 Statutu Spółdzielni Mieszkaniowej Arka we Wrocławiu. Rgulmin rmontów orz wykorzystywni śroków z funuszu rmontowgo Spółzilni Miszkniowj Ark w Wrołwiu złąznik o uhwły 67/03 I Postnowini ogóln 1. Rgulmin okrśl oowiązki Spółzilni i jj Członków w zkrsi nprw wwnątrz

Bardziej szczegółowo

Metoda prądów obwodowych

Metoda prądów obwodowych Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń

Bardziej szczegółowo

UŻYWANIE SUBSTANCJI PSYCHOAKTYWNYCH PRZEZ MŁODZIEŻ 2005

UŻYWANIE SUBSTANCJI PSYCHOAKTYWNYCH PRZEZ MŁODZIEŻ 2005 Jnusz Sierosłwski, Piotr Jbłoński Instytut Psychitrii i Neurologii Krjowe Biuro s. Przeciwziłni Nrkomnii UŻYWANIE SUBSTANCJI PSYCHOAKTYWNYCH PRZEZ MŁODZIEŻ 25 BADANIA ANKIETOWE W SZKOŁACH NA TEMAT UŻYWANIA

Bardziej szczegółowo

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI LABORATORIUM ELEKTROENERGETYKI. Rys. 7.7.1. Pomiar impedancji pętli zwarcia dla obwodu L2

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI LABORATORIUM ELEKTROENERGETYKI. Rys. 7.7.1. Pomiar impedancji pętli zwarcia dla obwodu L2 6.7. ntrukcj zczegółow Grup:... 4.. 6.7. Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jet zpoznnie ię z metodmi pomirowymi i przepimi dotyczącymi ochrony przeciwporżeniowej w zczególności ochrony przed dotykiem pośrednim.

Bardziej szczegółowo

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.

( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu. Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w ekonomii

Zastosowanie matematyki w ekonomii Jrosł Kokoszk Zstosoni mtmtki konomii Copright b Colorul Mdi Kopioni, ksroni, umiszczni ormi lktronicznj Intrnci bz konsultcji z łścicilm pr zbronion! Spis trści kliknij n intrsując Cię tmt. Podsto idomości.....

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego 1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty

Bardziej szczegółowo

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO

ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO Łukasz MACH Strszczni: W artykul przdstawiono procs budowy modlu rgrsji logistycznj, którgo clm jst wspomagani

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE HAMILTONA w grfh kierownh Dl grfu kierownego D = ( V, A ) rogą wierhołk 0 V o V nwm iąg (npremienn) wierhołków i łuków grfu: ( 0,,,,...,,, ), pełniją wrunek i = ( i, i ) l i =,..., rogę nwm

Bardziej szczegółowo

%%'!)%'targzip gunzipcompressuncompressdiffpatch* %!+%,-./! Nazwy programów, polece, katalogów, wyniki działania wydawanych polece.

%%'!)%'targzip gunzipcompressuncompressdiffpatch* %!+%,-./! Nazwy programów, polece, katalogów, wyniki działania wydawanych polece. !" #!"#"$" % $%&%'( %%'!)%'trgzip gunzipomprssunomprssdiffpth* &$ #$"" " %!+%,-./! #"'% 0%%! +%%1'%! 23 23 () *"!#!! Czionk o stłj szrokoi Nzwy progrmów, pol, ktlogów, wyniki dziłni wydwnyh pol. Czionk

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Podsumowanie wyników ankiet dotyczących żywienia w sklepikach szkolnych.

Podsumowanie wyników ankiet dotyczących żywienia w sklepikach szkolnych. Posumowni wyników nkit otyząyh żywini w sklpikh szkolnyh. 1.Czy jsz posiłki z stołówki szkolnj? )tk - )ni - )zsmi - 4 6 4 3 tk ni zsmi 1.Czy jsz posiłki z stołówki szkolnj? 2.Il śrnio spożywsz posiłków

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Większość ilustracji w niniejszym Podręczniku szybkiej obsługi przedstawia urządzenie DCP-J525W.

Większość ilustracji w niniejszym Podręczniku szybkiej obsługi przedstawia urządzenie DCP-J525W. Poręznik szykij osługi Zznij tutj DCP-J525W DCP-J725DW Prz skonigurownim urzązni zpoznj się z Przwonikim Bzpizństw Prouktu urzązni. Nstępni zpoznj się z ninijszym Poręznikim szykij osługi w lu przprowzni

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

DARIUSZ KULMA. Jak zdać maturę. z matematyki. na poziomie rozszerzonym DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO! WYDAWNICTWO ELITMAT Mińsk Mazowiecki 2013

DARIUSZ KULMA. Jak zdać maturę. z matematyki. na poziomie rozszerzonym DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO! WYDAWNICTWO ELITMAT Mińsk Mazowiecki 2013 DARIUSZ KULMA Jk zć mturę z mtemtyki n poziomie rozszerzonym DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO!? WYDAWNICTWO ELITMAT Mińsk Mzowiecki 03 Autor: Driusz Kulm Oprcownie rekcyjne: Młgorzt Zkrzewsk Projekt grficzny

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

http://www.clausius-tower-society.koszalin.pl/index.html

http://www.clausius-tower-society.koszalin.pl/index.html yłd rc zminy objętości czynni roboczego rc techniczn w ułdzie otwrtym n przyłdzie turbiny RównowŜność prcy i ciepł w obiegu zmniętym I zsd termodynmii dl zminy stnu msy ontrolnej Szczególne przypdi I zsdy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

Teoria struktury kapitału

Teoria struktury kapitału Toria strutury apitału Dr Tomasz Słońsi Toria strutury apitału, Moigliani-Millr (MM), Nobl w zizini onomii Powaliny nowoczsnj torii strutury apitału zostały położon w rou 1958 w molu, tóry opirał się o

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Fuzja danych nawigacyjnych w przestrzeni filtru Kalmana

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Fuzja danych nawigacyjnych w przestrzeni filtru Kalmana ISSN 733-867 ZESZ NAUKOWE NR (83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-ECHNICZNA E X L O - S H I 6 Andrzej Stteczny, Andrzej Lsj, Chfn Mohmmd Fzj dnych nwgcyjnych w przestrzen

Bardziej szczegółowo

Regulamin kart debetowych Visa

Regulamin kart debetowych Visa Rgulmin krt btowyh Vis Roił 1 Postnowini ogóln 1. Rgulmin krt btowyh VISA, wny lj Rgulminm, okrśl sy wywni i obsługi krt btowyh VISA wywnyh pr Bnk Spółily w Silh or sy rolini trnskji okonnyh pry użyiu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z pomocy doraźnej i ratownictwa medycznego za 2010 r.

Sprawozdanie z pomocy doraźnej i ratownictwa medycznego za 2010 r. GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, l. Niepoległośi 208, 00-925 Wrszw www.stt.gov.pl Nzw i res jenostki sprwozwzej Numer inentyfikyjny REGON ZD-4 Sprwoznie z pomoy orźnej i rtownitw z 200 r. Portl sprwozwzy GUS

Bardziej szczegółowo

Narożnik MIRAGE Mini. Wygląd mebla. Okucia i poduszki. Instrukcja montażu. Poduszka oparciowa 3szt. Poduszka ozdobna 2szt. ver.3/07.

Narożnik MIRAGE Mini. Wygląd mebla. Okucia i poduszki. Instrukcja montażu. Poduszka oparciowa 3szt. Poduszka ozdobna 2szt. ver.3/07. Instrukcj montżu Spółdzielni Melrsk RAMETA ZPCH 47-400 Rciórz, ul. Królewsk 50; Centrl:+48 (0) 3-453 9 50; Sprzedż:+48(0) 3-453 9 89; Serwis:+48(0) 3-453 9 80; www.rmet.com.pl Wygląd mel 4 5 3 Okuci i

Bardziej szczegółowo

Kolor zielony oznacza zajęcia dla dzieci w wieku 7-12 lat

Kolor zielony oznacza zajęcia dla dzieci w wieku 7-12 lat LATO W KONSERWATORIUM 7 sierpni wrześni 0 Bezpłtne zjęci muzyczne, lekcje, wykłdy wrsztty, prezentcje instrumentów. Projekt dofinnsowny ze środków Urzędu Mist Poznni Zjęci i wrsztty pod nzwą LATO W KONSERWATORIUM

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN PSKO 2016. I. Kryteria i wymagania dla zawodników Optimist PSKO. II. Mistrzostwa PSKO. III. Puchar Polski PSKO

REGULAMIN PSKO 2016. I. Kryteria i wymagania dla zawodników Optimist PSKO. II. Mistrzostwa PSKO. III. Puchar Polski PSKO I. Krytria i wymagania dla zawodników Optimist PSKO 1. W rgatach PSKO mogą startować zawodnicy do lat 15 posiadający licncję sportową PZŻ, aktualn ubzpiczni OC i będący członkami PSKO, spłniający wymagania

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Układy nieliniowe. s 2

ZADANIA Układy nieliniowe. s 2 Przykłd Okrślić punky równowgi podngo ukłdu ZDNI Ukłdy niliniow u f(,5 y Ry. Część niliniow j okrślon z poocą funkcji: f ( Zkłdy, ż wyuzni j zrow: u. Punky równowgi odpowidją yucji, gdy pochodn części

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM. Fizyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM. Fizyka Poziom rozszerzony Modele odowiedzi do rkuz róbnej mtury z OPEONEM Fizyk Poziom rozzerzony Grudzieƒ 007 zdni Prwid ow odowiedê Liczb unktów... z zinie wzoru n nt enie ol grwitcyjnego kt GM z zinie wrunku kt m v GM m c, gdzie

Bardziej szczegółowo

Stereochemia. Izomeria konformacyjna obrót wokół wiązania pojedynczego etan projekcja Newmana

Stereochemia. Izomeria konformacyjna obrót wokół wiązania pojedynczego etan projekcja Newmana Uniwrsytt Jgilloński, Collgium Mdicum, Ktdr Chmii rgnicznj Strochmi Izomri konformcyjn obrót wokół wiązni pojdynczgo tn projkcj Nwmn konformcj: nprzminlgł nprzciwlgł kąt torsyjny w ukłdzi cztrch tomów

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW 1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj

Bardziej szczegółowo

Projektowanie i bezpieczeństwo

Projektowanie i bezpieczeństwo Projektownie i ezpieczeństwo Systemtyk Z Z-70.3-74 Możliwości Z Z-70.3-74 jest rdzo zróżnicowny. Zwier informcje zrówno n temt szkł jk i mocowń punktowych. Mocowni punktowe mogą yć montowne powyżej lu

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

Materiały tylko do użytku wewnętrznego PZU SA. ankieta HOSPI

Materiały tylko do użytku wewnętrznego PZU SA. ankieta HOSPI Mtriły tylko o użytku wwnętrzngo PZU SA. nkit HOSPI Ankit l komórk lznitw stjonrngo w zkłzi opiki zrowotnj Ankit otyzy łąz wszystkih komórk orgnizyjnyh zkłu opiki zrowotnj związnyh z lznitwm stjonrnym,

Bardziej szczegółowo

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt?

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt? D y s k u s j smoleńsk jko nierozwiązywlny konflikt? Wiktor Sorl Michł Bilewicz Mikołj Winiewski Wrszw, 2014 1 Kto nprwdę stł z zmchmi n WTC lub z zbójstwem kżnej Diny? Dlczego epidemi AIDS rozpowszechnił

Bardziej szczegółowo

Temat I. Warunku współpracy betonu i zbrojenia w konstrukcjach żelbetowych. Wymagania. Beton. Zbrojenie

Temat I. Warunku współpracy betonu i zbrojenia w konstrukcjach żelbetowych. Wymagania. Beton. Zbrojenie Dr inż. Zigniew PLEWAKO Ćwiczeni z konstrukcji żeletowych. Temt I Temt I. Wrunku współprcy etonu i zrojeni w konstrukcjch żeletowych. Wymgni. Beton Zdnie: Przeniesienie sił ściskjących, sclenie i zpewnienie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r. Typ/orgn wydjący Rozporządzenie/Minister Infrstruktury Tytuł w sprwie szczegółowych wrunków i trybu wydwni zezwoleń n przejzdy pojzdów nienormtywnych Skrócony opis pojzdy nienormtywne Dt wydni 16 grudni

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 2 Analiza popytu. Optymalna polityka cenowa. 1 ANALIZA POPYTU. OPTYMALNA POLITYKA CENOWA.

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 2 Analiza popytu. Optymalna polityka cenowa. 1 ANALIZA POPYTU. OPTYMALNA POLITYKA CENOWA. Wykłd Anlz popytu. Optymln poltyk cenow. 1 ANALIZA OYTU. OTYMALNA OLITYKA CENOWA. rzedmotem wykłdu jest prolem zrządzn zyskem poprzez oprcowne wdrożene odpowednej strteg różncown cen, wykorzystując do

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny! TEZA CHURCHA-TURINGA Mzyn Turing: m końzenie wiele tnów zpiuje po jenym ymolu n liniowej tśmie Co możn zroić z pomoą mzyny Turing? Wzytko! Mzyn Turing potrfi rozwiązć kży efektywnie rozwiązywlny prolem

Bardziej szczegółowo

Cwiczenia do wykladu FIZYKA IIA 2003/2004 - Seria 4

Cwiczenia do wykladu FIZYKA IIA 2003/2004 - Seria 4 wici o wyklu FIZYK II / - Sri Zi Olicyc pojmosc kostor plskigo o powirchi oklk S, or olglosci miy oklkmi. Zi. Olicyc pojmosc kostor kulistgo o promiiu wwtrym i wtrym Zi Olicyc pojmosc stpc uklu wirjcgo

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu

Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu 9. 5. WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW Trpez w trpezie przynmniej jen pr oków jest równoległ δ γ, postwy trpezu c h c, - rmion trpezu α β h wysokość trpezu + 80 α δ β + γ 80 x `Ocinek łączący śroki rmion

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury.

Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury. Proces decyzyny: 1. Sformułu sno problem decyzyny. 2. Wylcz wszyste możlwe decyze. 3. Zdentyfu wszyste możlwe stny ntury. 4. Oreśl wypłtę dl wszystch możlwych sytuc, ( tzn. ombnc decyz / stn ntury ). 5.

Bardziej szczegółowo