Algebra liniowa z geometrią

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algebra liniowa z geometrią"

Transkrypt

1 Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny Wektory i skalary Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych Kombinacja liniowa, baza Punkty i wektory Figury geometryczne Układy równań liniowych interpretacja geometryczna Przekształcenia liniowe i ich macierze Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt Izometrie Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe Płaszczyzna zespolona Geometria przestrzeni trójwymiarowej Wektory i punkty Baza Macierze i wyznaczniki Przestrzenne figury geometryczne Działania na macierzach Układy równań liniowych Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Izometrie Przestrzenie i przekształcenia liniowe Przestrzenie liniowe Podprzestrzenie liniowe Liniowa niezależność i baza Przekształcenia liniowe Macierze przekształceń liniowych Iloczyn skalarny Przestrzenie i układy ortogonalne

2 1 Geometria płaszczyzny 1.1 Wektory i skalary W zbiorze liczb rzeczywistych R rozważamy działanie dodawania + i działanie mnożenia o następujących własnościach: (F1) a,b R a + b R (F2) a,b R a b R (F3) a,b,c R (a + b) + c = a + (b + c) (F4) 0 R a R a + 0 = 0 + a = a (F5) a R a R a + ( a) = ( a) + a = 0 (F6) a,b R a + b = b + a (F7) a,b R\{0} a b R \ {0} (F8) a,b,c R (a b) c = a (b c) (F9) 1 R\{0} a R a 1 = 1 a = a (F10) a R\{0} a 1 R\{0} a a 1 = a 1 a = 1 (F11) a,b R a b = b a (F12) a,b,c R a (b + c) = (a b) + (a c) Definicja Określmy zbiór wektorów R 2 jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych, przy czym nazwą pierwszego (odpowiednio drugiego) elementu pary będzie nazwa wektora z dolnym indeksem 1 (odpowiednio 2), np. R 2 v = (v 1, v 2 ). Określamy dodawanie wektorów + i mnożenie wektora przez skalar wzorami: dla v, w R 2 i a R. v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) a v = (av 1, av 2 ) Stwierdzenie W zbiorze V = R 2 dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar mają następujące własności: (V1) v,w V v + w V (V2) v V a R a v V (V3) u,v,w V (u + v) + w = u + (v + w) (V4) θ V v V v + θ = θ + v = v (V5) v V v V v + ( v) = ( v) + v = θ (V6) v,w V v + w = w + v (V7) v,w V a R a (v + w) = (a v) + (a w) (V8) v V a,b R (a + b) v = (a v) + (b v) (V9) v V a,b R a (b v) = (ab) v (V10) v V 1 v = v Dowód: Własności (V1) (V10) są konsekwencją zastosowania własności (F1) (F12) do obu elementów pary. 2

3 Wystarczy zauważyć, że θ = (0, 0) i dla każdego v R 2 wektorem przeciwnym jak w (V5) jest v = ( v 1, v 2 ). Definicja Mówimy, że wektory v, w R 2 są równoległe i piszemy v w, gdy jeden z nich jest iloczynem pozostałego przez pewien skalar. Jeżeli jeden z wektorów v, w R 2 jest iloczynem drugiego przez nieujemny skalar, to mówimy, że wektory te mają ten sam zwrot i piszemy v w. Stwierdzenie Dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzą warunki: 1. v θ, v θ, 2. v v, 3. v v wtedy i tylko wtedy, gdy v = θ, 4. v w wtedy i tylko wtedy, gdy v w lub v w, 5. dla wektorów niezerowych jeżeli u v i v w, to u w. Dowód: 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych Definicja Macierzą 2 2 nazywamy układ 4 = 2 2 liczb postaci [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 przy czy pierwsza (odpowiednio druga) liczba dolnego indeksu wskazuje numer wiersza (odpowiednio kolumny), w którym umieszczony jest dana liczba. Zbiór wszystkich macierzy 2 2 oznaczamy przez M 22. Definicja Wyznacznikiem macierzy 2 2 [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 nazywamy liczbę det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Stwierdzenie Wyznacznik macierzy 2 2 ma następujące własności: 1. Zamiana wierszy macierzy zmienia znak wyznacznika na przeciwny. 2. Pomnożenie wiersza macierzy przez skalar a powoduje pomnożenie wyznacznika przez a. 3. Dodanie do pewnego wiersza macierzy innego jej wiersza pomnożonego przez skalar nie zmienia wyznacznika. 4. Własności analogiczne do 1 3 są prawdziwe dla kolumn. 3

4 Dowód: Definicja Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x 1 i x 2 nazywamy równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, gdzie a 1, a 2, b R. Definicja Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x 1 i x 2 nazywamy koniunkcję równań liniowych z tymi niewiadomymi, czyli { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 gdzie a 11, a 12, a 21, a 22, b 1, b 2 R. Macierze [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 B = [ b1 b 2 ] nazywamy odpowiednio macierzą układu i kolumną wyrazów wolnych. Twierdzenie Jeżeli macierz A układu równań liniowych { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 ma wyznacznik różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie { det A1 x1 = x 2 = det A det A2 det A gdzie A j, j = 1, 2, oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie j tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Dowód: 1.3 Kombinacja liniowa, baza Definicja Wyznacznikiem wektorów v, w R 2 nazywamy liczbę det(v, w) = v 1 v 2 w 1 w 2 = v 1w 2 v 2 w 1. Stwierdzenie Dla dowolnych wektorów v, w R 2 spełniony jest warunek det(v, w) = 0 v w (lub równoważnie det(v, w) 0 v w). Dowód: Wniosek Jeżeli wektory v, w R 2 nie są równoległe, to dla każdego wektora x R 2 istnieje dokładnie jedna para (a, b) liczb takich, że x = a v+b w. 4

5 Dowód: Definicja Dla danych wektorów v, w wektor postaci a v+b w nazywamy ich kombinacją liniową o współczynnikach a, b. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v, w oznaczamy przez lin (v, w). Analogicznie piszemy lin (v) = {a v ; a R}, a nawet lin () = {θ}. Definicja Parę uporządkowaną (v, w) = B nierównoległych wektorów z przestrzeni R 2 nazywamy bazą przestrzeni R 2. Dla każdego wektora x R 2 jedyną parę liczb (a, b) takich, że x = a v +b w nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie B i oznaczamy przez C B (x). Definicja Mówimy, że baza (v, w) przestrzeni R 2 jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) zorientowana, gdy det(v, w) > 0 (odpowiednio det(v, w) < 0). 1. Układ wektorów e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) jest bazą prze- Przykład strzeni R 2. Nazywamy ją bazą kanoniczną między innymi dlatego, że (x 1, x 2 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2, czyli współrzędne wektora w tej bazie są takie same jak jego współrzędne absolutne. 2. Baza kanoniczna jest zorientowana dodatnio. 3. Baza (e 2, e 1 ) jest zorientowana ujemnie. 1.4 Punkty i wektory Definicja Dwóm parom liczb rzeczywistych p i q przypisujemy wektor pq = q p = (q1 p 1, q 2 p 2 ) W tym kontekście zbiór par liczb rzeczywistych oznaczamy przez E 2, a jego elementy nazywamy punktami. Stwierdzenie Operacja przypisania dwóm punktom z E 2 = E wektora z R 2 = V ma następujące własności: (A1) p E v V! q E pq = v (A2) p,q,r E pq + qr = pr Dowód: (A1): wystarczy dla p E 2 i v R 2 przyjąć q = (p 1 + v 1, p 2 + v 2 ). (A2): pq + qr = (q p) + (r q) = r p = pr Definicja Sumą punktu p i wektora v nazywamy jedyny taki punkt q, że pq = v. Stwierdzenie Dla punktów p, q i wektorów v, w spełnione są warunki 1. p + v = p + w v = w, 2. p + v = q + v p = q, 5

6 3. (p + v) + w = p + (v + w), 4. p + v, p + w = w v. Dowód: Definicja Układem współrzędnych w przestrzeni E 2 nazywamy trójkę uporządkowaną (p; v, w) złożoną z punktu p E 2 oraz wektorów v, w stanowiących pewną bazę przestrzeni R 2. W tym układzie współrzędnych współrzędnymi punktu q E 2 nazywamy współrzędne wektora pq w bazie (v, w). Definicja Dla danych dwóch punktów p, q E 2 i danych liczb α, β R takich, że α + β = 1 punkt αp + βq = p + β pq nazywamy środkiem ciężkości pary punktów p, q o wagach odpowiednio α i β. Analogicznie określamy środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach α, β, γ, przy czym α + β + γ = 1, wzorem αp + βq + γr = p + β pq + γ pr. Zbiór wszystkich środków ciężkości pary p, q oznaczamy przez af (p, q), trójki p, q, r przez af (p, q, r); przyjmujemy ponadto af (p) = {p}. Przykład Środek ciężkości pary punktów p, q o wagach 1 2, 1 2 jest środkiem odcinka pq. jest środkiem cięż- 2. Środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach 1 3, 1 3, 1 3 kości trójkąta pqr. 3. Punkt 2p + ( 1)q jest obrazem punktu q w symetrii środkowej względem punktu p. Definicja Otoczką wypukłą pary (odpowiednio trójki) punktów nazywamy zbiór wszystkich środków ciężkości tej pary (odpowiednio trójki) punktów o nieujemnych wagach. Przyjmujemy oznaczenie conv (p, q) dla pary p, q i analogiczne dla trójki. Stwierdzenie Dla dowolnych punktów p, q spełnione są warunki: 1. af (p, q) = {p + a pq ; a R}, 2. conv (p, q) = {p + a pq ; a [0, 1]}. Dowód: 6

7 1.5 Figury geometryczne Definicja Dla danego punktu p i danego niezerowego wektora v zbiór postaci p + lin (v) = {p + a v ; a R} nazywamy prostą przechodzącą przez punkt p i o wektorze kierunkowym v. Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch różnych punktów p, q istnieje dokładnie jedna prosta zawierająca oba te punkty jest nią pq = af (p, q). Dowód: Definicja Dla dwóch różnych punktów p, q ich otoczkę wypukłą pq = conv (p, q) nazywamy odcinkiem o końcach p i q. Dla trzech punktów p, q, r takich, że pq pr, ich otoczkę wypukłą pqr = conv (p, q, r) nazywamy trójkątem o wierzchołkach p, q i r. Definicja Dla punktu p i nierównoległych wektorów v, w zbiór P(p; v, w) = {p + a v + b w ; a, b [0, 1]} nazywamy równoległobokiem rozpiętym na wektorach v i w (zaczepionym w punkcie p), a zbiór vpw = {p + a v + b w ; a, b 0} (wypukłym) kątem płaskim o wierzchołku p i ramionach rozpiętych na v i w. Definicja Półprostą o początku w punkcie p i kierunku oraz zwrocie wektora v θ nazywamy zbiór pv = {p + a v ; a 0}. Analogicznie dla punktu q nie należącego do prostej p + lin (v) określamy półpłaszczyznę pv q = {p + a v + b pq ; a R, b 0}. o krawędzi p + lin (v) skierowaną do punktu q. 1.6 Układy równań liniowych interpretacja geometryczna Stwierdzenie Zbiorem rozwiązań równania liniowego z dwiema niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 = b jest 1. cała płaszczyzna R 2, gdy a 1 = a 2 = b = 0, 2. prosta, gdy a 1 0 lub a 2 0, 3. zbiór pusty, gdy a 1 = a 2 = 0 i b 0. 7

8 Dowód: Gdy a 1 0, to x 1 = a 2 a 1 x 2 + b a 1, co oznacza, że wszystkie rozwiązania są postaci ( a 2 x 2 + b ) ( ) ( b, x 2 =, 0 + x 2 a ) 2, 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Zatem ( ) zbiorem wszystkich rozwiązań jest ( prosta ) przechodząca przez punkt p = b a 1, 0 i o wektorze kierunkowym v = a2 a 1, 1. Przypadek a 2 0 rozważamy analogicznie. Uwaga Równanie prostej w E 2 a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, gdzie a 1 0 lub a 2 0 nazywamy równaniem ogólnym w odróżnieniu od równania parametrycznego { x1 = p 1 + tv 1 które idzie w ślad za definicją prostej. x 2 = p 2 + tv 2 Definicja Dwie proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe. 1.7 Przekształcenia liniowe i ich macierze 1.8 Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt 1.9 Izometrie 1.10 Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe 1.11 Płaszczyzna zespolona 2 Geometria przestrzeni trójwymiarowej 2.1 Wektory i punkty 2.2 Baza 2.3 Macierze i wyznaczniki 2.4 Przestrzenne figury geometryczne 2.5 Działania na macierzach 2.6 Układy równań liniowych Definicja Równaniem liniowym z trzema niewiadomymi x 1, x 2, x 3 nazywamy równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b, 8

9 gdzie a 1, a 2, a 3, b R. Stwierdzenie Zbiorem rozwiązań równania liniowego z trzema niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b jest 1. zbiór pusty, gdy a 1 = a 2 = a 3 = 0, b 0, 2. cała przestrzeń R 3, gdy a 1 = a 2 = a 3 = b = 0, 3. płaszczyzna, gdy a 1 0 lub a 2 0 lub a 3 0. Definicja Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x 1,..., x n nazywamy równanie macierzowe postaci gdzie A M mn, B Mm1, zaś X = AX = B, Macierz A nazywamy macierzą współczynników, macierz B macierzą wyrazów wolnych, a macierz [A B] M m,n+1 macierzą uzupełnioną tego układu. Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ równań liniowych AX = B, gdzie A M mn, posiada rozwiązanie rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r [A B] = r A. Wniosek Układ równań liniowych jest równoważny układowi, którego macierz uzupełniona powstaje z macierzy uzupełnionej danego układu przez usunięcie z niej wierszy zależnych od innych wierszy. Twierdzenie (Cramera) Układ równań liniowych AX = B o n równaniach i n niewiadomych taki, że det A 0 posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem x k = det A k, k = 1,..., n, det A gdzie A k, k = 1,..., n, oznacza macierz powstałą z A przez zastąpienie k tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B. Wniosek Załóżmy, że układ równań liniowych AX = B, gdzie A M mn, spełnia warunek r [A B] = r A = r. Wówczas zbiór wszystkich rozwiązań tego układu można uzależnić od dokładnie n r parametrów i mogą być nimi niektóre z niewiadomych. 2.7 Iloczyn skalarny 2.8 Iloczyn wektorowy 2.9 Izometrie 3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe 3.1 Przestrzenie liniowe Definicja Przestrzenią liniową (rzeczywistą) nazywamy niepusty zbiór x 1. x n. 9

10 V wraz z funkcją + określoną na zbiorze V V par elementów z V oraz funkcją określoną na zbiorze R V spełniającymi warunki (V1) (V10). Przykład przykł M mn jest przestrzenią liniową. Definicja Rozważmy zbiór ciągów określonych na zbiorze N {0} o wyrazach rzeczywistych, przy czym dla każdego takiego ciągu a istnieje taka liczba n N {0}, że a n 0 i a m = 0 dla m > n. Ciąg a spełniający powyższy warunek nazywamy wielomianem, a wyżej określoną liczbę n stopniem wielomianu a. Zbiór wielomianów R[x] składa się z takich wielomianów oraz wielomianu zerowego θ = (0, 0,...), któremu nie przypisujemy stopnia. Dla wielomianu a R[x] stopnia n stosujemy zapis a = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n lub a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Zbiór wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej n (wraz z wielomianem θ) oznaczamy przez R[x] n. Wniosek Zbiór R[x] wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową. Dla dowolnego n N {0} zbiór R[x] n wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową. Definicja def. 5.5 Przykład Element z R n jest układem n liczb R. Ciąg jest układem liczb rzeczywistych indeksowanych zbiorem N. Definicja def. 5.6 Stwierdzenie stw Podprzestrzenie liniowe Niech V będzie przestrzenią liniową. Definicja def. 6.1 Stwierdzenie stw. 6.2 Stwierdzenie stw. 6.3 Wniosek stw. 6.4 Przykład def Zbiór macierzy symetrycznych n n, tzn. takich A M nn, że A T = A, jest podprzestrzenią liniową przestrzeni M nn. Stwierdzenie def. 6.6 Stwierdzenie def. 6.8 Wniosek def

11 3.3 Liniowa niezależność i baza Definicja def. 7.1 Stwierdzenie stw. 7.1 Przykład przykł. 7.3, Układ macierzy E ij M mn, i = 1,..., m, j = 1,..., n, przy czy macierz E ij ma na miejscu (i, j) jedynkę, a na pozostałych miejscach zera, jest liniowo niezależny. Stwierdzenie def. 7.5 Definicja def. 8.1 Stwierdzenie stw. 8.7 Stwierdzenie stw. 8.3 Definicja def. 8.5 Twierdzenie tw. 8.8 Przykład przykł. 8.2, Układ macierzy E ij M mn, i = 1,..., m, j = 1,..., n, stanowi bazę przestrzeni M mn. Twierdzenie def Stwierdzenie def Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa ma wymiar skończony, jeżeli każdy nieskończony układ jej wektorów jej liniowo zależny. Wymiarem przestrzeni liniowej wymiaru skończonego nazywamy liczbę elementów jej dowolnej bazy. Jeżeli układ (v 1,..., v n ) jest bazą przestrzeni liniowej V, to piszemy dim V = n. Gdy przestrzeń V nie jest skończonego wymiaru, piszemy dim V =. Przykład przykł dim M mn = mn 3.4 Przekształcenia liniowe Definicja def. 9.1 Stwierdzenie stw. 9.2 Stwierdzenie stw. 9.3 Przykład przykł. 9.4 Stwierdzenie stw. 9.5 Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest izomorficzna z przestrzenią liniową W, co zapisujemy V = W, gdy istnieje izomorfizm ϕ : V W. 11

12 Stwierdzenie Izomorficzność przestrzeni liniowych jest relacją równoważności. stw. 9.6 Twierdzenie tw. 9.9 Definicja def Stwierdzenie stw Przykład przykł Stwierdzenie stw Twierdzenie tw Twierdzenie tw Macierze przekształceń liniowych Definicja def Funkcję przypisującą liczbom naturalnym i, j liczbę δ ij równą 1, gdy i = j, a 0, gdy i j, nazywamy deltą Kroneckera. Przykład przykł Stwierdzenie def Definicja def Stwierdzenie wn przykł Stwierdzenie wn Iloczyn skalarny 4.1 Przestrzenie i układy ortogonalne Definicja def (V,.,. ) przestrzeń ortogonalna Uwaga uw. 1 Przykład przykł Definicja def. 18.3, 18.4 Definicja def Przykład przykł Stwierdzenie stw Stwierdzenie def Wniosek Każda przestrzeń ortogonalna skończonego wymiaru posiada bazę ortonormalną. 12

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza.

Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. Wymagania edukacyjne klasa pierwsza. TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników Dodawanie

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 0 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 4. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich 1 1-

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-2 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1 1-2 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

L A TEX krok po kroku

L A TEX krok po kroku L A TEX krok po kroku Imię i nazwisko Spis treści 1 Sekcja pierwsza 1 1.1 Lista numerowana.......................... 1 2 Wymagania podstawowe 2 2.1 Lista numerowana.......................... 2 3 Troszkę

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2015/2016 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2); P podstawowy - ocena dostateczna (3); R rozszerzający

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne i kryteria oceniania. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum

Wymagania edukacyjne i kryteria oceniania. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum Wymagania edukacyjne i kryteria oceniania w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum Wymagania podstawowe obejmują wiedzę i umiejętności całkowicie niezbędne do dalszego kształcenia

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

Tablice matematyczne dla gimnazjum

Tablice matematyczne dla gimnazjum 1 3. Wyrażenia algebraiczne Wyrażenie algebraiczne kilka zmiennych (liter) i/lub stałych (liczb )połączonych ze sobą znakami działań i nawiasami Może to być także pojedyncza liczba lub litera. Przyjmuje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna imię i nazwisko Kalendarz gimnazjalisty Tydz. Dział start 22.09 29 26.09 Przygotowanie do pracy zapoznanie się z informacjami na temat egzaminu gimnazjalnego

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D -

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016 Litery w nawiasach oznaczają kolejno: K - ocena dopuszczająca P - ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana. Optymalizacja I. Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa

Matematyka stosowana. Optymalizacja I. Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa Matematyka stosowana Optymalizacja I Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa Uniwersytet Warszawski, 2012 Streszczenie. Wykład zajmuje się programowaniem liniowym, w tym całkowitoliczbowym.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM Wymagania podstawowe(k- ocena dopuszczająca, P ocena dostateczna), wymagania ponadpodstawowe( R ocena dobra, D ocena bardzo dobra, W ocena celująca) DZIAŁ 1:

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 ZAŁOśENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki w tygodniu:

Bardziej szczegółowo

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo