Algebra liniowa z geometrią

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algebra liniowa z geometrią"

Transkrypt

1 Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny Wektory i skalary Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych Kombinacja liniowa, baza Punkty i wektory Figury geometryczne Układy równań liniowych interpretacja geometryczna Przekształcenia liniowe i ich macierze Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt Izometrie Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe Płaszczyzna zespolona Geometria przestrzeni trójwymiarowej Wektory i punkty Baza Macierze i wyznaczniki Przestrzenne figury geometryczne Działania na macierzach Układy równań liniowych Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Izometrie Przestrzenie i przekształcenia liniowe Przestrzenie liniowe Podprzestrzenie liniowe Liniowa niezależność i baza Przekształcenia liniowe Macierze przekształceń liniowych Iloczyn skalarny Przestrzenie i układy ortogonalne

2 1 Geometria płaszczyzny 1.1 Wektory i skalary W zbiorze liczb rzeczywistych R rozważamy działanie dodawania + i działanie mnożenia o następujących własnościach: (F1) a,b R a + b R (F2) a,b R a b R (F3) a,b,c R (a + b) + c = a + (b + c) (F4) 0 R a R a + 0 = 0 + a = a (F5) a R a R a + ( a) = ( a) + a = 0 (F6) a,b R a + b = b + a (F7) a,b R\{0} a b R \ {0} (F8) a,b,c R (a b) c = a (b c) (F9) 1 R\{0} a R a 1 = 1 a = a (F10) a R\{0} a 1 R\{0} a a 1 = a 1 a = 1 (F11) a,b R a b = b a (F12) a,b,c R a (b + c) = (a b) + (a c) Definicja Określmy zbiór wektorów R 2 jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych, przy czym nazwą pierwszego (odpowiednio drugiego) elementu pary będzie nazwa wektora z dolnym indeksem 1 (odpowiednio 2), np. R 2 v = (v 1, v 2 ). Określamy dodawanie wektorów + i mnożenie wektora przez skalar wzorami: dla v, w R 2 i a R. v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) a v = (av 1, av 2 ) Stwierdzenie W zbiorze V = R 2 dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar mają następujące własności: (V1) v,w V v + w V (V2) v V a R a v V (V3) u,v,w V (u + v) + w = u + (v + w) (V4) θ V v V v + θ = θ + v = v (V5) v V v V v + ( v) = ( v) + v = θ (V6) v,w V v + w = w + v (V7) v,w V a R a (v + w) = (a v) + (a w) (V8) v V a,b R (a + b) v = (a v) + (b v) (V9) v V a,b R a (b v) = (ab) v (V10) v V 1 v = v Dowód: Własności (V1) (V10) są konsekwencją zastosowania własności (F1) (F12) do obu elementów pary. 2

3 Wystarczy zauważyć, że θ = (0, 0) i dla każdego v R 2 wektorem przeciwnym jak w (V5) jest v = ( v 1, v 2 ). Definicja Mówimy, że wektory v, w R 2 są równoległe i piszemy v w, gdy jeden z nich jest iloczynem pozostałego przez pewien skalar. Jeżeli jeden z wektorów v, w R 2 jest iloczynem drugiego przez nieujemny skalar, to mówimy, że wektory te mają ten sam zwrot i piszemy v w. Stwierdzenie Dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzą warunki: 1. v θ, v θ, 2. v v, 3. v v wtedy i tylko wtedy, gdy v = θ, 4. v w wtedy i tylko wtedy, gdy v w lub v w, 5. dla wektorów niezerowych jeżeli u v i v w, to u w. Dowód: 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych Definicja Macierzą 2 2 nazywamy układ 4 = 2 2 liczb postaci [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 przy czy pierwsza (odpowiednio druga) liczba dolnego indeksu wskazuje numer wiersza (odpowiednio kolumny), w którym umieszczony jest dana liczba. Zbiór wszystkich macierzy 2 2 oznaczamy przez M 22. Definicja Wyznacznikiem macierzy 2 2 [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 nazywamy liczbę det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Stwierdzenie Wyznacznik macierzy 2 2 ma następujące własności: 1. Zamiana wierszy macierzy zmienia znak wyznacznika na przeciwny. 2. Pomnożenie wiersza macierzy przez skalar a powoduje pomnożenie wyznacznika przez a. 3. Dodanie do pewnego wiersza macierzy innego jej wiersza pomnożonego przez skalar nie zmienia wyznacznika. 4. Własności analogiczne do 1 3 są prawdziwe dla kolumn. 3

4 Dowód: Definicja Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x 1 i x 2 nazywamy równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, gdzie a 1, a 2, b R. Definicja Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x 1 i x 2 nazywamy koniunkcję równań liniowych z tymi niewiadomymi, czyli { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 gdzie a 11, a 12, a 21, a 22, b 1, b 2 R. Macierze [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 B = [ b1 b 2 ] nazywamy odpowiednio macierzą układu i kolumną wyrazów wolnych. Twierdzenie Jeżeli macierz A układu równań liniowych { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 ma wyznacznik różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie { det A1 x1 = x 2 = det A det A2 det A gdzie A j, j = 1, 2, oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie j tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Dowód: 1.3 Kombinacja liniowa, baza Definicja Wyznacznikiem wektorów v, w R 2 nazywamy liczbę det(v, w) = v 1 v 2 w 1 w 2 = v 1w 2 v 2 w 1. Stwierdzenie Dla dowolnych wektorów v, w R 2 spełniony jest warunek det(v, w) = 0 v w (lub równoważnie det(v, w) 0 v w). Dowód: Wniosek Jeżeli wektory v, w R 2 nie są równoległe, to dla każdego wektora x R 2 istnieje dokładnie jedna para (a, b) liczb takich, że x = a v+b w. 4

5 Dowód: Definicja Dla danych wektorów v, w wektor postaci a v+b w nazywamy ich kombinacją liniową o współczynnikach a, b. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v, w oznaczamy przez lin (v, w). Analogicznie piszemy lin (v) = {a v ; a R}, a nawet lin () = {θ}. Definicja Parę uporządkowaną (v, w) = B nierównoległych wektorów z przestrzeni R 2 nazywamy bazą przestrzeni R 2. Dla każdego wektora x R 2 jedyną parę liczb (a, b) takich, że x = a v +b w nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie B i oznaczamy przez C B (x). Definicja Mówimy, że baza (v, w) przestrzeni R 2 jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) zorientowana, gdy det(v, w) > 0 (odpowiednio det(v, w) < 0). 1. Układ wektorów e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) jest bazą prze- Przykład strzeni R 2. Nazywamy ją bazą kanoniczną między innymi dlatego, że (x 1, x 2 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2, czyli współrzędne wektora w tej bazie są takie same jak jego współrzędne absolutne. 2. Baza kanoniczna jest zorientowana dodatnio. 3. Baza (e 2, e 1 ) jest zorientowana ujemnie. 1.4 Punkty i wektory Definicja Dwóm parom liczb rzeczywistych p i q przypisujemy wektor pq = q p = (q1 p 1, q 2 p 2 ) W tym kontekście zbiór par liczb rzeczywistych oznaczamy przez E 2, a jego elementy nazywamy punktami. Stwierdzenie Operacja przypisania dwóm punktom z E 2 = E wektora z R 2 = V ma następujące własności: (A1) p E v V! q E pq = v (A2) p,q,r E pq + qr = pr Dowód: (A1): wystarczy dla p E 2 i v R 2 przyjąć q = (p 1 + v 1, p 2 + v 2 ). (A2): pq + qr = (q p) + (r q) = r p = pr Definicja Sumą punktu p i wektora v nazywamy jedyny taki punkt q, że pq = v. Stwierdzenie Dla punktów p, q i wektorów v, w spełnione są warunki 1. p + v = p + w v = w, 2. p + v = q + v p = q, 5

6 3. (p + v) + w = p + (v + w), 4. p + v, p + w = w v. Dowód: Definicja Układem współrzędnych w przestrzeni E 2 nazywamy trójkę uporządkowaną (p; v, w) złożoną z punktu p E 2 oraz wektorów v, w stanowiących pewną bazę przestrzeni R 2. W tym układzie współrzędnych współrzędnymi punktu q E 2 nazywamy współrzędne wektora pq w bazie (v, w). Definicja Dla danych dwóch punktów p, q E 2 i danych liczb α, β R takich, że α + β = 1 punkt αp + βq = p + β pq nazywamy środkiem ciężkości pary punktów p, q o wagach odpowiednio α i β. Analogicznie określamy środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach α, β, γ, przy czym α + β + γ = 1, wzorem αp + βq + γr = p + β pq + γ pr. Zbiór wszystkich środków ciężkości pary p, q oznaczamy przez af (p, q), trójki p, q, r przez af (p, q, r); przyjmujemy ponadto af (p) = {p}. Przykład Środek ciężkości pary punktów p, q o wagach 1 2, 1 2 jest środkiem odcinka pq. jest środkiem cięż- 2. Środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach 1 3, 1 3, 1 3 kości trójkąta pqr. 3. Punkt 2p + ( 1)q jest obrazem punktu q w symetrii środkowej względem punktu p. Definicja Otoczką wypukłą pary (odpowiednio trójki) punktów nazywamy zbiór wszystkich środków ciężkości tej pary (odpowiednio trójki) punktów o nieujemnych wagach. Przyjmujemy oznaczenie conv (p, q) dla pary p, q i analogiczne dla trójki. Stwierdzenie Dla dowolnych punktów p, q spełnione są warunki: 1. af (p, q) = {p + a pq ; a R}, 2. conv (p, q) = {p + a pq ; a [0, 1]}. Dowód: 6

7 1.5 Figury geometryczne Definicja Dla danego punktu p i danego niezerowego wektora v zbiór postaci p + lin (v) = {p + a v ; a R} nazywamy prostą przechodzącą przez punkt p i o wektorze kierunkowym v. Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch różnych punktów p, q istnieje dokładnie jedna prosta zawierająca oba te punkty jest nią pq = af (p, q). Dowód: Definicja Dla dwóch różnych punktów p, q ich otoczkę wypukłą pq = conv (p, q) nazywamy odcinkiem o końcach p i q. Dla trzech punktów p, q, r takich, że pq pr, ich otoczkę wypukłą pqr = conv (p, q, r) nazywamy trójkątem o wierzchołkach p, q i r. Definicja Dla punktu p i nierównoległych wektorów v, w zbiór P(p; v, w) = {p + a v + b w ; a, b [0, 1]} nazywamy równoległobokiem rozpiętym na wektorach v i w (zaczepionym w punkcie p), a zbiór vpw = {p + a v + b w ; a, b 0} (wypukłym) kątem płaskim o wierzchołku p i ramionach rozpiętych na v i w. Definicja Półprostą o początku w punkcie p i kierunku oraz zwrocie wektora v θ nazywamy zbiór pv = {p + a v ; a 0}. Analogicznie dla punktu q nie należącego do prostej p + lin (v) określamy półpłaszczyznę pv q = {p + a v + b pq ; a R, b 0}. o krawędzi p + lin (v) skierowaną do punktu q. 1.6 Układy równań liniowych interpretacja geometryczna Stwierdzenie Zbiorem rozwiązań równania liniowego z dwiema niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 = b jest 1. cała płaszczyzna R 2, gdy a 1 = a 2 = b = 0, 2. prosta, gdy a 1 0 lub a 2 0, 3. zbiór pusty, gdy a 1 = a 2 = 0 i b 0. 7

8 Dowód: Gdy a 1 0, to x 1 = a 2 a 1 x 2 + b a 1, co oznacza, że wszystkie rozwiązania są postaci ( a 2 x 2 + b ) ( ) ( b, x 2 =, 0 + x 2 a ) 2, 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Zatem ( ) zbiorem wszystkich rozwiązań jest ( prosta ) przechodząca przez punkt p = b a 1, 0 i o wektorze kierunkowym v = a2 a 1, 1. Przypadek a 2 0 rozważamy analogicznie. Uwaga Równanie prostej w E 2 a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, gdzie a 1 0 lub a 2 0 nazywamy równaniem ogólnym w odróżnieniu od równania parametrycznego { x1 = p 1 + tv 1 które idzie w ślad za definicją prostej. x 2 = p 2 + tv 2 Definicja Dwie proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe. 1.7 Przekształcenia liniowe i ich macierze 1.8 Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt 1.9 Izometrie 1.10 Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe 1.11 Płaszczyzna zespolona 2 Geometria przestrzeni trójwymiarowej 2.1 Wektory i punkty 2.2 Baza 2.3 Macierze i wyznaczniki 2.4 Przestrzenne figury geometryczne 2.5 Działania na macierzach 2.6 Układy równań liniowych Definicja Równaniem liniowym z trzema niewiadomymi x 1, x 2, x 3 nazywamy równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b, 8

9 gdzie a 1, a 2, a 3, b R. Stwierdzenie Zbiorem rozwiązań równania liniowego z trzema niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b jest 1. zbiór pusty, gdy a 1 = a 2 = a 3 = 0, b 0, 2. cała przestrzeń R 3, gdy a 1 = a 2 = a 3 = b = 0, 3. płaszczyzna, gdy a 1 0 lub a 2 0 lub a 3 0. Definicja Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x 1,..., x n nazywamy równanie macierzowe postaci gdzie A M mn, B Mm1, zaś X = AX = B, Macierz A nazywamy macierzą współczynników, macierz B macierzą wyrazów wolnych, a macierz [A B] M m,n+1 macierzą uzupełnioną tego układu. Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ równań liniowych AX = B, gdzie A M mn, posiada rozwiązanie rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r [A B] = r A. Wniosek Układ równań liniowych jest równoważny układowi, którego macierz uzupełniona powstaje z macierzy uzupełnionej danego układu przez usunięcie z niej wierszy zależnych od innych wierszy. Twierdzenie (Cramera) Układ równań liniowych AX = B o n równaniach i n niewiadomych taki, że det A 0 posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem x k = det A k, k = 1,..., n, det A gdzie A k, k = 1,..., n, oznacza macierz powstałą z A przez zastąpienie k tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B. Wniosek Załóżmy, że układ równań liniowych AX = B, gdzie A M mn, spełnia warunek r [A B] = r A = r. Wówczas zbiór wszystkich rozwiązań tego układu można uzależnić od dokładnie n r parametrów i mogą być nimi niektóre z niewiadomych. 2.7 Iloczyn skalarny 2.8 Iloczyn wektorowy 2.9 Izometrie 3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe 3.1 Przestrzenie liniowe Definicja Przestrzenią liniową (rzeczywistą) nazywamy niepusty zbiór x 1. x n. 9

10 V wraz z funkcją + określoną na zbiorze V V par elementów z V oraz funkcją określoną na zbiorze R V spełniającymi warunki (V1) (V10). Przykład przykł M mn jest przestrzenią liniową. Definicja Rozważmy zbiór ciągów określonych na zbiorze N {0} o wyrazach rzeczywistych, przy czym dla każdego takiego ciągu a istnieje taka liczba n N {0}, że a n 0 i a m = 0 dla m > n. Ciąg a spełniający powyższy warunek nazywamy wielomianem, a wyżej określoną liczbę n stopniem wielomianu a. Zbiór wielomianów R[x] składa się z takich wielomianów oraz wielomianu zerowego θ = (0, 0,...), któremu nie przypisujemy stopnia. Dla wielomianu a R[x] stopnia n stosujemy zapis a = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n lub a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Zbiór wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej n (wraz z wielomianem θ) oznaczamy przez R[x] n. Wniosek Zbiór R[x] wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową. Dla dowolnego n N {0} zbiór R[x] n wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową. Definicja def. 5.5 Przykład Element z R n jest układem n liczb R. Ciąg jest układem liczb rzeczywistych indeksowanych zbiorem N. Definicja def. 5.6 Stwierdzenie stw Podprzestrzenie liniowe Niech V będzie przestrzenią liniową. Definicja def. 6.1 Stwierdzenie stw. 6.2 Stwierdzenie stw. 6.3 Wniosek stw. 6.4 Przykład def Zbiór macierzy symetrycznych n n, tzn. takich A M nn, że A T = A, jest podprzestrzenią liniową przestrzeni M nn. Stwierdzenie def. 6.6 Stwierdzenie def. 6.8 Wniosek def

11 3.3 Liniowa niezależność i baza Definicja def. 7.1 Stwierdzenie stw. 7.1 Przykład przykł. 7.3, Układ macierzy E ij M mn, i = 1,..., m, j = 1,..., n, przy czy macierz E ij ma na miejscu (i, j) jedynkę, a na pozostałych miejscach zera, jest liniowo niezależny. Stwierdzenie def. 7.5 Definicja def. 8.1 Stwierdzenie stw. 8.7 Stwierdzenie stw. 8.3 Definicja def. 8.5 Twierdzenie tw. 8.8 Przykład przykł. 8.2, Układ macierzy E ij M mn, i = 1,..., m, j = 1,..., n, stanowi bazę przestrzeni M mn. Twierdzenie def Stwierdzenie def Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa ma wymiar skończony, jeżeli każdy nieskończony układ jej wektorów jej liniowo zależny. Wymiarem przestrzeni liniowej wymiaru skończonego nazywamy liczbę elementów jej dowolnej bazy. Jeżeli układ (v 1,..., v n ) jest bazą przestrzeni liniowej V, to piszemy dim V = n. Gdy przestrzeń V nie jest skończonego wymiaru, piszemy dim V =. Przykład przykł dim M mn = mn 3.4 Przekształcenia liniowe Definicja def. 9.1 Stwierdzenie stw. 9.2 Stwierdzenie stw. 9.3 Przykład przykł. 9.4 Stwierdzenie stw. 9.5 Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest izomorficzna z przestrzenią liniową W, co zapisujemy V = W, gdy istnieje izomorfizm ϕ : V W. 11

12 Stwierdzenie Izomorficzność przestrzeni liniowych jest relacją równoważności. stw. 9.6 Twierdzenie tw. 9.9 Definicja def Stwierdzenie stw Przykład przykł Stwierdzenie stw Twierdzenie tw Twierdzenie tw Macierze przekształceń liniowych Definicja def Funkcję przypisującą liczbom naturalnym i, j liczbę δ ij równą 1, gdy i = j, a 0, gdy i j, nazywamy deltą Kroneckera. Przykład przykł Stwierdzenie def Definicja def Stwierdzenie wn przykł Stwierdzenie wn Iloczyn skalarny 4.1 Przestrzenie i układy ortogonalne Definicja def (V,.,. ) przestrzeń ortogonalna Uwaga uw. 1 Przykład przykł Definicja def. 18.3, 18.4 Definicja def Przykład przykł Stwierdzenie stw Stwierdzenie def Wniosek Każda przestrzeń ortogonalna skończonego wymiaru posiada bazę ortonormalną. 12

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Skrypt z Algebry Liniowej 2

Skrypt z Algebry Liniowej 2 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska Barbara Szczepańska Skrypt z Algebry Liniowej 2 Praca magisterska napisana pod kierunkiem

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6. Ekoenergetyka Matematyka. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W SZKOLE PONADGIMNAZJALNEJ. Kryteria oceniania w zakresie obowiązkowym treści nauczania. Liczby rzeczywiste

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W SZKOLE PONADGIMNAZJALNEJ. Kryteria oceniania w zakresie obowiązkowym treści nauczania. Liczby rzeczywiste mgr Małgorzata Kowalczyk PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W SZKOLE PONADGIMNAZJALNEJ Kryteria oceniania w zakresie obowiązkowym treści nauczania. Liczby rzeczywiste Dopuszczający Wykonywanie

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy

Bardziej szczegółowo