Algebra liniowa z geometrią
|
|
- Gabriela Zielińska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny Wektory i skalary Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych Kombinacja liniowa, baza Punkty i wektory Figury geometryczne Układy równań liniowych interpretacja geometryczna Przekształcenia liniowe i ich macierze Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt Izometrie Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe Płaszczyzna zespolona Geometria przestrzeni trójwymiarowej Wektory i punkty Baza Macierze i wyznaczniki Przestrzenne figury geometryczne Działania na macierzach Układy równań liniowych Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Izometrie Przestrzenie i przekształcenia liniowe Przestrzenie liniowe Podprzestrzenie liniowe Liniowa niezależność i baza Przekształcenia liniowe Macierze przekształceń liniowych Iloczyn skalarny Przestrzenie i układy ortogonalne
2 1 Geometria płaszczyzny 1.1 Wektory i skalary W zbiorze liczb rzeczywistych R rozważamy działanie dodawania + i działanie mnożenia o następujących własnościach: (F1) a,b R a + b R (F2) a,b R a b R (F3) a,b,c R (a + b) + c = a + (b + c) (F4) 0 R a R a + 0 = 0 + a = a (F5) a R a R a + ( a) = ( a) + a = 0 (F6) a,b R a + b = b + a (F7) a,b R\{0} a b R \ {0} (F8) a,b,c R (a b) c = a (b c) (F9) 1 R\{0} a R a 1 = 1 a = a (F10) a R\{0} a 1 R\{0} a a 1 = a 1 a = 1 (F11) a,b R a b = b a (F12) a,b,c R a (b + c) = (a b) + (a c) Definicja Określmy zbiór wektorów R 2 jako zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych, przy czym nazwą pierwszego (odpowiednio drugiego) elementu pary będzie nazwa wektora z dolnym indeksem 1 (odpowiednio 2), np. R 2 v = (v 1, v 2 ). Określamy dodawanie wektorów + i mnożenie wektora przez skalar wzorami: dla v, w R 2 i a R. v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) a v = (av 1, av 2 ) Stwierdzenie W zbiorze V = R 2 dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar mają następujące własności: (V1) v,w V v + w V (V2) v V a R a v V (V3) u,v,w V (u + v) + w = u + (v + w) (V4) θ V v V v + θ = θ + v = v (V5) v V v V v + ( v) = ( v) + v = θ (V6) v,w V v + w = w + v (V7) v,w V a R a (v + w) = (a v) + (a w) (V8) v V a,b R (a + b) v = (a v) + (b v) (V9) v V a,b R a (b v) = (ab) v (V10) v V 1 v = v Dowód: Własności (V1) (V10) są konsekwencją zastosowania własności (F1) (F12) do obu elementów pary. 2
3 Wystarczy zauważyć, że θ = (0, 0) i dla każdego v R 2 wektorem przeciwnym jak w (V5) jest v = ( v 1, v 2 ). Definicja Mówimy, że wektory v, w R 2 są równoległe i piszemy v w, gdy jeden z nich jest iloczynem pozostałego przez pewien skalar. Jeżeli jeden z wektorów v, w R 2 jest iloczynem drugiego przez nieujemny skalar, to mówimy, że wektory te mają ten sam zwrot i piszemy v w. Stwierdzenie Dla dowolnych wektorów u, v, w zachodzą warunki: 1. v θ, v θ, 2. v v, 3. v v wtedy i tylko wtedy, gdy v = θ, 4. v w wtedy i tylko wtedy, gdy v w lub v w, 5. dla wektorów niezerowych jeżeli u v i v w, to u w. Dowód: 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych Definicja Macierzą 2 2 nazywamy układ 4 = 2 2 liczb postaci [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 przy czy pierwsza (odpowiednio druga) liczba dolnego indeksu wskazuje numer wiersza (odpowiednio kolumny), w którym umieszczony jest dana liczba. Zbiór wszystkich macierzy 2 2 oznaczamy przez M 22. Definicja Wyznacznikiem macierzy 2 2 [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 nazywamy liczbę det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Stwierdzenie Wyznacznik macierzy 2 2 ma następujące własności: 1. Zamiana wierszy macierzy zmienia znak wyznacznika na przeciwny. 2. Pomnożenie wiersza macierzy przez skalar a powoduje pomnożenie wyznacznika przez a. 3. Dodanie do pewnego wiersza macierzy innego jej wiersza pomnożonego przez skalar nie zmienia wyznacznika. 4. Własności analogiczne do 1 3 są prawdziwe dla kolumn. 3
4 Dowód: Definicja Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x 1 i x 2 nazywamy równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, gdzie a 1, a 2, b R. Definicja Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x 1 i x 2 nazywamy koniunkcję równań liniowych z tymi niewiadomymi, czyli { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 gdzie a 11, a 12, a 21, a 22, b 1, b 2 R. Macierze [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 B = [ b1 b 2 ] nazywamy odpowiednio macierzą układu i kolumną wyrazów wolnych. Twierdzenie Jeżeli macierz A układu równań liniowych { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 ma wyznacznik różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie { det A1 x1 = x 2 = det A det A2 det A gdzie A j, j = 1, 2, oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie j tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Dowód: 1.3 Kombinacja liniowa, baza Definicja Wyznacznikiem wektorów v, w R 2 nazywamy liczbę det(v, w) = v 1 v 2 w 1 w 2 = v 1w 2 v 2 w 1. Stwierdzenie Dla dowolnych wektorów v, w R 2 spełniony jest warunek det(v, w) = 0 v w (lub równoważnie det(v, w) 0 v w). Dowód: Wniosek Jeżeli wektory v, w R 2 nie są równoległe, to dla każdego wektora x R 2 istnieje dokładnie jedna para (a, b) liczb takich, że x = a v+b w. 4
5 Dowód: Definicja Dla danych wektorów v, w wektor postaci a v+b w nazywamy ich kombinacją liniową o współczynnikach a, b. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v, w oznaczamy przez lin (v, w). Analogicznie piszemy lin (v) = {a v ; a R}, a nawet lin () = {θ}. Definicja Parę uporządkowaną (v, w) = B nierównoległych wektorów z przestrzeni R 2 nazywamy bazą przestrzeni R 2. Dla każdego wektora x R 2 jedyną parę liczb (a, b) takich, że x = a v +b w nazywamy współrzędnymi wektora x w bazie B i oznaczamy przez C B (x). Definicja Mówimy, że baza (v, w) przestrzeni R 2 jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) zorientowana, gdy det(v, w) > 0 (odpowiednio det(v, w) < 0). 1. Układ wektorów e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) jest bazą prze- Przykład strzeni R 2. Nazywamy ją bazą kanoniczną między innymi dlatego, że (x 1, x 2 ) = x 1 e 1 + x 2 e 2, czyli współrzędne wektora w tej bazie są takie same jak jego współrzędne absolutne. 2. Baza kanoniczna jest zorientowana dodatnio. 3. Baza (e 2, e 1 ) jest zorientowana ujemnie. 1.4 Punkty i wektory Definicja Dwóm parom liczb rzeczywistych p i q przypisujemy wektor pq = q p = (q1 p 1, q 2 p 2 ) W tym kontekście zbiór par liczb rzeczywistych oznaczamy przez E 2, a jego elementy nazywamy punktami. Stwierdzenie Operacja przypisania dwóm punktom z E 2 = E wektora z R 2 = V ma następujące własności: (A1) p E v V! q E pq = v (A2) p,q,r E pq + qr = pr Dowód: (A1): wystarczy dla p E 2 i v R 2 przyjąć q = (p 1 + v 1, p 2 + v 2 ). (A2): pq + qr = (q p) + (r q) = r p = pr Definicja Sumą punktu p i wektora v nazywamy jedyny taki punkt q, że pq = v. Stwierdzenie Dla punktów p, q i wektorów v, w spełnione są warunki 1. p + v = p + w v = w, 2. p + v = q + v p = q, 5
6 3. (p + v) + w = p + (v + w), 4. p + v, p + w = w v. Dowód: Definicja Układem współrzędnych w przestrzeni E 2 nazywamy trójkę uporządkowaną (p; v, w) złożoną z punktu p E 2 oraz wektorów v, w stanowiących pewną bazę przestrzeni R 2. W tym układzie współrzędnych współrzędnymi punktu q E 2 nazywamy współrzędne wektora pq w bazie (v, w). Definicja Dla danych dwóch punktów p, q E 2 i danych liczb α, β R takich, że α + β = 1 punkt αp + βq = p + β pq nazywamy środkiem ciężkości pary punktów p, q o wagach odpowiednio α i β. Analogicznie określamy środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach α, β, γ, przy czym α + β + γ = 1, wzorem αp + βq + γr = p + β pq + γ pr. Zbiór wszystkich środków ciężkości pary p, q oznaczamy przez af (p, q), trójki p, q, r przez af (p, q, r); przyjmujemy ponadto af (p) = {p}. Przykład Środek ciężkości pary punktów p, q o wagach 1 2, 1 2 jest środkiem odcinka pq. jest środkiem cięż- 2. Środek ciężkości trójki punktów p, q, r o wagach 1 3, 1 3, 1 3 kości trójkąta pqr. 3. Punkt 2p + ( 1)q jest obrazem punktu q w symetrii środkowej względem punktu p. Definicja Otoczką wypukłą pary (odpowiednio trójki) punktów nazywamy zbiór wszystkich środków ciężkości tej pary (odpowiednio trójki) punktów o nieujemnych wagach. Przyjmujemy oznaczenie conv (p, q) dla pary p, q i analogiczne dla trójki. Stwierdzenie Dla dowolnych punktów p, q spełnione są warunki: 1. af (p, q) = {p + a pq ; a R}, 2. conv (p, q) = {p + a pq ; a [0, 1]}. Dowód: 6
7 1.5 Figury geometryczne Definicja Dla danego punktu p i danego niezerowego wektora v zbiór postaci p + lin (v) = {p + a v ; a R} nazywamy prostą przechodzącą przez punkt p i o wektorze kierunkowym v. Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch różnych punktów p, q istnieje dokładnie jedna prosta zawierająca oba te punkty jest nią pq = af (p, q). Dowód: Definicja Dla dwóch różnych punktów p, q ich otoczkę wypukłą pq = conv (p, q) nazywamy odcinkiem o końcach p i q. Dla trzech punktów p, q, r takich, że pq pr, ich otoczkę wypukłą pqr = conv (p, q, r) nazywamy trójkątem o wierzchołkach p, q i r. Definicja Dla punktu p i nierównoległych wektorów v, w zbiór P(p; v, w) = {p + a v + b w ; a, b [0, 1]} nazywamy równoległobokiem rozpiętym na wektorach v i w (zaczepionym w punkcie p), a zbiór vpw = {p + a v + b w ; a, b 0} (wypukłym) kątem płaskim o wierzchołku p i ramionach rozpiętych na v i w. Definicja Półprostą o początku w punkcie p i kierunku oraz zwrocie wektora v θ nazywamy zbiór pv = {p + a v ; a 0}. Analogicznie dla punktu q nie należącego do prostej p + lin (v) określamy półpłaszczyznę pv q = {p + a v + b pq ; a R, b 0}. o krawędzi p + lin (v) skierowaną do punktu q. 1.6 Układy równań liniowych interpretacja geometryczna Stwierdzenie Zbiorem rozwiązań równania liniowego z dwiema niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 = b jest 1. cała płaszczyzna R 2, gdy a 1 = a 2 = b = 0, 2. prosta, gdy a 1 0 lub a 2 0, 3. zbiór pusty, gdy a 1 = a 2 = 0 i b 0. 7
8 Dowód: Gdy a 1 0, to x 1 = a 2 a 1 x 2 + b a 1, co oznacza, że wszystkie rozwiązania są postaci ( a 2 x 2 + b ) ( ) ( b, x 2 =, 0 + x 2 a ) 2, 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Zatem ( ) zbiorem wszystkich rozwiązań jest ( prosta ) przechodząca przez punkt p = b a 1, 0 i o wektorze kierunkowym v = a2 a 1, 1. Przypadek a 2 0 rozważamy analogicznie. Uwaga Równanie prostej w E 2 a 1 x 1 + a 2 x 2 = b, gdzie a 1 0 lub a 2 0 nazywamy równaniem ogólnym w odróżnieniu od równania parametrycznego { x1 = p 1 + tv 1 które idzie w ślad za definicją prostej. x 2 = p 2 + tv 2 Definicja Dwie proste są równoległe, gdy ich wektory kierunkowe są równoległe. 1.7 Przekształcenia liniowe i ich macierze 1.8 Iloczyn skalarny, długość wektora, odległość punktów, kąt 1.9 Izometrie 1.10 Równania stopnia 2 i krzywe stożkowe 1.11 Płaszczyzna zespolona 2 Geometria przestrzeni trójwymiarowej 2.1 Wektory i punkty 2.2 Baza 2.3 Macierze i wyznaczniki 2.4 Przestrzenne figury geometryczne 2.5 Działania na macierzach 2.6 Układy równań liniowych Definicja Równaniem liniowym z trzema niewiadomymi x 1, x 2, x 3 nazywamy równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b, 8
9 gdzie a 1, a 2, a 3, b R. Stwierdzenie Zbiorem rozwiązań równania liniowego z trzema niewiadomymi a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b jest 1. zbiór pusty, gdy a 1 = a 2 = a 3 = 0, b 0, 2. cała przestrzeń R 3, gdy a 1 = a 2 = a 3 = b = 0, 3. płaszczyzna, gdy a 1 0 lub a 2 0 lub a 3 0. Definicja Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x 1,..., x n nazywamy równanie macierzowe postaci gdzie A M mn, B Mm1, zaś X = AX = B, Macierz A nazywamy macierzą współczynników, macierz B macierzą wyrazów wolnych, a macierz [A B] M m,n+1 macierzą uzupełnioną tego układu. Twierdzenie (Kroneckera Capellego) Układ równań liniowych AX = B, gdzie A M mn, posiada rozwiązanie rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r [A B] = r A. Wniosek Układ równań liniowych jest równoważny układowi, którego macierz uzupełniona powstaje z macierzy uzupełnionej danego układu przez usunięcie z niej wierszy zależnych od innych wierszy. Twierdzenie (Cramera) Układ równań liniowych AX = B o n równaniach i n niewiadomych taki, że det A 0 posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem x k = det A k, k = 1,..., n, det A gdzie A k, k = 1,..., n, oznacza macierz powstałą z A przez zastąpienie k tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B. Wniosek Załóżmy, że układ równań liniowych AX = B, gdzie A M mn, spełnia warunek r [A B] = r A = r. Wówczas zbiór wszystkich rozwiązań tego układu można uzależnić od dokładnie n r parametrów i mogą być nimi niektóre z niewiadomych. 2.7 Iloczyn skalarny 2.8 Iloczyn wektorowy 2.9 Izometrie 3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe 3.1 Przestrzenie liniowe Definicja Przestrzenią liniową (rzeczywistą) nazywamy niepusty zbiór x 1. x n. 9
10 V wraz z funkcją + określoną na zbiorze V V par elementów z V oraz funkcją określoną na zbiorze R V spełniającymi warunki (V1) (V10). Przykład przykł M mn jest przestrzenią liniową. Definicja Rozważmy zbiór ciągów określonych na zbiorze N {0} o wyrazach rzeczywistych, przy czym dla każdego takiego ciągu a istnieje taka liczba n N {0}, że a n 0 i a m = 0 dla m > n. Ciąg a spełniający powyższy warunek nazywamy wielomianem, a wyżej określoną liczbę n stopniem wielomianu a. Zbiór wielomianów R[x] składa się z takich wielomianów oraz wielomianu zerowego θ = (0, 0,...), któremu nie przypisujemy stopnia. Dla wielomianu a R[x] stopnia n stosujemy zapis a = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n lub a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Zbiór wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej n (wraz z wielomianem θ) oznaczamy przez R[x] n. Wniosek Zbiór R[x] wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową. Dla dowolnego n N {0} zbiór R[x] n wraz z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia wielomianu przez skalar jest przestrzenią liniową. Definicja def. 5.5 Przykład Element z R n jest układem n liczb R. Ciąg jest układem liczb rzeczywistych indeksowanych zbiorem N. Definicja def. 5.6 Stwierdzenie stw Podprzestrzenie liniowe Niech V będzie przestrzenią liniową. Definicja def. 6.1 Stwierdzenie stw. 6.2 Stwierdzenie stw. 6.3 Wniosek stw. 6.4 Przykład def Zbiór macierzy symetrycznych n n, tzn. takich A M nn, że A T = A, jest podprzestrzenią liniową przestrzeni M nn. Stwierdzenie def. 6.6 Stwierdzenie def. 6.8 Wniosek def
11 3.3 Liniowa niezależność i baza Definicja def. 7.1 Stwierdzenie stw. 7.1 Przykład przykł. 7.3, Układ macierzy E ij M mn, i = 1,..., m, j = 1,..., n, przy czy macierz E ij ma na miejscu (i, j) jedynkę, a na pozostałych miejscach zera, jest liniowo niezależny. Stwierdzenie def. 7.5 Definicja def. 8.1 Stwierdzenie stw. 8.7 Stwierdzenie stw. 8.3 Definicja def. 8.5 Twierdzenie tw. 8.8 Przykład przykł. 8.2, Układ macierzy E ij M mn, i = 1,..., m, j = 1,..., n, stanowi bazę przestrzeni M mn. Twierdzenie def Stwierdzenie def Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa ma wymiar skończony, jeżeli każdy nieskończony układ jej wektorów jej liniowo zależny. Wymiarem przestrzeni liniowej wymiaru skończonego nazywamy liczbę elementów jej dowolnej bazy. Jeżeli układ (v 1,..., v n ) jest bazą przestrzeni liniowej V, to piszemy dim V = n. Gdy przestrzeń V nie jest skończonego wymiaru, piszemy dim V =. Przykład przykł dim M mn = mn 3.4 Przekształcenia liniowe Definicja def. 9.1 Stwierdzenie stw. 9.2 Stwierdzenie stw. 9.3 Przykład przykł. 9.4 Stwierdzenie stw. 9.5 Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest izomorficzna z przestrzenią liniową W, co zapisujemy V = W, gdy istnieje izomorfizm ϕ : V W. 11
12 Stwierdzenie Izomorficzność przestrzeni liniowych jest relacją równoważności. stw. 9.6 Twierdzenie tw. 9.9 Definicja def Stwierdzenie stw Przykład przykł Stwierdzenie stw Twierdzenie tw Twierdzenie tw Macierze przekształceń liniowych Definicja def Funkcję przypisującą liczbom naturalnym i, j liczbę δ ij równą 1, gdy i = j, a 0, gdy i j, nazywamy deltą Kroneckera. Przykład przykł Stwierdzenie def Definicja def Stwierdzenie wn przykł Stwierdzenie wn Iloczyn skalarny 4.1 Przestrzenie i układy ortogonalne Definicja def (V,.,. ) przestrzeń ortogonalna Uwaga uw. 1 Przykład przykł Definicja def. 18.3, 18.4 Definicja def Przykład przykł Stwierdzenie stw Stwierdzenie def Wniosek Każda przestrzeń ortogonalna skończonego wymiaru posiada bazę ortonormalną. 12
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoALGEBRA Tematyka LITERATURA
ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowo1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo