Trapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu

Transkrypt

1 9. 5. WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW Trpez w trpezie przynmniej jen pr oków jest równoległ δ γ, postwy trpezu c h c, - rmion trpezu α β h wysokość trpezu + 80 α δ β + γ 80 x `Ocinek łączący śroki rmion jest równoległy o postw i wyrŝ się wzorem + x Wzór n pole trpezu : P ( + ) h h Trpez równormienny β β - kąty wewnętrzne trpezu równormiennego przy tej smej c c postwie są równe, α α - przekątne trpezu równormiennego są równe i zielą się e e smym stosunku, - wzór n e w trpezie równormiennym: e Trpez prostokątny - wzór n e w trpezie prostokątnym : e h h c e

2 Przykł Rmion trpezu mją ługości 4 i 8, owó trpezu jest równy 0. Olicz ługość ocink łączącego śroki rmion trpezu. Rozwiąznie Komentrz Anliz zni. Dne: Szukne: Wzory: c 8 x + x 4 O + + c + O 0 O + + c x 8 9 Wykorzystując owó, oliczmy sumę postw. Oliczmy x ze wzoru: + x Przykł DłuŜsz postw trpezu równormiennego m 6, rmię 6, kąt ostry 60. Olicz pole trpezu. Rozwiąznie Anliz zni. Komentrz Dne: Szukne: Wzory: 6 P + P ( ) h c 6 α 60

3 Oliczmy h korzystjąc ze wzoru: sin α przyprostoktn _ nprzeciw_ α przeciwprostoktn h sin α c h sin 60 6 h 6 h 6 / : h e cosα c e cos60 6 e 6 e 6 / : e 6 / P + h ( ) ( 6 + 0) 9 Oliczmy e korzystjąc ze wzoru: przyprostoktn_ przy_α cosα przeciwprostoktn Oliczmy wykorzystując wzór: Oliczmy pole trpezu. e

4 Równoległook β α - w równoległooku przeciwległe oki są równe i równoległe, - w równoległooku przeciwległe kąty są równe, α β - w równoległooku α + β 80 - w równoległooku przekątne przecinją się w połowie Wzory n pole równoległooku: h P h α P sinα Przykł Krótsz przekątn równoległooku wynosi 7 i tworzy z krótszym okiem kąt prosty. Stosunek ługości oków równoległooku jest równy : 4. Olicz pole i owó równoległooku. Rozwiąznie Komentrz Anliz zni. Dne: Szukne: Wzory: 7 P, O P 4 O + α Pole równoległooku moŝemy oliczyć wykorzystując fkt, Ŝe jest on zuowny z wóch przystjących trójkątów prostokątnych. Wykorzystując twierzeni Pitgors ukłmy równnie z niewiomymi i.

5 / : Buujemy ukł równń z niewiomymi i,.który rozwiązujemy metoą postwini P Oliczmy pole równoległooku. O Oliczmy owó równoległooku. Rom β α - w romie wszystkie oki są równe, - w romie przeciwległe kąty są równe, - w romie α + β 80 α β Przekątne w romie: - zielą się n połowę, - przecin ją się po kątem prostym, α - zielą kąty wewnętrzne n połowę β r Okrąg wpisny w rom: - śroek okręgu wpisnego w rom jest punktem przecięci przekątnych romu - wzór n promień okręgu wpisnego w rom r h

6 Wzory n pole romu h P h α P sinα P Przykł Jen z przekątnych romu jest w rzy łuŝsz o rugiej. Wyzncz stosunek owou romu o sumy jego przekątnych. Rozwiąznie Komentrz Anliz zni. Dne: Szukne: Wzory: O + O Przekątne w romie są prostopłe, ztem α 90 Wykorzystując twierzenie Pitgors i wykonując opowienie postwienie ukłmy równnie z niewiomą.

7 O Oliczmy stosunek owou romu o sumy jego przekątnych. Przykł Olicz pole romu wieząc, Ŝe krótsz przekątn m ługość 6 i kąt ostry romu m mirę 60 Rozwiąznie Komentrz Anliz zni. Dne: Szukne: Wzory: 6 P P α 60 Przekątne w romie są prostopłe, ztem trójkąt ABF jest prostokątny. Z włsności romu wynik równieŝ: β α 0 BF AF tg β Oliczmy wykorzystując wzór: przyprostoktn _ nprzeciw _ α tg α przyprostoktn _ przy _ α tg 0

8 6 8 / 8 / : 6 P Oliczmy pole romu. Prostokąt - przekątne w prostokącie są równe i zielą się n połowy P - wzór n pole prostokąt: R Okrąg opisny n prostokącie: - śrokiem okręgu opisnego n prostokącie jest punkt przecięci przekątnych prostokąt - wzór n promień okręgu opisnego n prostokącie R przekątn prostokąt Przykł Prostokąt wpisny jest w okrąg o promieniu 0, stosunek ługości jego oków jest równy : 4. Olicz pole tego prostokąt. Rozwiąznie Anliz zni. Komentrz Dne: Szukne: Wzory: R 0 P P 4

9 + ( R) Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Wykorzystując twierzenie Pitgors l tego trójkąt zpisujemy równnie z niewiomymi i Zpisujemy ukł równń z niewiomymi i, który rozwiązujemy metoą postwini P Oliczmy pole prostokąt. Kwrt - przekątne kwrtu są równe, przecinją się po kątem prostym i zielą się n połowy - wzór n przekątną kwrtu: - wzór n pole kwrtu: P R r Okrąg wpisny w kwrt i okrąg opisny n kwrcie - punkt przecięci przekątnych kwrtu jest śrokiem okręgu wpisnego w kwrt i śrokiem okręgu opisnego n kwrcie. - wzór n promień okręgu wpisnego w kwrt : r - wzór n promień okręgu opisnego n kwrcie: R

10 Przykł RóŜnic mięzy ługością przekątnej i ługością oku kwrtu wynosi cm Olicz pole i owó kwrtu Rozwiąznie Dne : Szukne: Wzory: P, O P O 4 ( ) / : ( ) / ( + ) + + P + ( ) ( ) ( + ) 8 8 O Anliz zni. Komentrz Ukłmy i rozwiązujemy równnie z niewiomą. Usuwmy niewymierność z minownik Oliczmy pole kwrtu. + Do wykonni ziłni ( ) wykorzystujemy wzór skróconego mnoŝeni : ( ) Oliczmy owó kwrtu. Przykł Olicz stosunek promieni okręgu opisnego n kwrcie o promieni okręgu wpisnego w kwrt. Szukne: R r R r Rozwiąznie Wzory: R r Anliz zni. Komentrz Oliczmy stosunek promieni okręgu opisnego n kwrcie o promieni okręgu wpisnego w kwrt

11 ĆWICZENIA Ćwiczenie (pkt ) W trpezie prostokątnym wysokość h 8cm, kąt ostry α 45. Olicz owó trpezu wieząc, Ŝe krótsz postw 0cm. schemt ocenini opowiezi Opowieź Licz punktów Ponie ługości rmieni nieprostopłego o postw. Ponie ługości łuŝszej postwy trpezu. Ponie owou trpezu. Ćwiczenie (pkt ) Olicz pole i owó trpezu równormiennego, w którym postwy mją ługości 6 cm i 6cm orz rmię m 5 cm. schemt ocenini opowiezi Opowieź Licz punktów Ponie wysokości trpezu. Ponie pol trpezu Ponie owou trpezu. Ćwiczenie (pkt ) Olicz ługość krótszej przekątnej równoległooku o okch I 5 cm, jeŝeli kąt ostry m mirę 45. cm schemt ocenini opowiezi Opowieź Licz punktów Ponie wysokości równoległooku opuszczonej n łuŝszy ok. Ponie ługości ocinków, n które wysokość zieli łuŝszy ok. Ponie ługości krótszej przekątnej równoległooku. Ćwiczenie (pkt ) Olicz pole i owó romu wieząc, Ŝe promień okręgu wpisnego w ten rom wynosi 4 cm i kąt ostry tego romu 0. schemt ocenini Opowieź Licz punktów opowiezi Ponie wysokości romu. Ponie ługości oku romu. Ponie pol romu.

12 Ćwiczenie (pkt ) Olicz ługości przekątnych romu o kącie ostrym 60 i oku 0cm. schemt ocenini Opowieź Licz punktów opowiezi Ponie ługości krótszej przekątnej. Ponie ługości łuŝszej przekątnej. Ćwiczenie (pkt ) Olicz pole i owó prostokąt wieząc, Ŝe jego przekątn m ługość 5 cm, jeen z oków jest w rzy większy o rugiego. schemt ocenini opowiezi Opowieź Licz punktów Ponie ługości oków prostokąt. Ponie pol prostokąt. Ponie owou prostokąt. Ćwiczenie (pkt ) Olicz pole i owó kwrtu wieząc, Ŝe promień okręgu opisnego n tym kwrcie wynosi 4 cm schemt ocenini opowiezi Opowieź Licz punktów Ponie ługości oku kwrtu. Ponie pol kwrtu. Ponie owou kwrtu.