Regionalne Koło Matematyczne

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Regionalne Koło Matematyczne"

Janina Jastrzębska
4 lat temu
Przeglądów:

Regionlne Koło Mtemtyzne Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wyził Mtemtyki i Informtyki http://www.mt.umk.

.) Wektorem uporząkownej pry prostyh równoległyh(, ) nzywmy wektor u równy wektorowi, którego pozątek

Trnslją (przesunięiem) o wektor u nzywmy przeksztłenie, które punktowi X P przyporząkowuje tki punktx,

Pokzć, żes S S jest symetrią osiową. Rozwiąznie.

1 Regionlne Koło Mtemtyzne Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wyził Mtemtyki i Informtyki List rozwiązń zń nr 8, grup zwnsown ( ) O izometrih (..) Wektorem uporząkownej pry prostyh równoległyh(, ) nzywmy wektor u równy wektorowi, którego pozątek znjuje się n prostej, konie n prostej orz wektor ten jest prostopły o prostyh,. Wektor ten oznzmy(,). Trnslją (przesunięiem) o wektor u nzywmy przeksztłenie, które punktowi X P przyporząkowuje tki punktx, że XX = u. Trnslję oznzmy symolemt u.. Nieh,,ęą prostymi równoległymi. Pokzć, żes S S jest symetrią osiową. Rozwiąznie. Nieh ęzie tką prostą równoległą o prostyh,,, że (,)=(, ). Wówzs S S S =S (S S )=S (S S )=(S S ) S =S. Ztem istotnie złożenie trzeh symetrii osiowyh o osih równoległyh jest symetrią osiową. N rysunku przestwione jest położenie osi. u u

2 Orotem o śroku O i kąie α nzywmy przeksztłenie, które owolnemu punktowix przyporząkowuje punktx tki, że OX = OX i XOX =αi oznzmy symolemro α. Ozywiśie posługujemy się kątmi skierownymi. 2. Uowonić, żes S, gy, jest orotem wokół punktu przeięi prostyh iokąt, który jest w rzy większy o kąt pry prostyh. Rozwiąznie. Uzsnienie jest nieml ientyzne, jk w sytuji prostyh równoległyh. Nieh prosteiprzeinją się w punkieo. Weźmy owolny punktx i okonjmy przeksztłenis S nx. NiehX =S (X) i X =S (X )=S S (X). X X X O Łtwo zuwżyć, że OX = OX = OX orz XOX =2 (,). W poony sposó jk l trnslji owozimy, że 3. Kży orót możn przestwić jko złożenie wóh symetrii osiowyh. 4. Zć, jkim przeksztłeniem jest złożenie wóh orotów. Rozwiąznie. Nieh ne ęą orotyr α O ir β O 2.. JeśliO =O 2, to łtwo zuwżmy, żer β O 2 R α O =R α+β O. 2. NiehO O 2. Wówzs oroty przestwimy jko złożeni pr wóh symetrii osiowyh. Niehęzie prostą przehoząą przez śroki orotówo,o 2. Prosteioiermy tk, y (,)= 2 α i (,)= 2 β. 2

3 O 2 β 2 α 2 β O 2 O 2 α Wówzs R β O 2 R α O =(S S ) (S S )=S (S S ) S =S S. Mogą zjść w przypki W przypku 2.. nieho ęzie punktem przeięi prostyhi. Przez punkt O prowzimy prostą równoległą o. Wówzs (,)= (,)+ (,)= 2 α+ 2 β= 2 (α+β). ZtemR β O 2 R α O =R α+β O jest orotem wokół punktuookątα+β. W przypku 2.2. prosteisą równoległe (ptrz rysunek). 2 β 2 β O 2 O 2 α Ztem (,)= β. Stą 2 2 α+ β=kπ i lej 2 α+β=2kπ. PoniewżR β O 2 R α O =S S i, tor β O 2 R α O jest trnslją. Posumowują mmy, że złożenie wóh orotów jest: ) orotem o kątα+β, gy śroki orotów się pokrywją, 3

4 2) orotem o kątα+β, gyα+β nie jest łkowitą wielokrotnośią kąt pełnego, 3) trnslją, gy α + β jest łkowitą wielokrotnośią kąt pełnego. 5. Jeśli proste,,przeinją się w punkieo, tos S S jest symetrią osiową. Rozwiąznie. Dowó jest ientyzny jk l trnslji, korzystmy z fktu, że S y S x =S z S t wtey i tylko wtey, gy (x,y)= (t,z). 6. Dny jest punktp 0 i trójkątabc. NiehP ęzie orzem punktup 0 w oroie wokół punktuaokąt20. PunktP 2 jest orzem punktup w oroie ookoł punktubo kąt20, zś punktp 3 jest orzem punktup 2 w oroie ookoł punktuc o kąt20. PunktP 4 jest orzem punktup 3 w oroie ookoł punktuaokąt20, it. Uowonić, że jeżelip 200 =P 0, to trójkąt ABC jest równoozny. C P 0 A B Rozwiąznie. Wyznzmy kolejno punktyp,p 2,P 3,...,P 200 w zleżnośi o punktup 0. Ztem P =RA 20 (P 0), P 2 =RB 20 (P )=RB 20 RA 20 (P 0). PrzeksztłenieRB 20 RA 20 jest pewnym orotem o240. Dlej P 3 =RC 20 (P 2)=RC 20 RB 20 RA 20 (P 0 )=T u (P 0 ). }{{} trnslj PrzeksztłenieR 20 C R 20 B R 20 A jest przesunięiem o pewien wektor u. Wówzs P 6 =R 20 C R 20 B R 20 A (P 3)=T u (P 3 )=T u (T u (P 0 ))=T 2 u (P 0 ). Inukyjnie owozimy, że P 3n =T n u (P 0 ). ZtemP 200 =T 670 u (P 0 ). PoniewżP 200 =P 0, wię P 0 P 200 = 0 =670 u, to u= 0. ZtemT u jest tożsmośią. Tożsmośią jest wię przeksztłenierc 20 R 20 RA 20 = P. ZtemRB 20 RA 20 =RC 20. Przestwmy oroty w posti złożeni symetrii osiowyh. 4 B

5 C 60 B A 60 Mmy wię R 20 B R 20 A =(S S ) (S S )=S S =R 240 C. PoniewżR 20 C R 240 C = P, toc=c. N rysunku wizimy, że trójkątabc m kąty wewnętrzne o mierze60, o owozi, że trójkąt jest równoozny. 7. Opisć izometrię, któr jest złożeniem trzeh symetrii osiowyh. Rozwiąznie. PrzeksztłenieS T u, gziejest prostą i wektor u, nzywmy symetrią z poślizgiem. Zuwżmy, że jeśli u, tos T u =T u S.. Jeśli proste,,są współpękowe, tos S S jest symetrią osiową. Ten fkt wynik z poprzenih zń. 2. Nieh,, ęą prostymi nienleżąymi o jenego pęku. Wówzs mogą zjść nstępująe przypki. 2.. i, 2.2. i, 2.3. i, 2.4., i. A. 2.. N rysunku mmy przestwioną grfiznie sytuję. Zuwżmy, żes S =T u, wię S S S =S T u. A Poonie mmy wówzs S S S =S S S S S =(S S ) (S S S ). 5

6 Poniewż, to istnieje wektor v tki, żes S =T v. PontoS S S = S, gyż proste,,nleżą o jenego pęku. Ztem A Tu mmy równość S S S =T v S. S S S =(S S ) S =T u S. A Prowzimy prostą równoległą o przez punkt przeięi prostyhi. Wówzs S S S =(S S ) (S S S )=T u S p, gyżs S jest trnslją, o, S S S jest symetrią osiową. Pozostje nm opisć izometrie postit u S is T u. Uzynimy to w przypkut u S, rugi przypek opisujemy nlogiznie. N rysunku mmy shemt nszej sytuji. 6

7 u v w Weźmy wektory v i w tkie, że Wówzs v, w i u= v+ w. T u S =T v+ w S =T v T w S =T v (T w S ). TrnsljęT w możn przestwić jkos m S n, przy zym w mim n. Ztem T u S =T v (S m S n S ). Poniewż m w i w, to m, wię proste m, n, są równoległe. Izometri S m S n S jest wię symetrią osiową o osir, któr jest równoległ o prostyh m,n,. Mmy wię T u S =T v S r. N zkońzenie zuwżmy, że v r, gyż v ir. Uwoniliśmy wię, że izometris S S jest symetrią z poślizgiem. Wniosek. Dl owolnyh prostyh,,złożenie symetrii osiowyhs S S jest symetrią z poślizgiem. 7

Podobne dokumenty

G i m n a z j a l i s t ó w

G i m n a z j a l i s t ó w Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń