DARIUSZ KULMA. Jak zdać maturę. z matematyki. na poziomie rozszerzonym DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO! WYDAWNICTWO ELITMAT Mińsk Mazowiecki 2013

Transkrypt

1 DARIUSZ KULMA Jk zć mturę z mtemtyki n poziomie rozszerzonym DLA BYSTRZAKÓW I NIE TYLKO!? WYDAWNICTWO ELITMAT Mińsk Mzowiecki 03

2 Autor: Driusz Kulm Oprcownie rekcyjne: Młgorzt Zkrzewsk Projekt grficzny okłki: Pulin Kotomsk Projekt grficzny i skł komputerowy: Pulin Kotomsk Druk i oprw: Drukrni Beltrni Sp. J. ul. Śliwkow 3-98 Krków tel W książce wykorzystno zni uostępnione przez Centrlną Komisję Egzmincyjną. Fotogrfie z jolopes - i ; gsnrew - i ; Fernno Btist - i ; Pvel Igntov - i ; Poles i ; Mopic - i ; zongo - i ; Victori Klinin - i ; EtiAmmos - i. 7848; Pvel Timofeev - i ; Sergey Nivens - i ; JiSIGN - i ; khrlmov_lv - i Zjęcie utor n okłce: Piotr Bernś Copyright by Firm Eukcyjno Wywnicz ELITMAT Driusz Kulm Wynie: Firm Eukcyjno Wywnicz ELITMAT Driusz Kulm Plc Kilińskiego 7/4, Mińsk Mzowiecki tel e-mil: elitmt@elitmt.pl, Mińsk Mzowiecki 03. Wynie pierwsze. ISBN: Wszystkie książki wywnictw są ostępne w sprzeży wysyłkowej. Zmówieni prosimy skłć przez stronę bąź n res elitmt@elitmt.pl

3 Wstęp, który przeczytj koniecznie! Wtey bęziesz wieził: co? jk? lczego? po co? i kiey? Drogi Mturzysto N wstępie chciłem Ci pogrtulowć. Cieszę się, że zmierzsz zwć mtemtykę n poziomie rozszerzonym. Dlczego się cieszę? Dltego, że chcesz zwć mturę z przemiotu, który w obecnych czsch otwier rzwi n njlepsze kierunki stuiów. Ktoś może zpytć lczego tkie kierunki są njlepsze. Co roku The Wll Street Journl publikuje rnking zwoów. Wśró ziesiątki njlepszych o wielu lt królują zwoy mtemtyczne lub wykorzystujące mtemtykę. Mtemtyk, progrmist, kturiusz (specjlist o oceny ryzyk ubezpieczeń), sttystyk, nlityk systemów komputerowych. W 009 roku trzy pierwsze zwoy w tym rnkingu były związne z mtemtyką. Pmiętjmy, że to, co zieje się i ksztłtuje w gosporce i n rynku prcy w Stnch Zjenoczonych, bęzie również miło miejsce po kilku ltch w Polsce. A tk nprwę już się tk zieje, poniewż specjliści po kierunkch technicznych nie mją z reguły problemów ze znlezieniem prcy. Rynek prcy zecyownie owrc się o kierunków humnistycznych. Książk, którą trzymsz w ręku, jest zbiorem wielu oświczeń i obserwcji. Jk pewnie zuwżyłeś, mtur z mtemtyki n poziomie rozszerzonym jest o wiele truniejsz o tej z poziomu postwowego. Njwiększe problemy sprwi uczniom fkt, że w oróżnieniu o mtury n poziomie postwowym, nie m tk użej ilości mturlnych pewników. Często spotykm się z pytnimi: N jkie zni postwić? Czego uczyć się w pierwszej kolejności? Co bęzie n pewno? Może Cię zmrtwię, le w mturze rozszerzonej tkich stuprocentowych pewników prktycznie nie m. Jest jenk pewien knon zń powtrzjących się ość często np. równnie trygonometryczne, równnie kwrtowe z prmetrem czy nierówność z powójną wrtością bezwzglęną. Dokonłem nlizy wszystkich zń mturlnych z osttnich 5-6 lt z kżego z terminów i okzło się, że możn wybrć tkie zgnieni, które powtrzją się cyklicznie. Częściej lub rzziej, le jenk. Zni zmieszczone w tej książce nwiązują o wszystkich tych zgnień. Czym t książk różni się o innych? Po pierwsze tym, że Jk zć mturę z mtemtyki n poziomie rozszerzonym to specjlny system przygotowń, który sprwz się n kursch i zjęcich, które prowzę. To kilknście lt prcy i zbierni oświczeń, obserwcji, których okonłem n ziesiątkch tysięcy lekcji, jkie przeprowziłem. Dzięki systemowi przygotownie jest nprwę skuteczne. Kżego roku strm się system uoskonlć. Książk w ziłch zwier w części zsniczej 0 zni omówione krok po kroku. W kżym zniu zostły wyorębnione poszczególne etpy i czynności, które trzeb wykonć, by łtwiej Ci było okonć nlizy. Zni zostły ułożone prmi. Pierwsze znie (z numerem nieprzystym) jest zniem o nlizy. Krok po kroku nlizujesz ne znie obserwując jk zostło ono rozwiązne. Drugie znie (z numerem przystym) jest zniem sprwzjącym o smozielnego wykonni, które jest poobne, często prwie ientyczne, czsmi nwiązujące tylko w jkimś stopniu o zni o nlizy. W ten sposób bęziesz mógł smozielnie wyćwiczyć nowe umiejętności i sprwzić czy już to umiesz. N kolejnych stronch znjziesz rozwiąznie krok po kroku tego zni, by potwierzić czy wszystko obrze rozumiesz i wykonujesz. W żnej innej książce zni nie są ułożone w ten sposób. To nprwę bęzie efektywnie ziłć, wykonne smozielnie zni bęą utwierzły Cię w przekonniu, że iziesz w obrą stronę. 3

4 N początku kżego ziłu znjziesz wżne informcje i njwżniejsze wzory z nego ziłu. Wiele wzorów czy zgnień rozszerz treści tblic mtemtycznych i wrto z nich korzystć, bo często pozwolą Ci w szybszy sposób rozwiązć znie. Nigy nie omijj tej części. Przejrzyj wzory i przypomnij sobie np. które wzory już znsz, których jeszcze nigy nie używłeś przy rozwiązywniu zń. Nie wszystkie zni są znimi, które mogłyby znleźć się n mturze, le musiły zostć umieszczone w tej książce, by tworzył spójną cłość i byś mógł łtwiej zrozumieć ny mterił. Dltego nie omijj żnych zń. Zrób nwet te, które wyją Ci się łtwe, jk i te, które sprwiją Ci truność. Wszystko sz rę zrozumieć tylko bąź konsekwentny w swoich mturlnych przygotownich. Osttnim filrem systemu są powtórki poszczególnych zgnień czy rozjów zń w opowienich ostępch czsowych. Nwiązuje to o okryć specjlistów o psychologii poznwczej Hermnn Ebbinghus i Tonego Buzn. Pierwszy z nich zuwżył zleżność zpominni mteriłu w czsie i konieczność opowieniej ilości powtórek, których powinno być 6-7, by ne zgnieni pmiętć trwle. Tony Buzn zuwżył, że powtórki te bęą jeszcze skuteczniejsze, gy bęą w określonym momencie. W nszej książce pierwsz powtórk to znie sprwzjące. Kolejne bęą wtey, gy bęziesz rozwiązywł zni z posumowń, które znjują się n końcu kżego z ziłów. Posumowni skłją się w około połowie z zń testowych i w połowie z otwrtych. Wszystkie otyczą zgnień z poziomu rozszerzonego. Znjziesz w nich zni onoszące się o wszystkich poprzenich ziłów - w Posumowniu nr bęą zni tylko z pierwszego ziłu, le już w Posumowniu nr 5 z poprzenich pięciu. Dzięki temu cły czs bęziesz pmiętł zni, które powtrzłeś wcześniej. I tk o smej mtury! Przy poszczególnych znich w posumownich znjziesz wskzówki. Njczęściej jest to numer zni poobnego, czsem tylko informcj, gzie szukć wskzówki. Do wszystkich tych zń znjziesz opowiezi n końcu książki, nwet rozwiązni krok po kroku, gy znie jest owoem lub innym zniem n wykzywnie. W innych książkch, gy spotykmy owoy njczęściej nie m opowiezi, ni żnego rozwiązni. W tej książce jest inczej. I jeszcze jeno! Nie bój się owoów. Zni tego typu uczą Cię uogólnić mtemtyczne fkty, są brzo rozwijjące i pobuzjące Twoją kretywność. Strj się zń tego typu rozwiązywć jk njwięcej. Książk przeznczon jest również o mtury w 05 i kolejnych ltch. Buow mtury bęzie trochę inn. Pojwią się zni testowe i zni koowne. Treści jenk obowiązujące orz stopień truności w ogromnej większości pozostną tkie sme. Zmieni się zkres mteriłu, le nie bęzie go mniej tylko więcej. Treści obowiązujące o mtury 05 zostły zmieszczone w zile. Tm znjziesz mięzy innymi zni z rchunku różniczkowego czy obliczni grnic. Zostło mi życzyć Ci prcowitości i wytrwłości, bo nie m złotych śroków w przygotownich bez tych cech. A sukces sm wtey przyjzie! I to większy niż myślisz! Powozeni! 4

5 SPIS TREŚCI str. LICZBY RZECZYWISTE 7 PODSUMOWANIE NR 37. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 39 PODSUMOWANIE NR FUNKCJE 69 PODSUMOWANIE NR RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 89 PODSUMOWANIE NR CIĄGI LICZBOWE 07 PODSUMOWANIE NR 5 6. TRYGONOMETRIA 3 PODSUMOWANIE NR PLANIMETRIA 39 PODSUMOWANIE NR GEOMETRIA KARTEZJAŃSKA 57 PODSUMOWANIE NR STEREOMETRIA 75 PODSUMOWANIE NR STATYSTYKA, PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA 93 PODSUMOWANIE NR 0 3. Wybrne zgnieni z mteriłu obowiązującego n egzminie mturlnym 05 roku. 5 PODSUMOWANIE NR 9 ODPOWIEDZI DO PODSUMOWAŃ NR - 3

6 Wyrżeni lgebriczne Wyrżeni lgebriczne to, njprościej możn powiezieć, wyrżenie z jenym lub większą ilością symboli połączonych ze sobą znkmi ziłń np.: yx czy 3 b. Wżnym elementem tego ziłu są wzory skróconego mnożeni. Z tego powou o tego ziłu zostły przeniesione przykły z ich wykorzystniem. Postwowe wzory skróconego mnożeni WZORY Z PRZYKŁADAMI ^ - bh = - b + b ^4x - 3h = ^4xh - $ 4x $ = 6x - 4x + 9 ^ + bh = + b + b ^3 + h = 3 + $ 3 $ + ^ h = = 7 + ^ - bh^ + bh = - b ^ - 3 h^ + 3 h = - ^ 3 h = 4-3 = ^ - bh = - 3 b + 3b - b ^x - yh = x - 3 $ x $ y + 3 $ x $ ^yh - ^yh = = x - 6x y + xy - 8y ^ + bh = + 3 b + 3b + b ^x + 5h = ^xh + 3 $ ^xh $ $ x $ = 8x + 60x + 50x b = ^ - bh^ + b + b h x - 8 = x - = ^x - h^x + x + 4h b = ^ + bh^ - b + b h x + 7 = x + 3 = ^x + 3h^x - 3x + 9h 39

7 Wyrżeni lgebriczne. n n - = ^ - h^ + + f + - h x - = ^x - h^ + x + x + x + x h n n n - n - n - k k - n - n - - b = ^ - bh^ + b + f + b + f + b + b x - 3 = x - = ^x - h^x + x + 4x + 8x + 6h ^x + y + zh = x + y + z + xy + yz + xz ^ + + bh = b b + b h Wykzywnie równń i nierówności Jenym z njbrziej postwowych owoów w wyrżenich lgebricznych jest zleżność: / x R + x + x $ Uowonijmy zleżność zrówno lgebricznie jk i grficznie. PRZYKŁAD Wykż, że l kżej liczby x R + zchozi zleżność x + x $ x x + $ $ x x + $ x x - x + $ 0 ^x - h $ 0 Kwrt różnicy jest zwsze nieujemny. / ^x - h $ 0 x R + To brzo wżn zleżność, o której wielokrotnie bęziemy się owoływć i to nie tylko w tym zile. / x, y R + Anlogicznie możemy zpisć: y x + x y $ 40

8 Wyrżeni lgebriczne. ZADANIE 39. ZADANIE o nlizy. Uowonij, że l kżego i b wyrżenie 4 $ b^ - bh jest prwziwe. Opuszczmy nwis, porząkujemy i zpisujemy wyrżenie jko kwrt różnicy, który jest zwsze nieujemny 4 $ b - b 4 - b + b $ 0 ^ - bh $ 0 / ^ - bh $ 0, b R ZADANIE 40. ZADANIE sprwzjące. 4 pkt sierpień 00 Wykż, że nierówność b + b $ jest spełnion przez wszystkie liczby rzeczywiste i b. ZADANIE 4. ZADANIE o nlizy. 3 pkt czerwiec 0 Uowonij, że l owolnych liczb otnich, b, c i prwziw jest nierówność c + b # + b $ c + Ponosimy nierówność stronmi o kwrtu, porząkujemy przenosząc wyrżeni n jeną stronę orz przestwimy jko kwrt różnicy, który jest zwsze nieujemny ZADANIE 4. ZADANIE sprwzjące. c + b # + b $ c + c + bc + b # ^ + b h^c + h c + bc + b # c + + b c + b bc - - b c # 0 $ ^-h - bc + b c $ 0 ^ - bch $ 0 / ^ - bch $ 0, b, c, R Uowonij, że l owolnych otnich liczb k, l, m, n prwziw jest nierówność k m + l n # k 4 + l 4 $ m 4 + n 4. 4

9 Wyrżeni lgebriczne. ODPOWIEDZI. opowieź o ZADANIA pkt sierpień 00 Wykż, że nierówność b + b $ Ponosimy nierówność stronmi o czwrtej potęgi, porząkujemy przenosząc wyrżeni n jeną stronę orz przestwimy jko kwrt różnicy, który jest zwsze nieujemny jest spełnion przez wszystkie liczby rzeczywiste i b b + b 4 $ b b $ ` + j b + b + b $ 4 $ b $ + b + b b + b $ 0 ^ - b h / $ 0 ^ - b h $ 0, b R opowieź o ZADANIA 4. Uowonij, że l owolnych otnich liczb k, l, m, n prwziw jest nierówność k m + l n # k + l $ m + n. Ponosimy nierówność stronmi o kwrtu, k m + l n # k + l $ m + n porząkujemy przenosząc wyrżeni n jeną k m + k m l n + l n # ^k + l h^m + n h stronę orz przestwimy jko kwrt różnicy, k m + k m l n + l n # k m + k n + l m + l n który jest zwsze nieujemny k n + k m l n - l m # 0 $ ^-h k n - k m l n + l m $ 0 ^k n - l m h $ 0 / ^k n - l m h $ k, l, m, n R 4

10 ZADANIE 43. ZADANIE o nlizy. Wykż, że nierówność log b log 4 jest prwziw l kżego ^0; h i b ^0; h. b $ Wyrżeni lgebriczne. Korzystmy ze wzoru logb = log b i porząkujemy nierówność log 9 log b b $ 0 Jeśli ^0; h i b ^0; h, to log b jest otni, więc usuwmy minownik mnożąc stronmi 3 Nierówność możn przestwić jko kwrt sumy, który jest zwsze nieujemny log log 9 b log b $ 0 $ log b + 6 log b + 9 $ 0 ^log b + 3h 0 $ b ZADANIE 44. ZADANIE sprwzjące. Wykż, że l x ^0; h prwziw jest nierówność 5^ + 5 log xh # log x. 43

11 Wyrżeni lgebriczne. ODPOWIEDZI. opowieź o ZADANIA 44. Wykż, że l x ^0; h prwziw jest nierówność 5^ + 5 log h # log x. Przeksztłcmy nierówność tk, by przestwić ją w postci kwrtu 5 log x x log x #- logx log + log x # log x # 0 x $ log x UWAGA! Wyrżenie log x l x ^0; h jest liczbą ujemną. 0 log x log x $ 0 log x + 0 log x + 5 $ 0 ^log x + 5h $ 0 / ^logx + 5h $ 0 x ^0; h NOTATKI 44

12 Wyrżeni lgebriczne. ZADANIE 45. ZADANIE o nlizy. 4 4 Uzsnij, że jeżeli + b = i + b = 9, to + b = 49. Przeksztłcmy pierwsze równnie, ponosząc stronmi o kwrtu + b = b + b = 8 + b = 8 - ^bh 4 4 Przeksztłcmy rugie równnie, ponosząc stronmi o kwrtu 3 Postwimy wyznczoną wrtość o pierwszego równni + b = + b + b = + b + b = \ 9 b =- 8 : b = b = 8 - $ ^-4h b = b = 49 ZADANIE 46. ZADANIE sprwzjące. Oblicz x y, jeśli x + y = 6 orz x + y =. 45

13 Wyrżeni lgebriczne. ODPOWIEDZI. opowieź o ZADANIA 46. Oblicz x y, jeśli x + y = 6 orz x + y =. Przeksztłcmy pierwsze równnie, ponosząc stronmi o kwrtu x + y = x + x y + y = 676 x + y = ^xyh 4 4 Przeksztłcmy rugie równnie, ponosząc stronmi o kwrtu 3 Postwimy wyznczoną wrtość o pierwszego równni x + y = x + xy + y = 4 x + y + xy = 4 S 6 xy =- : xy = - x x x y = $ ^-h y = y = 434 NOTATKI 46

14 Wyrżeni lgebriczne. ZADANIE 47. ZADANIE o nlizy. Wykż, że jeżeli i b są liczbmi otnimi orz b =, to ^ + 3h^b + 3h $ 6. Wyznczmy b = i postwimy o lewej strony nierówności L = ^ + 3h^b + 3h = ^ + 3h^ + 3h = Uprszczmy i reukujemy = = = Wyłączmy 3 prze nwis = 0 + 3^ + h $ 6 $ P \ $ W nwisie otrzymliśmy sumę owrotności wóch liczb otnich, któr jest zwsze większ bąź równ. ZADANIE 48. ZADANIE sprwzjące. 3 pkt czerwiec Uzsnij, że jeżeli + b $ 0, to + b $ 3 b. ZADANIE 49. Wykż, że l owolnych x, y, z ZADANIE o nlizy.! R + wyrżenie ^x + y + zh $ ` x + y + j z $ 9. x y z y x x y j z x y z x z y z y x y x x L = ^x + y + z h ` + + = = z + x z + + y z $ 9 $ P [ [ [ y z $ $ $ ZADANIE 50. ZADANIE sprwzjące. Uzsnij, że jeżeli liczby, b, c są otnie i + b + c = to + b + c $ 4. 47

15 Wyrżeni lgebriczne. ODPOWIEDZI. opowieź o ZADANIA pkt czerwiec Uzsnij, że jeżeli + b $ 0, to + b $ 3 b. Wyznczmy i b z wrunku b $- ; b $- Przeksztłcmy lewą stronę nierówności 3 Postwimy wyznczone wrtości i b 3 3 L = + b = $ + b $ b b $ + b $ b = $ ^- h + b $ (- ) $ - b + 4 b $ 3 b $ P opowieź o ZADANIA 50. Uzsnij, że jeżeli liczby, b, c są otnie i + b + c =, to + b + c $ 4. b c b c $ 4 $ h b c $ 9 c b b c c c b + + $ 4 $ ^ + b + ch ^ + b + ch^ + + h ^ + b + ch ^ + b + ch^ + + b b b b c c b L = = $ 9 $ P [ [ [ c $ $ $ c 48

16 Wyrżeni lgebriczne. ZADANIE 5. ZADANIE o nlizy Uzsnij, że jeżeli x + y + z = 0, to x + y + z = 3xyz. Wyznczmy z z pierwszego równni z =- x - y Postwimy o lewej strony równni L = x + y + z = x + y + ^-x - yh = = x + y - x - 3x y - 3xy - y = =- 3x y - 3xy = 3xy^-x - yh = 3xyz = P \ z ZADANIE 5. ZADANIE sprwzjące. 3 3 Wykż, że jeżeli x + y =, to x + y + 3xy = x + y. NOTATKI 49

17 Wyrżeni lgebriczne. ODPOWIEDZI. opowieź o ZADANIA Wykż, że jeżeli x + y =, to x + y + 3xy = x + y. Zuwżmy, że kży owolny element równni możemy pomnożyć przez sumę x + y, poniewż jest on równ jeen L = x + y + 3xy = x + y + 3xy^x + yh = 3 3 = x + y + 3x y + 3xy = 3 3 = ^x + yh = = = x + y = P NOTATKI 50

18 Czs n PODSUMOWANIE NR! Wykonj smozielnie poniższe zni z poprzenich ziłów. Zrób je koniecznie. To njwżniejszy element nszych przygotowń. Zni w posumowniu są specjlnie tk obrne, byś utrwlił i zpmiętł to, czego nuczyłeś się wcześniej. Gybyś zpomnił jk rozwiązuje się jkieś znie - skorzystj ze wskzówki. Wskzówk to numer zni poobnego o tego, które msz rozwiązć lub zwierjącego przytne informcje, które pomogą w rozwiązniu. Wskzówk może również osyłć Cię o konkretnego wzoru lub umiejętności. W znich..5. zzncz jeną poprwną opowieź. ZAD. P.. Wyrżenie k^k + h^k + h^k + 3h, gzie k jest owolną liczbą cłkowitą, jest pozielne przez: A. 5 B. 9 C. 6 D. WSKAZÓWKA ZOBACZ ZADANIA 68 ZAD. P.. Rozwiązniem nierówności x + 5 $ jest przeził, gzie x ^- ; - 3 j - ; z tego, że: 3 3h. Wynik A. = 3 B. 0 C. jest liczbą pierwszą D. jest liczbą pozielną przez 3 WSKAZÓWKA ZOBACZ ZADANIA 3 ZAD. P..3 Stopień wielominu W^xh = ^x - h 5 $ ^4x - h 6 x jest równy: A. B. C. 7 D. 8 ZAD. P..4 Jeśli b = i + b = 0, to + b jest równe: WSKAZÓWKA ZOBACZ INFORMACJĘ NA STRONIE 5 A. 00 B. 8 C D. ^ h^ + h WSKAZÓWKA ZOBACZ ZADANIA 46 ZAD. P..5 Liczb ABCCBA, gzie A, B, C są owolnymi cyfrmi przystymi, zieli się przez: A. 4 B. 44 C. D. 8 PODSUMOWANIE NR WSKAZÓWKA ZOBACZ ZADANIA 4 ZAD. P..6 Oblicz wrtości m i n, l których wielomin W^xh jest pozielny przez wielomin P^xh, jeśli 4 3 W^xh = x + x + mx - 4x + n orz P x = x + x + ^ h. WSKAZÓWKA ZOBACZ ZADANIA 59 ZAD. P..7 Uowonij, że wyrżenie AAA + AA + A jest pozielne przez 4, jeżeli A ozncz owolną cyfrę. WSKAZÓWKA ZOBACZ ZADANIA 3 3 ZAD. P..8 Dny jest wielomin W^xh = x + x + bx - 6. Znjź i b wieząc, że jenym z miejsc zerowych wielominu jest liczb - 3, reszt z zieleni wielominu W^xh przez wumin x + 5 wynosi WSKAZÓWKA ZOBACZ ZADANIA 6 67