kartki od 27 do 32 włącznie kap. - kapitalizacja, zał. - założenie, załóżmy, zakładając, st. proc. - stopa procentowa, (...

Transkrypt

1 katki od 7 do 3 włączie kap. - kapitalizacja, zał. - założeie, załóży, zakładając, st. poc. - stopa pocetowa, (...) - uciętę watość pzez okesów st. poc. zgodie z odele kap. złożoej z dołu zgodej. Zał. że stopa iflacji a pzestzei tych okesów zieia swoją watość i iech pzez piewszych okesów wyosi i, pzez astępych okesów wyosi i itd. Niech = P Wzó (*) ozacza że a pzestzei -go okesu st. poc. K wzosła o czyik (+i). Pzy powyższych uwaukowaiach jest oczywiste że a pzestzei okesów pozio ce wzasta o czyik: (+i ) (+i )...(+i P ) p a zate stopa iflacji wyosi w ty okesie (8) i=(+i ) (+i )...(+i P ) p - ; i w kosekwecji e ( ) (8) K K p ( i) ( i )...( i P ) W powyższy pzypadku ożey okeślić pzeciętą stopę iflacji i pz będącą taką stałą stopą iflacji, pzy któej eala watość pzyszła jest taka saa jak eala watość pzyszła pzy zieiającej się st. iflacji. Tę pzeciętą st. iflacji pzypadającą a okes st. poc. okeśla ówaie: K ( ) ( ) K stąd (8) p i p pz ( i )...( i p ) ( i ) ( i )...( i ) pz p DYSKONTO Dyskote az. potąceie z góy odsetek od zaciągiętego kedytu lub potąceie odsetek od weksli i iych papieów watościowych ozaczających zobowiązaie spzedaży pzed teie płatości. Zaciągając w baku kedyt, kedytobioca zobowiązuje się zwócić pożyczoą kwotę w okeśloy sposób i w okeśloy teiie oaz spłacić stosowe odsetki jako zapłatę za wypożyczoą kwotę. Odsetki te ogą być pobieae z dołu albo z góy, wówczas kedytobioca otzyuje obiżoą watość kedytu o odsetki. To obiżeie kedytu o odsetki jest dyskote. W pzypadku obotu wekslai (weksel ozacza zoboziązaie do zapłaceia okeśloej kwoty, tzw. wat. oialej, w okeśloy teiie tzw. teiie wykupu lub teiie płatości) - lub iyi papieai wat. spzedawayi z dyskote - oże się zdazyć, że posiadacz weksla ie chce lub ie oże czekać a swój kapitał pieięży, aż do teiu wykupu weksla. Jeśli jedak chce otzyać swoje pieiądze wcześiej, to usi się liczyć z ty, że ie otzya pełej kwoty, ale kwotę iejszą. To obiżeie watości weksla jest dyskote. Dyskoto ożey itepetować jako zapłatę za udzieleie kedytu lub wcześiejszy wykup weksla. Poiejszeie watości o odpowiedie dyskoto az. dyskotowaie. Rozóżia się dwa odzaje dyskota: - dyskoto ateatycze (zeczywiste, dokłade); - dyskoto hadlowe (bakowe, pzybliżoe). DYSKONTO MATMATYCZN jest ówe odsetko wytwozoy pzez day kapitał w ozważay pzedziale czasu i wystawiae ajczęściej pzy udzielaiu kedytu bakowego z dyskote. Wyzaczoe jest od aktualej wat. kapitału od obowiązującej st. poc. (st. kedytowej) i obowiązującego odelu kap. Zate: (83) D =K -K ; Jeśli odsetki są wyzaczoe (a) wg. odelu kap. postej, to odpowiadające i dyskoto az. dyskote posty (b) wg. kap. złożoej - dyskote złożoy (c) wg. kap. ciągłej - dyskote ciągły. Uwzględiając wcześiej otzyae wzoy otzyay wzoy a dyskoto ateatycze. Dyskoto ateat. poste za okesów st. pocet (84) D M = K (+) K = K Dyskoto ateaty. Złożoe za okesów stopy pocetowej dla: Kap. złożoej z dołu zgodej wyosi: (85) D M = K (+) K [(+) ] Kap. złożoej z góy zgodej wyosi: (86) D M = K (-) K = K [(-) - -] Kap. złożoej z dołu iezgodej wyosi: (87) D M = K (+/) K = K [(+ ) ] Kap. złożoej z góy iezgodej wyosi: (88) D M = K (-/) - K = K [(- ) - -] Dyskoto ateatycze ciągłe za okesów st. pocet wyosi: (89) D M = K e K = K (e ) Oczywiście dyskot. Mateatycze (poiejszaie wat. o dyskoto ateatycze) i opocetowaie pzy tej saej st. pocetowej są działaiai wzajeie odwotyi. DYSKONTO HANDLOW stosowae jest w pzypadku kozystaia z weksli, czeków, obligacji spzedawaych z dyskote i iych papieów watościowych ozaczających zobowiązaie. W każdy z tych pzyp. zaa jest wat. oiala papieu watościowego jako wat. końcowa, a dyskoto hadlowe powoduje obiżeie wat. oialej do tzw. watości aktualej. Dyskoto hadlowe jest popocjoale do wat. oialej daego papieu watościowego, a współczyik popocjoalości z. się stopą dyskotową. Poadto dyskoto hadlowe jest popocjoale do czasu (...) Wzó okeślający dyskoto hadlowe jest astępujący (9) D H = W o d, gdzie W o oz. watość oialą papieu watościowego, d- stopę dyskotową, - liczbę okesów st. dyskotowej, któej

2 dyskoto dotyczy. Jeśli d oz. oczą st. dyskotową, atoiast oz. ilość di zawatych iędzy datą spłaty weksla a datą jego zakupu to wzó (9) oża pzedstawić w postaci (9) D H =W o (d/36), wówczas odstępujący weksel otzya jako zapłatę kwotę: W akt = W o - D H, któa jest watością aktualą weksla. Stąd otzyujey, że watość aktuala weksla okeśloa jest wzoe: (9) W akt = W o ( - (d/36) ) Dwa wksle az. ówoważyi w day diu jeśli ich watości aktuale w day diu są ówe. Zauważy, że dyskotowaie hadlowe (odejowaie od watości dyskota hadlowego) ie jest działaie odwoty do opocetowaia pzy tej saej st. poc. Istotie, p. dla opocetowaia postego pzy st. poc. i dyskotowej ay: K -D H =K -K =K(-)=K (+)(-)=K (- )<K ; oz. to, że dodaie odsetek postych do K daje watość K lecz odjęcie dyskota hadlowego od K ie daje watości K. Jest to kosekwecja tego, że odsetki poste (dyskoto at. poste) są iejsze od dyskota hadlowego obliczoego pzy tej saej stopie. Istotie dla okesów st. poc. i dyskotowej ay: D M =K ; D H =K, a poieważ K < K, N to D M < D H St. poc. i st. dyskotową d, dla któej dyskoto ateatycze poste jest ówe dyskotowi hadloweu z. stopai ówoważyi. Ustaliy zależości dla stóp ówoważych. Zate D H = D M, tj. K = K d lub ówoważie K = K ( + )d, stąd d = /(+) i = d/(-d). Zależości te wskazują, że ówoważość st. pocetowej i dyskotowej zależy od ilości okesów. Oczywiście st. ówoważe dla pewej ilości okesów ie są ówoważe dla ich iych okesów. Jak zauważyliśy wcześiej dyskoto hadlowe, któe wyzacza się a podstawie wat. pzyszłej jest większe od dyskota ateat. postego pzy tej saej stopie. Zate dyskoto hadlowe jest iekozyste dla dłużika. Dyskoto ateat. jest eutale dla dłużika i wiezyciela. Poadto bak, któy zakupuje weksel pzed teie płodości, pobiea opócz dyskota ówież ie opłaty takie jak opłatę yczałtową i popocjoalą. Powoduje to poiejszaie aktualej wat. weksla o te opłaty. OPROCNTOWANI PROST WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH Kapitał poaża swoją watość w wyiku dopisywaia odsetek (kapitalizacja odsetek). W pzypadku goadzeia fuduszy celowych pzezaczoych a ealizację koketych pzedsięwzięć odpowiedio szybkie tepo pzyostu kapitału zapewiają wkłady okesowe zwae ówież wkładai oszczędościowyi. Zakładać będziey, że kolejych wpłat dokouje się w tych saych odstępach czasu zwaych okese wpłaty. W takcie aalizowaia pobleu opocetowaia wkładów oszczędościowych ależy bać pod uwagę: okes st. pocet., okes wkładów i poadto w pzypadku odelu kapit. złożoej ówież okes kapitalizacji. Jeśli wyieioe okesy są ówe to tego typu wkłady z. wkładai zgodyi, w pzeciwy pzypadku wkłady z. będziey wkładai iezgodyi. Załóży że wkłady,,.., dokoywae są z dołu z okese st. pocetowej. Wówczas wat. końcowa suy tych wkładów okeśloa jest wzoe K= Z, gdzie Z jest suą wat. odsetek postych od wszystkich wkładów, zate Z= (-)+ (-) = [ (-)+ (-) ] stąd otzyujey: (93) K = [ (-)+ (-) ]; Jeśli wkłady oszczędościowe dokoywae są z góy to sua odsetek jest ówa: = + (-)+...+ = [ + (-) ] i pzyszła (końcowa) wat. suy wkładów okeślaa jest wzoe: (94) K = [ + (-)+...+ ] Jeśli wkłady oszczędościowe dokoywae są w jedakowej wysokości tj. = =...=, wówczas wzoy (93) i (94) pzyjują odpowiedio postać (93 ) K =+[(-)+(-)+...+]= (+(-)/) ; (94 ) K =+[+(-)+...+]= (+(+)/) tak więc pzyszła (końcowa) watość wkładów oszczędościowych o jedakowej wys. jest ówa: (95) K = (+((+lub-))/), pzy czy + dotyczy wkładów oszczędościowych z góy, a - wkł.oszcz. z dołu. Jeśli zastosujey aalogiczie ozuowaie jak w dowodzie wzou (7) wtedy otzyujey, że aktuala w oecie t wat. suy wkładów oszczędościowych w odelu opocetowaia postego jest ówa: K t = K (+t)/(+), a więc (96) K t = K [-(-t)/(+)] uwzględiając wzoy (95) i (96) otzyujey: (97) K t = (+((+lub-))/) * (+t)/(+) ; Aktualą w oecie t= suą wkładów oszczędościowych azywać będziey watością pzyszłą lub końcową. Aktualą w oecie t= watość suy wkładów oszczędościowych będziey az. watością teaźiejszą lub początkową. Uwzględiając (97) zauważay, że aktualizacja a oet t= daje watość teaźiejszą wkładów (98) K = (+((+lub-))/)*/(+) OPROCNTOWANI PROST WKŁADÓW NIZGODNYCH Niezgodość wkładów oszczędościowych w odelu opocetowaia postego polega a ty że okes st. poc. jest óży od okesu wkładu. Dla pzykładu oża ozważać wkłady iesięcze pzy opocetowaiu oczy. Cele uwzględieia okesów wkładów i opocetowaia wpowadza się współczyik =okes st. poc./okes wkładów. Zakładay, że N lub odwotością l. atualej, tj. okes st. poc. jest wielokotością okesu wkładów lub okes wkładów jest wielokotością okesu

3 st. poc. Wzoy (95),(97) i (98) pzyjują wtedy odpowiedio postać (95') K = (+((+lub-))/ * /) - watość pzyszła, końcowa; (97') K t = (+((+lub-))/ * /)*(+t /)/(+ /) - watość aktuala w oecie t; (98') K = (+((+lub-))/ * /)*/(+ /) - wa. teaźiejsza, początkowa. Uwaga - powyższe wzoy ożey zodyfikować w iy sposób jeśli istieje jedostka podstawowa dla okesów wkładów i st. poc. OPROCNTOWANI ZŁOŻON WKŁADÓW ZGODNYCH Stosujey odel kap. złożoej z dołu a więc podczas aalizy opocetowaia złożoego wkładu oszczędościowego będą poówywae 3 okesy: okes st. poc., okes wkładów i okes kap. Jeśli wszystkie te okesy są ówe, to wkłady az. będziey wkładai zgodyi. Jeśli pzyajiej z ich będą óże, to az. je wkładai iezgodyi. Zał. że aalizowae wkłady są zgode. Dla wkładów oszczęd. z dołu o wielkościach,,..., pzyszła (końcowa) ich watość K w oecie jest ówa suie pzyszłych watości wpłat w oecie. Wykozystując odel kap. złożoej z dołu otzyujey (99) K = (+) - + (+) = q - + q q+, gdzie q=+ ; - okes st.poc. pzy czy okesy st.poc., wpłat i kap. są ówe. (jakiś wykes czasu) W pzypadku wkładów oszczędościowych z góy, otzyujey () K = (+) + (+) (+)= q + q , gdzie q=+ Jeśli wkłady oszczęd. są ówe i ich wysokość wyosi to wzoy (99) i () pzyjują odpowiedio postać (99') K =(q - +q )=(q -)/(q-) dla wkładów z dołu ; (') K = (q +q q) = q(q -)/(q-) dla wkładów z góy. Stosując podobe ozuowaie jak w dowodzie (4) otzyujey () K t =K /(q -t ) - watość kwoty K zaktualizowaa a dowoly oet t N {} Zate wykozystując poday wyżej wzó a aktualą w oecie t wat. suy wkładów oszczęd. ożey w szczególości otzyać uwzględiając (') i () ast. wzó: () K t = /(q -t ) (q - )/(q-) -z dołu; K t = /(q -t- ) (q -)/(q-) -z góy, gdzie t=,,.., Wzoy () wyażają aktualizację a oet t suy wkładów oszczędościowych. W szczególości dla t= aktualizacja powadzi do wat. teaźiejszej (początkowej) suy wkładów oszczędościowych okeślaej wzoe: (3) K = /q (q -)/(q-) -dla wkładów z dołu; K = /(q - ) (q -)/(q-) -dla wkładów z góy; Oczywiście wzó () ustala zależości iędzy wielkościai Kt,,q,t i. OPROCNTOWANI ZŁOŻON WKŁADÓW NIZGODNYCH Niezgodość wkładów oszczędościowych ozacza, że pzyajiej spośód 3 okesów okesu st. pocetowej, wkładów, kapitalizacji są óże. Ustalaie aktualej wat. wkładów oszczędość. iezgodych w szczególości wat. końcow. Lub wat. początkowej polega a ich ówoważy zastąpieiu układai zgodyi i wykozystywaiu wzoów dotyczących wkładów zgodych. Mio, że o zgodości lub iezgodości wkładów oszczędościowych decydują 3 okesy, to jedak istote zaczeie a poówaie okesu wkładów z okese kapitalizacji. Poieważ okes st.pocet. ożey ustalić w zależości od sytuacji popzez wykozystaie względej st. pocetowej, to istote zaczeie ają 3 pzypadki wkładów iezgodych, któe będziey aalizować poiżej : (a) okes wkładów ówy okesowi kapitalizacji atoiast ok.st. pocet. a ią wat. Zakładay poadto, że okeśloy wzoe =okes stopy pocetowej, okes kapitalizacji, jest liczbą atualą lub odwotością l.atualej. uzgodieie wkładów otzyuje się pzez pzejście a względą st. pocetową =/ wówczas okes st. pocet. jest ówy okesowi kapitalizacji i ok. wkładów. Jeśli pzyjiey, że q = + to wobec wzou (99 ), ( ) i (3) otzyujey, że watość pzyszła suy wkładów oszczędościowych wyosi (4) K = ( q -)/(q-) ; K = q ( q - )/(q-) dla wykładów z góy. watość teaźiejsza suy wkładów oszczędościowych wyosi: (5) q K dla wkładów z dołu ; q K dla wkładów z góy q q q q (b) okes wkładów większy od okesu kapitalizacji Pzypuśćy, że okes wkładów jest całkowitą wielokotością okesu kapitalizacji(p. wkłady są półocze, kapitalizacja kwatala, oczywiście stopa pocetowa oże być dowola p. ocza) Niech ozacza dostosowaą do okesu wkładów stopę pocetową, tz. taką stope pocetową, któej okes jest ówy okesowi wkładów (wystaczy względą stopę pocetową lub jedostkę podstawową po odpowiediej odyfikacji). Wykozystay ektywą st. poc. ( ), gdzie liczba okeślająca ile azy okes wkładów (oaz okes st. poc. ) jest większy od okesu kapitalizacji, czyli:

4 =(okes st. poc. ()/okes kapitalizacji) ; wtedy okes st. poc. jest ówy okesowi st. poc. i okesowi wkładów, a stopa ekopesuje ekt kapitalizacji w podokesach. Otzyaliśy wkłady zgode, dla któych ożey stosować (99),(),(99 ),( ),(),(3). W kosekwecji dla wkładów oszczędościowych o jedakowej wysokości pzy ozaczeiu q = + otzyujey astępujące wzoy: watość pzyszła suy wkładów oszczędościowych q q (6) K dla wkładów z dołu ; K q dla wkładów z góy q q watość teaźiejsza suy wkładów oszczędościowych wyosi: q q (7) K dla wkładów z dołu ; K dla wkładów z dołu q q q q (c) okes wkładów iejszy od okesu kapitalizacji Załóży, że okes kapitalizacji jest wielokotością okesu wkładów (p. wkłady iesięcze pzy kapitalizacji kwatalej i oczej st. pocetowej) Na początek wyzaczay taka st. pocetową, któej okes jest ówy okesowi kapitalizacji. Stopę tą otzyujey wykozystując względą st. pocetową. Niech oz. st. pocet. dostosowaą do okesu kapitalizacji. Pzyjijy astępie, że wkładów dokoywao pzez ok. kapit. pzy czy w każdy ok. kapit. dokoywao wkładów o tej saej wysokości. Łącza ilość wkładów wyosi więc *. Scheat wkładów: czas... - wkłady z dołu z góy Opiszey dwie etody pzyszłej watości wkładów oszczędościowych częstszych iż kapitalizacja. (c) Model kapitalizacji złożoej z dołu W tej etodzie uzgodieia wkładów dokouje się pzez zastąpieie w kapitalizacji okesowej o zaday okesie kapitalizacji pzy stopie pocet. ówoważą kapitalizacją w podokesach zgodie z ok. wkładów z wykozystaie st. ówoważej. = (+) / gdzie N okeślającą ile azy okes kapitalizacji jest większy od okesu wkładów. Stosując wzoy (6) i (7) dla wkładów oszczędościowych zgodych pzy ozaczeiach q = + otzyujey podstawowe wzoy dla aalizowaych wkładów oszczędościowych: - watość pzyszłą (końcową) suy wkładów oszczędościowych wyażają wzoy: (8) K dla wkładów z dołu; K dla wkładów z góy - watość teaźiejszą (początkową) suy wkładów oszczędościowych okeślają wzoy: (9) K dla wkładów z dołu; K dla wkładów z góy (C) Model kapitalizacji ieszaej Zastosowaie odelu kapitalizacji ieszaej w aalizie wkładów oszczędościowych częstszych iż kapitalizacja polega a ty, że w podokesach okesu kapitalizacji (czyli w okesach wkładów) stosuje się opocetowaie poste, a w pełych okesach kapitalizacji opocetowaie złożoe z dołu zate zastępujey wkładów o watości każdy, dokoywaych w podokesach okesu kapitalizacji jedy ówoważy w sesie kapitalizacji postej, wkłade uowy z dołu. Okes wkładu uowego jest ówy okesowi kapitalizacji i ok. st. pocet.. Model kapitalizacji ieszaej stosują. i. polskie baki. okes kapitalizacji, okes stopy pocetowej =5 W celu wyzaczeia odsetek postych od wpłacaych kwot za okes kapitalizacji zauważay, że względa st. pocetowa dla podokesów wpłat wyosi, wg tej stopy wyzaczy okesy w podokesach wpłat. Zate dla wpłat z dołu ay: Z ( ) ( )... [( ) ( )... ] atoiast dla wpłat z góy: Z ( )... [ ( )... ]

5 Zate ogólie: Z = ((+lub-))/ st. pocet.... z dołu... z góy... okes kapitalizacji okes st. pocet = okes kapitalizacji Pzy czy zak "-" dotyczy wpłat z dołu a "+" dotyczy wpłat z góy