x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem"

Transkrypt

1 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: ) W aszych rozważaiach ie będziemy ograiczać się tylko do przykładów grup liczbowych. Jako przykład grupy ieliczbowej rozważmy tak zwaą grupę symetryczą. Niech N i ozaczmy przez S) zbiór wszystkich bijekcji zbioru {1,..., } a samego siebie. Na przykład dla 3elemety zbioru S3) to astępujące fukcje, które, dla wygody ozaczeń, zdefiiujemy za pomocą tabelek: id 3 : x 1 3 id 3 x) 1 3 o 1 : x 1 3 t 1 x) 3 1 o : x 1 3 t x) 3 1 s 1 : x 1 3 s 1 x) 1 3 s : x 1 3 s x) 3 1 s 3 : x 1 3 s 3 x) 1 3. Tym samym S3) {id 3,o 1,o,s 1,s,s 3 }. W zbiorze S) defiiujemy działaie wzorem f gx) fgx)), dla x {1,..., }. Okazuje się, że algebra S), ) jest grupą. Na przykład tabelka działań w grupie S3) wygląda astępująco: id 3 o 1 o s 1 s s 3 id 3 id 3 o 1 o s 1 s s 3 o 1 o 1 o id 3 s s 3 s 1 o o id 3 o 1 s 3 s 1 s s 1 s 1 s 3 s id 3 o o 1 s s s 1 s 3 o 1 id 3 o s 3 s 3 s s 1 o o 1 id 3 Widzimy, że jest to przykład grupy ieprzemieej: s 1 o 1 s, ale o 1 s 1 s 3. 15) Iym przykładem grupy ieliczbowej jest grupa izometrii własych -kąta foremego, którą będziemy ozaczać przez D). Na przykład dla 3grupa D3) składa się z astępujących izometrii trójkąta rówoboczego:

2 10 ID 3 : O 1 : O : idetyczość obrót o 10 obrót o 0 S 1 : S : S 3 : symetria względem symetria względem symetria względem symetralej przechodzącej symetralej przechodzącej symetralej przechodzącej przez wierzchołek 1 przez wierzchołek przez wierzchołek 3 Działaiem grupowym jest składaie izometrii. Na przykład tabelka działań w grupie D3) wygląda astępująco: ID 3 O 1 O S 1 S S 3 ID 3 ID 3 O 1 O S 1 S S 3 O 1 O 1 O ID 3 S S 3 S 1 O O ID 3 O 1 S 3 S 1 S S 1 S 1 S 3 S ID 3 O O 1 S S S 1 S 3 O 1 ID 3 O S 3 S 3 S S 1 O O 1 ID 3 Tak jak w poprzedim przykładzie, grupy D) ie są przemiee. Defiicja.1. Niech G 1, 1 ) i G, ) będą grupami. Fukcję f : G 1 G azywamy izomorfizmem grup, jeżeli jest bijekcją i spełioy jest waruek x, y G 1 [fx 1 y)fx) fy)]. Jeżeli istieje izomorfizm f : G 1 G, to grupy G 1 i G azywamy izomorficzymi, co ozaczamy przez G 1 G. 1) Grupy S3) i D3) są izomorficze. Istotie, rozważmy fukcję f : S3) D3), którą, dla wygody ozaczeń, zdefiiujemy tabelką jako: σ id 3 o 1 o s 1 s s 3 fσ) ID 3 O 1 O S 1 S S 3. Oczywiście jest to bijekcja. Porówując tabelki działa w S3) i D3) widzimy, że jest to też izomorfizm grup. Defiicja.. 1) Niech R 1, + 1, 1) i R, +, ) będą pierścieiami. Fukcję f : R 1 R azywamy izomorfizmem pierściei, jeżeli jest bijekcją i spełioe są waruki: x, y R 1 [fx + 1 y)fx)+ fy)], x, y R 1 [fx 1 y) fx) fy)],

3 f1 R1 )1 R, gdzie 1 R1 ozacza jedykę pierścieia R 1,a1 R jedykę pierścieia R. Jeżeli istieje izomorfizm f : R 1 R, to pierścieie R 1 i R azywamy izomorficzymi, co ozaczamy przez R 1 R. ) Niech F 1, + 1, 1) i F, +, ) będą ciałami. Fukcję f : R 1 R azywamy izomorfizmem ciał, jeżeli jest bijekcją i spełioe są waruki: x, y F 1 [fx + 1 y)fx)+ fy)], x, y F 1 [fx 1 y) fx) fy)], f1 F1 ) 1 F, gdzie 1 F1 ozacza jedykę ciała F 1,a1 F jedykę ciała F. Jeżeli istieje izomorfizm f : F 1 F, to ciała F 1 i F azywamy izomorficzymi, co ozaczamy przez F 1 F... Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie.3. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: a, b) + c, d) a + c, b + d) oraz możeie: a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym dodawaia jest 0, 0), a elemetem eutralym możeia jest 1, 0). Dowód. Pokażemy dla przykładu, że każdy 0, 0) elemet ma elemet odwroty względem możeia. Niech 0, 0) a, b) C. Rozważmy elemet: a a + b, b ) C. a + b Wówczas a a, b) a + b, b ) ) a + b ab ab, 1, 0). a + b a + b a + b Defiicja.. Ciało C, +, ) azywamy ciałem liczb zespoloych. Zwyczajowo piszemy a+ib zamiast a, b) oraz a zamiast a, 0). Liczbę a azywamy częścią rzeczywistą liczby a+bi i ozaczamy Ra+bi). Liczbę b azywamy częścią urojoą liczby a + bi i ozaczamy Ia + bi). Przykłady: 1) Sprawdzamy, że 1 i) + + 7i) 5 + i, 1 + 3i) 5i) 1) 3 5)) + 1) 5) + 3 )i i oraz 1+3i 1 + 3i) + 5i) i) i). +5i ) Podobie sprawdzamy, że i i 1. Uwaga.5. Poieważ, jak zauważyliśmy, i i 1, ituicyjie przyjmujemy 1i. Defiicja.. Niech z a + bi C. Liczbą sprzężoą z liczbą z azywamy liczbę z a bi. 3) Wprost z defiicji widzimy, że 1 + i 1 i. Twierdzeie.7. Niech z, w C. Wówczas: 1) z + w z + w, ) z w z w, 11

4 1 3) z w z w, ) z z, o ile w 0. w w Dowód. Pokażemy dla przykładu własość ). Niech z a + bi, w c + di. Wówczas skąd Z drugiej stroy z w a + bi c + di z w a bi c di a + bi)c di) c + d z w ca + bd cb ad c + d c + d i. a bi)c + di) c + d ca + bd cb ad + c + d c + d i, ca + bd cb ad c + d c + d i. Defiicja.8. Niech z a + bi C. Wartością bezwzględą albo modułem) liczby z azywamy liczbę rzeczywistą z a + b. ) Wprost z defiicji widzimy, że 3 + i Twierdzeie.9. Niech z, w C. Wówczas: 1) z w odległość między puktami z i w, ) z w z w, 3) z z z. Dowód. Niech z a + bi, w c + di. 1) Wprost z defiicji modułu: z w a c) + b d)i a c) +b d), co, z kolei, jest dokładie rówe odległości między puktami o współrzędych a, b) i c, d). ) Podobie jak w pukcie 1) otrzymujemy: z w ac bd) + ad + bc)i a c abcd + b d + a d +abcd + b c a c + d )+b c + d ) a + b c + d z w. 3) Podobie jak w poprzedich puktach: z a + b a + bi) a bi) z z. Defiicja.10. Niech z a + bi C. Niech r, φ) będą takimi liczbami, że a r cos φ, b r si φ: tj. iech r, φ)) będą współrzędymi bieguowymi puktu a, b)), a więc iech z r cos φ + ir si φ rcos φ + i si φ). Przedstawieie to azywamy postacią trygoometryczą liczby z. Kąt skieroway φ azywamy argumetem liczby z i ozaczamy argz). Kąt skieroway θ [0, π) taki, że cos θ cos argz) i si θ si argz) azywamy argumetem główym liczby z i ozaczamy Argz). Przykłady: 5) Rozważmy liczbę z 1 + i, czyli pukt o współrzędych 1, 1) a płaszczyźie zespoloej:

5 13 Z rysuku łatwo odczytujemy, że r, zaś przykładowa wartość kąta φ to π. W szczególości argumet główy liczby z 1 + i to Argz) π. Argumetami argz) tej liczby mogą też być, a przykład, liczby 9π, 17π, 5π itd. jako że si π si 9π 17π si si 5π i rówocześie cos π cos 9π 17π cos cos 5π. Tym samym przykładowe postaci trygoometrycze liczby z 1 + i to z cos π + i si π ) cos 9π + i si 9π )... ) Rozważmy liczbę z 3 i, czyli pukt o współrzędych 3, 1) a płaszczyźie zespoloej:

6 1 Z rysuku łatwo odczytujemy, że r, zaś przykładowa wartość kąta φ to 11π. W szczególości argumet główy liczby z 3 i to Argz) 11π. Argumetami argz) tej liczby mogą też być, a przykład, liczby 3π, 35π, 7π itd. jako że si 11π si 3π si 35π si 7π i rówocześie cos 11π cos 3π cos 35π cos 7π. Tym samym przykładowe postaci trygoometrycze liczby z 3 i to z cos 11π ) 11π + i si cos 3π ) 3π + i si... Twierdzeie.11. Niech z 1 r 1 cos φ 1 + i si φ 1 ), z r cos φ + i si φ ) C. Wówczas: 1) z 1 z r 1 r [cosφ 1 + φ )+i siφ 1 + φ ), ) z 1 z r 1 r [cosφ 1 φ )+i siφ 1 φ )], o ile z 0, 3) 1 z 1 1 r 1 cos φ 1 i si φ 1 ), o ile z 0. Dowód. Wzory te wyikają wprost ze wzorów a sumy i różice fukcji trygoometryczych zae ze szkoły średiej. Udowodimy dla przykładu własość 1): z 1 z r 1 r [cos φ 1 + i si φ 1 )cos φ + i si φ )] r 1 r [cos φ 1 cos φ si φ 1 si φ )] + icos φ 1 si φ + si φ 1 cos φ )] r 1 r [cosφ 1 + φ )+i siφ 1 + φ )]. 7) Rozważmy postać trygoometryczą liczby 1 + i) 3 i). W poprzedich przykładach sprawdziliśmy, że 1+i cos π + i si π ) oraz 3 i cos 11π ) 11π + i si. Wobec tego postać trygoometrzycza liczby 1 + i) 3 i) to: Zauważmy przy tym, że wobec czego cos 5π 1 + i si 5π 1 ). 5π 1 π 1 + π 1 π + π 1 cos π 1 cos π 1 i liczbę 1 + i) 3 i) możemy też zapisać jako oraz si π 1 si π i) 3 i) cos π 1 + i si π 1 ).

7 Tym samym posługując się postacią trygoometryczą liczb zespoloych możemy wyzaczyć dokłade wartości fukcji trygoometryczych kąta π 1. Istotie: 1 + i) 3 i) 3 + 1) + 3 1)i ) i ) + + i, co po porówaiu z postacią trygoometryczą liczby 1 + i) 3 i) daje cos π 1 + oraz si π 1. Wiosek.1 de Moivre). Niech z rcos φ + i si φ) C, iech N. Wówczas z r cos φ + i si φ). 8) Przy pomocy wzorów de Moivre a potęgowaie potrafi być aprawdę szybkie. Obliczmy dla przykładu 1 + i) 10. Sprawdziliśmy już, że 1+i cos π + i si π ). Wobec tego Ale z drugiej stroy i wobec tego cos 10π cos π i liczbę 1 + i) 10 możemy zapisać jako 1 + i) 10 3 cos 10π ) 10π + i si. 1 + i) π 8π + π π + π cos π + i si π oraz si 10π si π ) i) 3i. Twierdzeie.13. Niech z rcos φ+i si φ) C, iech N. Wówczas z ma różych pierwiastków stopia daych wzorem w k r cos φ +kπ + i si φ +kπ ), gdzie k {0, 1,..., 1}. Dowód. Niech w C będzie taką liczbą, że w z i iech w scos θ + i si θ). Wówczas s cos θ + i si θ) rcos φ + i si φ), skąd s r oraz cos θ cos φ i si θ si φ. 15

8 1 Tym samym, wobec okresowości fukcji cos i si θ φ +kπ, dla k N, a więc θ φ+kπ, dla k N. Zauważmy jedak, że dla k : φ +kπ φ + + l)π φ +π +lπ π + φ +lπ, skąd cos φ+kπ cos φ+lπ i si φ+kπ si φ+lπ. Wobec tego otrzymujemy tylko różych liczb i wystarczy rozpatrywać k {0,..., 1}. 9) Wyzaczymy wszystkie pierwiastki stopia z liczby. Sprawdzamy, że 1 + 0i) cos π + i si π). Wobec tego pierwiastki stopia z wyrażą się astępującymi wzorami: w 0 cos π + i si π ) ) 3 + i1 w 1 cos 3π + i si 3π ) cos π + i si π ) 0 + i1) i w cos 5π + i si 5π ) [ cos π π ) + i si π π )] cos π + i si π ) ) 3 + i1 w 3 cos 7π + i si 7π ) [ cos π + π ) + i si π + π )] cos π i si π ) ) 3 i1 w cos 9π + i si 9π ) [cos π + π)+i si π + π)] cos π + i si π) 1+i0) w 5 cos 11π ) 11π + i si [ cos π π ) cos π i si π ) ) 3 i1. + i si π π )]

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Ciało liczb zespolonych

Ciało liczb zespolonych Ciało liczb zespolonych Twierdzenie: Niech C = R 2.Wzbiorze Cokreślamydodawanie: oraz mnożenie: (a,b) + (c,d) = (a +c,b +d) (a,b) (c,d) = (ac bd,ad +bc). Wówczas (C, +, ) jest ciałem, w którym elementem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3 Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba

Bardziej szczegółowo

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Funkcje tworz ce skrypt do zada« Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].

Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z]. 1. Wykład 1: Grupy i izomorfizmy grup. Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych W starożytości okazało się, że zbiór liczb wymierych jest iewystarczający, bo ie ma takiej liczby

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5 Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza i logarytm

Funkcja wykładnicza i logarytm Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b, CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I

Matematyczne Metody Fizyki I Matematycze Metody Fizyki I Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodików i iżyierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrae rozdziały matematyczych metod fizyki, A. Leda, B. Spisak, Wydawictwo

Bardziej szczegółowo

Równoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.

Równoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. 16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.1

Ekonomia matematyczna - 1.1 Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone. Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

Fraktale - ciąg g dalszy

Fraktale - ciąg g dalszy Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2 LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MARZEC 06 ODPOWIEDZI I PROPOZYCJA OCENIANIA ZAMKNIĘTE ODPOWIEDZI Nr zadania 5 Odpowiedź C D C B B ZADANIE Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Zadanie 6 cyfra dziesiątek jedności OTWARTE

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo