EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA"

Transkrypt

1 EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA Nekedy zachodz koneczność zany okesu kapt. z ównoczesny zachowane efektów opocentowane. Dzeje sę tak w nektóych zagadnenach ateatyk fnansowej np. wkłady oszczędnoścowe, spłata długów. Pojawa sę tez potzeba zastąpena kapt. nezgodnej kapt. zgodną odwotne. Zachodz zate koneczność zównoważena efektu kapt. w podokesach lub w nadokesach. Zównoważene to w pzypadku kapt. złoż. z dołu jest zwązana z ożlwoścą zastąpena neównośc (po 35) (38 ) Ko(+) n <=Ko(+/) n popzez ównoważność ożna to uczynć na dwa sposoby I sposób W odpowedn sposób podwyższay stopę pocentowa występującą po lewej stone tej neównośc. Zate w lewej stone tej neównośc w ejsce kładzey ef, na efektywna stopę pocentową, dla kapt. złożonej z dołu stopę efektywną, ef okeśla sę ównane Ko(+ ef ) n = Ko(+/) n A stą otzyujey (39) ef =(+/) n II sposób Polega na obnżenu stopy względnej / występujące w neównośc (38) tak aby otzyać ówność. Tak obnżoną stopę pocentową n ównoważną stopę pocentową ozn. R. Zate dla kaptalzacj złożonej z dołu stopę okeśla ównane Ko(+ ) n = Ko(+ ) n Stąd otzyujey, że (40) R =(+) / - Zównoważene o któy wsponelśy powyżej w pzypadku kapt. złożonej z góy jets zwązane ożlwośc zastąpena neównośc(po 35) W = Ko(+/) - n <=Ko(-) - n = W n Popzez neówność ówneż w ty pzypadku ożna to zobć na 2 sposoby (4) ef - = -(-/) II Sposób Podwyższay stopę względe /do pozou stopy ównoważnej -, a węc - spełna ównane Ko(+ - ) n = Ko(+ ) - n tzn. - =-(-) / Uwaga (a)stopy ef -, ef ają ten sa okes co stopa nonowana, z ty że ównoważą (nwelują) skutk kapt. nezgodnej (b)stopy ef -, ef ają ten sa okes co stopa względna / z ty że ównoważą (nwelują) efekt kapt. nezgodnej. Stopy efektywne ef -, ef stopy -, pozwalają na ównoważne zastępowane bez zan efektu opocentowana kapt. zgodnych kaptalzacja nezgodny. Otzyalśy bowe następujące zależnośc (43) Kn=Ko(+) n = Ko[(+) / ] n =Ko[+(+) / -] n = Ko(+ ) n (44) K k/ =Ko(+/) k = Ko[(+/) ] k / =Ko[+(+/) -] k / = Ko(+ ef ) k / (45) Wn=Ko(-) -n = Ko[(-) / ] - n =Ko[+(-) / -] k / = Ko(- - ) - n (46) W k/ =Ko(-/) - k = Ko[(/) ] - k / =Ko[+(-/) -] k/ = Ko(+ ef ) - k /

2 Analzując wzoy (43) (45) zauważay, że dają one podstawę do okeślena w uowny sposób pzyszłej watośc kaptału po nepełnej lośc okesów kapt. w aach odelu kapt. złożonej. Istotne, ozwązane jest następujące. Jeśl oznacza stopę pocentową któej okes pokywa sę z okese kapt. to zeczywsty czas opocentowane t dzely na k ównych częśc (jednostek podstawowych), tak aby okes kapt. był całkowtą welokotnoścą takch częśc wówczas pzyszła watość kapt. Ko po czase t otzyujey pzyjując we wzoze (43) lub (45) watość k zaast watość no oaz dla częstośc wzoy te (psane od stony lewej do pawej ) pzyjują wtedy postac (43 ) (45 ) (43) Kt=Ko(+ ) k =Ko[+(+) / -] k = Ko(+) k / (45) Wt=Ko(- - ) -k = Ko[+(-) / -] k = Ko(- ) k / UWAGA Stopy efektywne stopy ównoważne spełnają neównośc Dla kapt. złożonej z dołu (47) * <=<= ef dla kaptalzacj złożonej z góy (48) * - >=>= ef -, e N DOWÓD Najpew wykażey neówność (47). Zgodne z def. Równoważnej stopy pocentowej R (po(40)) ay (+ ) = + Stosując teaz neówność Benoulego (30) otzyay + = (+ ) >+ gdy > Stąd < gdy > Stosując ponowne neówność Benoulego (30) otzyujey też, że : R ef =(+/) >+ / = gdy > Ty say dowód (47) został zakończony w pzypadku gdy > Stosując wzó (42) ay - - = (-) / zate (- - ) = - I stosując neówność Benoulego (30) dostajey - =(- ) > - gdy > a zate * dgy > Zgodne ze wzoe (4) ay ponadto, że - ef = ( /) > - / = - gdy > a węc > ef = gdy > Dowód (48) gdy > został zakończony Gdy = ay ównośc w (47) (48). Gdy > ay ta neównośc oste Wykozystując podane do tej poy wzoy zauważylśy że pzyszła wat. Kapt. KAPITALIZACJA CIAGLA Wadoo że (49) l ->oo (+/) = l ->oo (+/a) / a =e oaz (49) l ->oo (-/) - = l ->oo (-/a) / a =e jesl l ->oo = 0 a=/0 e N Wadoo też, że dla wszystkch ko,, n cąg pzyszłych wat (5) W n/ = Ko( + /) n

3 dla kapt. złożonej z dołu jets osnący względe, natoast cąg pzyszłych watośc (52) W n/ = Ko(-/) -n dla kapt. założonej z góy jest alejący względe. Ponadto (53) K n/ <=W n/ dla n, e N oaz 0<< zauważy że (wobec (49)) (54) l ->oo K n/ = l ->oo Ko(+/) n =l ->oo [(+/) ] n =Ko e n oaz (wobec (50)) (55) l ->oo W n/ = l ->oo Ko(-/) - n =l ->oo [(-/) - / ] n =Ko e n zate cąg (5) (52) spełnają (53) ają wspólną gancę ówną Ko e n Kapt. cągła def. Jako ganczny pzypadek kapt. złożonej w podokesach, gdy lczba podokesów (częstość dopsywana odsetek) zeza do neskończonośc Jeśl pzez K(n) ozn. Pzyszła watość kaptału Ko po n okesach stopy pocentowej w odelu kapt. cągłej, to uwzględnając wzoy (54) (55) ay (56) K(n) = Ko e n Dla kapt, cągłej któej odsetk sa dopsywane do kaptału w każdy oence czasu ustala se wat. Kaptału po dowolny czase t. Uogólnając wzó (56). Do postac (57) K(t) = Koe t, t>0 Gdze t oznacza czas opocentowana ezony okese stopy pocentowej. Z odele kapt. cągłej spotykay sę dość często, np. pzy wzośce asy dzewa (zakładay że ne dokonuje sę wyębu), odbywa ne wg odelu kapt cągłej. Wzost ludnośc śwata ówneż odbywa sę według kap c., watość składowanego wna w zależnośc od czasu ówneż opsuje kap. c. RÓWNOWAŻNOŚC WARUNKÓW OPROCENTOWANIA Powey że waunk opocentowana okeślone w banku I są ównoważne waunko(pefeowane pzez waunk ) okeślone pzez w banku II w odane do pzedzału czasu <0;t> jeśl pzyszła wat. Kapt. po czase t w banku I jest ówna (wększa ok. ) pzyszłej wat. Tego kapt. w banku II Jeśl waunk opocentowana okeślone w banku I ś ównoważne waunko (pefeowane pzez wa.) okeślone w banku II w odnesenu do każdego pzedzału czasu, to o ze waunk opocentowana okeślone w banku I są ównoważne waunko (są pefeowane pzez watość okeślone w banku II) Zał. Ze w banku I obowązuje oczna st pocentowa a oaz odsetk dopsywane są do kap. azy w cągu oku, natoast w banku II obowązuje oczna stopa pocentowa 2 oaz odsetk sa pzepsywane do kaptału 2 azy w cągu oku. Pzyp. Że w b I w b II obowązuje odel kapt. postej. Równoważność (pefeencja) wa. Opocent. W b I w stosunku do wat. Opocent. W b II w odnesenu do n lat oznacza zachodzene ównośc (neównośc ) Ko(+n**/)= Ko(+n*2*2/2) Stąd otzyujey że (59) =2 Poneważ zależność 59 ne jest zależna od węc wynka stąd, że w odelu kapt, postej waunk ównoważne(pefeowane) w odóżnenu od pewnego okeślonego pzedzału czasu są ównoważne (pefeowane) w o odnesenu do każdego pzedzału czasu są ównoważne(pefeowane) Nech teaz w bankach I II obowązuje odel kapt. złożonej. Wówczas ównoważność (pefeencja) wat. Opocentowana w banku I w stosunku do wat opocentowane w banku II okeślona jest ównośca (neównoścą) Ko(+-/) +-n = Ko(+-2/2) +-n2

4 Tutaj znak + dotyczy kapt. zdołu, - kapt z góy. Dla + ay Ko[(+/) -] n = Ko[(+2/2) 2 -] n a węc Ko(+ ef (I)) n = Ko(+ ef (II)) n (60 )R ef (I)= R ef (II) R ef (I)= (+/) - R ef (II) = (+2/2) 2 - W pzypadku ay zaś Ko{-[(-/) ]} - n = Ko{-[(-2/2) 2 ] - n (60 )R ef - (I)= R ef - (II) R ef - (I)= - (-/) R ef (II) = - (+2/2) 2 Wdzy że ówneż wzoy (60 ) (60 ) ne zależą od czasu odnesena n stąd wnosy, że dla odelu kapt. złożonej, o le waunk opocentowana sa ównoważne (pefeowane) dla pewnego czasu, to sa ównoważne (pefeowane) dla każdego pzedzału czasu, a węc sa ównoważne (pefeowane) Zał teaz że bank I stosuje odel kapt, postej z dolu, bank II odel kapt. złożonej z dołu W ty pzypadku ównoważność (pefeencja) wat. Opocentowana w b I w poównanu z wat. Opocentowana w banku II dla n lot oznacza, że Ko(+n* /)= Ko(+2/2) n2 Poneważ wzó (6) zależy od n, bo w szczególnośc jeśl wa, opocentowana w banku I sa ównoważne waunko (pefeowane w stosunku do watośc opocentowana w banku II dla jakegoś pzedzału czasu to ne usza być ównoważne (pefeowane) dla nnego pzedzału czasu KAPITALIZACJI PRZY ZIMENNEJ STOPIE PROCENTOWEJ Zał że pzez n okesów obowązywała st. Pocentowa, pzez następnych n2 okesów obowązywała stopa pocent 222. Zajey sę poblee ustalena pzyszłej wat. Kap. Ko po n okesach gdze n = n+n2 +..+n zakładay o znewalającego sę st pocent jej okes ne zena sę oaz jest ówny okesow apt. A węc ozważay kapt, zgodną. CO węcej zakładay że na pzestzen wszystkch n okesów obowązuje ten sa odel kapt. Zał na początek że obowązuje odel kapt. postej. Oczywśce odsetk poste od kapt. Ko po n okesach wynoszą (62) Z= Ko nn+..+konpp= Kp(n+..+npp)), pzyszla wat. Kaptału po okese n jets ówna (63) = Pn= Ko+ Z=Ko(+n+...+np. p) Jeśl obowązuje odel kapt. złożonej z dołu lub z góy lub odel kapt. cągłej wtedy, wat. Kaptału po dany okese staje sę wat początkową dla okesu następującego, Zate pzyszłą wat okesu Ko dla tych odel ówneż lczy sę łatwo - dla kapt. złożonej z dołu (64) Kn= Ko(+) n *...*(+) np. - dla kapt. złożonej z góy (65) Wn= Ko(-) - n *...*(-) - np. dla odelu kapt. cągłej (66) K(n)= Ko e n *...* e n p p n + n p p = Ko e Dla ozważonej powyżej kaptal. P[zy zennej st. Pocent sensowne jest wpowadzene pzecętnej stopy pocent w okese twana lokaty. Pzecętna stopa pocentowa nazywać będzey taką st. Pocentową pz dla któej pzyszła wat kapt. jest taka sua jak pzyszła wat. Kapt. pzy zenającej sę st. Poc. Jeśl uwzględny powyższa def oaz wzoy (63)-(66) zate ożey wypowadzć wzoy na pzecętne stopy pocentowe pz dla odpowednch odel kapt. W pzypadku odelu kapt postej z wyaża sę wzoe

5 Ko(+n po )= Ko(+n+...+n p p ) Stąd otzyujey (67) pz = /n(n+..+n p p ) W pzypadku odel kapt. złożonej z dołu wat. pz wyaza sę ( ) *...* ( p). - (68) pz = n n np W pzypadku odelu kapt. złożonej z góy wat. pz wyażą sę Ko(- pz )= Ko(- ) -n *...*(- p ) -np. stąd otzyujey ( ) *...*( p) n n -np (69) pz = W pzypadku odelu kapt. cągłej wat pz wyażą sę wzoe Ko e n pz = Ko e n n p p stąd ay R pz = /n(n +...+n p p ) KAPITALIZACJA MIESZANA Kaptalzację eszaną nazyway taką kaptal. Dla któej w czase opocentowana lokaty zena sę odel kapt. Ponadto waz ze zaną odelu kapt. oże zenć sę take st pocent. Załóży że do banku została wpłacona pewna kwota jako lokat a zał. Że został zadeklaowany czas twana lokaty. Czas ten jets z eguły całkowtą welokotnoścą okesu kapt. W pzypadku gdy właśccel lokaty ne wycofał kaptału po okese deklaowany pzekoczył go o nepełny okes kapt. wtedy odsetk za pzekoczony czas będą nalczane na óżne sposoby. Bank ne dolcza odsetek za pzekoczony czas ; 2 Bank dolcza odsetk poste od kaptału początkowego wg nższej st. Pocentowej 3 Bank dolcza odsetk poste od końcowej wat kaptału wg nższej st. Pocentowej 4 3 Bank dolcza odsetk poste od końcowej wat kaptału, ale wg nnej stopy pocentowej, jest opocentowany kaptal początkowy, a wg nnej zgoadzone odsetk 5 Bank dolcza cz. Odsetek pzypadający na pewszy okes kapt. popocjonalną do lczby pzekoczonych dn 6 Bank dolcza odsetk złożone za cały czas twana lokaty z wykozystane wzou(43 ) Pzyponay że jeśl czas opocentowana <0,t> ne jest całkowtą welokotnoścą okesu kapt wtedy pzedstaway go jako sua dwóch pzedzałów całkowte welokotnośc ok. Kapt. eszty będącej nadokese ok. Kapt. Oczywśce w poszczególnych pzedzałach ogą obowązywać nne odele kapt. nne stopy poc. Załóży że w pzedzale czasu n (obejujący n lat) obowązuje kapt. złożona z dołu pzy ocznej stope poc, a w pozostały pzedzale obejujący 2 dne (n2<360) obowązuje kapt. posta z dołu pzy ocznej st. Pocent 2. W pzyp. wat kapt. Ko pzyje wat(7) Kt=Ko(+) n W pzyp. 2 pzyszła wat. kapt. Ko po czase t pzyje wat (72) K t =Ko(+) n +Ko *n 2 [(+) n +n 2 * 2 /360]= [Ko(+) n + n 2 * 2 /360] W pzy. 3 pzyszłą wat Ko wynos (73) K t =Ko(+) n +Ko (+) n *n 2 2 /360=Ko(+) n (+n 2 * 2 /360) W pzypadku waantu 4 pzyszła wat kaptału wynos (74) K t =Ko(+) n +Ko n 2 2 /360+[ Ko(+) n - Ko]n 2 3 /360= Ko(+) n (+ n 2 2 /360)+Kon 2 ( 2-3 )

6 W pzypadku waantu 5 ogą być dopsywane odsetk od kaptuł początkowego w wysokośc Ko n 2 /360 lub odsetk od kaptału końcowego w wysokośc Ko(+) n n 2 * /360). W konsekwencj wat. pzyszła kaptału początko. Ko będze ówna odpowedno (75) K t =Ko(+) n +Ko *n 2 * 2 /360]= [Ko(+) n + n 2 * /360] lub (76) ) K t =Ko(+) n +Ko (+n) n *n 2 /360=Ko(+) n (+n 2 * /360) W pzypadku waantu 6 pzyszła wat. kapt. Ko po czase t=360n+n2 będący czase twana lokaty wyażony pzez lczbę dn zgodne ze wzoe (43 ) pzyje postać K t =Ko(+) t/360 Jeżel kapt. ne jest zgodna wtedy pzyszła wat opsująca analtyczne wzoy (7)-(76) Pzy czy oznacza wtedy stopę pocentową względne dostosowana do okesu kaptalzacj. Natoast n wyaża lośc pełnych ok. Kapt. zawatych w pzedzale<0,t> OPROCENTOWANIE LOKATY Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI Sybole ozn. Stopę nflacj, sybole K no ozn. Pzyszłą wat kaptału Ko w staych cenach (np. z ubegłego oku ), K e oznaczay zeczywsty wzost wat. kaptału Ko wyazony w cenach beżących, jest on nejszy od K no. Zachodz wzó (*) + = K no / K e, zakładay, ze okes st. Pocentowej jest ówny okesow stopy nflacj pzy czy z eguły okese ty jest ok. Wadoo, że nonalny wzost wat. kaptału Ko p okese wyaża wzó K no = Ko(+) Jest to pzyszła wat. kapt. w staych cenach(z ubegłego oku), zeczywsty wzost kapt. Ko uwzględnający wzost cen, a węc wyażony w cenach beżących, jest nejszy, okeślony jest wzoa (77) K e = Ko *(+)/(+) Tak węc w zwązku ze wzoste cen towaów usług ealny (zeczywsty wzost wat. penądza jest nejszy ealne tepo ponażana wat penądza w czase n ealną (zeczywstą) stopa pocentową ozn sybole e ). Realna stope pocentowa okeśla węc ównane Ko(+ e )= Ko(+)/(+) A węc (78) e )= (+)/(+) z (78) wynka że ealna stopa pocentowa jest dodatna (a węc ealna wat penądza ośne ) stopa pocentowa jest wększa od stopy nflacj Jeśl wzó (77) zapszey w postac K e = Ko /(+)*(+) wtedy jego ntepetacja jest następująca będze oznaczać zeczywste ponożene kaptału jak dokonay ndeksacj (waloyzacj ) kwoty Ko o wskaźnk nflacj a węc jeśl zaast Ko pzyjey Ko(+). Watość Ko (+) oznacza że watość Ko wzosła o czynnk (+) w jedny okese stopy pocentowej W nnny pzypadku kapt. nezgodnej pzy =kotny dopsywanu odsetek okese stopy pocentowej, ealna (zezywstą ) stopą efektywną okeśla ównane Ko(+ e, ef )= Ko

7 A węc (79) e, ef = Gdze ef =(+/) - W powyższych ozważanach uwzględnono wpływ nflacj pzypadającej na okes stopy pocentowej Załóży teaz że kaptał początkowy Ko(penężny) ponażał sę ef CZĘŚĆ 3

Rozważymy nieskończony strumień płatności i obliczymy jego wartość teraźniejszą.

Rozważymy nieskończony strumień płatności i obliczymy jego wartość teraźniejszą. Renty wieczyste Rozważyy nieskończony stuień płatności i obliczyy jego watość teaźniejszą Najpiew ozważy entę wieczystą polegającą na wypłacie jp co ok Jeśli piewsza płatność jest w chwili, to ówiy o encie

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

Spis treści I. Ilościowe określenia składu roztworów strona II. Obliczenia podczas sporządzania roztworów

Spis treści I. Ilościowe określenia składu roztworów strona II. Obliczenia podczas sporządzania roztworów Sps teśc I. Iloścowe okeślena składu oztwoów stona Ułaek wagowy (asowy ocent wagowy (asowy ocent objętoścowy Ułaek olowy 3 ocent olowy 3 Stężene olowe 3 Stężene pocentowe 3 Stężene noalne 4 Stężene olane

Bardziej szczegółowo

Rozważymy nieskończony strumień płatności i obliczymy jego wartość teraźniejszą.

Rozważymy nieskończony strumień płatności i obliczymy jego wartość teraźniejszą. Renty wieczyste Rozważyy nieskończony stuień płatności i obliczyy jego watość teaźniejszą Najpiew ozważy entę wieczystą polegającą na wypłacie jp co ok Jeśli piewsza płatność jest w chwili to ówiy o encie

Bardziej szczegółowo

Wykład 15 Elektrostatyka

Wykład 15 Elektrostatyka Wykład 5 Elektostatyka Obecne wadome są cztey fundamentalne oddzaływana: slne, elektomagnetyczne, słabe gawtacyjne. Slne słabe oddzaływana odgywają decydującą ole w budowe jąde atomowych cząstek elementanych.

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

Model klasyczny gospodarki otwartej

Model klasyczny gospodarki otwartej Model klasyczny gospodaki otwatej Do tej poy ozpatywaliśmy model sztucznie zakładający, iż gospodaka danego kaju jest gospodaką zamkniętą. A zatem bak było międzynaodowych pzepływów dób i kapitału. Jeżeli

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P WIADOMOŚCI WSTĘPNE Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teaźiejszej K kwoty początkowej K 0, zate Z = K K 0. Z ekooiczego puktu widzeia właściciel kapitału K 0 otzyuje odsetki jako zapłatę od baku

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Tradycyjne mierniki ryzyka

Tradycyjne mierniki ryzyka Tadycyjne mieniki yzyka Pzykład 1. Ryzyko w pzypadku potfela inwestycyjnego Dwie inwestycje mają następujące stopy zwotu, zależne od sytuacji gospodaczej: Sytuacja Pawdopodobieństwo R R Recesja 0, 9,0%

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013 Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji upalne lato 2014 2.0

Regulamin promocji upalne lato 2014 2.0 upalne lato 2014 2.0 strona 1/5 Regulamn promocj upalne lato 2014 2.0 1. Organzatorem promocj upalne lato 2014 2.0, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji zimowa piętnastka

Regulamin promocji zimowa piętnastka zmowa pętnastka strona 1/5 Regulamn promocj zmowa pętnastka 1. Organzatorem promocj zmowa pętnastka, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 grudna

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji 14 wiosna

Regulamin promocji 14 wiosna promocja_14_wosna strona 1/5 Regulamn promocj 14 wosna 1. Organzatorem promocj 14 wosna, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 lutego 2014 do 30

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

NOMINALNA STOPA PROCENTOWA stopa oprocentowania przyjęta w okresie bazowym; nie uwzględnia skutków kapitalizacji odsetek

NOMINALNA STOPA PROCENTOWA stopa oprocentowania przyjęta w okresie bazowym; nie uwzględnia skutków kapitalizacji odsetek Symbole: nominalna stopa pocentowa ( od stu ) n ilość okesów (lat, miesięcy, kwatałów etc.) m ilość podokesów (np. stopa pocentowa podana jest w skali oku; kapitalizacja miesięczna m=12) d stopa dyskontowa

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji fiber xmas 2015

Regulamin promocji fiber xmas 2015 fber xmas 2015 strona 1/5 Regulamn promocj fber xmas 2015 1. Organzatorem promocj fber xmas 2015, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 grudna 2015

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA INWESTORA INDYWIDUALNEGO CZĘŚĆ II. AKCJE.

AKADEMIA INWESTORA INDYWIDUALNEGO CZĘŚĆ II. AKCJE. uma Pzedsiębiocy /6 Lipiec 205. AKAEMIA INWESTORA INYWIUALNEGO CZĘŚĆ II. AKCJE. WYCENA AKCJI Wycena akcji jest elementem analizy fundamentalnej akcji. Następuje po analizie egionu, gospodaki i banży, w

Bardziej szczegółowo

Spłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem

Spłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem płata długów Rozliczeia związae z zadłużeiem Źódła fiasowaia Źódła fiasowaia Kapitał własy wkład właściciela, wpłaty udziałowców, opłaty za akcje, wkład zeczowy, apot. Kapitał obcy kedyty, pożyczki, ie

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie ELEMENTY MATEMATYI FINANSOWEJ Wpowadzeie Pieiądz ma okeśloą watość, któa ulega zmiaie w zależości od czasu, w jakim zostaje o postawioy do aszej dyspozycji. Watość tej samej omialie kwoty będzie ia dziś

Bardziej szczegółowo

2 PRAKTYCZNA REALIZACJA PRZEMIANY ADIABATYCZNEJ. 2.1 Wprowadzenie

2 PRAKTYCZNA REALIZACJA PRZEMIANY ADIABATYCZNEJ. 2.1 Wprowadzenie RAKTYCZNA REALIZACJA RZEMIANY ADIABATYCZNEJ. Wprowadzene rzeana jest adabatyczna, jeśl dla każdych dwóch stanów l, leżących na tej przeane Q - 0. Z tej defncj wynka, że aby zrealzować wyżej wyenony proces,

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 8: Wprowadzenie do modelu ISLM: krzywa LM oraz krzywa IS

Makroekonomia 1 Wykład 8: Wprowadzenie do modelu ISLM: krzywa LM oraz krzywa IS Makoekonomia 1 Wykład 8: Wpowadzenie do modelu ISLM: kzywa LM oaz kzywa IS Gabiela Gotkowska Kateda Makoekonomii i Teoii Handlu Zaganicznego Plan wykładu Deteminanty popytu na pieniądz Równowaga na ynku

Bardziej szczegółowo

0.1 Renty. 0.2 Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste

0.1 Renty. 0.2 Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste 0 Renty W kolejnych rozdzałach zajmemy sę cągam płatnośc dokonywanych w równych odstępach czasu, zwanym rentam annuty Rentę annuty defnujemy jako cąg płatnośc dokonywanych w równych odstępach czasu Przykładam

Bardziej szczegółowo

Zmiana wartości pieniądza

Zmiana wartości pieniądza Ziaa watości piiądza w czasi topa dyskotowa Wydatki i fkty astępują w óży czasi, tzba więc uwzględić fakt, ż watość piiądza ziia się w czasi, więc taka saa sua piiędzy będzi iała ią watość w óży czasi.

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 12

MECHANIKA BUDOWLI 12 Olga Koacz, Kzysztof Kawczyk, Ada Łodygowski, Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Kzysztof Tye Konsultace naukowe: of. d hab. JERZY RAKOWSKI Poznań /3 MECHANIKA BUDOWLI. DRGANIA WYMUSZONE, NIETŁUMIONE

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II

Bardziej szczegółowo

Fizyka 6. Janusz Andrzejewski

Fizyka 6. Janusz Andrzejewski Fzyka 6 Janusz Andzejewsk Pobley Człowek pcha wózek ze stała slą F. Jak polczyć pzyśpeszene a wózka? Wysypujący sę pasek F 3 F Cała jakoś oddzałują edzy sobą. Czy znając zewnętzne sły F, F oaz F 3 ożey

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3 Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 8 Polityka makroekonomiczna w gospodarce otwartej. Model Mundella-Fleminga

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 8 Polityka makroekonomiczna w gospodarce otwartej. Model Mundella-Fleminga Makroekonoma Gospodark Otwartej Wykład 8 Poltyka makroekonomczna w gospodarce otwartej. Model Mundella-Flemnga Leszek Wncencak Wydzał Nauk Ekonomcznych UW 2/29 Plan wykładu: Założena analzy Zaps modelu

Bardziej szczegółowo

2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -

Bardziej szczegółowo

UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ

UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ Krzysztof Janas Michał Krzeszowiec Koło Nauk Aktuarialnych Politechniki Łódzkiej Warszawa, 09-11.06.2008 r. Plan Założenia wstępne: Teoria oprocentowania

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową cet psty Gdy zay aptał pczątwy stpę pcetwą F = + I aptał ńcwy, pczątwy, dset I = I = stpa pcetwa (w stsuu czy) F = ( + ) aledaze dsetwe 360/360, 365/365, 360/365, 365/360 es wyaży w latach (dla óżych esów

Bardziej szczegółowo

Metody optymalizacji. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metody optymalizacji. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metody optymalizacji d inż. Paweł Zalewski kademia Moska w Szczecinie Optymalizacja - definicje: Zadaniem optymalizacji jest wyznaczenie spośód dopuszczalnych ozwiązań danego polemu ozwiązania najlepszego

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Zał. Nr 1 do Uchwały nr 2/13/05/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego w Lubaczowie z dnia 13.05.2015 r. Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Tabela 1. Rachunki oszczędnościowo

Bardziej szczegółowo

REZONATORY DIELEKTRYCZNE

REZONATORY DIELEKTRYCZNE REZONATORY DIELEKTRYCZNE Rezonato dielektyczny twozy małostatny, niemetalizowany dielektyk o dużej pzenikalności elektycznej ( > 0) i dobej stabilności tempeatuowej, zwykle w kształcie cylindycznych dysków

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010 EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra

Bardziej szczegółowo

XXXV Konferencja Statystyka Matematyczna

XXXV Konferencja Statystyka Matematyczna XXXV Konferencja Saysyka Maeayczna MODEL OTOWOŚCI SYSTEMU TECHNICZNEO Karol J. ANDRZEJCZAK karol.andrzejczak@pu.poznan.pl Polechnka Poznańska hp://www.pu.poznan.pl/ PRORAM REERATU 1. WPROWADZENIE 2. ORMALIZACJA

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

II.6. Wahadło proste.

II.6. Wahadło proste. II.6. Wahadło poste. Pzez wahadło poste ozumiemy uch oscylacyjny punktu mateialnego o masie m po dolnym łuku okęgu o pomieniu, w stałym polu gawitacyjnym g = constant. Fig. II.6.1. ozkład wektoa g pzyśpieszenia

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Zał. Nr 1 do Uchwały nr 1/08/07/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego w Lubaczowie z dnia 08.07.2015 r. Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Tabela 1. Rachunki oszczędnościowo

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie. 1. Rachunki oszczędnościowo - rozliczeniowe Kapitalizacja roczna

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie. 1. Rachunki oszczędnościowo - rozliczeniowe Kapitalizacja roczna Zał. Nr 3 do Uchwały nr 2/27/08/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego w Lubaczowie z dnia 27.08.2015 r. Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Tabela 1. Rachunki oszczędnościowo

Bardziej szczegółowo

MPEC wydaje warunki techniczne KONIEC

MPEC wydaje warunki techniczne KONIEC 1 2 3 1 2 2 1 3 MPEC wydaje warunk technczne 4 5 6 10 9 8 7 11 12 13 14 15 KONIEC 17 16 4 5 Chcesz wedzeć, czy masz możlwość przyłączena budynku Możlwośc dofnansowana wymany peców węglowych do sec mejskej?

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Ilustracja modelu. Oddziaływanie grawitacyjne naszych ciał z masą centralną opisywać będą wektory r 1

Rys. 1. Ilustracja modelu. Oddziaływanie grawitacyjne naszych ciał z masą centralną opisywać będą wektory r 1 6 FOTON 6, Wiosna 0 uchy Księżyca Jezy Ginte Uniwesytet Waszawski Postawienie zagadnienia Kiedy uczy się o uchach ciał niebieskich na pozioie I klasy liceu, oawia się najczęściej najpiew uch Ziei i innych

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

METEMATYCZNY MODEL OCENY

METEMATYCZNY MODEL OCENY I N S T Y T U T A N A L I Z R E I O N A L N Y C H w K i e l c a c h METEMATYCZNY MODEL OCENY EFEKTYNOŚCI NAUCZNIA NA SZCZEBLU IMNAZJALNYM I ODSTAOYM METODĄ STANDARYZACJI YNIKÓ OÓLNYCH Auto: D Bogdan Stępień

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite

Bardziej szczegółowo

Rachunek warto sci przyszãlej

Rachunek warto sci przyszãlej Rachunek warto sc przyszãlej Pen adz, b edzemy, nazywa c r owne_z kaptaãlem. Pen adz, wãla scwe ulokowany, a w ec, zdeponowany w banku lub odpowedno zanwestowany z reguãly po upãlywe pwenego czasu przynos

Bardziej szczegółowo

p Z(G). (G : Z({x i })),

p Z(G). (G : Z({x i })), 3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Zał. Nr 1 do Uchwały nr 2/24/02/2016 Zarządu Banku Spółdzielczego w Lubaczowie z dnia 24.02.2016 r. Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Tabela 1. Lokaty promocyjne

Bardziej szczegółowo

Programowanie Równoległe i Rozproszone

Programowanie Równoległe i Rozproszone Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 1: UWAGI WSTĘPNE. PROCENT SKŁADANY 1. Uwagi wstępne Ryzyko jest związane z niealże każdy rodzaje działalności człowieka: przy planowaniu urlopu ryzyko słabej

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

Rys.. Cash flow wypływów. Rys.. Cash flow: wypływów (strzałki skierowane w dół) i wpływów (strzałki skierowane w górę).

Rys.. Cash flow wypływów. Rys.. Cash flow: wypływów (strzałki skierowane w dół) i wpływów (strzałki skierowane w górę). 3 WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ziea watość pieiądza w czasie to ieodłączy atybut pieiądza właściwy ie tylko aszy czaso W teoii fiasów, okesowe płatości azywa się stuieie pieiędzy, pzepływe pieiędzy lub z

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA ŚRODKÓW PIENIĘŻNYCH GROMADZONYCH NA RACHUNKACH DEPOZYTOWYCH W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W GĄBINIE

TABELA OPROCENTOWANIA ŚRODKÓW PIENIĘŻNYCH GROMADZONYCH NA RACHUNKACH DEPOZYTOWYCH W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W GĄBINIE TABELA OPROCENTOWANIA ŚRODKÓW PIENIĘŻNYCH GROMADZONYCH NA RACHUNKACH DEPOZYTOWYCH W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W GĄBINIE GĄBIN, PAŹDZIERNIK 2015 SPIS TREŚCI Rozdział 1. Klienci indywidualni Rachunki oszczędnościowo

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA ŚRODKÓW PIENIĘŻNYCH GROMADZONYCH NA RACHUNKACH DEPOZYTOWYCH W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W GĄBINIE

TABELA OPROCENTOWANIA ŚRODKÓW PIENIĘŻNYCH GROMADZONYCH NA RACHUNKACH DEPOZYTOWYCH W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W GĄBINIE TABELA OPROCENTOWANIA ŚRODKÓW PIENIĘŻNYCH GROMADZONYCH NA RACHUNKACH DEPOZYTOWYCH W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W GĄBINIE GĄBIN, KWIECIEŃ 2015 SPIS TREŚCI Rozdział 1. Klienci indywidualni Rachunki oszczędnościowo

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną) 1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej

Bardziej szczegółowo

Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ę Ą Ę ŚĘ Ę Ś ń Ę Ę Ą Ł Ż Ń Ł ć Ą ć Ł Ę Ó ć Ź ć ź ń Ń ń Ś Ą Ę Ł Ę Ą Ę ń ć ń Ź ć ń ć ń Ś ń ŚĆ ć ź Ł Ę Ę Ś Ę Ę Ę ń ŚĘ Ń Ę Ę ń ŚĘ Ę Ę Ś Ś ć ń Ę ń Ś Ę ć ć Ę Ę ć ź ć ń Ę Ń ń ć Ł Ę Ę Ę Ę ć Ę ć ć ź

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW DEPOZYTOWYCH DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W LUBAWIE (obowiązuje od 25.01.2016 r.

TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW DEPOZYTOWYCH DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W LUBAWIE (obowiązuje od 25.01.2016 r. ZRZESZENIE BANKU POLSKIEJ SPÓŁDZIELCZOŚCI BANK SPÓŁDZIELCZY W LUBAWIE Rok założenia 1870 TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW DEPOZYTOWYCH DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W LUBAWIE (obowiązuje

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Zał. nr 3 do Uchwały 3/27/02/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego w Lubaczowie z dnia 27.02.2015 r. Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Tabela 1. Rachunki oszczędnościowo

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Smusz Politechnika Rzeszowska im. I. Łukasiewicza Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa Katedra Termodynamiki

Dr inż. Robert Smusz Politechnika Rzeszowska im. I. Łukasiewicza Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa Katedra Termodynamiki Dr nż. Robert Smusz Poltechnka Rzeszowska m. I. Łukasewcza Wydzał Budowy Maszyn Lotnctwa Katedra Termodynamk Projekt jest współfnansowany w ramach programu polskej pomocy zagrancznej Mnsterstwa Spraw Zagrancznych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

kartki od 27 do 32 włącznie kap. - kapitalizacja, zał. - założenie, załóżmy, zakładając, st. proc. - stopa procentowa, (...

kartki od 27 do 32 włącznie kap. - kapitalizacja, zał. - założenie, załóżmy, zakładając, st. proc. - stopa procentowa, (... katki od 7 do 3 włączie kap. - kapitalizacja, zał. - założeie, załóży, zakładając, st. poc. - stopa pocetowa, (...) - uciętę watość pzez okesów st. poc. zgodie z odele kap. złożoej z dołu zgodej. Zał.

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Powiatowym Banku Spółdzielczym w Lubaczowie

Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Powiatowym Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Zał. nr 3 do Uchwały nr 1/27/08/2014 Zarządu Powiatowego Banku Spółdzielczego w Lubaczowie z dnia 27.08.2014 r. Tabela oprocentowania środków pieniężnych w Powiatowym Banku Spółdzielczym w Lubaczowie Tabela

Bardziej szczegółowo

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli)

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli) Model odstawowe założena modelu: ceny płace mogą ulegać zmanom (w odróżnenu od poprzedno omawanych model) punktem odnesena analzy jest obserwacja pozomu produkcj cen (a ne stopy procentowej jak w modelu

Bardziej szczegółowo

Schematy zastępcze tranzystorów

Schematy zastępcze tranzystorów haty zastępz tanzystoów kst tn pztawa kótko zasady spoządzana odl zastępzyh dla tanzystoów bpolanyh oaz unpolanyh Nalży paętać, ż są to odl ałosynałow, a wę słuszn tylko wyłązn pzy założnu, ż dany lnt

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

Współpraca przedsiębiorstwa z bankiem dr Robert Zajkowski Katedra Bankowości UMCS w Lublinie

Współpraca przedsiębiorstwa z bankiem dr Robert Zajkowski Katedra Bankowości UMCS w Lublinie Współpaca pzedsębostwa z bake d Robet Zajkowsk ateda Bakowośc UMC w Luble www.obet.zajkowsk.ucs.lubl.pl obet.zajkowsk@ucs.lubl.pl Gaść foacj [] osultacje: czwatek :00-4:0 pok. 707 Pzeoszee osoba za osobę

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia Obowiązująca od LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE

Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia Obowiązująca od LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE SPÓŁDZIELCZA KASA OSZCZĘDNOŚCIOWO-KREDYTOWA JAWORZNO Informacja dla lokat terminowych założonych do dnia 13.04.2014 Obowiązująca od 01.05.2014 LOKATY TERMINOWE ZWYKŁE Lokaty terminowe obowiązuje dla lokat

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. obowiązująca od dnia

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. obowiązująca od dnia Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 13./Z/2013 Zarządu BS w Podegrodziu z dnia 11.04.2013 r Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 27/Z/2013 Zarządu BS w Podegrodziu z dnia 24.07.2013 Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym

Bardziej szczegółowo

Co to jest elektrochemia?

Co to jest elektrochemia? Co to jest elektrochea? Dzał che zajujący sę reakcja checzny, który towarzyszy przenesene ładunku elektrycznego. Autoatyczne towarzyszą teu take zjawska, jak: Przepływ prądu elektrycznego, Powstawane gradentu

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo