EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA

Transkrypt

1 EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA Nekedy zachodz koneczność zany okesu kapt. z ównoczesny zachowane efektów opocentowane. Dzeje sę tak w nektóych zagadnenach ateatyk fnansowej np. wkłady oszczędnoścowe, spłata długów. Pojawa sę tez potzeba zastąpena kapt. nezgodnej kapt. zgodną odwotne. Zachodz zate koneczność zównoważena efektu kapt. w podokesach lub w nadokesach. Zównoważene to w pzypadku kapt. złoż. z dołu jest zwązana z ożlwoścą zastąpena neównośc (po 35) (38 ) Ko(+) n <=Ko(+/) n popzez ównoważność ożna to uczynć na dwa sposoby I sposób W odpowedn sposób podwyższay stopę pocentowa występującą po lewej stone tej neównośc. Zate w lewej stone tej neównośc w ejsce kładzey ef, na efektywna stopę pocentową, dla kapt. złożonej z dołu stopę efektywną, ef okeśla sę ównane Ko(+ ef ) n = Ko(+/) n A stą otzyujey (39) ef =(+/) n II sposób Polega na obnżenu stopy względnej / występujące w neównośc (38) tak aby otzyać ówność. Tak obnżoną stopę pocentową n ównoważną stopę pocentową ozn. R. Zate dla kaptalzacj złożonej z dołu stopę okeśla ównane Ko(+ ) n = Ko(+ ) n Stąd otzyujey, że (40) R =(+) / - Zównoważene o któy wsponelśy powyżej w pzypadku kapt. złożonej z góy jets zwązane ożlwośc zastąpena neównośc(po 35) W = Ko(+/) - n <=Ko(-) - n = W n Popzez neówność ówneż w ty pzypadku ożna to zobć na 2 sposoby (4) ef - = -(-/) II Sposób Podwyższay stopę względe /do pozou stopy ównoważnej -, a węc - spełna ównane Ko(+ - ) n = Ko(+ ) - n tzn. - =-(-) / Uwaga (a)stopy ef -, ef ają ten sa okes co stopa nonowana, z ty że ównoważą (nwelują) skutk kapt. nezgodnej (b)stopy ef -, ef ają ten sa okes co stopa względna / z ty że ównoważą (nwelują) efekt kapt. nezgodnej. Stopy efektywne ef -, ef stopy -, pozwalają na ównoważne zastępowane bez zan efektu opocentowana kapt. zgodnych kaptalzacja nezgodny. Otzyalśy bowe następujące zależnośc (43) Kn=Ko(+) n = Ko[(+) / ] n =Ko[+(+) / -] n = Ko(+ ) n (44) K k/ =Ko(+/) k = Ko[(+/) ] k / =Ko[+(+/) -] k / = Ko(+ ef ) k / (45) Wn=Ko(-) -n = Ko[(-) / ] - n =Ko[+(-) / -] k / = Ko(- - ) - n (46) W k/ =Ko(-/) - k = Ko[(/) ] - k / =Ko[+(-/) -] k/ = Ko(+ ef ) - k /

2 Analzując wzoy (43) (45) zauważay, że dają one podstawę do okeślena w uowny sposób pzyszłej watośc kaptału po nepełnej lośc okesów kapt. w aach odelu kapt. złożonej. Istotne, ozwązane jest następujące. Jeśl oznacza stopę pocentową któej okes pokywa sę z okese kapt. to zeczywsty czas opocentowane t dzely na k ównych częśc (jednostek podstawowych), tak aby okes kapt. był całkowtą welokotnoścą takch częśc wówczas pzyszła watość kapt. Ko po czase t otzyujey pzyjując we wzoze (43) lub (45) watość k zaast watość no oaz dla częstośc wzoy te (psane od stony lewej do pawej ) pzyjują wtedy postac (43 ) (45 ) (43) Kt=Ko(+ ) k =Ko[+(+) / -] k = Ko(+) k / (45) Wt=Ko(- - ) -k = Ko[+(-) / -] k = Ko(- ) k / UWAGA Stopy efektywne stopy ównoważne spełnają neównośc Dla kapt. złożonej z dołu (47) * <=<= ef dla kaptalzacj złożonej z góy (48) * - >=>= ef -, e N DOWÓD Najpew wykażey neówność (47). Zgodne z def. Równoważnej stopy pocentowej R (po(40)) ay (+ ) = + Stosując teaz neówność Benoulego (30) otzyay + = (+ ) >+ gdy > Stąd < gdy > Stosując ponowne neówność Benoulego (30) otzyujey też, że : R ef =(+/) >+ / = gdy > Ty say dowód (47) został zakończony w pzypadku gdy > Stosując wzó (42) ay - - = (-) / zate (- - ) = - I stosując neówność Benoulego (30) dostajey - =(- ) > - gdy > a zate * dgy > Zgodne ze wzoe (4) ay ponadto, że - ef = ( /) > - / = - gdy > a węc > ef = gdy > Dowód (48) gdy > został zakończony Gdy = ay ównośc w (47) (48). Gdy > ay ta neównośc oste Wykozystując podane do tej poy wzoy zauważylśy że pzyszła wat. Kapt. KAPITALIZACJA CIAGLA Wadoo że (49) l ->oo (+/) = l ->oo (+/a) / a =e oaz (49) l ->oo (-/) - = l ->oo (-/a) / a =e jesl l ->oo = 0 a=/0 e N Wadoo też, że dla wszystkch ko,, n cąg pzyszłych wat (5) W n/ = Ko( + /) n

3 dla kapt. złożonej z dołu jets osnący względe, natoast cąg pzyszłych watośc (52) W n/ = Ko(-/) -n dla kapt. założonej z góy jest alejący względe. Ponadto (53) K n/ <=W n/ dla n, e N oaz 0<< zauważy że (wobec (49)) (54) l ->oo K n/ = l ->oo Ko(+/) n =l ->oo [(+/) ] n =Ko e n oaz (wobec (50)) (55) l ->oo W n/ = l ->oo Ko(-/) - n =l ->oo [(-/) - / ] n =Ko e n zate cąg (5) (52) spełnają (53) ają wspólną gancę ówną Ko e n Kapt. cągła def. Jako ganczny pzypadek kapt. złożonej w podokesach, gdy lczba podokesów (częstość dopsywana odsetek) zeza do neskończonośc Jeśl pzez K(n) ozn. Pzyszła watość kaptału Ko po n okesach stopy pocentowej w odelu kapt. cągłej, to uwzględnając wzoy (54) (55) ay (56) K(n) = Ko e n Dla kapt, cągłej któej odsetk sa dopsywane do kaptału w każdy oence czasu ustala se wat. Kaptału po dowolny czase t. Uogólnając wzó (56). Do postac (57) K(t) = Koe t, t>0 Gdze t oznacza czas opocentowana ezony okese stopy pocentowej. Z odele kapt. cągłej spotykay sę dość często, np. pzy wzośce asy dzewa (zakładay że ne dokonuje sę wyębu), odbywa ne wg odelu kapt cągłej. Wzost ludnośc śwata ówneż odbywa sę według kap c., watość składowanego wna w zależnośc od czasu ówneż opsuje kap. c. RÓWNOWAŻNOŚC WARUNKÓW OPROCENTOWANIA Powey że waunk opocentowana okeślone w banku I są ównoważne waunko(pefeowane pzez waunk ) okeślone pzez w banku II w odane do pzedzału czasu <0;t> jeśl pzyszła wat. Kapt. po czase t w banku I jest ówna (wększa ok. ) pzyszłej wat. Tego kapt. w banku II Jeśl waunk opocentowana okeślone w banku I ś ównoważne waunko (pefeowane pzez wa.) okeślone w banku II w odnesenu do każdego pzedzału czasu, to o ze waunk opocentowana okeślone w banku I są ównoważne waunko (są pefeowane pzez watość okeślone w banku II) Zał. Ze w banku I obowązuje oczna st pocentowa a oaz odsetk dopsywane są do kap. azy w cągu oku, natoast w banku II obowązuje oczna stopa pocentowa 2 oaz odsetk sa pzepsywane do kaptału 2 azy w cągu oku. Pzyp. Że w b I w b II obowązuje odel kapt. postej. Równoważność (pefeencja) wa. Opocent. W b I w stosunku do wat. Opocent. W b II w odnesenu do n lat oznacza zachodzene ównośc (neównośc ) Ko(+n**/)= Ko(+n*2*2/2) Stąd otzyujey że (59) =2 Poneważ zależność 59 ne jest zależna od węc wynka stąd, że w odelu kapt, postej waunk ównoważne(pefeowane) w odóżnenu od pewnego okeślonego pzedzału czasu są ównoważne (pefeowane) w o odnesenu do każdego pzedzału czasu są ównoważne(pefeowane) Nech teaz w bankach I II obowązuje odel kapt. złożonej. Wówczas ównoważność (pefeencja) wat. Opocentowana w banku I w stosunku do wat opocentowane w banku II okeślona jest ównośca (neównoścą) Ko(+-/) +-n = Ko(+-2/2) +-n2

4 Tutaj znak + dotyczy kapt. zdołu, - kapt z góy. Dla + ay Ko[(+/) -] n = Ko[(+2/2) 2 -] n a węc Ko(+ ef (I)) n = Ko(+ ef (II)) n (60 )R ef (I)= R ef (II) R ef (I)= (+/) - R ef (II) = (+2/2) 2 - W pzypadku ay zaś Ko{-[(-/) ]} - n = Ko{-[(-2/2) 2 ] - n (60 )R ef - (I)= R ef - (II) R ef - (I)= - (-/) R ef (II) = - (+2/2) 2 Wdzy że ówneż wzoy (60 ) (60 ) ne zależą od czasu odnesena n stąd wnosy, że dla odelu kapt. złożonej, o le waunk opocentowana sa ównoważne (pefeowane) dla pewnego czasu, to sa ównoważne (pefeowane) dla każdego pzedzału czasu, a węc sa ównoważne (pefeowane) Zał teaz że bank I stosuje odel kapt, postej z dolu, bank II odel kapt. złożonej z dołu W ty pzypadku ównoważność (pefeencja) wat. Opocentowana w b I w poównanu z wat. Opocentowana w banku II dla n lot oznacza, że Ko(+n* /)= Ko(+2/2) n2 Poneważ wzó (6) zależy od n, bo w szczególnośc jeśl wa, opocentowana w banku I sa ównoważne waunko (pefeowane w stosunku do watośc opocentowana w banku II dla jakegoś pzedzału czasu to ne usza być ównoważne (pefeowane) dla nnego pzedzału czasu KAPITALIZACJI PRZY ZIMENNEJ STOPIE PROCENTOWEJ Zał że pzez n okesów obowązywała st. Pocentowa, pzez następnych n2 okesów obowązywała stopa pocent 222. Zajey sę poblee ustalena pzyszłej wat. Kap. Ko po n okesach gdze n = n+n2 +..+n zakładay o znewalającego sę st pocent jej okes ne zena sę oaz jest ówny okesow apt. A węc ozważay kapt, zgodną. CO węcej zakładay że na pzestzen wszystkch n okesów obowązuje ten sa odel kapt. Zał na początek że obowązuje odel kapt. postej. Oczywśce odsetk poste od kapt. Ko po n okesach wynoszą (62) Z= Ko nn+..+konpp= Kp(n+..+npp)), pzyszla wat. Kaptału po okese n jets ówna (63) = Pn= Ko+ Z=Ko(+n+...+np. p) Jeśl obowązuje odel kapt. złożonej z dołu lub z góy lub odel kapt. cągłej wtedy, wat. Kaptału po dany okese staje sę wat początkową dla okesu następującego, Zate pzyszłą wat okesu Ko dla tych odel ówneż lczy sę łatwo - dla kapt. złożonej z dołu (64) Kn= Ko(+) n *...*(+) np. - dla kapt. złożonej z góy (65) Wn= Ko(-) - n *...*(-) - np. dla odelu kapt. cągłej (66) K(n)= Ko e n *...* e n p p n + n p p = Ko e Dla ozważonej powyżej kaptal. P[zy zennej st. Pocent sensowne jest wpowadzene pzecętnej stopy pocent w okese twana lokaty. Pzecętna stopa pocentowa nazywać będzey taką st. Pocentową pz dla któej pzyszła wat kapt. jest taka sua jak pzyszła wat. Kapt. pzy zenającej sę st. Poc. Jeśl uwzględny powyższa def oaz wzoy (63)-(66) zate ożey wypowadzć wzoy na pzecętne stopy pocentowe pz dla odpowednch odel kapt. W pzypadku odelu kapt postej z wyaża sę wzoe

5 Ko(+n po )= Ko(+n+...+n p p ) Stąd otzyujey (67) pz = /n(n+..+n p p ) W pzypadku odel kapt. złożonej z dołu wat. pz wyaza sę ( ) *...* ( p). - (68) pz = n n np W pzypadku odelu kapt. złożonej z góy wat. pz wyażą sę Ko(- pz )= Ko(- ) -n *...*(- p ) -np. stąd otzyujey ( ) *...*( p) n n -np (69) pz = W pzypadku odelu kapt. cągłej wat pz wyażą sę wzoe Ko e n pz = Ko e n n p p stąd ay R pz = /n(n +...+n p p ) KAPITALIZACJA MIESZANA Kaptalzację eszaną nazyway taką kaptal. Dla któej w czase opocentowana lokaty zena sę odel kapt. Ponadto waz ze zaną odelu kapt. oże zenć sę take st pocent. Załóży że do banku została wpłacona pewna kwota jako lokat a zał. Że został zadeklaowany czas twana lokaty. Czas ten jets z eguły całkowtą welokotnoścą okesu kapt. W pzypadku gdy właśccel lokaty ne wycofał kaptału po okese deklaowany pzekoczył go o nepełny okes kapt. wtedy odsetk za pzekoczony czas będą nalczane na óżne sposoby. Bank ne dolcza odsetek za pzekoczony czas ; 2 Bank dolcza odsetk poste od kaptału początkowego wg nższej st. Pocentowej 3 Bank dolcza odsetk poste od końcowej wat kaptału wg nższej st. Pocentowej 4 3 Bank dolcza odsetk poste od końcowej wat kaptału, ale wg nnej stopy pocentowej, jest opocentowany kaptal początkowy, a wg nnej zgoadzone odsetk 5 Bank dolcza cz. Odsetek pzypadający na pewszy okes kapt. popocjonalną do lczby pzekoczonych dn 6 Bank dolcza odsetk złożone za cały czas twana lokaty z wykozystane wzou(43 ) Pzyponay że jeśl czas opocentowana <0,t> ne jest całkowtą welokotnoścą okesu kapt wtedy pzedstaway go jako sua dwóch pzedzałów całkowte welokotnośc ok. Kapt. eszty będącej nadokese ok. Kapt. Oczywśce w poszczególnych pzedzałach ogą obowązywać nne odele kapt. nne stopy poc. Załóży że w pzedzale czasu n (obejujący n lat) obowązuje kapt. złożona z dołu pzy ocznej stope poc, a w pozostały pzedzale obejujący 2 dne (n2<360) obowązuje kapt. posta z dołu pzy ocznej st. Pocent 2. W pzyp. wat kapt. Ko pzyje wat(7) Kt=Ko(+) n W pzyp. 2 pzyszła wat. kapt. Ko po czase t pzyje wat (72) K t =Ko(+) n +Ko *n 2 [(+) n +n 2 * 2 /360]= [Ko(+) n + n 2 * 2 /360] W pzy. 3 pzyszłą wat Ko wynos (73) K t =Ko(+) n +Ko (+) n *n 2 2 /360=Ko(+) n (+n 2 * 2 /360) W pzypadku waantu 4 pzyszła wat kaptału wynos (74) K t =Ko(+) n +Ko n 2 2 /360+[ Ko(+) n - Ko]n 2 3 /360= Ko(+) n (+ n 2 2 /360)+Kon 2 ( 2-3 )

6 W pzypadku waantu 5 ogą być dopsywane odsetk od kaptuł początkowego w wysokośc Ko n 2 /360 lub odsetk od kaptału końcowego w wysokośc Ko(+) n n 2 * /360). W konsekwencj wat. pzyszła kaptału początko. Ko będze ówna odpowedno (75) K t =Ko(+) n +Ko *n 2 * 2 /360]= [Ko(+) n + n 2 * /360] lub (76) ) K t =Ko(+) n +Ko (+n) n *n 2 /360=Ko(+) n (+n 2 * /360) W pzypadku waantu 6 pzyszła wat. kapt. Ko po czase t=360n+n2 będący czase twana lokaty wyażony pzez lczbę dn zgodne ze wzoe (43 ) pzyje postać K t =Ko(+) t/360 Jeżel kapt. ne jest zgodna wtedy pzyszła wat opsująca analtyczne wzoy (7)-(76) Pzy czy oznacza wtedy stopę pocentową względne dostosowana do okesu kaptalzacj. Natoast n wyaża lośc pełnych ok. Kapt. zawatych w pzedzale<0,t> OPROCENTOWANIE LOKATY Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI Sybole ozn. Stopę nflacj, sybole K no ozn. Pzyszłą wat kaptału Ko w staych cenach (np. z ubegłego oku ), K e oznaczay zeczywsty wzost wat. kaptału Ko wyazony w cenach beżących, jest on nejszy od K no. Zachodz wzó (*) + = K no / K e, zakładay, ze okes st. Pocentowej jest ówny okesow stopy nflacj pzy czy z eguły okese ty jest ok. Wadoo, że nonalny wzost wat. kaptału Ko p okese wyaża wzó K no = Ko(+) Jest to pzyszła wat. kapt. w staych cenach(z ubegłego oku), zeczywsty wzost kapt. Ko uwzględnający wzost cen, a węc wyażony w cenach beżących, jest nejszy, okeślony jest wzoa (77) K e = Ko *(+)/(+) Tak węc w zwązku ze wzoste cen towaów usług ealny (zeczywsty wzost wat. penądza jest nejszy ealne tepo ponażana wat penądza w czase n ealną (zeczywstą) stopa pocentową ozn sybole e ). Realna stope pocentowa okeśla węc ównane Ko(+ e )= Ko(+)/(+) A węc (78) e )= (+)/(+) z (78) wynka że ealna stopa pocentowa jest dodatna (a węc ealna wat penądza ośne ) stopa pocentowa jest wększa od stopy nflacj Jeśl wzó (77) zapszey w postac K e = Ko /(+)*(+) wtedy jego ntepetacja jest następująca będze oznaczać zeczywste ponożene kaptału jak dokonay ndeksacj (waloyzacj ) kwoty Ko o wskaźnk nflacj a węc jeśl zaast Ko pzyjey Ko(+). Watość Ko (+) oznacza że watość Ko wzosła o czynnk (+) w jedny okese stopy pocentowej W nnny pzypadku kapt. nezgodnej pzy =kotny dopsywanu odsetek okese stopy pocentowej, ealna (zezywstą ) stopą efektywną okeśla ównane Ko(+ e, ef )= Ko

7 A węc (79) e, ef = Gdze ef =(+/) - W powyższych ozważanach uwzględnono wpływ nflacj pzypadającej na okes stopy pocentowej Załóży teaz że kaptał początkowy Ko(penężny) ponażał sę ef CZĘŚĆ 3