MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

Transkrypt

1 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 1: UWAGI WSTĘPNE. PROCENT SKŁADANY 1. Uwagi wstępne Ryzyko jest związane z niealże każdy rodzaje działalności człowieka: przy planowaniu urlopu ryzyko słabej pogody; przy wyjściu do kina ryzyko braku wolnych iejsc; gdy facet się oświadcza dziewczynie ryzyko odowy. Wiele ryzyk pociąga za sobą straty ekonoiczne: pożar dou koszty reontu; kradzież saochodu koszt zakupu nowego, itp. Ubezpieczenie jest (częściową) ochroną przed niepewnością, ryzykie. Ubezpieczenie jest to kontrakt (polisa) poiędzy firą ubezpieczeniową (ubezpieczyciel), a wykupujący polisę (ubezpieczający). Ubezpieczający płaci firie określoną ilość pieniędzy (składkę), aby ochronić się przed ryzykie związany z pewny, ściśle określony zdarzenie losowy. Ubezpieczyciel zobowiązuje się, że w razie zajścia tego zdarzenia i poniesienia szkody przez ubezpieczającego się, wypłaci ekonoiczną rekopensatę straty (odszkodowanie). W chwili zawarcia uowy ani ubezpieczyciel, ani ubezpieczający nie wiedzą: czy określone zdarzeni nastąpi; kiedy ono nastąpi; jaką stratę spowoduje. Zate sprzedając polisę ubezpieczyciel przejuje na siebie ryzyko od kupującego polisę, który z kolei zniejsza swoje ryzyko. Niepewność i ryzyko to podstawa ubepieczeń. Gdyby nie było niepewności co do przyszłości, nie byłoby sensu ubezpieczania. W ubezpieczeniach ważną rolę odgrywają odele stochastyczne, które poagaja odpowiedzieć na następujące pytania: Jak wyznaczyć wysokość składki? Jaki pozio rezerw potrzebny jest firie ubezpieczeniowej? Czy należy się reasekurować? Podstawowy podział ubezpieczeń: 1

2 2 WYKŁAD 1: UWAGI WSTĘPNE. PROCENT SKŁADANY life (na życie); non-life (pozostałe osobowe i ajątkowe). Ubezpieczenia na życie są to kontrakty zapewniające pokrycie finansowych potrzeb wynikłych wskutek zdarzeń w życiu człowieka, takich jak: choroba; kalectwo; dożycie do pewnego okresu (ryzyko długowieczności); śierć (ryzyko przedwczesnej śierci). Ubezpieczenia non-life dotyczą: osób (wypadki, choroby, itp.); własności (przeciwpożarowe, przeciwłaaniowe, saochodowe, itp.); zysków (oszustwo, odpowiedzialność cywilna). 2. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczay kouś 100 zł na jeden rok, a po upływie tego czasu osoba ta oddaje 110 zł, to stopa procentowa i takiej opreacji wynosi i = 100 a odsetki wynoszą = 10 zł. Zawsze zakładay, że i > 0. = 0.1 = 10%, Okres kapitalizacji to czas, co który odpowiedni procent (odsetki) jest doliczany do kapitału. Możliwe są dwie etody kapitalizacji: z góry (na początku każdego okresu); z dołu (na końcu każdego okresu). Na przykład przy lokacie bankowej na 1 rok ożliwe jest dopisanie odsetek na upływie całości tego okresu lub po upływie każdego kwartału, iesiąca itp. Jeśli okres kapitalizacji jest równy podstawowej jednostce czasu, to ówiy o kapitalizacji zgodnej, a stopę procentową i nazyway efektywną. Przykład 1. Pożyczay kouś 100 zł na jeden rok na i = 10% z roczny okrese kapitalizacji. Jeśli spłata została odroczona, to dług rośnie następująco: po roku 100 ( ) = 110 po 2 latach 110 ( ) = 100 ( ) 2 = 121 po 3 latach 121 ( ) = 100 ( ) 3 = itd. Ogólnie, jeżeli zainwestowano kapitał C 0 z efektywną stopą procentową i, to po n latach otrzyujey S n = (1 + i) n C 0.

3 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH 3 Jeśli po pierwszy, drugi itd. roku zainwestowano dodatkowo C 1, C 2,..., to po n latach otrzyujey n S n = (1 + i) n C 0 + (1 + i) n k C k. i=1 Wielkość S n nazyway zakuulowaną wartością (ZW) inwestycji. Przykład 2. Zaierzay zrobić następującą inwestycję: zakładay lokatę 1000 zł, a następnie po dwóch latach dokładay do niej 2000, a po następnych dwóch latach 1500 zł. Jaka będzie zakuulowana wartość tej inwestycji po 5 latach? Zakładay, że i = 5%. Rozwiązanie. May n = 5 oraz C 0 = 1000, C 2 = 2000, C 4 = 1500 oraz C 1 = C 3 = C 5 = 0. Zate zgodnie z powyższy wzore S 5 = 1000 (1.05) (1.05) (1.05) 1 = 5166, 53. Policzy teraz jaką kwotę x powinniśy zainwestować, aby po roku otrzyać ustaloną kwotę S 1. Oczywiście a więc szukana kwota to x(1 + i) = S 1, x = i S 1. Liczbę v = 1 nazyway czynnikie dyskonta. Inczej ówiąc, S 1+i 1 v jest obecną wartością (OW) (wartością w chwili zero) kwoty S 1 osiągalnej po upływie 1 roku. Podobnie kapitał warty S n po n latach warty jest obecnie v n S n. Zauważy, że v < 1, a więc S 1 v < S 1 i ogólnie S 1 < S 2 <... < S n czas to pieniądz!!! Obliczy jeszcze ile jest obecnie warta inwestycja, która daje wypłaty: C 0 obecnie, C 1 po roku, C 2 po dwóch latach,..., C n po n-ty roku. Oczywiście C 1 jest warte vc 1, C 2 jest warte v 2 C 2, itd, a więc obecna wartość tej inwestycji wynosi n C 0 + vc 1 + v 2 C v n C n = C 0 + v k C k. k=1 Przykład 3. Rozważy trzy warianty inwestycji przynoszących C 0, C 1 i C 2 w chwilach 0,1, i 2 lata przy rocznej stopie procentowej i = 10%. Wariant C 0 C 1 C 2 A B C Który z tych wariantów jest najkorzystniejszy dla nas?

4 4 WYKŁAD 1: UWAGI WSTĘPNE. PROCENT SKŁADANY Rozwiązanie. May OW = C 0 + vc 1 + v 2 C 2. Zate Podobnie OW(A) = = (1.1) 2 OW(B) = OW(C) = Zate najkorzystniejsza dla nas jest inwestycja C. Kapitalizacja niezgodna występuje gdy okres kapitalizacji jest niejszy niż podstawowa jednostka czasu. Po każdy okresie kapitalizacji odsetki doliczane są do kwoty procentującej. Mówi się wtedy o dwóch stopach: noinalnej; efektywnej. Przykład 4. Pożyczay kouś 100 zł na 10% rocznie, ale kapitalizacja następuje co kwartał. Po upływie każdego kwartału zyskujey 1 4 następująco: po 1/4 roku 100 ( ) po 1/2 roku 100 ( ) 2 po 3/4 roku 100 ( ) 3 po 1 roku 100 ( ) 4 = Wobec tego po roku otrzyujey zysk 10.38%, a nie 10%. 10% = 2.5%. Dług rośnie Stopę 10% nazyway noinalną, a stopę 10.38% efektywną. Aby uzyskać efektywnie 10%, stopa noinalna powinna wynosić 9.645%. Aby uzgodnić stopy procentowe w przypadku kapitalizacji niezgodnej oznaczy przez i stopę efektywną, a przez i () stopę noinalną kapitalizowaną razy w ciągu roku. Po roku obie stopy powinny dać ten sa kapitał, a więc ( ) 1 + i = 1 + i(). Stąd oraz i = ( 1 + i() ) 1, i () = ( (1 + i) 1/ 1 ).

5 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH 5 Kapitalizacja ciągła. Jeżeli i () = δ jest stałe, ale ilość kapitalizacji okresów rośnie, to rośnie również efektywna stopa zwrotu oraz w granicy ay gdzie e = Wielkość li ( 1 + i() ) 1 = e δ 1, δ = log(1 + i) nazyway siłą stopy procentowej lub natężenie oprocentowania związany z efektywną stopą i. Rozważy następujący odel ciągły: Załóży, że w krótki okresie czasu t kapitał przynosi zysk procentowy proporcjonalny do długości tego okresu ze współczynnikie δ. Tzn. kapitał wart k(t) w chwili t jest warty w chwili t + t k(t + t) = k(t) (1 + δ t). Odejując stronai k(t) i dzieląc przez t otrzyujey k(t + t) k(t) t a więc otzryaliśy równanie różniczkowe = δk(t), k (t) = δk(t). Rozwiązanie tego równania jest k(t) = k(0)e δt. Na odwrót, ile jest wart obecnie kapitał warty k(t) w chwili t?. Rozwiązując równanie k(t) = xe δt dostajey x = k(t)e δt. Przykład 5. Pożyczay kouś 100 zł przy stopie efektywnej i = 10%. Zate δ = log(1 + i) = Po okresie 2/3 roku ZW wyniesie 100 e 2 3 δ = , a obecna wartość kapitału wartego 100 zł w chwili 2/3 roku wynosi 100 e 2 3 δ =

6 6 WYKŁAD 1: UWAGI WSTĘPNE. PROCENT SKŁADANY Przykład 6. Po jaki czasie zwiększyy swój kapitał k-krotnie przy efektywnej stopie i? May a więc t = (1 + i) t = k log k log(1 + i) = 1 log k. δ Na przykład, jeśli i = 10%, to dla k = 2 ay t = 7.27 lat, a dla k = 10 ay t = lat. Jeśli δ nie jest stałe, a zależy od t, tzn. ay funkcję δ(t) zwaną chwilowy natężenie oprocentowania. Rozuując podobnie jak wyżej dostajey równanie którego rozwiązanie jest k (t) = δ(t)k(t), ( t ) k(t) = k(0) exp δ(s)ds. 0 Obecna wartość kapitału wartego k(t) w chwili t wynosi ( t ) k(t) exp δ(s)ds. 0 Procent z góry. Załóży, że roczna stopa procentowa wynosi i. Inwestujey pewną kwotę C 0 i chcey otrzyać natychiast pewną jej część (powiedzy C 0 d), a po roku całą kwotę C 0. Jak uzgodnić d ze stopą i? Jeśli procent płatny po roku wynosi C 0 i, to procent z góry powinien być jego obecną wartością C 0 d = C 0 iv. Zate d = iv = i i + 1. Wielkość d nazyway stopą procentową z góry. Inaczej ożna rozuować tak: Otrzyany z góry zysk C 0 d ożna z powrote zainwestować na takich saych zasadach, tzn. odbierając C 0 d 2 teraz, a po roku C 0 d. To sao ożey zrobić z C 0 d 2 itd. Zate po roku odbierzey C 0 + C 0 d + C 0 d = C 0 1 d. Jeśli ta inwestycja a być równoważna z inwestycją oprocentowaną z dołu na i, to usiy ieć a więc znowu 1 1 d = 1 + i, d = i i + 1.

7 MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH 7 Przy kapitalizacji razy w ciągu roku noinalna stopa z góry wynosi d () = i() 1 + i().