PRACA MOC ENERGIA. Z uwagi na to, że praca jest iloczynem skalarnym jej wartość zależy również od kąta pomiędzy siłą F a przemieszczeniem r

Transkrypt

1 PRACA MOC ENERGIA Paca Pojęcie pacy używane jest zaówno w fizyce (w sposób ścisły) jak i w życiu codziennym (w sposób potoczny), jednak obie te definicje nie pokywają się Paca w sensie potocznym to każda pożyteczna czynność któą wykonujemy Aby zdefiniować pacę w sensie fizycznym pzypomnimy najpiew, znaną z gimnazjum, definicję enegii: Enegia jest wielkością fizyczną opisującą stan ciała lub układu ciał Wówczas paca w sensie fizycznym ma dwa znaczenia:. Paca jest pocesem fizycznym zmiany enegii.. Paca jest wielkością fizyczną (skalaną) któa jest ówna zmianie tej enegii i okeślamy ją następująco: W = = cos (, )( ) gdzie jest stałą siłą działającą na ciało a jest pzemieszczeniem Z uwagi na to, że paca jest iloczynem skalanym jej watość zależy ównież od kąta pomiędzy siłą a pzemieszczeniem ) W = cos (, ) ale (, ) = 0 stąd: W = i W > 0 ) W = cos (, ); (, ) (0,90) stąd: W > 0 ale W < 3) 4) W = cos (, ) ale (, ) = 90 stąd: W = 0 czyli W = 0 W = cos (, ) ale (, ) = 80 stąd: W = ( ) czyli W = Pzypadek ) powiniem być znany z gimnazjum, w pzypadku 3) widzimy, że siła postopadła do pzemieszczenia nie wykonuje pacy; mamy tak w uchu po

2 okęgu i siły dośodkowej zaś pzypadek 4) pokazuje, że paca może być ujemna; taką pacę wykonuje np. siła tacia. Powyższe ozważania mają sens gdy to uchu jest linią postą (wtedy = s), w pzypadku gdy tak nie jest należy całą dogę podzielić na odcinki liniowe dla któych s i całkowita paca będzie sumą pac na tych odcinkach obliczanych ze wzou (*) Ponadto możemy kozystać z ozważanego wzou jedynie w pzypadku, gdy działająca na ciało siła jest stała ( = const); w pzeciwnym wypadku spawa się komplikuje (w skomplikowanym pzypadku i tak nie unikniemy achunku całkowego) ale mamy tzy wyjścia:. Kozystamy z ogólnej definicji pacy któa ma jednak postać całki,. Kozystamy z gaficznej intepetacji pacy, 3. Obliczamy śednią siłę (któa jest stała) i podstawiamy ją do definicji pacy Ad. W ogólności paca definiowana jest jako: W = d Definicja obejmuje wszystkie pzypadki (nawet gdy paca jest wykonywana na dodzę mającej kształt paaboli pzez siłę zmieniającą się sinusoidalnie), jednak dla jej zozumienia konieczna jest znajomość achunku całkowego. Upaszaczjąc można powiedzieć, że aby obliczyć pacę należy podzielić dogę na nieskończenie wiele nieskończenie małych (ale jazda) odcinków, na każdym z tych odcinków obliczyć pacę ( d) i posumować ottzymane w ten sposób watości. Ad. Mając wykes zależności siły od dogi (ściślej mówiąc składowej siły ównoległej do dogi) okaże się, że pacę możemy wyliczyć jako pole powiezchni figuy pod wykesem.

3 S paca wykonana (liczbowo) na dodze metoda ta pozwala na obliczenie pacy albo w pzypadku, gdy zależność = () łatwa; w pzeciwnym wypadku możemy naszkicować zależność na papieze milimetowym i wyznaczyć pacę jako ilość kwadacików albo znowu posłużyć się achunkiem całkowym Ad 3. W pzypadku gdy zmiana siły na ozważanej dodze jest liniowa, wystaczy oblczyć śednią aytmetyczną sił na początku i na końcu dogi (będziemy tak obić wypowadzając enegię potencjalną spężystości). W innych jednak pzypadkach nie będzie to już takie poste (dla zależności okaże się że będzie to jeszcze łatwa do obliczenia śednia geometyczna) i tzeba będzie znowu skozystać z achunku całkowego pzy wyliczaniu watości śedniej funkcji w pzedziale Pojęcie mocy Ważnym, np. dla oceny użyteczności danego uządzenia, pojęciem związamym z pacą jest moc. Okeślamy ją jako szybkość wykonywania danej pacy. Wyóżniamy moc śednią: P s = W t A w pzypadku, gdy ozważamy sytuację w nieskończenie kótkim czasie, to mówimy o mocy chwilowej: P c = W t t 0 Okazuje się że o wiele badziej użyteczną wielkością fizyczną jest moc śednia. Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W), nazwany tak na cześć wynalazcy maszyny paowej Jamesa Watta. 3

4 Uządzenie wykonujące pacę o watości dżula w czasie sekundy ma moc wata: W = J m = kg s s 3 Moc wata to badzo mało i dlatego stosuje się jednostki większe np. kilowat: kw = 000W megawat: M W = W koń mechniczny: KM 0.736kW Rozważmy ciało pouszające się uchem jednostajnym, postoliniowym pod działaniem pewnej siły. Może wydawać się to spzeczne z piewszą zasadą dynamiki, ale jest to pzypadek powszechny, a pozona spzeczność znika, gdy uświadomimy sobie że opócz siły napędowej muszą działać jeszcze siły opoów i skoo uch jest jednostajny, postoliniowy to ównoważą one oczywiście siłę napędową. Obliczmy moc jaką musi mieć to ciało: P = W t = t = t = = cos (, ) Pzy czym skozystaliśmy z definicji mocy, pacy i pędkości. Należy jednak jeszcze az podkeślić że otzymany wzó możemy stosować tylko w pzypadku, gdy pędkość ciała jest stała ( = const) Enegia potencjalna i kinetyczna. Zasada zachowania enegii W fizyce pojęcie enegii jest okeślone posto i jednoznacznie (w pzeciwieństwie do potocznych okeśleń w stylu: doba enegia, zielona enegia, któe nie dość że nic nie znaczą to wpowadzają niepotzebne zamieszanie) Enegia jest to zdolność ciała do wykonania pacy. Np. ozciągnięta spężyna kucząc się może pzesunąć jakieś ciało wykonując pacę. Wyóżniamy:. Enegię mechaniczną wielkość makoskopowa, związana z uchem, położeniem lub odkształceniem (w ganicach spężystości), 4

5 . Enegię wewnętzną wielkość mikoskopowa, związana z uchem, położeniem cząsteczek W naszych ozważaniach zajmniemy się na azie enegią mechaniczną. Ponadto z uwagi na to że tacie zamienia enegię mechaniczną w wewnętzną będziemy siły tacia pomijać Enegia kinetyczna Do jej wypowadzenia ozważmy ciało któe pod wpływem siły stałej ozpędza się na dodze s od zea do pewnej pędkości =0 a a Obliczymy pacę jaką należy wykonać aby ozpędzić ciało na dodze od zea do pędkości, a ponieważ kąt między wektoami siły ( ) i pzemieszczenia ( ) wynosi zeo skozystamy z postego wzou: W = cos( (, )) = cos(0) = Kozystając z II zasady dynamiki Newtona ( = ma), ze wzou na dogę ( = at ) i pędkość ( = at) w uchu jednostajnie pzyspieszonym, postoliniowym otzymujemy: W = = ma at = ma t = m(at) = m Rozpędzone do pędkości ciało może wykonać pacę więc posiada enegię; jest to enegia kinetyczna (E k = m ) Enegia potencjalna ciężkości Niech dany będzie klocek o masie m leżący na podłodze pokoju. Obliczymy jaką pacę należy wykonać any podnieść go na stół o wysokości h 5

6 c h Podnosząc klocek wystaczy zównoważyć siłę ciężkości ( = c ), wówczas na mocy I zasady dynamiki klocek będzie pouszał się jednostajnie i postoliniowo a pacę wykonaną pzez siłę obliczymy następująco: W = h W = c h W = mgh Podniesiony na stół o wysokości h klocek może wykonać pacę zatem posiada enegię; jest to enegia potencjalna ciężkości (E pc = mgh) Podając enegię potencjalną ciężkości należy jednoznacznie okeślić względem jakiego poziomu zeowego ją wyznaczamy; w pzeciwnym wypadku enegia potencjalna ciężkości nie jest okeślona jednoznacznie. Enegia potencjalna spężystości x Niech dana będzie spężyna, któą ozciągamy uchem jednostajnym, postoliniowym i chcemy obliczyć pacę wykonaną gdy spężyna wydłuży się o x pod wpływem działającej siły = kx Podstawową tudnością w tym wypadku jest to że siła nie jest stała a zatem pacy nie możemy policzyć bezpośednio z definicji. Możemy wyznaczyć jednak śednią siłę (ona już będzie stała): < >= 0+ = i policzyć pacę bezpośednio z definicji: W =< > x W = x W = kx Rozciągnięta spężyna jest zdolna do wykonania pacy a zatem posiada enegię; 6

7 jest to enegia potencjalna spężystości (E ps = kx ) Zasada zachowania enegii mechanicznej Jest jednym z najważniejszych paw pzyody i mówi że: W układzie odosobnionym mechanicznie (czyli nie oddziałuącym z innymi ciałami) enegia mechaniczna może zmieniać swoje fomy ale jej całkowita ilość pozostaje stała Wpowadzenie pojęcia enegii potencjalnej i kinetycznej ze stałej uchu Pzedstawimy w tym miejscu badzo eleganckie wypowadzenie pojęć enegii kinetycznej i potencjalnej, popzez wyznaczenie stałych uchu. Stała uchu to taka wielkość któa opisując uch nie zmienia się w czasie. Znajdziemy taką stałą ozważając pzypadek zutu poziomego z wysokości y 0 (będzie to wystaczająco ogólne ale jednocześnienie skomplikuje naszych ozważań) y 0y 0 g y 0 0x Równania w postaci ogólnej dla uchu w jednoodnym polu gawitacyjnym bez uwzględniania opoów: = t + gt, = 0 + gt, a = g W naszym szczególnym pzypadku da się je zapisać w następującej postaci skalanej: x = 0x t, x = 0x = const, dla skladowej x 7 x

8 y = y 0 + 0y gt, y = 0y gt, dla skladowej y Rozważmy ównania dla składowej y. Eliminując z nich czas popzez podstawienie: t = 0y y g, a następnie pzenosząc na jedną stonę wielkości początkowe (z indexem 0) i wielkości w chwili dowolnej na dugą dostaniemy po pomnożeniu obu ston pzez m: m y m0y + mgy = + mgy 0 Widzimy że wielkość m + mgh jest stała w czasie (jest to jedna ze stałych uchu); piewszy jej człon nazywa się enegią kinetyczną a dugi enegią potencjalną ciężkości. Maszyny poste Występują powszechnie w otaczającym nas świecie, mimo iż niejednokotnie nie zdajemy sobie z tego spawy, ich istnienie wynika z faktu, że człowiek dysponuje oganiczoną siłą. Działanie takich maszyn polega na tym, że umożliwiają wykonanie danej pacy pzy użyciu mniejszej siły, ale na dłuższej dodze. Z powyższego opisu wynika, że dobze jest zdefiniować dwie siły:. Siła użyteczna ( u ) jest to siła z jaką dana maszyna wykonuje pacę.,. Siła działania ( d ) jest to siła z jaką musimy działać na maszynę postą Wówczas oczywiście: d < u ale W d W u gdzie W d i W u to pace wykonane pzez siłę działania i użyteczną odpowiednio. Równość występuje w pzypadku baku opoów uchu maszyny postej co jest sytuacją wyidealizowaną, w zeczywistości: W u + W s = W d 8

9 (W s to paca sił opou); wpowadza się spawność maszyny postej: η = W u W d 00% Stosunek siły użytecznej do siły działania nazywamy zyskiem na sile (z = u d ) Z uwagi na definicję pacy (W = s) i zasadę zachowania enegii zysk na sile oznacza statę na dodze. Rodzaje maszyn postych:. Dźwignia jednostonna x y. Dźwignia dwustonna y = x x y = x+y x 3. Pasa hydauliczna S S = S S 4. Równia pochyła = sin( α α c c 5. Śuba Q h = h Π Q 6. Koba = R R 9

10 7. Blok 8. Klin () () N α h N N = sin α = n x Pzykłady maszyn postych: klucz płaski (koba), otwieacz do butelek (dź. dwust.), łom (dź. dwust.), siekiea (klin), taczki (dź. jednost.), dziadek do ozechów (dź. jednost.), kombineki (dź. dwust.), podnośnik hydauliczny (pasa hydaul.), łopata (klin). Zdezenia Zdezeniem nazywamy każdy kontakt mechaniczny pzynajmniej dwóch ciał. Gdy pędkości ciał pzed zdezeniem mają ten sam kieunek wyóżniamy:. zdezenie centalne toy ciał leżą na jednej postej. zdezenie niecentalne toy ciał są ównoległe Ad. Ad. b Pzykład zdezenia centalnego, toy ciał leżą na wspólnej postej i wówczas pędkości ciał mogą być dowolne. Pzykład zdezenia niecentalnego, toy ciał leżą na postych ównoległych. Odległość między tymi postymi nazywa się paametem zdezenia (b) W pzypadku gdy paamet zdezenia jest óewny zeo mamy do czynienia ze zdezeniem centalnym, natomiast gdy jest on większy niż suma pomieni oddziałujących kul to zdezenie nie występuje. Analizując kąt jaki twozą np. kulki po zdezeniu można oszacować ich masy w następujący sposób: 0

11 m m m = m kat = o 90 m m m < m kat > o 90 m m kat < o 90 m > m Analiza ta ma duże znaczenie w fizyce cząstek elementanych bo pozwala nawe na identyfikacje cząstek (badając np. toy cząstek w komoze pęchezykowej) Ponadto jest to pomocne pzy gze w bilad, ponieważ pozwala okeślić to bili ozgywającej. W zależności od spełnionych zasad zachowania mamy fundamentalny podział zdezeń i wyóżniamy zdezenia:. idealnie niespężyste zachowany jest tylko pęd. idealnie spężyste zachowana jest enegia mechaniczna i pęd Pzed analizą ilościową zdezeń wpowadźmy następującą umowe: pędkości ciał po zdezeniu będą pimowane, ponadto pzy analizie zdezeń spężystych i niespężystych założymy, że są one centalne Ad. Ciała zdezając się idealnie niespężyście zlepiają się ze sobą i pouszają się azem z jednakową pędkością, co pokazano na poniższym ysunku: m m m m Obliczenie pędkości końcowej ( ) jest badzo poste, ponieważ obowiązuje

12 jedynie zasada zachowania enegii: p = const p = p m + m = (m + m ) Stąd pędkość końcowa wynosi: Ad. = m + m m + m W zdezeniu idealnie spężystym ciała nie zlepiają się ze sobą lecz pouszają się w ogólności z óznymi pędkościami, pokazano to na ysunku: m m m m Obowiązują tu zasada zachowania enegii i pędu co daje dwa ównania: m + m = m + m m + m = m + m Po ozwiązaniu któych otzymujemy: = (m m ) + m m + m = (m m ) + m m + m