MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

Transkrypt

1 MMF ćwiczeia - Rówaia óżicowe Rozwiązać ówaia óżicowe piewszego zędu: (a) y + y =, y = (b) y + y =!, y = Wsk Podzielić ówaie pzez! i podstawić z = y /( )! Rozwiązać ówaia óżicowe dugiego zędu: (a) + 6, =, = = (b) F + + = F+ F, =, F = F (ciąg Fiboacciego) (c) = y y+ y, y =, y 4 = Wsk Zlogaytować ówaie i pote podstawić z = l y 3 Rozwiązać ówaie: y ( ) = y +, y() = 3 WskPodstawić = k, po czy ozwiązać ówaie a y k 4 Obliczyć wyzaczik D zdefiioway jako:

2 MMF ćwiczeia Fukcje zespoloe Zaleźć gaficzie liczby: z 3, 3 z, l z dla (a) z = ( 4, ) oaz (b) z = (, 3 ) i i i Rozwiązać ówaia a : e =, e =, e = i 3 Wyazić pzez zwykłe fukcje tygooetycze/hipebolicze astępujące wyażeia: si(i), cos(i), tg(i), sh(i), ch(i), th(i) 4 Oszacować watość wyażeia W = si(i+π/4) 5 Zaleźć obaz odcika L pzy odwzoowaiu F(z), jeśli: (a) F(z) = e z, L odciek AB o końcach A=(,), B = (, π) lub L posta o ówaiu y = π/ (b) F(z) = e iz, L odciek AB o końcach A=(π,), B = (π, ) (c) F(z) = i z, L oś Oy 6 Stosując etodę fukcji zespoloych ozwiązać ówaie: + γ + β = F cosωt Wsk Dokoać zaiay: a z=+iy oaz cosωt a e iωt 7 Obliczyć całki: π ϕ I = + siϕ d, I = cos d i), I 3 = e d (

3 MMF ćwiczeia 3 Fukcje Eulea Wyazić pzez fukcje Eulea, a astępie upościć, całki: e d / 3 5 ( t ) dt,, 6 e d, 3 3/ ( l ) dt / 3 / ( t ) ( + t) dt 7 Wypowadzić zwaty wzó a silię Γ(- + ½) π / t, 4 (ta / 3 t ) dt, N 8 Obliczyć, dla któego wyażeie l osiąga aksiu MMF ćwiczeia 4 Tasfoacja Laplace a Obliczyć tasfoaty Laplace a fukcji: f t) t siωt g t) Zaleźć fukcję f(t), dla któej tasfoata Laplace a wyosi; ~ s + ~ s + s f ( s) =, f ( s) =, s + s ( s + ) 3 Metodą tasfoat Laplace a ozwiązać ówaia: (a) f + f = t + t, f ( ) = 4, f () =, (b) f f 6 f =, f ( ) =, f () =, (c) f + f = t f ( ) =, f () = 4 Podobą etodą ozwiązać układ ówań: 3 ( =, ( = sihωt h( t) = coshωt ~ s f ( s) = s + 4s + 3 f + g f g = 3t = 4 f ( ) =, g() = 3 5 Okeślić pzebieg atężeia pądu elektyczego I(t) w obwodzie RC, podłączoy do stałego apięcia U Pzyjąć, że początkowo kodesato ie był aładoway: Q() = 6 Okeślić pzebieg atężeia pądu elektyczego I(t) w obwodzie RL, podłączoy do zieego apięcia U (t) = U siωt Pzyjąć, że I() =

4 MMF ćwiczeia 5 6 Wieloiay otogoale Zotogoalizować wieloiay: ; ; dla, Napisać ówaia óżiczkowe dla wieloiaów Laguee a i Czebyszewa 3 Podać ozwiązaie ówaia: ( ) f f + f =, f()=,, 4 Kozystając ze wzou Rodiguesa obliczyć współczyiki a i b pzy piewszych dwóch ajwyższych potęgach wieloiaów Legede a P i Laguea L ( =,,, ) 5 Obliczyć watość wieloiau L ( =,,, ) dla = 6 Obliczyć kwadaty o wieloiaów Laguee a i Czebyszewa: L oaz P 7 Napisać związki ekuecyje dla wieloiaów Laguee a i Czebyszewa 8 Kozystając ze związków ekuecyjych dla wieloiaów obliczyć całki: (a) e H ) H ( ) d, (b) e L ( ) L ( ) d ( Kozystając z odpowiedich fukcji twozących obliczyć (± P ) ; H () ; L () ; L () Kozystając z ówaia ekuecyjego dla wieloiaów Czebyszewa spawdzić wzó: T ( ) = cos( accos ), >, T () = Okeślić wszystkie iejsca zeowe wieloiau T 5 (),, Spawdzić ozwiięcie dla fukcji twozącej dla wieloiaów Czebyszewa: 4 w 4 w + w = = w T ( ) Wsk Poożyć całe ówaie pzez iaowik lewej stoy, a astępie pzyówywać współczyiki pzy tych saych potęgach zieej w po obu stoach otzyaej ówości Poówac wyiki z ówaie ekuecyjy dla tych wieloiaów

5 MMF ćwiczeia 7 - Fukcje sfeycze Napisać jawe wzoy a wszystkie fukcje sfeycze Y l (θ,ϕ) wywodzące się z wieloiau Legede a P (t), gdzie t = cos θ Obliczyć oę Y, 3 Wyazić wieloia P l (t) pzez fukcje sfeycze Y l (t,ϕ) 4 Wyazić fukcję f(,y,z) = y pzez fukcje sfeycze Y l (θ,ϕ) 5 Na sfeze jedostkowej zazaczyć pukty, gdzie Y, (θ,ϕ) = 6 Spawdzić, że ówaie Laplace a jest spełioe ówież pzez fukcję l f, θ, ϕ) = Y ( θ, ϕ) [iezależie od fukcji f (, θ, ϕ) =, ( θ, ϕ) ] ( l, 7 Wykazać, że fukcje sfeycze są fukcjai własyi opeatoa tzeciej składowej L 3 oetu pędu, tz że Y = Y (h - stała Placka podzieloa pzez π), gdzie L 3 = i h ϕ L 3 l, h l, π 8 Spawdzić, że fukcja f (, y, z) = ( z + i cosu + iy si u) l iu e du speełia ówaie Laplace a Na tej podstawie podać z dokładością do stałej - całkowe pzedstawieie fukcji sfeyczych l Y l

6 MMF ćwiczeia Fukcje Bessela Wykazać, że J ( ) = ( ) J ( ) ( liczba atuala) Podać (ieosobliwe) ozwiązaie ówaia: f + f + (4 9) f = 3 Podać szeeb Bessela dla ówaia: f + f ( + v ) f = 4 Wyazić fukcje si oaz cos pzez fukcje Bessela (we wzoze a fukcję twozącą podstawić w = i ) 5 Wykazać, że J ( + y) = J k ( ) J k ( y) (Wsk Fukcje twozące) k= 6 Zapisać w postaci szeegu liczbowego całkę I = cos( siϕ 3ϕ ) d ϕ 7 Wykazać, że tasfoata Laplace a fukcji Bessela J (t) wyosi J ( s) = / s +, zaś / s fukcji J ( t ) wyosi e s 8 Wyazić pzez fukcje eleetae fukcję J ( ) π 3/ ~ 9 Zaleźć dwa związki iędzy fukcjai J oaz J (Wsk Wzoy ekuecyje dla fukcji Bessela) v Udowodić, że J v+ + J v = J v To sao dla sfeyczych fukcji Bessela: l + jl + jl = jl + l( l + ) Rozwiązać ówaie: R + R + k = R R = R() Wsk Dokoać zaiay zieych: y = k, R S = y R, czyli y / =, R = y S k 3 Spawdzić otogoalość fukcji J / ( ) oaz J / ( ) dla L =

7 MMF ćwiczeia - - Dystybucje Spoządzić wykesy fukcji: θ ( ), θ ( a ), θ ( a ), θ ( + 4 3), gdzie θ() fukcja schodkowa Heaviside a Obliczyć sploty dwóch ciągów (a ) i (b ) : a a oaz a b, gdzie a = δ, + δ,, b = δ, + δ, δ 3, liczba całkowita, 3 Obliczyć sploty fukcyje f g dla: (a) f ( ) = θ ( ), g( ) = θ ( ) (b) f ( ) = θ ( ), g( ) = θ ( ), (c) f ( ) = Gα ( ), g( ) = Gβ ( ), G fukcja Gaussa ówa Gγ ( ) π γ Na podstawie otzyaego wyiku apisać zwaty wzó a koty splot: G G G α 4 Obliczyć watości główe całek: α 4 d (a) I = P 5 Zaleźć gaice ciągów pzy : (a) P α / γ = e, (b) I = P d Poówaj z całką: + li d A cos ( ) (b) P A + A cos( / ) f ( ) = e 6 Zaleźć gaice ciągów dystybucyjych: (a) f = e, (b) 7 Napisać ciąg δ-podoby (δ ε ) statując z fukcji (- f F () f F ( ) = e + ), gdzie fukcja Feiego 8 Upościć iloczyy: A = δ ( 3 ), B = δ ( 4), C = si( π ) δ ( 4) 9 Upościć sploty: A = δ ( 3 ), B = δ ( 4), C = si( π ) δ ( 4) Naszkicować wykesy piewszej i dugiej pochodej dystybucyjej dla fukcji: (a) f ( ) = e, (b) f ( ) = θ ( π ) si Obliczyć pochodą dystybucyją fukcji f () = l( ) Upościć wyażeia: A = δ ( ), B = δ ( ) C = 3 ( ) 3 Rozwiązać ówaie: f ( ) ± k f ( ) = δ ( ) (Wsk Skozystać ze wzou a laplasja fukcji δ α fo = ( ) e : f = α f 4πδ ( ) )

8 MMF ćwiczeia - Tasfoacja Fouiea Obliczyć tasfoaty Fouiea dla fukcji: (a) f ( ) = e, (b) (c) f ( ) =, (d) + f ( ) =, + cos f ( ) = + Obliczyć dwuwyiaowe tasfoaty Fouiea dla fukcji: α (a) f (, y) = θ ( R ), = + y, (b) f (, y) = e W zadaiu (b) pzyjąć astępującą defiicję tasfoaty: fˆ( q) = R e π i qo f ( ) d 3 Obliczyć tówyiaowe tasfoaty Fouiea dla fukcji: α (a) f (, y, z) = θ ( R ), = + y + z, (b) f (, y, z) = e 4 Obliczyć dystybucyje tasfoaty Fouiea dla fukcji: (a) (c) 3 f ( ) =, (b) f ( ) = cos, + f ( ) = si, (d) f ( ) = P 5 Zaleźć szczególe ozwiązaia ówaia: (a) f ( ) 4 f ( ) = δ ( ), (b) f ( ) + f ( ) + f ( ) = δ ( )

9 MMF ćwiczeia 3 - Szeegi Fouiea Napisać wykładiczy i tygooetyczy szeeg Fouiea dla fukcji okesowych: (a) f () = si 3, (b) f ( ) = (dla, ) ) oaz f() = (dla, ) ) Okes peiodyczości L = (c) f() =, dla -, ), L = Rozwiąć w (wykładiczy i tygooetyczy) szeeg Fouiea dystybucje: (a) = f ( ) = δ ( ) (b) [ = f ( ) = δ ( 4 ) δ ( 4 )] (c) f() = δ(si) 3 Napisać skończoy szeeg Fouiea  ν dla ciągu A = δ, + δ,,, v =,,, N-