Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi."

Transkrypt

1 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia : zad Kolokwium r 5, : materiał z zad Ćwiczeia : zad : zajęcia czwartkowe Trochę teorii Uwaga: Umieszczaie zmieej pod kwatyfikatorem ie jest zgode z obowiązującymi kowecjami, ale jest bardziej czytele iż umieszczeie obok - dlatego pozwalam sobie a odstępstwo od paujących reguł. Defiicja: Ciąg a jest zbieży do graicy g wtedy i tylko wtedy, gdy a g < ε. ε>0n N Piszemy a = g. Ciąg a jest rozbieży do + wtedy i tylko wtedy, gdy M N N a > M. Piszemy a = +. Ciąg a jest rozbieży do wtedy i tylko wtedy, gdy Piszemy a =. Twierdzeia: M N N a < M. 1. Ciąg zbieży ma tylko jedą graicę. 2. Graica sumy jest sumą graic. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, to ciąg a +b jest zbieży i a +b = a + b. 3. Graica różicy jest różicą graic. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, to ciąg a b jest zbieży i a b = a b. 4. Graica iloczyu jest iloczyem graic. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, to ciąg a b jest zbieży i a b = a b. 5. Graica ilorazu jest ilorazem graic. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, przy czym b 0 oraz b 0, to ciąg a b jest zbieży i a = a. b b 6. Zbieżość i graica ie zależą od pomiięcia lub zmiay skończeie wielu początkowych wyrazów ciągu. Lista Stroy 18-41

2 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 7. Słabe ierówości zachowują się przy przejściu do graicy. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, przy czym a b odpowiedio a b, to a b odpowiedio a b. 8. Kilka podstawowych graic. = + 1 = 0 a = a a = + dla a > 1 a = 0 dla a < 1 1 ie istieje awet w sesie graicy iewłaściwej a = 1 dla a > 0 = 1 9. Z graicą moża wchodzić pod pierwiastek. Dokładiej, jeśli ciąg a jest zbieży, przy czym a 0, to dla k N k a = k a. 10. Twierdzeie o trzech ciągach. Jeżeli ciągi a, b, c spełiają waruek a b c oraz ciągi a i c są zbieże do tej samej graicy g, to ciąg b też jest zbieży i jego graicą jest g. 11. Kryterium d Alemberta. Jeżeli a jest ciągiem o wyrazach iezerowych oraz istieje graica a +1 a = g < 1, to ciąg a jest zbieży do zera. Jeżeli istieje graica a +1 a = g > 1, to ciąg a jest rozbieży, a ciąg a jest rozbieży do +. Uwaga: Podstawowym zastosowaiem kryterium d Alemberta jest badaie zbieżości szeregów, ale podaa wyżej wersja stosuje się do badaia zbieżości ciągów. O szeregach będzie mowa za kilka tygodi. Powyższe własości zachowują się w przypadku ciągów mających graice iewłaściwe tz. rozbieżych do ±, o ile ie prowadzi to do wyrażeń ieozaczoych. 12. Sztuczki oparte a wzorach skrócoego możeia. x y = x y x+ y Lista Stroy 18-41

3 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 3 x 3 y = x y 3 x2 + 3 xy + 3 y 2 Zadaia Wyjaśić, dlaczego poiżej są same BZDURY: = = 0 = = +1 = = = k 143. = k k { 1 dla ieparzystych 1 dla parzystych 1 k Zbadać zbieżość ciągu a określoego podaym wzorem; obliczyć graice ciągów zbieżych, rozstrzygąć czy ciągi rozbieże mają graicę iewłaściwą { 1! dla a = 2 dla > ! ! Obliczyć wartość graicy lub uzasadić, że graica ie istieje Obliczyć graicę k k k. 2 Lista Stroy 18-41

4 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ Obliczyć wartość graicy lub uzasadić, że graica ie istieje Obliczyć graicę 180. Obliczyć graicę PRAWDA CZY FAŁSZ? 181. Jeżeli ciągi a i b są rozbieże, to ciąg a +b jest rozbieży Jeżeli ciąg a jest zbieży, a ciąg b rozbieży, to ciąg a +b jest rozbieży Jeżeli ciąg a jest zbieży, a ciąg b rozbieży, to ciąg a b jest rozbieży Jeżeli ciąg a jest zbieży, ciąg b rozbieży, a poadto obydwa ciągi mają tylko wyrazy dodatie, to ciąg a b jest rozbieży Jeżeli a jest ciągiem zbieżym o wyrazach dodatich, to jego graica jest liczbą dodatią Jeżeli a +1 a 1 2, to a Jeżeli ciąg a +1 a jest zbieży, to ciąg a jest zbieży Jeżeli ciąg a 2 jest zbieży, to ciąg a jest zbieży Jeżeli wśród wyrazów ciągu a występują zarówo wyrazy dodaie jak i ujeme, to ciąg a jest rozbieży Jeżeli wśród wyrazów ciągu a występują zarówo wyrazy miejsze od 1 jak i większe od 3, to ciąg a jest rozbieży Obliczyć graicę Rozwiązaie: Twierdzeie o trzech ciągach. Przykłady z rozwiązaiami k 2 +k k 3 +k Lista Stroy

5 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Daa pod zakiem graicy suma ma 2 składików i zapisuje się wzorem Szacowaie od góry daje 2 b = k 2 +k k 3 +k k 2 +k k 3 +k = = c Szacując od dołu otrzymujemy k 2 +k k 3 +k = = a Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto a b c, a = c = 6/5, a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy 192. Obliczyć graicę b = 6/ Rozwiązaie: Daa pod zakiem graicy suma ma 2 2 składików i zapisuje się wzorem Szacowaie od góry daje k k Szacując od dołu otrzymujemy k b = 10 +3k = = c k k = = a 2. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto oraz a b c, a 10 = = 10 = c = = = 10, Lista Stroy 18-41

6 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = Wskazać liczbę aturalą k, dla której graica k istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Dzieląc liczik i miaowik daego wyrażeia przez 5/2 otrzymujemy k = 3 1/ k /2 1/2 15/2 5 Miaowik ostatiego wyrażeia dąży do 7 przy, atomiast liczik ma graicę skończoą dodatią dla k = 15 i graica liczika jest wtedy rówa 2. Odpowiedź: Przy k = 15 graica jest rówa 2/7. Uwaga: Liczba k = 15 jest jedyą liczbą spełiającą waruki zadaia. Jedak zgodie z poleceiem wystarczyło wskazać k, bez koieczości uzasadieia, że takie k jest tylko jedo Obliczyć graicę Rozwiązaie: Daa pod zakiem graicy suma ma 6 składików i zapisuje się wzorem Szacowaie od góry daje 6 b = k k k k = = c 2 3. Szacując od dołu otrzymujemy k k = = a. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto oraz a b c, a 24 3 = = = c = = = 12, Lista Stroy 18-41

7 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = 12. Odpowiedź: Daa w zadaiu graica istieje i jest rówa 12. Kowersatorium 195. Ciąg a spełia waruek a 100 < 10. >1000 Czy stąd wyika, że a ciąg a jest zbieży, b ciąg a jest rozbieży, c każdy wyraz ciągu a jest dodati, d ciąg a ma co ajmiej jede wyraz dodati, e od pewego miejsca wszystkie wyrazy ciągu są dodatie, f a 666 < , g a 1111 > 88, h a 100 < 1, >1729 i a 100 < 17, >345 j a 99 < 13, >5555 k ciąg a jest ograiczoy, l a 95 < 37, >444 m a 80 < 37, >4444 a 95 < 37, <444 o a 80 < 37, <4444 p m a > 0, >m q a 66 > 12, >1331 a a m < 7, >5678 a a m < 17, >5678 a a m < 27, >45678 a a m < 37, >5678 a a m < 3, <456 a +a m < 210, >67890 a +a m < 222, >7776 a +a m > 128, >8192 r m>1234 s m>1234 t m>123 u m>1234 v m<123 w m>12345 x m>1296 y m>1024 z a < 92, ż a > 91. Lista Stroy 18-41

8 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ Day jest taki ciąg a, że ε>0 a 7 < ε. 5/ε Podać graicę ciągu a. Wskazać taką liczbę M, że a < M. Wskazać taką liczbę N, że a > 6. N Wskazać taką liczbę N, że a < 7,01. N Wskazać taką liczbę N, że a 8 > 1/3. N 197. Day jest taki ciąg b, że ε>0 Podać graicę ciągu b. Wskazać taką liczbę M, że b < M. Wskazać taką liczbę N, że b < 0. N Wskazać taką liczbę N, że b > 3. N Wskazać taką liczbę N, że b 2 > 1/10. N b +2 < ε. 10/ε 198. Niech c = a +b, gdzie a i b są ciągami z poprzedich dwóch zadań. Dowieść, że wówczas ciąg c jest zbieży, gdyż c 5 < ε. ε>0.../ε W miejscu kropek powia się zaleźć odpowiedio dobraa liczba Niech d = a b, gdzie a i b są jak poprzedio. Dowieść, że wówczas ciąg d jest zbieży, gdyż d +14 < ε. ε>0... W miejscu kropek powio się zaleźć odpowiedio dobrae wyrażeie zależe od ε Niech e = 2a +3b. Dowieść, że wówczas ciąg e jest zbieży, gdyż e... < ε. ε>0.../ε W miejscu kropek powiy się zaleźć odpowiedio dobrae liczby. Kresy zbiorów. Ćwiczeia : zad Kolokwium r 6, : materiał z zad Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x Z x M Lista Stroy 18-41

9 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 azywamy ograiczeiem górym zbioru Z. Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z dołu, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x Z x M azywamy ograiczeiem dolym zbioru Z. Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym, jeżeli jest jedocześie ograiczoy z dołu i z góry. Defiicja: Jeżeli iepusty zbiór Z R jest ograiczoy z góry, to kresem górym zbioru Z azywamy jego ajmiejsze ograiczeie góre i stosujemy ozaczeie supz. Istieie takiego ajmiejszego ograiczeia wyika z zasady ciągłości Dedekida. Jeżeli zbiór Z jest ieograiczoy z góry, przyjmujemy supz = +. Poadto przyjmujemy sup =. Aalogiczie określamy kres doly zbioru, ozaczay przez if Z. Wiosek: Jeżeli iepusty zbiór Z R jest ograiczoy z góry, to liczba G jest jego kresem górym wtedy i tylko wtedy, gdy oraz ε>0 x Z x Z x G x > G ε. Zadaia. Wyzaczyć kres góry i doly astępujących zbiorów. Zbadać, czy podae zbiory zawierają swoje kresy: 201. { x R : x 2 < 2 { : N! { m +1 : m, N 204. { x R : x 4 5 { m { m : m, N, m < mk 206. m k : m,,k 3 N Niech A i B będą iepustymi ograiczoymi zbiorami liczb rzeczywistych. Niech a 1 = ifa, a 2 = supa, b 1 = ifb, b 2 = supb. Co moża powiedzieć o astępujących kresach: 207. if{ a : a A 208. sup{a 2 : a A 209. if{a 2 : a A 210. sup{a b : a A, b B 211. sup{ab : a A, b B 212. if{ab : a A, b B Lista Stroy 18-41

10 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ Zbiory A i B są iepuste i ograiczoe. Zbiór B jest skończoy i wszystkie jego elemety są róże od 0. Czy zbiór { a : a A, b B musi być ograiczoy? Odpowiedź b uzasadić A jest takim iepustym zbiorem ograiczoym liczb rzeczywistych, że ifa = 3, supa = 2. Jakie wartości mogą przyjmować kresy zbioru { a : a A? Odpowiedź uzasadić przykładem lub dowodem Podać przykład takich zbiorów A, B, że ifa = 2, supa = 7, ifb = 3, supb = 10, ifa B = 4, supa B = 6, A N = B N =. Niepotrzebe skreślić. W każdej parze ramek tylko jeda zawiera sesowe uzupełieie tekstu matematyczego. Twierdzeie 216. Niech A i B będą iepustymi zbiorami ograiczoymi. Niech C = {a b : a A b B. Wtedy ifc = ifa supb supb ifa. Dowód: Niech d = ifa i g = supb. Wtedy z waruku d = ifa wyika, że 1 oraz 2 ε>0 ε>0 a d a d a < d+ε a > d ε. Podobie z waruku g = supb wyika 3 oraz b B b B b g b g 4 b < g +ε b > g ε. ε>0 ε>0 b B b B Chcemy wykazać, że ifc = e, gdzie e = d g g d, czyli, że 5 oraz c C c C c e c e 6 c < e+ε c > e ε. ε>0 ε>0 c C c C W dowodzie waruku 5 skorzystamy z 1 i 3. Zakładając 5 wykażemy prawdziwość waruków 1 i 3. Dowola Istieje liczba c C jest będąca postaci c = a b, gdzie a A i b B. Z ierówości a d a d i b g b g otrzymujemy a b e a b e, co dowodzi 5. Załóżmy Wykażemy teraz prawdziwość waruku 6. Niech ε będzie dowolą liczbą dodatią. Wtedy Zajdziemy taką liczbę dodatią ε, dla której Lista Stroy 18-41

11 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 istieje a A takie, że a > d ε a < d+ ε oraz b B takie, że 2 b < g +ε b > g ε. Zatem liczba c = a b spełia ierówość 2 c < e+ε c > e ε, co kończy dowód waruku 6. Wyzaczyć kres góry i doly astępujących zbiorów. Zbadać, czy podae zbiory zawierają swoje kresy: 217. { x 2 : x 4, 9 { : N { {! : N 220. : N 2009 { { m : m, N : N { 2 + : N 224. { 3 m 2 : m, N { { 7 m m : m, N : m, N m { m { 3m : m, N 228. : m, N m m 229. { 37 5 : N 230. { 37 6 : N 231. { 37 7 : N { m 233. m : m, N Kowersatorium 232. { 37 8 : N Przeczytaj poiższe waruki. Które z ich są rówoważe temu, że g = supa? 234. a < g +ε ε>0 ε>0 ε>0 ε>0 a g < ε a > g 2ε a > g ε 2 > g Na 1 Lista Stroy 18-41

12 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ a < g a 2 0 N 2 g a < 1 a g 2 < ε ε>0 ε>0 ε<g ε<g a g 2 < ε a > ε a > g ε a > g ε 0<ε<1 a g ε ε>0 a g ε ε 0 a > g ε ε 0 b g+a 2 b A a g a > g ε ε>0 b A b A b g+a 2 b g+a 2 Zadaia do samodzielego rozwiązaia. Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związae z tymi zadaiami mogą być wyjaśioe a kowersatorium lub ćwiczeiach. Zawsze moża też skorzystać z kosultacji W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo A = {x 2 : x 3, 2 ifa =... supa =... Lista Stroy 18-41

13 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = {x 3 : x 3, 2 ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... { C = 5 13 : N N = {1,2,3,4,5,... ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... { D = : N ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = { 2 5 : N ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E... { F = : N! iff =... supf =... Czy kres doly ależy do zbioru F... Czy kres góry ależy do zbioru F... { G = 2 1 : N ifg =... supg =... Czy kres doly ależy do zbioru G... Czy kres góry ależy do zbioru G... { H = +1 1 m+2 : m, N ifh =... suph =... Czy kres doly{ ależy do zbioru H... Czy kres góry ależy do zbioru H... m I = : m, N 2m2 < 3 2 ifi =... supi =... Czy kres doly ależy { do zbioru I... Czy kres góry ależy do zbioru I... m J = : m, N 2m > 3 ifj =... supj =... Czy kres doly ależy { do zbioru J... Czy kres góry ależy do zbioru J... m K = m 2 +9 : m, 2 N ifk =... supk =... Czy kres doly ależy { do zbioru K... Czy kres góry ależy do zbioru K L = 7+! ! : N ifl =... supl =... Czy kres doly ależy do zbioru L... Czy kres góry ależy do zbioru L... Lista Stroy 18-41

14 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 { m M = : m,,p N m 2 > 2p 2 2 > 3p 2 p ifm =... supm =... Czy kres doly ależy do zbioru M... Czy kres góry ależy do zbioru M W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być{ liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo A = 5 m : m, 2 N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly{ ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = 2 7 : N ifb =... supb =... Czy kres doly{ ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B C = x : x 1 2, 1 N 5 ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C D = { 2 +3 : N ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = {log log 2 : N ife =... supe =... Czy kres doly{ ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E F = 3+7 : N iff =... supf =... Czy kres doly{ ależy do zbioru F... Czy kres góry ależy do zbioru F G = 3 7 : N ifg =... supg =... Czy kres doly{ ależy do zbioru G... Czy kres góry ależy do zbioru G H = : N! ifh =... suph =... Czy kres doly{ ależy do zbioru H... Czy kres góry ależy do zbioru H I = 2! : N ifi =... supi =... Czy kres doly ależy { do zbioru I... Czy kres góry ależy do zbioru I... m J = m 2 + : m, 4 N Lista Stroy 18-41

15 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 ifj =... supj =... Czy kres doly ależy do zbioru J... Czy kres góry ależy do zbioru J K = { x+y x y : x,y R ifk =... supk =... Czy kres doly ależy do zbioru K... Czy kres góry ależy do zbioru K... { L = 5 3 : m, m N ifl =... supl =... Czy kres doly ależy do zbioru L... Czy kres góry ależy do zbioru L... { M = 1+ 1 : N ifm =... supm =... Czy kres doly ależy do zbioru M... Czy kres góry ależy do zbioru M... Szeregi liczbowe. Ćwiczeia : zad Kolokwium r 7, : materiał z zad Ćwiczeia : zad Kolokwium r 8, : materiał z zad Obliczyć S = a k, a astępie zaleźć S : 254. a k = 1 7 k 255. a k = 2k +5 k 10 k Dowieść, że 4 < < Dowieść, że szereg jest zbieży, a jego suma jest miejsza od Rozstrzygąć, czy astępujące szeregi są zbieże = !! ! 3 3! = ! Lista Stroy 18-41

16 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ ! π π +e Które z astępujących szeregów są bezwzględie zbieże, które warukowo zbieże, a które rozbieże: k 1 k k razy k k 1 k 1 2 k k razy 2 k = ! ! 299.!+1! / / Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że Uzasadić poprawość podaego przykładu. a = a Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 5 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz a 2 = Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że Lista Stroy 18-41

17 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 dla dowolej liczby aturalej k zachodzi rówość a k = 2 a. Uzasadić poprawość podaego przykładu. =k Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 1 oraz a 2 = 1 4. Uzasadić poprawość podaego przykładu Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 1, a 2 = 1 2 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz a 4 = 1 5. Kryteria zbieżości szeregów - co każdy studet wiedzieć powiie. 1. Waruek koieczy zbieżości. Jeżeli szereg a jest zbieży, to a = 0. Iymi słowy, jeżeli ciąg a jest rozbieży lub zbieży do graicy różej od zera, to szereg a jest rozbieży. 2. Zbieżość szeregu ie zależy od pomiięcia lub zmiay skończeie wielu początkowych wyrazów. Oczywiście zmiaa lub pomiięcie tych wyrazów ma wpływ a sumę szeregu zbieżego. 3. Kryterium porówawcze. Niech a i b będą szeregami o wyrazach ieujemych, przy czym dla każdego N zachodzi ierówość a b. Jeżeli a =, to b =. Jeżeli b <, to a <. 4. Kilka szeregów. q jest zbieży dla q < 1, rozbieży dla pozostałych q. a jest zbieży dla a < 1, rozbieży dla pozostałych a. Lista Stroy 18-41

18 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 1 log =2 a podstawę większą od 1. jest zbieży dla a > 1, rozbieży dla pozostałych a. Logarytm ma dowolą 5. Kryterium d Alemberta. Jeżeli a jest ciągiem o wyrazach iezerowych oraz istieje graica a +1 = g < 1, a to szereg a jest zbieży. Jeżeli istieje graica to szereg a jest rozbieży. a +1 a = g > 1, 6. Zbieżość bezwzględa. Jeżeli a <, to szereg a jest zbieży. 7. Szeregi aprzemiee. Jeżeli a jest ciągiem ierosącym zbieżym do 0, to szereg a 1 +1 jest zbieży. Kowersatorium Czy istieje ciąg a taki, że podać przykład lub dowieść, że ie istieje : 306. a > 1 dla ieskończeie wielu, N a > 0, szereg 307. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = a 2 = 1 N, a = 0. a jest zbieży a Z, a = dla 100, szereg a jest zbieży. N 310. a = 1 dla ieskończeie wielu, szereg a jest zbieży Szereg a jest zbieży, szeregi a 2 1 i a 2 są rozbieże Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 1 +a 2 jest zbieży. Lista Stroy 18-41

19 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 1 +a 2 jest zbieży, a = Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 +a a a jest zbieży, a = 0. = Szeregi a 2 1 +a 2 i a 1 + a 2 +a 2+1 są zbieże, ale mają róże sumy Szereg a jest zbieży, szereg a 2 jest rozbieży Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 jest zbieży Szereg a jest zbieży, a jego suma jest rówa S. Czy stąd wyika, że zbieży jest ciąg a, jeżeli a S = 0 b 0 < S < 1 c S = 1 d S > Czy możemy stwierdzić, że szereg a jest rozbieży, jeżeli wiemy, że a a = 3 4 b a = 7 4 a +1 c = 1 a Podać sumę szeregu, jeżeli szereg jest zbieży a b c d Zbadać zbieżość szeregu 2! a a +1 d = 5 a 4 1 w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego a. Dla jedej wartości a moża ie udzielić odpowiedzi Zbadać zbieżość szeregu Zbadać zbieżość szeregu Obliczyć sumę szeregu ! Lista Stroy 18-41

20 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Wyzaczyć kresy zbiorów { N : N N { =M 2 1 : M N 327. { N =M 1 : M,N N M < N 2 Zadaia do samodzielej powtórki. Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związae z tymi zadaiami mogą być wyjaśioe a kowersatorium lub ćwiczeiach. Zawsze moża też skorzystać z kosultacji Rozstrzygąć zbieżość szeregu Rozstrzygąć zbieżość szeregu Rozstrzygąć zbieżość szeregu Rozstrzygąć zbieżość szeregu 3! a w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego a. Dla jedej wartości a moża ie udzielić odpowiedzi a Udowodić zbieżość szeregu 1. 2 b Obliczyć jego sumę Obliczyć graicę 2 +k. k 335. Rozstrzygąć zbieżość szeregu! Lista Stroy 18-41

21 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ a Rozstrzygąć zbieżość szeregu w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego p. p b Obliczyć sumę szeregu w podpukcie a dla jedej spośród tych wartości parametru p, dla których szereg jest zbieży W każdym z poiższych zdań w miejscu kropek postaw jedą z liter Z, R, N: Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży a Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg a... b Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg a... c Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1 a... d Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1 a... e Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg a 2... f Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg a 2... g Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1 a 2... h Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1 a 2... i Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1+a 2... j Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1+a Dae są takie ciągi a i b, że a +5 < ε oraz b +3 < ε. ε>0 20/ε ε>0 30/ε Niech c = a 2b. Wskazać odpowiedią liczbę rzeczywistą r oraz liczbę aturalą P i udowodić, że ε>0 c +r < ε. P/ε 339. Obliczyć graicę Lista Stroy 18-41

22 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru.. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. { A = m 3 : m, N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = {log 2 +7 log 2 : N ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... {! C = 2 : 5 N ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... { m D = : m, N m ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D... { E = 2 +1 : N ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. { A = 2 22 : N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A... { B = 3+1 : N ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... Lista Stroy 18-41

23 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 { C = 3+2 : N ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C D = {x 2y : x,y R 16 < x 28 3 < y 4 ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = { x y : x,y R 16 < x 28 3 < y 4 ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E Podaj wartości graic. a = b =... c = d = e = f = g = h = /2010 i = j = Lista Stroy 18-41

24 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ W każdym z 5 poiższych zadań udziel czterech iezależych odpowiedzi: Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży Ciąg a liczb rzeczywistych dodatich jest zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a O ciągu a liczb rzeczywistych dodatich wiadomo, że ciąg jest zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu jeżeli wiadomo, że a a, a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a O ciągu a liczb rzeczywistych dodatich wiadomo, że ciąg jest a +1 zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g Ciąg a liczb rzeczywistych dodatich jest zbieży do liczby rzeczywistej g. a+1 Co moża wywioskować o zbieżości ciągu, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g O ciągu a liczb rzeczywistych wiadomo, że szereg a jest zbieży i jego sumą jest liczba rzeczywista g. Co moża wywioskować o zbieżości ciągu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a Lista Stroy 18-41

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Wrocław, 2 lutego 205 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp 2 Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Entropia w układach dynamicznych

Entropia w układach dynamicznych Etropia w układach dyamiczych Wstęp Środowiskowe studia doktorackie Uiwersytet Jagielloński Kraków, marzec-kwiecień 203 Tomasz Dowarowicz Część II Etropia topologicza i zasada wariacyja Zaczijmy od początku.

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Ku chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków

Ku chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków Ku chwale ierówości Sebastia Lisiewski 25 lutego 200 XXVII Ogólopolski Sejmik Matematyków VIII Liceum Ogólokształcące im. Marii Skłodowskiej- Curie w Katowicach ul. 3-go Maja 42 40-097 Katowice Opiekuowie

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał ddaktcze Matematka Semestr II Ćwiczeia Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony). Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombiatorycza teoria zbiorów 23 maja 2012 Wyk lad poświe coy jest w lasościom rodzi podzbiorów skończoego zbioru. Rozpoczya go poje cie systemu różych reprezetatów wraz ze s

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10/11. Holografia syntetyczna - płytki strefowe.

Ćwiczenie 10/11. Holografia syntetyczna - płytki strefowe. Ćwiczeie 10/11 Holografia sytetycza - płytki strefowe. Wprowadzeie teoretycze W klasyczej holografii optyczej, gdzie hologram powstaje w wyiku rejestracji pola iterferecyjego, rekostruuje się jedyie takie

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Semiotyka. Robert Trypuz. 8 października 2013. Katedra Logiki KUL. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Semiotyka 8 października 2013 1 / 42

LOGIKA Semiotyka. Robert Trypuz. 8 października 2013. Katedra Logiki KUL. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Semiotyka 8 października 2013 1 / 42 LOGIKA Semiotyka Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 8 paździerika 2013 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Semiotyka 8 paździerika 2013 1 / 42 Pla wykładu 1 Semiotyka jako auka 2 Zak 3 Język (w semiotyce) 4 Semiotycze

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Przedmiotowy system oceiaia wraz z określeiem wymagań edukacyjych (zakres rozszerzoy) Wymagaia koiecze (K) dotyczą zagadień elemetarych, staowiących swego rodzaju podstawę, zatem powiy być opaowae przez

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Ćwiczeie 5 OKREŚLENIE CARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Wykaz ważiejszych ozaczeń c 1 rędkość bezwzględa cieczy a wlocie do wirika, m/s c rędkość bezwzględa cieczy a wylocie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzoy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocicze dla ucziów i auczycieli Cetrala Komisja Egzamiacyja 05 Zadaia 5 Zadaia Liczby rzeczywiste i wyrażeia algebraicze Rówaia i

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie

Bardziej szczegółowo

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2.

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2. Katarzya JARZYŃSKA ABB Sp. z o.o. PRODUKTY NISKONAPIĘCIOWE W INSTALACJI PV Streszczeie: W ormalych warukach pracy każdy moduł geeruje prąd o wartości zbliżoej do prądu zwarciowego I sc, który powiększa

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne

Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optyczne Wykład 4 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie zlifierzy oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi ferycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy

Bardziej szczegółowo