Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Transkrypt

1 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia : zad Kolokwium r 5, : materiał z zad Ćwiczeia : zad : zajęcia czwartkowe Trochę teorii Uwaga: Umieszczaie zmieej pod kwatyfikatorem ie jest zgode z obowiązującymi kowecjami, ale jest bardziej czytele iż umieszczeie obok - dlatego pozwalam sobie a odstępstwo od paujących reguł. Defiicja: Ciąg a jest zbieży do graicy g wtedy i tylko wtedy, gdy a g < ε. ε>0n N Piszemy a = g. Ciąg a jest rozbieży do + wtedy i tylko wtedy, gdy M N N a > M. Piszemy a = +. Ciąg a jest rozbieży do wtedy i tylko wtedy, gdy Piszemy a =. Twierdzeia: M N N a < M. 1. Ciąg zbieży ma tylko jedą graicę. 2. Graica sumy jest sumą graic. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, to ciąg a +b jest zbieży i a +b = a + b. 3. Graica różicy jest różicą graic. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, to ciąg a b jest zbieży i a b = a b. 4. Graica iloczyu jest iloczyem graic. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, to ciąg a b jest zbieży i a b = a b. 5. Graica ilorazu jest ilorazem graic. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, przy czym b 0 oraz b 0, to ciąg a b jest zbieży i a = a. b b 6. Zbieżość i graica ie zależą od pomiięcia lub zmiay skończeie wielu początkowych wyrazów ciągu. Lista Stroy 18-41

2 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 7. Słabe ierówości zachowują się przy przejściu do graicy. Dokładiej, jeśli ciągi a i b są zbieże, przy czym a b odpowiedio a b, to a b odpowiedio a b. 8. Kilka podstawowych graic. = + 1 = 0 a = a a = + dla a > 1 a = 0 dla a < 1 1 ie istieje awet w sesie graicy iewłaściwej a = 1 dla a > 0 = 1 9. Z graicą moża wchodzić pod pierwiastek. Dokładiej, jeśli ciąg a jest zbieży, przy czym a 0, to dla k N k a = k a. 10. Twierdzeie o trzech ciągach. Jeżeli ciągi a, b, c spełiają waruek a b c oraz ciągi a i c są zbieże do tej samej graicy g, to ciąg b też jest zbieży i jego graicą jest g. 11. Kryterium d Alemberta. Jeżeli a jest ciągiem o wyrazach iezerowych oraz istieje graica a +1 a = g < 1, to ciąg a jest zbieży do zera. Jeżeli istieje graica a +1 a = g > 1, to ciąg a jest rozbieży, a ciąg a jest rozbieży do +. Uwaga: Podstawowym zastosowaiem kryterium d Alemberta jest badaie zbieżości szeregów, ale podaa wyżej wersja stosuje się do badaia zbieżości ciągów. O szeregach będzie mowa za kilka tygodi. Powyższe własości zachowują się w przypadku ciągów mających graice iewłaściwe tz. rozbieżych do ±, o ile ie prowadzi to do wyrażeń ieozaczoych. 12. Sztuczki oparte a wzorach skrócoego możeia. x y = x y x+ y Lista Stroy 18-41

3 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 3 x 3 y = x y 3 x2 + 3 xy + 3 y 2 Zadaia Wyjaśić, dlaczego poiżej są same BZDURY: = = 0 = = +1 = = = k 143. = k k { 1 dla ieparzystych 1 dla parzystych 1 k Zbadać zbieżość ciągu a określoego podaym wzorem; obliczyć graice ciągów zbieżych, rozstrzygąć czy ciągi rozbieże mają graicę iewłaściwą { 1! dla a = 2 dla > ! ! Obliczyć wartość graicy lub uzasadić, że graica ie istieje Obliczyć graicę k k k. 2 Lista Stroy 18-41

4 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ Obliczyć wartość graicy lub uzasadić, że graica ie istieje Obliczyć graicę 180. Obliczyć graicę PRAWDA CZY FAŁSZ? 181. Jeżeli ciągi a i b są rozbieże, to ciąg a +b jest rozbieży Jeżeli ciąg a jest zbieży, a ciąg b rozbieży, to ciąg a +b jest rozbieży Jeżeli ciąg a jest zbieży, a ciąg b rozbieży, to ciąg a b jest rozbieży Jeżeli ciąg a jest zbieży, ciąg b rozbieży, a poadto obydwa ciągi mają tylko wyrazy dodatie, to ciąg a b jest rozbieży Jeżeli a jest ciągiem zbieżym o wyrazach dodatich, to jego graica jest liczbą dodatią Jeżeli a +1 a 1 2, to a Jeżeli ciąg a +1 a jest zbieży, to ciąg a jest zbieży Jeżeli ciąg a 2 jest zbieży, to ciąg a jest zbieży Jeżeli wśród wyrazów ciągu a występują zarówo wyrazy dodaie jak i ujeme, to ciąg a jest rozbieży Jeżeli wśród wyrazów ciągu a występują zarówo wyrazy miejsze od 1 jak i większe od 3, to ciąg a jest rozbieży Obliczyć graicę Rozwiązaie: Twierdzeie o trzech ciągach. Przykłady z rozwiązaiami k 2 +k k 3 +k Lista Stroy

5 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Daa pod zakiem graicy suma ma 2 składików i zapisuje się wzorem Szacowaie od góry daje 2 b = k 2 +k k 3 +k k 2 +k k 3 +k = = c Szacując od dołu otrzymujemy k 2 +k k 3 +k = = a Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto a b c, a = c = 6/5, a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy 192. Obliczyć graicę b = 6/ Rozwiązaie: Daa pod zakiem graicy suma ma 2 2 składików i zapisuje się wzorem Szacowaie od góry daje k k Szacując od dołu otrzymujemy k b = 10 +3k = = c k k = = a 2. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto oraz a b c, a 10 = = 10 = c = = = 10, Lista Stroy 18-41

6 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = Wskazać liczbę aturalą k, dla której graica k istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Dzieląc liczik i miaowik daego wyrażeia przez 5/2 otrzymujemy k = 3 1/ k /2 1/2 15/2 5 Miaowik ostatiego wyrażeia dąży do 7 przy, atomiast liczik ma graicę skończoą dodatią dla k = 15 i graica liczika jest wtedy rówa 2. Odpowiedź: Przy k = 15 graica jest rówa 2/7. Uwaga: Liczba k = 15 jest jedyą liczbą spełiającą waruki zadaia. Jedak zgodie z poleceiem wystarczyło wskazać k, bez koieczości uzasadieia, że takie k jest tylko jedo Obliczyć graicę Rozwiązaie: Daa pod zakiem graicy suma ma 6 składików i zapisuje się wzorem Szacowaie od góry daje 6 b = k k k k = = c 2 3. Szacując od dołu otrzymujemy k k = = a. Poieważ dla dowolego zachodzą ierówości a poadto oraz a b c, a 24 3 = = = c = = = 12, Lista Stroy 18-41

7 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy b = 12. Odpowiedź: Daa w zadaiu graica istieje i jest rówa 12. Kowersatorium 195. Ciąg a spełia waruek a 100 < 10. >1000 Czy stąd wyika, że a ciąg a jest zbieży, b ciąg a jest rozbieży, c każdy wyraz ciągu a jest dodati, d ciąg a ma co ajmiej jede wyraz dodati, e od pewego miejsca wszystkie wyrazy ciągu są dodatie, f a 666 < , g a 1111 > 88, h a 100 < 1, >1729 i a 100 < 17, >345 j a 99 < 13, >5555 k ciąg a jest ograiczoy, l a 95 < 37, >444 m a 80 < 37, >4444 a 95 < 37, <444 o a 80 < 37, <4444 p m a > 0, >m q a 66 > 12, >1331 a a m < 7, >5678 a a m < 17, >5678 a a m < 27, >45678 a a m < 37, >5678 a a m < 3, <456 a +a m < 210, >67890 a +a m < 222, >7776 a +a m > 128, >8192 r m>1234 s m>1234 t m>123 u m>1234 v m<123 w m>12345 x m>1296 y m>1024 z a < 92, ż a > 91. Lista Stroy 18-41

8 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ Day jest taki ciąg a, że ε>0 a 7 < ε. 5/ε Podać graicę ciągu a. Wskazać taką liczbę M, że a < M. Wskazać taką liczbę N, że a > 6. N Wskazać taką liczbę N, że a < 7,01. N Wskazać taką liczbę N, że a 8 > 1/3. N 197. Day jest taki ciąg b, że ε>0 Podać graicę ciągu b. Wskazać taką liczbę M, że b < M. Wskazać taką liczbę N, że b < 0. N Wskazać taką liczbę N, że b > 3. N Wskazać taką liczbę N, że b 2 > 1/10. N b +2 < ε. 10/ε 198. Niech c = a +b, gdzie a i b są ciągami z poprzedich dwóch zadań. Dowieść, że wówczas ciąg c jest zbieży, gdyż c 5 < ε. ε>0.../ε W miejscu kropek powia się zaleźć odpowiedio dobraa liczba Niech d = a b, gdzie a i b są jak poprzedio. Dowieść, że wówczas ciąg d jest zbieży, gdyż d +14 < ε. ε>0... W miejscu kropek powio się zaleźć odpowiedio dobrae wyrażeie zależe od ε Niech e = 2a +3b. Dowieść, że wówczas ciąg e jest zbieży, gdyż e... < ε. ε>0.../ε W miejscu kropek powiy się zaleźć odpowiedio dobrae liczby. Kresy zbiorów. Ćwiczeia : zad Kolokwium r 6, : materiał z zad Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x Z x M Lista Stroy 18-41

9 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 azywamy ograiczeiem górym zbioru Z. Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z dołu, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x Z x M azywamy ograiczeiem dolym zbioru Z. Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym, jeżeli jest jedocześie ograiczoy z dołu i z góry. Defiicja: Jeżeli iepusty zbiór Z R jest ograiczoy z góry, to kresem górym zbioru Z azywamy jego ajmiejsze ograiczeie góre i stosujemy ozaczeie supz. Istieie takiego ajmiejszego ograiczeia wyika z zasady ciągłości Dedekida. Jeżeli zbiór Z jest ieograiczoy z góry, przyjmujemy supz = +. Poadto przyjmujemy sup =. Aalogiczie określamy kres doly zbioru, ozaczay przez if Z. Wiosek: Jeżeli iepusty zbiór Z R jest ograiczoy z góry, to liczba G jest jego kresem górym wtedy i tylko wtedy, gdy oraz ε>0 x Z x Z x G x > G ε. Zadaia. Wyzaczyć kres góry i doly astępujących zbiorów. Zbadać, czy podae zbiory zawierają swoje kresy: 201. { x R : x 2 < 2 { : N! { m +1 : m, N 204. { x R : x 4 5 { m { m : m, N, m < mk 206. m k : m,,k 3 N Niech A i B będą iepustymi ograiczoymi zbiorami liczb rzeczywistych. Niech a 1 = ifa, a 2 = supa, b 1 = ifb, b 2 = supb. Co moża powiedzieć o astępujących kresach: 207. if{ a : a A 208. sup{a 2 : a A 209. if{a 2 : a A 210. sup{a b : a A, b B 211. sup{ab : a A, b B 212. if{ab : a A, b B Lista Stroy 18-41

10 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ Zbiory A i B są iepuste i ograiczoe. Zbiór B jest skończoy i wszystkie jego elemety są róże od 0. Czy zbiór { a : a A, b B musi być ograiczoy? Odpowiedź b uzasadić A jest takim iepustym zbiorem ograiczoym liczb rzeczywistych, że ifa = 3, supa = 2. Jakie wartości mogą przyjmować kresy zbioru { a : a A? Odpowiedź uzasadić przykładem lub dowodem Podać przykład takich zbiorów A, B, że ifa = 2, supa = 7, ifb = 3, supb = 10, ifa B = 4, supa B = 6, A N = B N =. Niepotrzebe skreślić. W każdej parze ramek tylko jeda zawiera sesowe uzupełieie tekstu matematyczego. Twierdzeie 216. Niech A i B będą iepustymi zbiorami ograiczoymi. Niech C = {a b : a A b B. Wtedy ifc = ifa supb supb ifa. Dowód: Niech d = ifa i g = supb. Wtedy z waruku d = ifa wyika, że 1 oraz 2 ε>0 ε>0 a d a d a < d+ε a > d ε. Podobie z waruku g = supb wyika 3 oraz b B b B b g b g 4 b < g +ε b > g ε. ε>0 ε>0 b B b B Chcemy wykazać, że ifc = e, gdzie e = d g g d, czyli, że 5 oraz c C c C c e c e 6 c < e+ε c > e ε. ε>0 ε>0 c C c C W dowodzie waruku 5 skorzystamy z 1 i 3. Zakładając 5 wykażemy prawdziwość waruków 1 i 3. Dowola Istieje liczba c C jest będąca postaci c = a b, gdzie a A i b B. Z ierówości a d a d i b g b g otrzymujemy a b e a b e, co dowodzi 5. Załóżmy Wykażemy teraz prawdziwość waruku 6. Niech ε będzie dowolą liczbą dodatią. Wtedy Zajdziemy taką liczbę dodatią ε, dla której Lista Stroy 18-41

11 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 istieje a A takie, że a > d ε a < d+ ε oraz b B takie, że 2 b < g +ε b > g ε. Zatem liczba c = a b spełia ierówość 2 c < e+ε c > e ε, co kończy dowód waruku 6. Wyzaczyć kres góry i doly astępujących zbiorów. Zbadać, czy podae zbiory zawierają swoje kresy: 217. { x 2 : x 4, 9 { : N { {! : N 220. : N 2009 { { m : m, N : N { 2 + : N 224. { 3 m 2 : m, N { { 7 m m : m, N : m, N m { m { 3m : m, N 228. : m, N m m 229. { 37 5 : N 230. { 37 6 : N 231. { 37 7 : N { m 233. m : m, N Kowersatorium 232. { 37 8 : N Przeczytaj poiższe waruki. Które z ich są rówoważe temu, że g = supa? 234. a < g +ε ε>0 ε>0 ε>0 ε>0 a g < ε a > g 2ε a > g ε 2 > g Na 1 Lista Stroy 18-41

12 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ a < g a 2 0 N 2 g a < 1 a g 2 < ε ε>0 ε>0 ε<g ε<g a g 2 < ε a > ε a > g ε a > g ε 0<ε<1 a g ε ε>0 a g ε ε 0 a > g ε ε 0 b g+a 2 b A a g a > g ε ε>0 b A b A b g+a 2 b g+a 2 Zadaia do samodzielego rozwiązaia. Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związae z tymi zadaiami mogą być wyjaśioe a kowersatorium lub ćwiczeiach. Zawsze moża też skorzystać z kosultacji W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo A = {x 2 : x 3, 2 ifa =... supa =... Lista Stroy 18-41

13 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = {x 3 : x 3, 2 ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... { C = 5 13 : N N = {1,2,3,4,5,... ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... { D = : N ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = { 2 5 : N ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E... { F = : N! iff =... supf =... Czy kres doly ależy do zbioru F... Czy kres góry ależy do zbioru F... { G = 2 1 : N ifg =... supg =... Czy kres doly ależy do zbioru G... Czy kres góry ależy do zbioru G... { H = +1 1 m+2 : m, N ifh =... suph =... Czy kres doly{ ależy do zbioru H... Czy kres góry ależy do zbioru H... m I = : m, N 2m2 < 3 2 ifi =... supi =... Czy kres doly ależy { do zbioru I... Czy kres góry ależy do zbioru I... m J = : m, N 2m > 3 ifj =... supj =... Czy kres doly ależy { do zbioru J... Czy kres góry ależy do zbioru J... m K = m 2 +9 : m, 2 N ifk =... supk =... Czy kres doly ależy { do zbioru K... Czy kres góry ależy do zbioru K L = 7+! ! : N ifl =... supl =... Czy kres doly ależy do zbioru L... Czy kres góry ależy do zbioru L... Lista Stroy 18-41

14 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 { m M = : m,,p N m 2 > 2p 2 2 > 3p 2 p ifm =... supm =... Czy kres doly ależy do zbioru M... Czy kres góry ależy do zbioru M W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być{ liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo A = 5 m : m, 2 N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly{ ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = 2 7 : N ifb =... supb =... Czy kres doly{ ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B C = x : x 1 2, 1 N 5 ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C D = { 2 +3 : N ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = {log log 2 : N ife =... supe =... Czy kres doly{ ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E F = 3+7 : N iff =... supf =... Czy kres doly{ ależy do zbioru F... Czy kres góry ależy do zbioru F G = 3 7 : N ifg =... supg =... Czy kres doly{ ależy do zbioru G... Czy kres góry ależy do zbioru G H = : N! ifh =... suph =... Czy kres doly{ ależy do zbioru H... Czy kres góry ależy do zbioru H I = 2! : N ifi =... supi =... Czy kres doly ależy { do zbioru I... Czy kres góry ależy do zbioru I... m J = m 2 + : m, 4 N Lista Stroy 18-41

15 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 ifj =... supj =... Czy kres doly ależy do zbioru J... Czy kres góry ależy do zbioru J K = { x+y x y : x,y R ifk =... supk =... Czy kres doly ależy do zbioru K... Czy kres góry ależy do zbioru K... { L = 5 3 : m, m N ifl =... supl =... Czy kres doly ależy do zbioru L... Czy kres góry ależy do zbioru L... { M = 1+ 1 : N ifm =... supm =... Czy kres doly ależy do zbioru M... Czy kres góry ależy do zbioru M... Szeregi liczbowe. Ćwiczeia : zad Kolokwium r 7, : materiał z zad Ćwiczeia : zad Kolokwium r 8, : materiał z zad Obliczyć S = a k, a astępie zaleźć S : 254. a k = 1 7 k 255. a k = 2k +5 k 10 k Dowieść, że 4 < < Dowieść, że szereg jest zbieży, a jego suma jest miejsza od Rozstrzygąć, czy astępujące szeregi są zbieże = !! ! 3 3! = ! Lista Stroy 18-41

16 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ ! π π +e Które z astępujących szeregów są bezwzględie zbieże, które warukowo zbieże, a które rozbieże: k 1 k k razy k k 1 k 1 2 k k razy 2 k = ! ! 299.!+1! / / Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że Uzasadić poprawość podaego przykładu. a = a Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 5 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz a 2 = Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że Lista Stroy 18-41

17 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 dla dowolej liczby aturalej k zachodzi rówość a k = 2 a. Uzasadić poprawość podaego przykładu. =k Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 1 oraz a 2 = 1 4. Uzasadić poprawość podaego przykładu Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 1, a 2 = 1 2 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz a 4 = 1 5. Kryteria zbieżości szeregów - co każdy studet wiedzieć powiie. 1. Waruek koieczy zbieżości. Jeżeli szereg a jest zbieży, to a = 0. Iymi słowy, jeżeli ciąg a jest rozbieży lub zbieży do graicy różej od zera, to szereg a jest rozbieży. 2. Zbieżość szeregu ie zależy od pomiięcia lub zmiay skończeie wielu początkowych wyrazów. Oczywiście zmiaa lub pomiięcie tych wyrazów ma wpływ a sumę szeregu zbieżego. 3. Kryterium porówawcze. Niech a i b będą szeregami o wyrazach ieujemych, przy czym dla każdego N zachodzi ierówość a b. Jeżeli a =, to b =. Jeżeli b <, to a <. 4. Kilka szeregów. q jest zbieży dla q < 1, rozbieży dla pozostałych q. a jest zbieży dla a < 1, rozbieży dla pozostałych a. Lista Stroy 18-41

18 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 1 log =2 a podstawę większą od 1. jest zbieży dla a > 1, rozbieży dla pozostałych a. Logarytm ma dowolą 5. Kryterium d Alemberta. Jeżeli a jest ciągiem o wyrazach iezerowych oraz istieje graica a +1 = g < 1, a to szereg a jest zbieży. Jeżeli istieje graica to szereg a jest rozbieży. a +1 a = g > 1, 6. Zbieżość bezwzględa. Jeżeli a <, to szereg a jest zbieży. 7. Szeregi aprzemiee. Jeżeli a jest ciągiem ierosącym zbieżym do 0, to szereg a 1 +1 jest zbieży. Kowersatorium Czy istieje ciąg a taki, że podać przykład lub dowieść, że ie istieje : 306. a > 1 dla ieskończeie wielu, N a > 0, szereg 307. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = a 2 = 1 N, a = 0. a jest zbieży a Z, a = dla 100, szereg a jest zbieży. N 310. a = 1 dla ieskończeie wielu, szereg a jest zbieży Szereg a jest zbieży, szeregi a 2 1 i a 2 są rozbieże Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 1 +a 2 jest zbieży. Lista Stroy 18-41

19 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 1 +a 2 jest zbieży, a = Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 +a a a jest zbieży, a = 0. = Szeregi a 2 1 +a 2 i a 1 + a 2 +a 2+1 są zbieże, ale mają róże sumy Szereg a jest zbieży, szereg a 2 jest rozbieży Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 jest zbieży Szereg a jest zbieży, a jego suma jest rówa S. Czy stąd wyika, że zbieży jest ciąg a, jeżeli a S = 0 b 0 < S < 1 c S = 1 d S > Czy możemy stwierdzić, że szereg a jest rozbieży, jeżeli wiemy, że a a = 3 4 b a = 7 4 a +1 c = 1 a Podać sumę szeregu, jeżeli szereg jest zbieży a b c d Zbadać zbieżość szeregu 2! a a +1 d = 5 a 4 1 w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego a. Dla jedej wartości a moża ie udzielić odpowiedzi Zbadać zbieżość szeregu Zbadać zbieżość szeregu Obliczyć sumę szeregu ! Lista Stroy 18-41

20 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Wyzaczyć kresy zbiorów { N : N N { =M 2 1 : M N 327. { N =M 1 : M,N N M < N 2 Zadaia do samodzielej powtórki. Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związae z tymi zadaiami mogą być wyjaśioe a kowersatorium lub ćwiczeiach. Zawsze moża też skorzystać z kosultacji Rozstrzygąć zbieżość szeregu Rozstrzygąć zbieżość szeregu Rozstrzygąć zbieżość szeregu Rozstrzygąć zbieżość szeregu 3! a w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego a. Dla jedej wartości a moża ie udzielić odpowiedzi a Udowodić zbieżość szeregu 1. 2 b Obliczyć jego sumę Obliczyć graicę 2 +k. k 335. Rozstrzygąć zbieżość szeregu! Lista Stroy 18-41

21 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ a Rozstrzygąć zbieżość szeregu w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego p. p b Obliczyć sumę szeregu w podpukcie a dla jedej spośród tych wartości parametru p, dla których szereg jest zbieży W każdym z poiższych zdań w miejscu kropek postaw jedą z liter Z, R, N: Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży a Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg a... b Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg a... c Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1 a... d Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1 a... e Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg a 2... f Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg a 2... g Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1 a 2... h Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1 a 2... i Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1+a 2... j Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1+a Dae są takie ciągi a i b, że a +5 < ε oraz b +3 < ε. ε>0 20/ε ε>0 30/ε Niech c = a 2b. Wskazać odpowiedią liczbę rzeczywistą r oraz liczbę aturalą P i udowodić, że ε>0 c +r < ε. P/ε 339. Obliczyć graicę Lista Stroy 18-41

22 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru.. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. { A = m 3 : m, N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = {log 2 +7 log 2 : N ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... {! C = 2 : 5 N ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... { m D = : m, N m ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D... { E = 2 +1 : N ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. { A = 2 22 : N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A... { B = 3+1 : N ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... Lista Stroy 18-41

23 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 { C = 3+2 : N ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C D = {x 2y : x,y R 16 < x 28 3 < y 4 ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = { x y : x,y R 16 < x 28 3 < y 4 ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E Podaj wartości graic. a = b =... c = d = e = f = g = h = /2010 i = j = Lista Stroy 18-41

24 Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/ W każdym z 5 poiższych zadań udziel czterech iezależych odpowiedzi: Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży Ciąg a liczb rzeczywistych dodatich jest zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a O ciągu a liczb rzeczywistych dodatich wiadomo, że ciąg jest zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu jeżeli wiadomo, że a a, a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a O ciągu a liczb rzeczywistych dodatich wiadomo, że ciąg jest a +1 zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g Ciąg a liczb rzeczywistych dodatich jest zbieży do liczby rzeczywistej g. a+1 Co moża wywioskować o zbieżości ciągu, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g O ciągu a liczb rzeczywistych wiadomo, że szereg a jest zbieży i jego sumą jest liczba rzeczywista g. Co moża wywioskować o zbieżości ciągu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a Lista Stroy 18-41