UWAGI O WZORZE NA MOMENTY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PÓLYI. Tadeusz Gerstenkorn. 1. Wstęp. 2. Rozkład G. Pólyi

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "UWAGI O WZORZE NA MOMENTY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PÓLYI. Tadeusz Gerstenkorn. 1. Wstęp. 2. Rozkład G. Pólyi"

Władysław Markowski
6 lat temu
Przeglądów:

1 UWAGI O WZORZE NA MOMENTY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PÓLYI Tadeusz Gesteko Emeytoway pofeso Uiwesytetu Łódzkiego ISSN e-issn DOI: /sps Steszczeie: Rozkład pawdopodobieństwa zmieej losowej może być schaakteyzoway pzez podaie pewych liczb zwaych paametami ozkładu. Do ajczęściej używaych paametów ależą momety. W pacy skocetujemy się a ozkładzie Pólyi, bowiem moża z iego łatwo uzyskać jako pzypadki szczególe lub odpowiedio gaicze waże w statystyce ozkłady, takie jak dwumiaowy, ujemy dwumiaowy lub Poissoa. W G. Mühlbach podał iteesujące wzoy a momety ozkładu Pólyi. Auto te ie wikał w oceę efektywości achukowej podaego wzou a momety zwykłe. Pokażemy, co ma zaczeie paktycze, że wzó te moża pzedstawić w postszej, wygodej fomie. Słowa kluczowe: ozkład Polyi, momet zwykły. 1. Wstęp Zmiea losowa jest zasadiczo wystaczająco dokładie opisaa pzez jej ozkład pawdopodobieństwa. Względy paktycze dyktują jedak potzebę zalezieia chaakteystyk liczbowych ozkładu, poieważ są to opisy kótkie i umożliwiają szybkie poówaie ozkładów ze sobą. W statystyce teoetyczej, a także w statystyce użytkowaej w ekoomii zachodzi często potzeba uchwyceia zasadiczych własości badaej zbioowości. Abstahujemy wtedy od wielu szczegółów, a własości, o któych podkeśleie am chodzi, chaakteyzujemy iejedokotie też za pomocą jedej lub kilku liczb. Należą do ich w piewszym zędzie śedia aytmetycza i odchyleie pzecięte, a pzypadku ozkładu momety. 2. Rozkład G. Pólyi W iiejszej pacy aalizujemy wzó a momety ozkładu G. Pólyi poday w pzez G. Mühlbacha. W tym celu pzypomimy, że ozkład te wyaża się wzoem

2 132 Tadeusz Gesteko P(X = k) =, k 1(1+a)(1+2a) [1+( 1)a] gdzie = 1,2,, k = 01,2,,, a dowola liczba, pzy czym dla a < 0 zakładamy p(p+a)) [p+(k 1)a]q(q+a [q+( k 1)a] a mi(p, q), q = 1 p. W celu ułatwieia zapisu tego dość ozciągliwego wzou, posługujemy się zwykle tzw. wielomiaami czyikowymi stopia względem x (azywaymi także uogólioą -tą potęgą liczby x) w sposób astępujący x [0,a] = 1, x [,a] = x [-1,a].[x ( 1)a], gdzie =1,2,, zaś a ozacza dowolą liczbę. Z podaego tu okeśleia ekuecyjego wyika, że x [,a] = x(x a)(x 2a) [x-(-1)a]. W opaciu o powyższe wzoy ozkład Pólyi moża zapisać astępująco P(X = k) = p[k, a] k. 1 [, a] q[ k, a]. G. Mühlbach zapisywał te ozkład w ieco iej symbolice co spowadza się do zapisu q,x (x, a) = k φ k (x,a)φ k(1 x,a), φ (1,a) φ (x, a) = x [k, a]. 3. Wzó a momety G. Mühlbacha Dla zalezieia wzou a momety zwykłe w ozkładzie Pólyi, G. Mühlbach posłużył się opeatoem Q [f; x, a], któy pzedstawia się astępująco Q [f; x, a] = l Δ l f x,l q,l (x, a), l=0 gdzie Δ l f x,k ozacza óżicę zędu l okeśloą astępująco Δ 0 f x,k = f(x,k ), Δ l+1 f(x,k )=Δ l f x,k+1 Δ l f(x,k ), l = 0,1,2,,

3 Uwagi o wzoze a momety ozkładu pawdopodobieństwa Pólyi 133 atomiast q,l (x, a) = P(x = l), jak upzedio podao. W opaciu o poday opeato auto uzyskał astępujący wzó a momety gdzie m = Q [g ; x, a] = l=0 l g t,l. q,l (x, a), co moża także zapisać w postaci g t,l = (t,l ), t,l = l, lub w badziej zaej symbolice l=0, φ l (1,a) l g (t,l ) φ l(x,a) l=0 Δl g l (t,l ) x[l, a] 1 [l, a], gdzie pzy tej stosowaej otacji x = p. 4. Modyfikacja wzou Mühlbacha Auto ie wikał w oceę efektywości achukowej podaego wzou. Wzó te moża pzedstawić w postszej i wygodiejszej do obliczeń fomie pzy pomocy liczb Stiliga S l dugiego odzaju, któe okeślamy jako współczyiki pzy wielomiaach czyikowych w tożsamości pzyjmując x = S 0 x [0] + S 1 x [1] + S 2 x [2] + S x [] = l=0 S l x [l], S 0 0 = 1, S 0 = 0 dla = 1,2,, S = 1 dla = 1,2,, S k = 0 dla < k, oaz kozystając z óżic skończoych zea, to jest óżicy fukcji y = x k w pukcie x=0 z kokiem 1, tz. Δ0 k = 1 k 0 k, Δ 2 0 k = Δ(1 k 0 k ) = 2 k 2. 1 k + 0 k itd. Zachodzi astępujący wzó ekuecyjy, któy jest wykozystyway pzy układaiu tablic óżic skończoych zea Δ l 0 k+1 = l(δ l 0 k + Δ l 1 0 k ), l k.

4 134 Tadeusz Gesteko Uwzględiając, że [l] = l l! oaz fakt, że óżica zędu l we wzoze a momety jest liczoa w pukcie zeo, otzymujemy zapis tego wzou w postaci [l] Δ l x[l, a] l=0 0. l! 1 [l, a] Zachodzi astępujący związek między óżicami skończoymi zea a liczbami Stiliga dugiego odzaju Δ l 0 l! = S l, więc wzó a momety moża zapisać ostateczie w postaci l=0. 1 [l, a] [l] S l x[l, a] Liczby Stiliga są stablicowae, p. pzez Kaufmaa [1968], więc pozwala to dość spawie wyliczyć momet potzebego zędu. Na pzykład m 1 = l=0, 1 [l] 1 S x[l, a] l = x [l, a] m 2 = x + ( 1). x(x+a) 1+a, m 3 = x + 3( 1) x(x+a) +( 1)( 2)x(x+a)(x+2a), 1+a (1+a)(1+2a) x(x + a) m 4 = x + 7( 1) 1 + a x(x + a)(x + 2a) + 6( 1)( 2) (1 + a)(1 + 2a) + +( 1)( 2)( 3) x(x+a)(x+2a)(x+3a) (1+a)(1+2a)(1+3a). 5. Wzó ekuecyjy a momety W podęcziku z achuku pawdopodobieństwa Gesteko i Śódka [1972] poday jest wzó ekuecyjy a momety (wzó , s. 227) waz z dowodem w schemacie Pólyi losowego pobieaia kul

5 Uwagi o wzoze a momety ozkładu pawdopodobieństwa Pólyi 135 z uy, tz. gdy N liczba kul w uie, b liczba białych kul w uie, c liczba czaych kul w uie, b+c=n, s liczba dodawaych lub wyjmowaych kul z uy daego kolou w zależości od kolou upzedio wylosowaej i zwócoej kuli do uy. Wzó te jest postaci m +1 = 1 (b (b s) s N+s i=0 i i + 1 i + 2 )m i, gdzie =0,1,2,, liczba pzepowadzoych doświadczeń (losowań). W pzypadku s < 0 ależy pzyjąć założeie ks b i ( k)s c, k = 0,1,2,. W schemacie Pólyi pytamy o pawdopodobieństwo otzymaia k kul białych a losowań. Jeśli uwzględimy zaą w tym schemacie zależość: b N = p, c N = q, s N = a, to otzymamy wygodą fomę wzou dla ozkładu Pólyi m +1 = 1 (p (p a) a 1+a i=0 i i + 1 i + 2 )m i. Z podaych tu wzoów a momet ozkładu Pólyi uzyskuje się łatwo jako pzypadki szczególe wzoy a momety ozkładów dwumiaowego (Beoulliego), hipegeometyczego, ujemego dwumiaowego, a w pzypadku gaiczym także dla ozkładu Poissoa. Liteatua Gesteko T., Śódka T., Kombiatoyka i achuek pawdopodobieństwa, PWN, Waszawa Kaufma A., Itoductio a la Combiatoique e Vue des Applicatios,Pais, Duod Mühlbach G., Rekusiosfomel fu die zetale Momete de Pólya- ud de Beta- -Veteilug, Metika 19, 1972, vol. 2 3, s REMARKS ON THE FORMULA FOR THE MOMENTS OF THE PÓLYA PROBABILITY DISTRIBUTION Summay: The pobability distibutio of a adom vaiable ca be chaacteized by some umbes called paametes of the distibutio. The most commoly used paametes ae the momets. Ou attetio is cocetated o the Pólya distibutio because it is easily possible to obtai fom it some special cases vey impotat i the statistics distibutios such as biomial, egative biomial ad Poisso (i the limit pocedue). I 1972 G. Mühlbach itoduced vey iteestig fomulae fo the momets of the Pólya distibutio. The autho did ot ivestigate a appeciatio of the umeical efficacy of the fomula fo the simple momets. We will show that it is possible to demostate this fomula i a simple fom. It has a pactical sigificace ad impotace. Keywods: the Pólya distibutio, momets.

Podobne dokumenty

ŚLĄSKI PRZEGLĄD STATYSTYCZNY

ŚLĄSKI PRZEGLĄD STATYSTYCZNY Polskie Towarzystwo Statystycze Oddział we Wrocławiu ŚLĄSKI Silesia Statistical Review Nr 13 (19) Wydawictwo Uiwersytetu Ekoomiczego we Wrocławiu Wrocław 2015 RADA NAUKOWA Walety Ostasiewicz, Tadeusz Bedarski,