Grawitacyjna energia potencjalna gdy U = 0 w nieskończoności. w funkcji r

Transkrypt

1 Wykład z fizyki Piot Posykiewicz 113 Ponieważ, ważne są tylko ziany enegii potencjalnej, ożey pzyjąć, że enegia potencjalna jest ówna zeo w dowolny położeniu. Powiezchnia iei oże być odpowiedni wyboe w pzypadku gdy ay do czynienia z enegią potencjalną liczoną pzy założeniu, że siła gawitacji jest stała i ówna g ( ównanie 5-1). W ogólny pzypadku, najwygodniejszy sposobe jest założenie, że enegia potencjalna dwu ciał jest ówna zeo, gdy odległość iędzy nii wynosi nieskończoność. Wtedy otzyujey: ( ), 0 gdy Gawitacyjna enegia potencjalna gdy = 0 w nieskończoności ysunek 10-8 pzedstawia wykes pzy wyboze 0 asy iei watości w funkcji dla dla asy i M. Funkcja ta zaczyna się dla ujenej / g na powiezchni iei i wzasta waz ze wzoste aż do zea gdy zbliża się do nieskończoności. Pędkość ucieczki. gy g g ysunek 10-8 W ciągu ostatni pau dziesięcioleci idea wywania się spod działania sił gawitacji iei z fantazji pzeodziła się w zeczywistość. Póbniki kosiczne zostały wysłane w odległe obszay układu słonecznego. Część z tych póbników pousza się po obitach wokół Słońca, a część opuści układ słoneczny. obaczyy, że usi istnieć inialna pędkość początkowa, zwana pędkością ucieczki ( II pędkość kosiczna ), niezbędna do oddalenia się ciała od iei.. Jeżeli ozpatujey ciało pouszające się w góę i posiadające pewną początkową enegię kinetyczną, to jego enegia kinetyczna będzie aleć, a enegia potencjalna wzastać w iaę jak ciało będzie oddalać się od powiezchni iei. Maksyalny wzost enegii potencjalnej wyniesie /, jak widać to na ysunku Dlatego jest to też największa watość o jaką oże zaleć enegia kinetyczna. Jeżeli enegia kinetyczna jest większa niż g / ysunek 10-9, to całkowita E 0

2 Wykład z fizyki Piot Posykiewicz 114 enegia będzie większa od zea ( E na ysunku 10-9 ) i ciało będzie iało ciągle pewną enegię kinetyczną gdy będzie badzo duże ( lub nawet gdy będzie zbliżać się do nieskończoności ). W ezultacie pzediot oddali się od iei, jeżeli początkowa enegia kinetyczna będzie większa niż enegia potencjalna na powiezchni iei wynosi /. Ponieważ /, to enegia całkowita E K usi być większa lub ówna zeo, aby ciało ogło uciec z pod działania pola gawitacyjnego iei. Ta pędkość w pobliżu iei odpowiadająca całkowitej enegii ównej zeo nazywa się pędkością ucieczki najdziey ją stosując zasadę zachowania enegii echanicznej: II. E K 0 1 II 0 II g Duga pędkość kosiczna Podstawiając 6 otzyay: g 9,81 / s i 6,3710 II 6 s 6, ,k/ s 9,81 / Obiekt jeżeli posiada taką pędkość, jest w stanie opuścić ieię. ( Jednak nie jest to wystaczająca pędkość do opuszczenia układu słonecznego, ponieważ zaniedbaliśy wpływ pzyciągania obiektu pzez Słońce). W zależności od tego jaka jest pędkość ucieczki dla danej planety, czy księżyca w poównaniu z enegią cieplną cząsteczek, dane ciało niebieskie będzie posiadać atosfeę lub nie. Śednia enegia cząsteczek gazu 1 ś jest popocjonalna do tepeatuy T. Na powiezchni iei pędkości cząsteczek tlenu i azotu są znacznie niejsze od pędkości ucieczki, dlatego gazy te pozostają w atosfeze. W pzypadku lżejszych atoów, takich jak wodó i hel pędkości ich są w dużej części większe niż pędkość ucieczki. Dlatego też wodó i hel paktycznie nie występują w naszej atosfeze. Pędkość ucieczki na Księżycu wynosi,3k/h, co ożna wyliczyć z ównania znając asę i poień Księżyca. Jest to zdecydowanie niej niż pędkość ucieczki z iei i zbyt ało aby Księżyc posiadał atosfeę. Klasyfikacja obit ze względu na enegię.

3 Wykład z fizyki Piot Posykiewicz 115 Na ysunkach 10-8 i 10-9 pzedstawiających zależność enegii potencjalnej w funkcji wyóżnione są dwie watości enegii całkowitej: E 1, któa jest ujena i E dodatnia. jena enegia całkowita ujena oznacza po postu, że enegia kinetyczna w pobliżu powiezchni iei jest niejsza niż /, czyli K nigdy nie jest większe od zea. ysunków tych widziy, że jeżeli całkowita enegia jest ujena, to linia całkowitej enegii pzecina kzywą enegii potencjalnej w pewnej aksyalnej odległości ax i ówiy, że układ jest związany ( asa nie oże oddalić się do nieskończoności ). dugiej stony jeżeli całkowita enegia asy jest ówna lub większa od zea to nie ay takiego punktu pzecięcia i ówiy, że układ jest nie związany. Masa oże oddalić się na odległość ówną nieskończoności. Podsuowując : Jeżeli E 0 układ jest związany. Jeżeli E 0 układ jest nie związany. Jeżeli E jest ujene, to watość bezwzględna E nazywa się enegią wiązania. Enegia wiązania jest ówna enegii, któa usi być dostaczona do układu, aby całkowita enegia wzosła do zea. Enegia potencjalna ciała takiego jak planeta, czy koeta o asie oddalonego od Słońca o jest ówna: gdzie S 10-0 M S jest asą Słońca. Enegia kinetyczna tego ciała wynosi 1. Jeżeli całkowita enegia : enegia kinetyczna plus enegia potencjalna jest niejsza od zea, to obitą ciała będzie elipsa (lub okąg ) i ciało będzie związane ze Słońce. Oznacza to, że nie oże uciec od Słońca. dugiej stony, jeżeli całkowita enegia jest dodatnia to obitą będzie hipebola i ciało okążywszy az Słońce oddali się nigdy nie powacając. Jeżeli całkowita enegia jest ówna zeo, to obitą będzie paabola i ciało też oddali się nie powacając w pobliże Słońca. P K Ł A D Pocisk został wystzelony pionowo do góy z powiezchni iei z pędkością początkową 0 8k/ s. najdź aksyalną wysokość, na któą wzniesie się pocisk. aniedbaj opó powietza. Analiza zadania. Wysokość aksyalną ożna znaleźć z zasady zachowania enegii echanicznej. Pzyjiey ieię jako punkt początkowy, gdzie enegia potencjalna wynosi enegia kinetyczna 0 /, a 1 K0 0. W najwyższy punkcie enegia kinetyczna końcowa K K astosuj zasadę zachowania enegii echanicznej : 0 K0 K KK

4 Wykład z fizyki Piot Posykiewicz 116. Pozbądź się wspólnego czynnika, zastosuj g / i oblicz 1 : g Podstaw watości liczbowe, aby znaleźć i h : g g 1 / g / s 9,81 / 6 s 6, ,51,05 1 0,51 h 1,05 P K Ł A D Pokaż, że całkowita enegia satelity kążącego po obicie wokółzieskiej jest ówna połowie jego enegii potencjalnej. Analiza zadania. Całkowita enegia satelity jest ówna suie enegii potencjalnej i kinetycznej E K. Enegia kinetyczna zależy od pędkości, któa jest z kolei okeślona pzez siłę dośodkową potzebną aby utzyać satelitę na obicie. akładay, że asa satelity jest znaczni niejsza od asy iei. 1. apisz wzó na enegię potencjalną :. apisz wzó na enegię kinetyczną: 3. apisz, że siłą dośodkową jest siła gawitacji: 4. Wylicz z 3 i podstaw do : 1 K K

5 Wykład z fizyki Piot Posykiewicz Dodaj obie enegie do siebie: E K 1 Ćwiczenie. Satelita o asie 450kg pousza się po obicie wokółzieskiej 6830k nad powiezchnią iei. najdź (a) jego enegię potencjalną, (b) jego enegię kinetyczną i (c) jego całkowitą enegię. ( Odpowidź: wóć uwagę, że = + h = 1300k.(a) = -13,6GJ, (b) K= 6,80GJ, (c) E = - 6,80GJ ) Masa gawitacyjna i asa inecjalna. Własnością ciała, któa powoduje, że siła gawitacyjna pzyciąga dugie ciało jest asa gawitacyjna. Natoiast własnością ciała odpowiedzialną za opó jaki stawia ono podczas nadawania u okeślonego pzyspieszenia jest jego asa inecyjna. Do oznaczenia tych własności używay sybolu, ponieważ, jak pokazuje doświadczenie, są ono sobie ówne. To, że siła gawitacyjna wywieana na ciało jest popocjonalna do jego asy inecyjnej jest wyjątkową cechą siły gawitacyjnej. Jedną z konsekwencji tego faktu jest to, że wszystkie ciała w pobliżu iei spadają z jednakowy pzyspieszenie, jeżeli poinąć opó powietza. Wydaje się to zaskakujące dla wszystkich od czasu odkycia tej własności. Słynna histoia o ty jak Galileusz deonstował tę własność ateii zzucając ciała z Kzywej Wieży w Pizie, jest jedny z pzykładów jak ten nowo odkyty fakt fascynował ludzi w szesnasty wieku. Niech Można by łatwo wyobazić sobie sytuację, w któej asa gawitacyjna i asa inecyjna nie są jednakowe. G oznacza asę gawitacyjną, a asę inecyjną. Siła wywieana pzez ieię na ciało w pobliżu jej powiezchni będzie zapisana: gdzie G F 10-1 M jest asą gawitacyjną iei. Pzyspieszenie ciała podczas swobodnego spadku w pobliżu powiezchni iei będzie ówne: a F G 10- Gdyby gawitacja była tylko jedną z własności ateii, jak kolo czy twadość, to powinniśy aczej oczekiwać, że stosunek G / powinien zależeć od takich czynników jak na pzykład jak skład cheiczny ciała czy tepeatuy. W związku z ty pzyspieszenie w swobodny spadku powinno być óżne dla óżnych ciał. Jednak dane doświadczalne pokazują, że jest ono zawsze takie sao. Dlatego nie a powodu wpowadzać ozóżnienie iędzy G i i dlatego ożey zapisać G. Musiy jednak paiętać, że ównoważność asy gawitacyjnej i inecyjnej jest pawe doświadczalny, któe jest oganiczone dokładnością pzepowadzonych poiaów.

6 Wykład z fizyki Piot Posykiewicz 118 Piewsze dokładne poiay asy gawitacyjnej i inecyjnej były pzepowadzone pzez Newtona. Newton używając wahadła był w stanie okeślić zgodność tych dwu as z dokładnością do jednej tysięcznej. Tego odzaje doświadczenia poównujące asę gawitacyjną z asą inecyjną były udoskonalane od tatej poy pzez cały czas. Obecnie ównoważność ich as jest ustalona z dokładnością jak 1 do W ezultacie, ównoważność asy gawitacyjnej i asy inecyjnej jest jedny z najlepiej potwiedzonych paw fizyki. ównoważność asy gawitacyjnej i inecyjnej jest bazowy założenie ogólnej teoii względności Einsteina.