Modelowanie "długotrwałej pamici" szeregów zmiennoci

Transkrypt

1 Krzyszof Pionek Kaera Inwesyci Finansowych i Ubezpiecze Akaemia Ekonomiczna we Wrocławiu Moelowanie "ługorwałe pamici" szeregów zmiennoci Wsp Cech charakerysyczn nowoczesnego zarzzania ryzykiem sało si wykorzysywanie coraz barzie wyrafinowanych insrumenów pochonych oraz meo maemaycznych, w ym przee wszyskim eorii procesów sochasycznych. W procesie zarzzania ryzykiem rynkowym, wynikacym ze zmiany cen insrumenów finansowych, moelowaniu polega b o ceny insrumenów finansowych, b sopy zwrou. Moele e wykorzysue si naspnie mizy innymi w zaganieniach zwizanych z analiz porfelow, z wycen opci oraz pomiarem ryzyka rynkowego meo Value a Risk [4]. Sanarowe (naprossze) moele zakłaa, e procesem kszałucym zmiany cen akci, walu i owarów es geomeryczny proces Browna ze sałymi w czasie paramerami ryfu (renu) i zmiennoci. Moel en zakłaa, e rozkła sóp zwrou es rozkłaem normalnym, a poszczególne sopy zwrou pochoz z rozkłaów ienycznych i niezalenych. W wielu pracach [,4,0,4,6] przesawiono baania empiryczne la rónych finansowych szeregów czasowych. Baania e wykazały wyspowanie w szeregach sóp zwrou: efeku skupiania (gromazenia) zmiennoci (volailiy clusering), co oznacza, e zarówno małe, ak i ue zmiany kursu naspu seriami, a ym samym oznacza niesało warianci sóp zwrou w czasie, efeku lepokurozy i grubych ogonów rozkłaów sóp zwrou, co oznacza, e prawopoobieswo wyspienia uych, nieypowych zmian kursu W ogólnoci warianca moe w ogóle nie isnie.

2 (ue co o waroci bezwzglne sopy zwrou) es wiksze ni gyby sopy zwrou pochoziły z rozkłau normalnego, efeku skonoci rozkłaów sóp zwrou (naczcie obserwue si rozkłay prawosronnie skone, lecz nie es o reguł), efeku auokorelaci sóp zwrou, szczególnie w okresach o małe zmiennoci, "efeku wigni" - efeku uemnego skorelowania poziomu kursów i poziomu zmiennoci sóp zwrou, czyli asymerycznego wpływu informaci pozyywnych i negaywnych na poziom przyszłe warianci, efeku "ługorwałe pamici" w szeregach zmiennoci (warianci), czyli isonie znaczcych współczynników wysokich rzów auokorelaci kwaraów sóp zwrou. Rysunki -4 prezenu niekóre opisywane własnoci na posawie szeregu ziennych, prosych sóp zwrou z ineksu WIG z okresu o (zie wprowazenie piciosesynego ygonia na GPW w Warszawie) o Niezbne sało si wic poszukiwanie moeli barzie skomplikowanych ni moel geomerycznego ruchu Browna, kóre lepie opisywałyby własnoci szeregów sóp zwrou (uwzglniałyby przynamnie niekóre z wymienionych powye efeków). Nawiksz popularno zyskały w ym obszarze moele z warunkow waroci oczekiwan procesu opisywan przez moele z klasy ARMA [4,4] oraz z warunkow warianc opisywan przez moele z klasy ARCH [0]. Rozwaa si równie moele z rónymi posaciami rozkłaów gsoci resz moelu [4]. Wszyskie moele klasy ARCH umoliwia opis grubych ogonów oraz efeku skupiania zmiennoci [,0]. Sosunkowo szeroko znane s równie moele opisuce asymeryczn reakc na poawianie si informaci obrych i złych, umoliwiace moelowanie efeku "wigni" (GJR-GARCH, EGARCH, TARCH) [4,6]. Namnie znane s naal moele opisuce "ługorwał pami" (isone

3 auokorelace wysokich rzów kwaraów sóp zwrou) w szeregach zmiennoci. Napopularnieszy aki moel (FIGARCH) sanie si obiekem analizy w niniesze pracy. Rys.. przesawia efek gromazenia zmiennoci la ineksu WIG Rys.. przesawia efek grubych ogonów rozkłau sóp zwrou ineksu WIG Rys. 3. przesawia auokorelac sóp zwrou la ineksu WIG róło - obliczenia własne. Rys. 4. przesawia auokorelac kwaraów sóp zwrou la ineksu WIG Rozparywany w alsze czci pracy moel w czasie yskrenym opisucy szereg czasowy prosych sóp zwrou any es równaniem [4]: X X r = = µ + ε = µ + h z, () X

4 gzie: X - cena w chwili, µ - warunkowa waro oczekiwana sopy zwrou w chwili, h - warunkowa warianca sopy zwrou w chwili, reszy moelu o zerowe renie i enoskowe warianci. z - niezalene W alsze czci pracy przymue si naprossze i nabarzie popularne rozwizanie, e bł moelu z ma rozkła normalny. Moliwe es oczywicie zasosowanie rozkłaów o grubszych ogonach [4]. W pracach [4] i [5] uowoniono wyspowanie isone auokorelaci rzu pierwszego w szeregu sóp zwrou z ineksu WIG. Efek en opisue si naczcie poprzez zasosowanie moeli auoregresynych. W ym przypaku wysarczace okazue si wybranie moelu auoregresi rzu pierwszego - AR(), co skukue przyciem moelu: µ µ ϕr = +. () Uowoniono równie wyspowanie w szeregu sóp zwrou efeku heeroskeasycznoci, a okłanie efeku ARCH [4,5]. Na ym poziomie rozwaa pominio opis "efeku wigni". Moliwe rozwizania wraz z wynikami baa empirycznych ononie ineksu WIG znale mona w pracy [4]. Posawowe rozwizania w zakresie moelowanie efeku gromazenia zmiennoci i "ługorwałe pamici" szeregu zmiennoci przesawiono w alsze czci pracy. Wczenie niezbnym es zefiniowanie pocia "pamici moelu". Pami moelu Samo pocie "pamici moelu" nie es enoznaczne, szczególnie w oniesieniu o moeli warunkowe warianci. Pocia "pami moelu" uywa si b o konekcie funkci auokorelaci kwaraów resz moelu ( ε ), b w konekcie wpływu zaburzenia z chwili na prognozy warunkowe warianci w chwilach kolenych [3,6,8,9,6]. Poecia e bywa rozbiene i moel o

5 "krókorwałe pamici" w sosunku o auokorelaci kwaraów resz moelu moe by moelem o "ługorwałe", a wrcz nieskoczone "pamici" w konekcie wpływu zaburzenia na prognoz warunkowe warianci. Dua owolno okrele i nieprecyzyne rozrónianie ych wóch koncepci prowazi o wielu nieasnoci i sprzecznoci. Naley wyranie zaznaczy, e emaem e pracy es "ługorwała pami procesu" w znaczeniu isonych współczynników auokorelaci wysokich rzów kwaraów resz moelu. Wyspowanie ego efeku w szeregu sop zwrou z ineksu WIG obrazue rysunek 4. Barzie precyzynie, mówi si o "ługorwałe pamici" szeregów zmiennoci (warianci) w przypaku, gy: n lim ρk =, (3) n = k n czyli gy współczynniki auokorelaci kwaraów resz moelu nie sumu si o skoczone waroci. W alsze czci przesawione zosan własnoci eoreyczne funkci auokorelaci kwaraów resz moelu la rónych moeli. Moele warunkowe warianci i ich własnoci Analizowany moel sóp zwrou zaany es naspucym ukłaem równa: r = µ + ϕr + ε, (4) ε I N(0, h ), (5) gzie I o informaca ospna w chwili (-) [6,4]. Do pełnego okrelenia moelu niezbne es eszcze wprowazenie rzeciego równania okrelacego posa moelu warunkowe warianci. Z przypakiem akim mamy o czynienia w oniesieniu o moelu IGARCH omówionego w alsze czci pracy.

6 Naprosszym moelem opisucym zmiany h es moel ARCH(q) (Auoregressive Coniional Heeroskeasic Moel) wprowazony przez Engle'a [0] w 98 roku: h q = ω + αiε i ω + α( L) ε i=, (6) gzie: ω 0, αk 0 k =,,..., q, α q > 0, α α α α q ( L) = L + L ql, a L o operaor przesunicia wsecz [4]: Lx = x, m L x Wykorzysanie w prakyce moelu ARCH wymaga =. x m o wysokich rzach q, a ym samym esymaci wielu paramerów. zasosowania moeli Rozwizaniem pozbawionym e nieogonoci es zaproponowany przez Bollersleva [] w 986 roku moel GARCH(p,q) (Generalize ARCH). Moel en efiniue naspuce równanie warunkowe warianci: q p = ω + αiε i + β = ω + α( ) ε + β ( ) i= =, (7) h h L L h gzie oakowo: βk 0 k =,,..., p, β p > 0, ( L) β L + β L +... β p p L. β + Moel GARCH (p,q) mona przesawi ako moel ARCH( ): ω α( L) h = + ε. (8) [ β ()] [ β ( L)] Z punku wizenia niniesze pracy, ciekawsz własnoci es fak, e moel en mona przesawi ako moel ARMA(m,p), m=max(p,q) la zmienne ν = ε h : [ α ( L) β ( L)] ε ω [ β ( L)] ν = +. (9) Zakłaa si, e wszyskie pierwiaski wielomianów α( L) β ( L) = 0 oraz β ( L) = 0 znau si poza okrgiem enoskowym na płaszczynie liczb zespolonych.

7 Napopularnieszy moel GARCH(,) any es wic równaniem: [ ( α + β ) L] ε = ω + [ β L] ν. (0) Bollerslev wykazał [9], e eoreyczna funkca auokorelaci kwaraów resz akiego moelu ana es równaniem: + k ] = ρk ( ε ) = ρ( ε ) + k ( α β ) corr[ ε, ε, () gzie: ρ ( ε α β ) = α +. () α β β Jak ławo zauway funkca auokorelaci malee ( α + β < ) w sposób wykłaniczy, co gwaranue, e suma we wzorze (3) es skoczona, czyli es o moel z zw. "krókorwała pamici" w zakresie szeregu zmiennoci. W wielu przypakach, szczególnie la szeregów sóp zwrou o ue czsoliwoci, wyesymowane paramery moelu GARCH(p,q) cechu si naspuc własnoci: q p α + β. (3) i i= = Doprowaziło o o wprowazenia osobne poklasy moeli IGARCH (Inegrae GARCH). Moel IGARCH(p,q) any es równaniem: L L = + L, (4) [ φ( )]( ) ε ω [ β ( )] ν gzie φ( L) es wielomianem rzu m- (m=max(p,q)). Bezwarunkowa warianca sóp zwrou w moelu IGARCH nie isniee, lecz sam moel es saconarny w cisłym sensie. Naprosszy moel IGARCH(,) uzyskuemy przy warunku ( α + β = ) ( ) ε ω ( β ) ν L = + L, (5) co opowiaa czcie uywane posaci:

8 h = ω + α ε + ( α ) h. (6) Uowoniono [9], e w ym przypaku funkca auokorelaci kwaraów resz moelu ana es wzorem: k ρk ( ε ) = ( + α )( + α ). (7) 3 Wynik en pozosae w sprzecznoci z inuic, e funkca auokorelaci kwaraów resz moelu IGARCH powinna by sała, co sugerowałby wzór () z warunkiem ( α β ) + =. Co waniesze, nieruno zauway, e funkca auokorelaci malee równie wykłaniczo, czyli zgonie z przy efinic es o równie moel z "krókorwała pamici" w szeregu zmiennoci. Kolenym, zecyowanie namnie poznanym i popularnym moelem umoliwiacym w kocu opis "ługorwałe pamici" w szeregu zmiennoci es moel FIGARCH(p,,q) (Fracionally IGARCH) wprowazony w 996 roku przez Baillie'go, Bollersleva i Mikkelsena []. Moel en opisany es naspucym wzorem: [ φ( L)]( L) ε ω [ β ( L)] ν = +, (8) gzie (0,), a wszyskie pierwiaski φ( L) = 0 oraz β ( L) = 0 le poza okrgiem enoskowym. Take la ego moelu bezwarunkowa warianca ε, a ym samym wariance bezwarunkowa r pozosae nieskoczona. Ułamkowy operaor rónicowy ( L) procesów ARFIMA [6,4]: Γ( ) ( L) = ( ) L = L = 0 = 0 Γ( ) Γ ( + ) zefiniowany es analogicznie ak la. (9)

9 W prakycznych zasosowaniach moel FIGARCH(p,,q) przesawia si ako moel ARCH( ): h ω [ φ( L)]( L) ω β () β ( L) β () = + ε + λ( L) ε. (0) Niesey inuica, e moel FIGARCH(p,0,q) reukue si zawsze o moelu GARCH(p,q) bywa zawona. Na przykła moel FIGARCH(,0,0), o moel: h = ω β ε + β h, czyli moel nie mieszczcy si w klasie moeli GARCH. Inuica sugeruca, e wynikiem powinien by moel ARCH() es zawona. Naczcie wykorzysywanym moelem es moel FIGARCH(,,): ( ) al ( L) ε = ω + ( bl) ν () Warunkiem isnienia oanie warianci warunkowe es w ym przypaku spełnienie ukłau równa []: b a oraz a b( b + a). () 3 Współczynniki opisuce moel FIGARCH(,,) ako ARCH( ) naprocie wyznaczy z naspucych wzorów rekurencynych. = π L = ( L) = a = al L = λ L bl = λ = + ( al)( L) ψ L ( )( ) a b π = π = π ψ = + ψ = π φπ (3) k = b +b k k = λ ψ ψ Wyznaczenie funkci auokorelaci kwaraów resz moelu w przypaku moelu FIGARCH es zecyowanie runiesze ni w przypaku wczenie analizowanych propozyci. Dokonue si ego meoami numerycznymi.

10 Opowienia proceura opisana zosała w pracy []. Polega ona na zapisaniu moelu FIGARCH(,,) w posaci: ε ω ( bl) ν ω ω ν (4) = + = + ( al)( L) = 0 k k k ω = ( ) + ( ) ( a a b) k (5) k = W prakyce enak wygonie skorzysa z opowienio zmoyfikowanych wzorów rekurencynych, co pozwala unikn problemów numerycznych. Współczynniki auokorelaci kwaraów resz moelu uzyskue si z wzoru: ρ n ( ε ) = ω ω = 0 = 0 ω + n. (6) Poecie o es ogólne i umoliwia szacowanie współczynników auokorelaci kwaraów resz ake la moeli GARCH i IGARCH, wygonie enak w ych przypakach korzysa z isniecych wzorów analiycznych. Funkca auokorelaci kwaraów resz moelu FIGARCH malee w sposób hiperboliczny, czyli la niewielkich rzów funkca auokorelaci malee w sposób szybszy ni la przypaku wykłaniczego, a la wysokich rzów malee barzo powoli. Takie zachowanie funkci auokorelaci prowazi o spełnienia warunku (3) i umoliwia nazwanie moelu FIGARCH moelem o "ługorwałe pamici" (w konekcie funkci auokorelaci kwaraów resz moelu). Inuicyne rakowanie moelu FIGARCH ako moelu o własnociach porenich mizy moelem GARCH a IGARCH es zawone. Zarówno moel GARCH, ak i IGARCH s moelami o "krókorwałe pamici", a moel FIGARCH es moelem o "ługorwałe pamici" w sensie efinici ane wzorem (3).

11 Im nisza waro parameru, ym funkca auokorelaci malee szybcie la niewielkich rzów opónie. Opowieni efek przesawia rysunek 5. Rys. 5. przesawia wpływ zmian waroci na funkc auokorelaci kwaraów resz moelu. róło: obliczenia własne. Paramery moeli GARCH, IGARCH i FIGARCH esymowane s zazwycza meo nawiksze wiarygonoci poprzez aki obór paramerów, by zmaksymalizowa waro funkci 3 : LLF N n n ( ˆ n N ; ε, h ) = ln(π ) ln( h ) ε θ, (7) h = = gzie : n- liczba obserwaci pomnieszona o liczb waroci poczkowych proceury, ˆN θ - wekor paramerów moelu. Aby wyesymowa paramery moelu FIGARCH naley oczywicie moel ARCH( ) z wzoru (0) przybliy moelem ARCH(q) osaecznie wysokiego rzu. Wybór rzu moelu es subiekywny. Naczcie sosue si waroci q=000 lub q=750, co opowiaa w przyblieniu zalenoci o ługoci 4 lub 3 la kalenarzowych. W lieraurze prezenowane s równie róne esy efeku "ługorwałe pamici" w szeregach zmiennoci [5]. Ograniczenie wielkoci pracy 3 Oczywicie przy załoeniu, e z N(0,).

12 uniemoliwia prezenac szczegółowych rozwiza w ym zakresie. W przesawionym ponie przykłazie isnienie efeku ługorwałe pamici "powierzone" bzie poprzez wykazanie saysycznie róne o zera waroci parameru. Przykła empiryczny Prób o baa sanowił szereg prosych, ziennych sóp zwrou z ineksu WIG z okresu o (zie wprowazenie piciosesynego ygonia na GPW) o nia Łczna ługo szeregu wynosi 0 obserwaci. W szeregu sóp zwrou swierzono wyspowanie auokorelaci rzu pierwszego. Współczynnik ϕ = 0,5 (,08) 4. Po usuniciu z szeregu efeku auokorelaci la uzyskanego szeregu ε wyesymowano paramery moeli GARCH(,), IGARCH(,) oraz FIGARCH(,,). Zaprezenowano eynie paramery mace wpływ na przebieg funkci auokorelaci kwaraów resz moelu. Tabela prezenue uzyskane wyniki. Tabela. Paramery moeli la szeregu sóp zwrou z ineksu WIG. Moel Paramery Kryerium Akaike'a 5 (AIC) GARCH(,) α =0,33 (0,5) β =0,899 (47,5) -5,47 IGARCH(,) α =0,54 (47,5) -5,44 FIGARCH(,,) a=0,948 (38,9) b=0,904 (0,08) -5,4304 =0,404 (,98) róło: obliczenia własne 6. 4 W nawiasach poano waroci saysyki la poziomu isonoci 0,05. 5 LLF (liczba paramerów moelu) AIC = + liczba obserwaci 6 Do esymaci paramerów moelu GARCH i IGARCH wykorzysano auorskie funkce napisane w pakiecie MATLAB. Paramery moelu FIGARCH(,,) uzyskano za pomoc programu ospnego na sronie hp://

13 Rysunek 6 przesawia waroci współczynników z rozwinicia moeli GARCH i FIGARCH w moel ARCH( ) z uwzglnieniem wyesymowanych la szeregu WIG paramerów. Moel GARCH es moelem ARCH( ), w kórym kolene współczynniki α i male w sposób wykłaniczy, naomias w moelu FIGARCH współczynniki e male w sposób hiperboliczny, co umoliwia opis efeku "ługorwałe pamici" w szeregu zmiennoci. Nanisza waro kryerium Akaike'a la moelu FIGARCH informue, e moel en nalepie opasował si o anych empirycznych. Nagorsze opasowanie uzyskano la moelu IGARCH. Wynik en powierza rysunek 7, na kórym zaprezenowana zosała empiryczna funkca auokorelaci kwarau resz moelu oraz funkce eoreyczne wynikace z opasowanych moeli GARCH, IGARCH oraz FIGARCH. Nalepie opasowana es funkca wynikaca z moelu FIGARCH. Tylko ona spełnia obserwowane własnoci, e funkca auokorelaci malee szybko la niskich rzów opónie, a naspnie malee powoli la rzów wysokich. Rys. 6. przesawia waroci współczynników z rozwinicia moeli GARCH i FIGARCH w moel ARCH( ) róło: obliczenia własne. Rys. 7. przesawia empiryczn i opasowane analiyczne funkc auokorelaci kwaraów resz moeli.

14 Posumowanie Przesawiony przykła powierza przyano moeli o "ługorwałe pamici" w przypaku opisywania szeregu sóp zwrou z ineksu WIG. Waro zaznaczy, e zaproponowano u moele barzie skomplikowane bce rozszerzeniem moelu FIGARCH o moliwo opisu m. in. "efeku wigni". Przykłaem akiego moelu es moel FIAPARCH (p,,q) : (Fracionally Inegrae Asymmeric Power GARCH Process) o posaci []: ( ) δ [ φ( L)]( L) ε γ ε = ω + [ β ( L)] η, (8) δ δ ( ) h k k η = ε γ ε. (9) Jeli załoy si γ k = 0 oraz δ = FIGARCH(p,,q)., o uzyskue si analizowany powye moel Przy pomocy moelu FIAPARCH la warunkowe warianci oraz opowieniego moelu ARMA la warunkowe waroci oczekiwane sóp zwrou moliwe es u uwzglnienie wszyskich prezenowanych we wspie efeków obserwowanych w szeregach sóp zwrou. Waro oakowo zaznaczy, i szeregi sóp zwrou opisanych przy pomocy moelu FIGARCH i ego uogólnie nie posiaa rozkłau bezwarunkowego o skoczonym rugim momencie, co ake es czso obserwowan własnoci w empirycznych szeregach sóp zwrou. Uwzglnienie powyszych efeków nie oznacza bynamnie wcale koca poszukiwa moeli coraz o lepie opasowywucych si o anych. Lieraura [] R. Baillie, T. Bollerslev, H. Mikkelsen, Fracionally Inegrae Generalize Auoregressive Coniional Heeroskeasiciy, Journal of Economerics, 74, 996, sr [] T. Bollerslev, Generalize auoregressive coniional heeroskeasiciy, Journal of Economerics, 3, 986 [3] T. Bollerslev, H. Mikkelsen, Moelling an pricing long-memory in sock

15 marke volailiy, Journal of Economerics, 73, 996, sr [4] G. Box, J. Jenkins, Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i serowanie, Paswowe Wyawnicwo Naukowe, Warszawa, 983 [ 5] J. Brei, N. Crao, P. e Lima On he eecion an esimaion of long memory in sochasic volailiy, Journal of Economerics, 83, 998, sr [6] M. Caporin, FIGARCH moels: saionariy, esimaion mehos an he ienificaion problem, 00, [7] Ch. Chung, Esimaing he Fracionally Inegrae GARCH Moel, 00, [8] J. Davison, Momen an Memory Properies of Linear Coiional Heeroskeasiciy Moels, Cariff Universiy, 00 [9] Z. Ding, C. Granger, Moeling volailiy persisence of speculaive reurns: A new approach, Journal of Economerics, 73, 996, sr [0] R. Engle, Auoregressive coniional heeroskeasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion, Economerica, 50, 98 [] T. Grau, Moelling Daily Value a Risk using FIGARCH ype moels, Universiy of Alicane, 00, merlin.fae.ua.es/nuevaweb/qe/ caniaos/niguez%0paper.pf [] M. Karanasos, Z. Psaraakis, M. Sola, On he Auocorrelaion Properies of Long Memory GARCH Processes, 00, [3] J. Maheu, Can GARCH Moels Capure he Long-Range Depenence in Financial Marke Volailiy?, Universiy of Torono, 00 [4] K. Pionek, Moelowanie i prognozowanie zmiennoci insrumenów finansowych, rozprawa okorska, Akaemia Ekonomiczna we Wrocławiu. Wrocław, 00 [5] K. Pionek, Heeroskeasyczno rozkłau sóp zwrou a koncepca pomiaru ryzyka meo VaR, Konferenca Moelowanie preferenci a ryzyko, Usro, 00, sr [6] R. Tsay, Analysis of Financial Time Series, Wiley & Sons, Chicago, 00