Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 5

Transkrypt

1 Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wkład 5

2 . Proces AR 2. Proces MA 3. Modele ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 2

3 . Proces AR 2. Proces MA 3. Modele ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 3

4 Proces auoregresjn (auoregressive) rzędu p: AR(p) gdzie jes białm szumem. Przkładowo AR(): 4 p p

5 . Proces AR 2. Proces MA 3. Modele ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 5

6 Proces średniej ruchomej (moving average) rzędu q: MA(q) gdzie jes białm szumem. Przkładowo MA(): 6 q q

7 . Proces AR 2. Proces MA 3. Model ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 7

8 Modele auoregresjne ze średnią ruchomą (auoregressive moving average) ARMA(p,q): dla 8 q q p p ), ( ) ( 0 ) ( 2 s Cov Var E s

9 Modele auoregresjne ze średnią ruchomą ARMA(p,q) nie są opare na eorii ekonomicznej są o modele aeoreczne. W przpadku ch modeli analizowane są włącznie własności sasczne danego szeregu czasowego. Modele e są użecznm narzędziem prognoscznm. 9

10 Modele e są szacowane za pomocą Meod Największej Wiargodności (MNW) lub Nieliniowej Meod Najmniejszch Kwadraów (NMNK). 0

11 San równowagi długookresowej w modelu ARMA(p,q): 0 ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( * q p E E E E E E

12 San równowagi długookresowej w modelu ARMA(p,q): 2 p p p... )... (... * * * * *

13 Model ARIMA(p,d,q) o odpowiednik modelu ARMA (p,q) dla zmiennej niesacjonarnej. d określa sopień zinegrowania zmiennej. ARIMA(p,0,q) o inaczej ARMA(p,q). 3 q q p d p d d d

14 Idenfikacja rzędów p i q: a) Funkcje ACF i PACF; b) meoda od ogólnego do szczególnego; c) kreria informacjne. 4

15 Funkcja auokorelacji (Auocorrelaion Funcion) o współcznnik korelacji międz dwoma realizacjami oddalonmi w czasie o k okresów. k (, Cov Var ( ) k ) [,] 5

16 Funkcja auokorelacji cząskowej (Parial Auocorrelaion Funcion) mierz korelację międz obserwacjami oddalonmi od siebie o k okresów bez uwzględnienia wpłwu k, k 2,..., Funkcja a jes równa wesmowanemu współcznnikowi w modelu auoregresjnm k ego rzędu: k... k k 6

17 ACF dla białego szumu 7

18 PACF dla białego szumu 8

19 ACF i PACF dla białego szumu 9

20 - 0-0 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor]

21 ACF dla AR() gd 2

22 PACF dla AR() gd 22

23 ACF i PACF dla AR() gd 23

24 - 0-0 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor]

25 ACF dla AR(2) 25

26 PACF dla AR(2) 26

27 ACF i PACF dla AR(2) 27

28 - 0-0 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor]

29 ACF dla MA() 29

30 PACF dla MA() 30

31 ACF i PACF dla MA() 3

32 ACF dla MA(2) 32

33 PACF dla MA(2) 33

34 ACF i PACF dla MA(2) 34

35 ACF dla błądzenia przpadkowego 35

36 PACF dla błądzenia przpadkowego 36

37 ACF i PACF dla błądzenia przpadkowego 37

38 - 0-0 LAG AC PAC Q Prob>Q [Auocorrelaion] [Parial Auocor]

39 AR(p) MA(q) ARMA(p,q) ACF Funkcja ACF wgasa do 0 Dla ACF isonch jes q pierwszch opóźnień Dla ACF isonch jes q pierwszch opóźnień i wgasa ona do 0 PACF Dla PACF isonch jes p pierwszch opóźnień Funkcja PACF wgasa do 0 Dla PACF isonch jes p pierwszch opóźnień i wgasa ona do 0. 39

40 Uwaga: w przpadku zmiennej niesacjonarnej funkcja ACF nie wgasa a warości ej funkcji pozosają duże. 40

41 Idenfikacja: meoda od ogólnego do szczególnego. Idenfikacja: kreria informacjne. 4

42 Esmacja Diagnoska: esowanie cz resz z modelu są białm szumem. Wkorzsujem do ego es Ljunga-Boxa: Q T m 2 k 2 ( T 2) ~ m k T k Hipoeza zerowa: resz są białm szumem. 42

43 . Proces AR 2. Proces MA 3. Model ARMA 4. Prognozowanie za pomocą modelu ARMA 43

44 T o osani okres, dla kórego mam obserwacje w próbce. Po oszacowaniu paramerów można sformułować prognozę: q T q T T p T p T T q T q T T p T p T T T e e e q T q T p T p T T e e

45 W en sposób możem rekurencjnie uzskać prognozę T s Jednak prognozowanie dla dłuższego horzonu czasowego w przpadku modeli ARMA(p,q) nie ma sensu ponieważ prognoz zbiegają do równowagi długookresowej. Sensowne jes prognozowanie na max{p,q} okresów. 45

46 . Podać ogólną posać modelu ARMA(p,q). 2. Jaką hipoezę badam za pomocą esu Ljunga-Boxa? 3. Wjaśnić w jaki sposób worzone są prognoz za pomocą modelu ARMA(p,q). 4. Wjaśnić w jaki sposób użwa się funkcji ACF i PACF do usalania paramerów p i q w modelu ARMA(p,q).

47 Dziękuję za uwagę 47