ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 5 4 EWA DZIAWGO Uniwersye Miołaa Kopernia w Toruniu ANALIZA WRA LIWO CI CENY KOSZYKOWEJ OPCJI KUPNA WPROWADZENIE Opce egzoyczne s insrumenami pochodnymi, órych sruura dochodu es odmienna od sruury, ór zapewnia opce zwyłe. Opce egzoyczne s przedmioem obrou insrumenów pochodnych na rynu pozagiełdowym. Opce oszyowe nale do lasy opci egzoycznych orelacynych. W ich wycenie uwzgl dniony es współczynni orelaci insrumenów podsawowych. Opce oszyowe s wysawiane na wi ce ni eden insrumen bazowy. Insrumenem bazowym opci oszyowych es oszy zbudowany z ilu insrumenów, órymi mog by ace, waluy lub indesy. W aryule wyceniono rzymiesi czn, oszyow opc upna, óra wysawiona es na waluy euro i USD, zbadano wpływ wybranych czynniów na cen opci i doonano analizy wra liwo ci ceny rozparywane opci na zmian waro ci współczynnia orelaci.. WYCENA OPCJI KOSZYKOWYCH Cena europesie, oszyowe opci upna wynosi : Genle wyznaczył cen oszyowe, europesie opci upna w 993 r.

2 6 C B = w S = Ewa Dziawgo ~ ( cn d ) ( K + c ) N ( d )) (, gdzie: = ~ ~ ( ) ~ T c exp ρ iwiw σ iσ w σ, d d i, = = ~ ( K + c ) ln c ln + v ( T ) = v T ln c ln ( K ~ + c ) v ( T ) =, v T, N(d) dysrybuana rozładu normalnego, ~ K e K = = w F (, T) S = = r( T ) w S K, K cena wyonania opci, S T i cena i ego waloru w chwili T, T czas wyga ni cia opci, liczba walorów, na óre wysawiona es dana opca. Zmodyfiowane wagi dla usalonego (; T) wynosz : w ~ i i wi S wi F i (,T ) S = = w S w F (,T ) = = S dla i =,,...,, gdzie: F (, T) cena forward w chwili usalonego i-ego waloru z erminem S wyga i ni cia T, S i r ( T ) i F (, T) = e S, S i (dla i =,,..., ) proces ceny podsawowych insrumenów finansowych, órymi s ace.

3 Analiza wra liwo ci ceny oszyowe opci upna 63 Proces S i es opisany geomerycznym ruchem Browna : ( ) ds = S rd + σ db, i i i i gdzie: B ednowymiarowy ruch Browna wzgl dem miary maryngałowe Q, r sopa procenowa wolna od ryzya, R zmienno"! ceny aci 3, σ i w i waga i-ego waloru, przy czym w i oraz w =, v = iσ iσ w ~ iw ~ i, = ρ, ρ i, współczynni orelaci mi# dzy insrumenami bazowymi. i= i. PRZYKŁADY Badania empiryczne doycz$ wyceny europesich opci oszyowych, órych insrumenami bazowymi s$ waluy USD i euro. Analiz# przeprowadzono dla opci upna. Badania empiryczne doycz$ oresu od 4 sycznia 3 rou do 4 wienia 3 rou. W obliczeniach przy# o ednaowe wagi dla insrumenów podsawowych, o znaczy w przypadu opci oszyowych wysawionych na dwie waluy w i =,5 (dla i =, ). Na rysunu przedsawiono szałowanie si# w rozparywanym oresie cen rzymiesi# cznych, europesich opci zwyłych wysawionych na waluy euro i USD, a na rysunu opci oszyowe wysawione na waluy USD i euro. W rozparywanym oresie współczynni orelaci mi# dzy waluami wynosi,54. Na rysunu zilusrowano równie% szałowanie si# & rednie ceny opci zwyłych wysawionych na waluy USD i euro. Z analizy szałowania si# cen opci wynia, % e ceny opci oszyowych s$ ni% sze od & rednich cen opci zwyłych. Bior$ c pod uwag# oszy ponoszone przez inwesora na zabezpieczenie si# przed ryzyiem zmian i i Z równania ego wynia, ' e cena aci wynosi: S S exp[ σ B + ( r,5 ] =. i σ i ) 3 Zmienno(*) aci es obliczana ao odchylenie sandardowe sopy zwrou z aci.

4 , 64 Ewa Dziawgo cen insrumenów bazowych, opce oszyowe s$ aracyniesze od opci zwyłych. cena opci [zł],6,5,4,3,, daa c.op.zwy.usd c.op.zwy.eur Rys.. Kszałowanie si+ cen opci zwyłych wysawionych na waluy euro i USD,,5,4 cena [zł],3,, rednia cena opci zwyłych cena opci oszyowe Rys.. Kszałowanie si+ ceny opci oszyowe (wysawione na waluy USD i euro) i. rednie ceny opci zwyłych (wysawionych na waluy euro i USD) Na rysunu 3 przedsawiono szałowanie si# cen rzech opci oszyowych o ró% nych erminach wyga& ni# cia. Opce wysawione s$ na waluy euro i USD, charaeryzu$ si# nas# pu$ cymi erminami wyga& ni# cia: 3 miesi$ ce, 6 miesi# cy i 9 miesi# cy.

5 4 8 Analiza wra/ liwo ci ceny oszyowe opci upna 65 cena [zł],45,4,35,3,5,,5,, daa opca 3-mies. opca 6-mies. opca 9-mies. Rys. 3. Kszałowanie si cen opci oszyowych (wysawionych na waluy USD oraz euro). Terminy wyga ni cia opci: 3 miesi3 ce, 6 miesi cy oraz 9 miesi cy Z analizy szałowania si5 cen opci oszyowych wynia, 6 e dro6 sze s7 opce, óre charaeryzu7 si5 dłu6 szym erminem, óry pozosał do ich wyga- ni5 cia. Na rysunu 4 zilusrowano zale6 no 8"9 ceny opci oszyowe od czasu wyonania. Zbli6 anie si5 erminu wyga 8 ni5 cia wpływa na spade ceny opci upna. cena opci [zł],4,,,8,6,4, m. m. 3 m. 4 m. 5 m. 6 m. 9 m. czas pozosały do wyga: ni; cia opci Rys. 4. Wpływ czasu pozosałego do wyga ni cia oszyowe opci na e cen 4

6 66 Ewa Dziawgo Na rysunu 5 przedsawiono wpływ ceny wyonania na szałowanie si5 cen rzech oszyowych opci upna. Opce e charaeryzu7 ró6 nymi współczynniami orelaci mi5 dzy insrumenami bazowymi. Wszysie opce s7 rzymiesi5 czne i wysawione na waluy euro oraz USD. Współczynni orelaci pierwsze opci wynosi,54. Druga opca es opc7 o współczynniu orelaci mi5 dzy waluami,5, naomias rzecia charaeryzue si5 współczynniiem orelaci -,54.,5, cena opci [zł],5,,5 3,7 3,76 3,8 3,86 3,9 3,96 4, 4,6 4, 4,6 4, cena wyonania [zł] opca opca opca 3 Rys. 5. Wpływ ceny wyonania na cen oszyowe opci upna 4 Zmnieszanie si5 ceny wyonania opci wpływa na wzros ceny oszyowe opci upna. Z olei wzros ceny wyonania przyczynia si5 do spadu ceny oszyowe opci upna. Prawidłowo 8"9 a wys5 pue niezale6 nie od waro 8 ci współczynnia orelaci mi5 dzy aywami bazowymi. Na cen5 oszyowe opci upna w znacznym sopniu wpływa współczynni orelaci mi5 dzy aywami bazowymi. Na rysunu 6 przedsawiono szałowanie si5 cen rzymiesi5 cznych opci oszyowych o ró6 nych współczynniach orelaci. Współczynni orelaci pierwsze opci wynosi,54, druga es opc7 o współczynniu orelaci mi5 dzy waluami,5, naomias rzecia charaeryzue si5 współczynniiem orelaci -,54.

7 4 Analiza wra/ liwo ci ceny oszyowe opci upna 67,6,4, cena opci [zł],,8,6,4, opca opca opca 3 Rys. 6. Kszałowanie si cen opci oszyowych, óre charaeryzu3 si ró< nymi współczynniami orelaci mi dzy waluami Dro6 sze s7 oszyowe opce upna, óre charaeryzu7 si5 wi5 szym współczynniiem orelaci mi5 dzy waluami. Na rysunu 7 przedsawiono szałowanie si5 waro 8 ci parameru chi, óry es pochodn7 ceny opci oszyowe wzgl5 dem współczynnia orelaci. Paramer en, obliczony dla rozparywane rzymiesi5 czne oszyowe opci upna, wysawione na waluy euro i USD, ore 8 la, ai wpływ na cen5 opci ma zmiana współczynnia orelaci.

8 4 68 Ewa Dziawgo,6,5,4,3,, daa Rys. 7. Kszałowanie si waro ci parameru chi europesie, oszyowe opci upna wysawione na waluy USD i euro, w oresie od 4 sycznia 3 rou do 4 wienia 3 rou Z przeprowadzone analizy wynia, 6 e paramer chi ulega znacznym wahaniom w czasie. W miar5 zbli6 ania si5 erminu wyga 8 ni5 cia oszyowe opci upna ego waro 8 ci zmierza7 do zera. PODSUMOWANIE Bior7 c pod uwag5 oszy ponoszone przez inwesora na zabezpieczenia si5 przed ryzyiem zmian cen insrumenów bazowych, opce oszyowe s7 a= sze od opci zwyłych. Wpływa o na aracyno 8"9 opci oszyowych, szczególnie 6 e inwesyca w e opce nie wymaga od inwesora moniorowania zachowa= rynu insrumenów podsawowych. Opce oszyowe mog7 si5 sa 9 w przyszło 8 ci aracynym insrumenem pochodnym dla inwesorów w Polsce. LITERATURA. Musiela M., Ruowsi M.: Maringale Mehods in Financial Modelling. Springer- Verlag, Berlin 998.

9 Analiza wra/ liwo ci ceny oszyowe opci upna 69. Nefci S.N.: An Inroducion o he Mahemaics of Financial Derivaives. Academic Press, San Diego Weron A., Weron R.: In/ ynieria finansowa. WNT, Warszawa 998. SENSITIVITY ANALYSIS OF THE CALL OPTION BASKET PRICE Summary Exoic opions are subec o derivaive insrumen urnover on he over-he- -couner mare. Their income srucure is differen from he ordinary opion income srucure. Base opions are included in he class of exoic correlaive opions. The base insrumens correlaion coefficien is aen ino consideraion in heir pricing. In he aricle a ree-monh base call opion, on USD and EURO, was priced and he sensiiviy analysis of he underlying opion price was carried ou. Translaed by Ewa Dziawgo