Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof."

Transkrypt

1 Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach π π 0 (płaszczyzna kierująca) ryła w ruchu płaskim Punky ciała leżące na prosej prosopadłej do płaszczyzny kierującej poruszają się po akich samych orach, mają jednakowe prędkości i przyspieszenia. Zaem dla badania ruchu płaskiego wysarczy wziąć pod uwagę dowolny przekrój ciała płaszczyzną równoległą do kierującej.

2 Ruch płaski jes superpozycją (złożeniem) ruchów: posępowego dowolnie wybranego punku ciała (bieguna) i obroowego wokół ego wybranego punku. Ruch płaski można eż rakować jako ruch obroowy, wokół pewnego punku, zw. środka obrou. Środek obrou zmienia swoje położenie podczas ruchu. a) φ b) Ruch płaski jako: a) superpozycja ruchu posępowego i obroowego, b) ruch obroowy wokół chwilowego środka obrou Cv

3 Położenie bryły by określić położenie ciała na płaszczyźnie należy podać rzy współrzędne (bryła ma rzy sopnie swobody). Na ogół są o: y Położenie bryły w ruchu płaskim r φ 0 ψ r dwie współrzędne bieguna 0(x, y): r x y x x = x (), y = y (), (3.34a) ką, o jaki obróciło się ciało ϕ = ϕ(). (3.34b) Położenie dowolnego punku bryły, względem nieruchomego układu osi x, y, określamy za pomocą wekora r. Ponieważ położenie punku, względem bieguna, opisuje wekor, gdzie = r = r cosψ i + r sinψ j, więc wekor r przyjmuje posać r r r ( x r cos ψ ) i ( y r sin ψ ) j = + = (3.35)

4 Prędkość bryły Prędkość ciała w ruchu płaskim jes określona, jeżeli znamy prędkość bieguna v oraz prędkość kąową bryły ω. Prędkość bieguna obliczamy różniczkując współrzędne bieguna z równania (3.34a) względem czasu gdzie: v = vx i + vy j, (3.36a) v = x &, v = y &, x y naomias prędkość kąową obliczamy różniczkując ką obrou ciała z równania (3.34b) względem czasu ω = ϕk & (3.36b)

5 Prędkość liniową punku bryły obliczamy przez zróżniczkowanie względem czasu równania (3.35) & & &. (3.37) v = r = r + r = v + v Prędkość v jes prędkością bieguna i dana jes równaniem (3.36a), naomias v, kóra jes prędkością punku względem bieguna, obliczamy jak dla ruchu obroowego z zależności rω cosψ j i j k v = r = ω r = 0 0 ω (3.38) r cosψ r sinψ 0 v y y& j v zaem v = vxi + vy j, (3.39) y y& j r ψ ω x& i v x rω sinψ i x& i gdzie: v = x& rω sinψ, v = y& + rω cosψ. x y x Wekor prędkości punku bryły w ruchu płaskim

6 Warość wekora prędkości punku obliczamy (rys. 3.28) = x + y = ( ω sin ψ ) + ( + ω cos ψ ) v v v x& r y& r = ( x& ) + ( y& ) + r ω 2 rω( x& sinψ y& cos ψ ). Częso wygodniej jes obliczać prędkość punku, korzysając ze współrzędnych nauralnych do opisu prędkości względnej. We wzorze (3.37), jak poprzednio, v 0 jes prędkością bieguna, a v jes prędkością względną punku względem bieguna. Zaem gdzie: v v = v + v, (3.40) = r&, v = r& = ω r, przy czym: = ω = & ϕ v r r, zaś kierunek wekora v jes prosopadły do wekora ω i do wekora r (zgodny z kierunkiem osi ) co można eż zapisać v = & ϕre. saecznie zależność na prędkość punku bryły przyjmuje posać v = v + & ϕre. (3.41) r & ϕe v n ω = & ϕ r v v kreślenie prędkości punku bryły w ruchu płaskim przy danej prędkości punku

7 Twierdzenie W ruchu płaskim isnieje punk, kórego prędkość jes równa zero. Jes o chwilowy środek prędkości. Przyjmując za biegun chwilowy środek prędkości ( C v ) prędkość dowolnego punku możemy obliczyć z zależności (rys. 3.30) v = ωρ e. v ρ ω = & ϕ Cv 0 n Prędkość punku bryły w ruchu płaskim przy wykorzysaniu chwilowego środka prędkości

8 Przyspieszenie bryły w ruchu płaskim określamy przez podanie przyspieszenia bieguna oraz przyspieszenia kąowego. Przyspieszenie bieguna orzymujemy różniczkując równanie (3.36a) względem czasu gdzie: &, (3.42) a = v = a i + a j x y a = v& = && x, a y = v y = y x x & &&. (3.42a) Naomias przyspieszenie kąowe orzymamy przez zróżniczkowanie równania (3.36b) ε = & ω = ϕk &&. (3.43)

9 Przyspieszenie liniowe punku bryły określimy przez zróżniczkowanie względem czasu równania (3.39). Należy przy ym pamięać, że ω = ω( ) oraz ψ = ψ ( ), a ich pochodne & ω = ε oraz ψ& = ω. Zaem gdzie: & && &&, (3.44) a = v = r + r = a i + a j x y 2 x = & x = && ( sin + cos ), a v x r ε ψ ω ψ 2 y = & y = && + ( cos sin ), (3.44a) a v y r ε ψ ω ψ są składowymi wekora przyspieszenia a. r 2 ( ε cosψ ω sinψ ) j a y a && y j r 2 ( ε sinψ + ω cosψ ) i y && y j ω ε r ψ && xi a x && xi x Przyspieszenie punku bryły w ruchu płaskim

10 Podobnie jak przy obliczaniu prędkości, częso wygodniej jes przedsawiać wekor przyspieszenia we współrzędnych nauralnych. Różniczkując (3.40) mamy d a = v& = v& + v& = r&& + ( r ) a r ( r ) d ω = + ε + ω ω, czyli n n a a a e a e = + +, (3.45) n 2 gdzie: a = εr składowa syczna przyspieszenia względnego, a = ω r składowa normalna przyspieszenia względnego, a przyspieszenie bieguna. Sposób składania składowych przyspieszenia a przedsawiono na rysunku. a e a ω ε a e n n a a n a Przyspieszenie punku bryły w ruchu płaskim przy danym przyspieszeniu punku

11 Twierdzenie W ruchu płaskim isnieje punk, kórego przyspieszenie równa się zero. Jes o chwilowy środek przyspieszenia (nie pokrywa się on na ogół z chwilowym środkiem prędkości!). Przyjmując za biegun chwilowy środek przyspieszenia ( C a ), przyspieszenie punku możemy obliczać z zależności 2 ερ ω ρ n a e e = +. (3.46) a e a e n n ρ a n ε ω C a 0 Przyspieszenie punku w ruchu płaskim bryły, przy wykorzysaniu chwilowego środka przyspieszeń

12 Twierdzenie 1 Rzuy wekorów prędkości dwóch dowolnych punków bryły na prosą łączącą e punky są sobie równe. v cosα = v cos β. v α cos β v β cosα v v Rzuy wekorów prędkości punków i bryły na prosą łączącą e punky Twierdzenie o jes słuszne dla dowolnego ruchu bryły. Gdyby rzuy wekorów prędkości punków nie były sobie równe, o odległość pomiędzy ymi punkami musiałaby się zmieniać, co jes z założenia niemożliwe dla bryły szywnej. Twierdzenie 2 Wekor prędkości punku bryły jes prosopadły do promienia łączącego chwilowy środek prędkości z ym punkem.

13 Twierdzenie 3 Końce wekorów prędkości dowolnych punków bryły w ruchu płaskim są widziane pod ym samym kąem ϕ z chwilowego środka prędkości, przy czym ϕ = arcgω. Prędkości punków bryły widziane z chwilowego środka prędkości C v v ρ v ϕ ϕ ρ ω C v

14 Twierdzenie 4 Wekory przyspieszeń punków bryły są nachylone pod kąem β do promieni łączących chwilowy środek przyspieszeń z ymi punkami, przy czym) β arcg ε =. 2 ω ε C a β r β γ a γ β a a Położenie chwilowego środka przyspieszeń C a w ruchu płaskim bryły Twierdzenie 5 Wekory przyspieszeń punków bryły są widziane pod ym samym kąem γ z chwilowego środka przyspieszeń.

15 Twierdzenie 6 Składowe syczne wekorów przyspieszeń punków bryły są widziane pod ym samym kąem δ z chwilowego środka przyspieszeń, przy czym δ = arcgε. a ρ a δ δ ρ ε C a Przyspieszenia syczne punków bryły widziane z chwilowego środka przyspieszeń C a

WIADOMOŚCI OGÓLNE O NAPRĘŻENIACH. Stan naprężenia w punkcie ciała

WIADOMOŚCI OGÓLNE O NAPRĘŻENIACH. Stan naprężenia w punkcie ciała WIADOMOŚCI OGÓLN O NAPRĘŻNIACH Stan naprężenia w punkcie ciała Załóżmy, że pewne ciało (rys. 1.1), obciążone układem sił zewnętrznych czynnych i biernych, znajduje się w równowadze. Poprowadzimy myślowo

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYNIKÓW RÓŻNYCH METOD PROGNOZOWANIA PARAMETRÓW ORIENTACJI ZIEMI

PORÓWNANIE WYNIKÓW RÓŻNYCH METOD PROGNOZOWANIA PARAMETRÓW ORIENTACJI ZIEMI INSTYTUT GEODEZJI I KARTOGRAFII Seria Monograficzna nr 10 WIESŁAW KOSEK MACIEJ KALARUS Cenrum Badań Kosmicznych PAN Warszawa WALDEMAR POPIŃSKI Główny Urząd Saysyczny Warszawa PORÓWNANIE WYNIKÓW RÓŻNYCH

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi:

Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi: Ćwiczenie POMIARY MOCY. Wprowadzenie Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi: P = U I (.) Jest to po prostu (praca/ładunek)*(ładunek/czas). Dla napięcia mierzonego w

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1)

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Funkcja określona wzorem f ( x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych A. nie ma miejsc zerowych. B. ma dokładnie

Bardziej szczegółowo

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ CIAŁ STAŁYCH. Kraków, 2004 21.03.2013

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ CIAŁ STAŁYCH. Kraków, 2004 21.03.2013 Anna Linscheid Katedra Chemii i Fizyki, Uniwersytet Rolniczy Do użytku wewnętrznego ĆWICZENIE 11 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZALNOŚCI LINIOWEJ CIAŁ STAŁYCH Kraków, 24 21.3.213 SPIS TREŚCI I. CZĘŚĆ TEORETYCZNA...

Bardziej szczegółowo

POZIOM PODSTAWOWY 11 MAJA 2015

POZIOM PODSTAWOWY 11 MAJA 2015 Układ graficzny CKE 2013 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM

Bardziej szczegółowo

POZIOM PODSTAWOWY 11 MAJA 2015

POZIOM PODSTAWOWY 11 MAJA 2015 Układ graficzny CKE 2013 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM

Bardziej szczegółowo

Program treningu w zakresie rozpoznawania i krótkiej interwencji Cele i zadania Plany sesji Notatki w tle Dokumenty robocze Przeźrocza

Program treningu w zakresie rozpoznawania i krótkiej interwencji Cele i zadania Plany sesji Notatki w tle Dokumenty robocze Przeźrocza Alkohol i podsawowa opieka zdrowona Program reningu w zakresie rozpoznawania i krókiej inerwencji Cele i zadania Plany sesji Noaki w le Dokumeny robocze Przeźrocza Tłumaczenie: Krzyszof Pacholik Redakcja

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1. Cele kształcenia wymagania ogólne. NOWA ZAKRES PODSTAWOWY w postawie programowej obowiązującej począwszy od 01.09.2012 r. w klasach pierwszych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy wymiany. Dariusz Wawrzyniak 1. Podstawowe pojęcia (1) Podstawowe pojęcia (2) Podstawowe pojęcia (3)

Algorytmy wymiany. Dariusz Wawrzyniak 1. Podstawowe pojęcia (1) Podstawowe pojęcia (2) Podstawowe pojęcia (3) Sysemy operacyjne Algorymy wymiany sron Algorymy wymiany sron Podsawowe pojęcia () N = {,,, n} zbiór numerów sron wirualnych danego procesu M = {,,, m} zbiór numerów ramek danego procesu w pamięci fizycznej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07 MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Leszek Wiatr Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 3[].Z.7 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut

Bardziej szczegółowo

Prowadzenie prac mierniczych 311[04].O1.05

Prowadzenie prac mierniczych 311[04].O1.05 MINISTERSTWO EDUKACJI i NAUKI Władysława Maria Francuz Prowadzenie prac mierniczych 311[04].O1.05 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 2005 0

Bardziej szczegółowo

FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU

FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR LAB TEMAT: FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE I. CEL ĆWICZENIA: Celem ćwiczenia jest wprowadzenie studentów w zagadnienie szybkiej

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z fizyki zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania z fizyki zakres podstawowy Przedmiotowy system oceniania z fizyki zakres podstawowy Celem nauczania jest kształtowanie kompetencji kluczowych, niezbędnych człowiekowi w dorosłym życiu, niezależnie od rodzaju wykształcenia i wykonywanego

Bardziej szczegółowo

System ekspertowy do diagnostyki wycieków w sieci wodociągowej

System ekspertowy do diagnostyki wycieków w sieci wodociągowej POLITECHNIKA OPOLSKA Sysem esperowy do diagnosyi wycieów w sieci wodociągowej AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ Marcin Zmarzły Opole, 2014 r. Promoor: dr hab. inż. Włodzimierz Sanisławsi Prof. PO SPIS

Bardziej szczegółowo

STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH

STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH Sfinansowano ze środków Narodowego Funduszu Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej na zlecenie Krajowego Zarządu Gospodarki Wodnej Metodyka obliczania przepływów i opadów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE

KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE Wielokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 10: Wskazówki dla twórców oprogramowania do projektowania Wielokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 10: Wskazówki dla twórców

Bardziej szczegółowo

Projektowanie, pomiar i wyrównanie szczegółowej osnowy geodezyjnej 311[10].Z1.08

Projektowanie, pomiar i wyrównanie szczegółowej osnowy geodezyjnej 311[10].Z1.08 MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Anna Betke Projektowanie, pomiar i wyrównanie szczegółowej osnowy geodezyjnej 311[10].Z1.08 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu

Wprowadzenie do programu Wprowadzenie do programu Wersja 4.2 www.geogebra.org Wprowadzenie do programu GeoGebra Data ostatniej modyfikacji: 6 Listopada, 2012. Aktualizacja dotyczy najnowszej wersji programu: GeoGebra 4.2. Podręcznik

Bardziej szczegółowo

Zakres egzaminu wstępnego z matematyki

Zakres egzaminu wstępnego z matematyki Zakres egzaminu wstępnego z matematyki 1 Liczby i ich zbiory: a) definicja potęgi o wykładniku wymiernym oraz działania na potęgach o wykładniku wymiernym; b) definicja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK A GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK A ZASADY CIĄGŁEGO OBMIARU USZKODZEŃ I OCENY STANU NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo