IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD"

Transkrypt

1 Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy złożonych układów w sanie nieusalonym. Jako przykład rozwiązano obwód liniowy meodą numeryczną, operaorową oraz zmiennych sanu w ym środowisku. W celu wyznaczenia macierzy ranzycyjnej zasosowano dokładną meodę Sylvesera z wykorzysaniem procesora symbolicznego, jak również przybliżoną meodę rozwinięcia w szereg Taylora. Wszyskie wyniki zosały dodakowo zweryfikowane poprzez porównanie z rozwiązaniem meodą operaorową. WSTĘP Obwodowy opis wielu układów echnicznych w elekroechnice w sanach nieusalonych sprowadza się do układu równań różniczkowych liniowych lub nieliniowych. Układy nieliniowe najczęściej nie mają rozwiązania analiycznego. W celu określenia szczególnych cech układów dynamicznych częso wykorzysuje się meodę linearyzacji, co pozwala na ławe wyznaczenie rozwiązania meodą zmiennych sanu. Wówczas podsawowym elemenem rozwiązania układu jes wyznaczenie zw. macierzy ranzycyjnej. Do dokładnych sposobów uzyskania ej macierzy zalicza się z kolei meodę Sylvesera. Prosszym sposobem jes wyznaczenie ej macierzy za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora. W pracy przedsawiono przykład układu liniowego sacjonarnego rozwiązanego meodą zmiennych sanu w środowisku Mahcad. Porównano rozwiązania z użyciem meod przybliżonych (rozwinięcie Taylora, meody dyskrene) z dokładnym rozwiązaniem meodą Sylvesera. Zaprezenowano również ineresujące podejście polegające na uzyskaniu równań sanu z układu równań w posaci normalnej z wykorzysaniem środowiska Mahcad. W celu sprawdzenia poprawności rozwiązania zasosowano meodę operaorową w ym środowisku z użyciem procesora symbolicznego i orzymane rozwiązanie porównano z rozwiązaniem uzyskanym z meody zmiennych sanu. W niniejszym arykule wszyskie procedury zrealizowane w środowisku Mahcad umieszczono w niezmienionej posaci (camera ready). Dlaego zapis niekórych wyrażeń maemaycznych może nieznacznie się różnić (ze względu na synakykę środowiska Mahcad) od ogólnie przyjęych zasad pisowni wzorów echnicznych.

2 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 7. POSTAĆ NORMALNA UKŁADU RÓWNAŃ Różne sposoby wykorzysania środowiska Mahcad do rozwiązania układu równań różniczkowych omówiono na przykładzie rozwiązania elekrycznego obwodu liniowego (rys. ) z wymuszeniami sinusoidalnymi. Przyjęe do analizy paramery obwodu z rysunku przedsawiono w abeli. i i i 3 R 3 i 4 i 5 e L L U C R R U C R 4 e Rys.. Schema obwodu elekrycznego przyjęy do rozważań Fig.. The invesigaed elecrical circui Tabela. Paramery obwodu z rysunku Table. The parameers of he circui of figure E m/ϕ E m/ϕ ω L L R R R 3 R 4 C C 5 V/ 8 V/ 34,3 H, H Ω 5 Ω 3 Ω 4 Ω 5 µf 4 µf Układ równań różniczkowych sformułowanych na podsawie praw Kirchhoffa dla powyższego obwodu po podsawieniach i uporządkowaniu ma posać: du du di = ( + ) d d d du du di di + = d d d d du di 4 RC + L = u u e 4 d d du C = i 4 d RC RC L i R R e 4 RC RC L L u ir 3 3 Powyższy układ równań można zapisać w nasępującej posaci macierzowej: () H x = k ()

3 8 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 gdzie: RC RC L RC 3 RC 3 L L H = R4C L C k = e() + x(r 3 + R) xr 3 + x e() + x + x x4 oraz wekor zmiennych sanu x = u() x u() x = i() x3 i() x 4 4 W celu rozwiązania układu równań różniczkowych meodą numeryczną w większości przypadków należy układ () sprowadzić do nasępującej posaci normalnej: x = H k (3) Wyznaczając rozwiązanie sanu usalonego przed komuacją, a sąd wekor warunków począkowych, można w ławy sposób zaimplemenować dowolną procedurę numeryczną w środowisku Mahcad dla rozwiązania układu (3). Na rysunkach 4 przedsawiono przebiegi wybranych zmiennych sanu orzymanych z rozwiązania sanu nieusalonego z użyciem procedury Rungego-Kuy (nazywanej w ym programie rkfixed) na le sanu usalonego po komuacji. u, uus [V] 6 4 race race Rys.. Przebiegi napięć na kondensaorze C (race san nieusalony, race usalony) Fig.. Volage waveforms across he capacior C (race ransien, race seady sae)

4 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 9 i, ius [A] race race Rys. 3. Przebiegi prądów i (race san nieusalony, race usalony) Fig. 3. Curren waveforms i (race ransien, race seady sae) i4, i4us [A].4.. race race Rys. 4. Przebiegi prądów i 4 (race san nieusalony, race usalony) Fig. 4. Curren waveforms i 4 (race ransien, race seady sae) Szczegóły implemenacji ej procedury w środowisku Mahcad przedsawiono w pracy [4]. Poniższe przebiegi zosaną w dalszym ciągu wykorzysane do weryfikacji rozwiązania ego układu meodą zmiennych sanu.. METODA ZMIENNYCH STANU W przypadku układu liniowych równań różniczkowych możliwe jes uzyskanie dokładnego rozwiązania analiycznego. Jedną z meod prowadzących do akiego rozwiązania jes meoda zmiennych sanu. Równanie zmiennych sanów przedsawia się w nasępującej posaci macierzowej [5]: x= Ax+ Be () (4) gdzie: e() wekor wymuszeń (w ym również prądowych).

5 3 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 Ręczne uzyskanie akiej posaci (meodą przekszałceń) dla nawe niedużego rozparywanego układu jes bardzo pracochłonne lub wręcz niemożliwe. Dlaego poniżej przedsawiono prosy sposób uzyskania równania sanu (4) przy wykorzysaniu macierzowego układu (), w kórym wekor k rozkłada się na nasępującą sumę dwóch wekorów, wyodrębniając zmienne sanu i wekor wymuszeń: R + R x e () R x e () x x3 k = Cx+ De () = + (5) Zaem układ równań () przyjmie posać: Hx= Cx+ De () (6) Po pomnożeniu obusronnie (lewosronnie) równania (6) przez muje się: H orzy- x= H Cx+ H De() = Ax+ Be () (7) Sąd macierz główną A = H - C można w środowisku Mahcad zdefiniować jako iloczyn: C R C R L R + R C R 3 C R 3 L L R A := C R 4 L C oraz macierz B = H D jako: B := C R C R 3 C C R C R 3 C R 4 L L L L W celu wyznaczenia warości własnych macierzy A zamias rozwiązania jej równania charakerysycznego można wykorzysać goową procedurę w środowisku Mahcad o nazwie eigenvals.

6 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 3 Wyznaczenie warości własnych macierzy A: λ := eigenvals( A) λ = i i 3.35 Macierz jednoskową dowolnego wymiaru określa z kolei definicja: I := ideniy( n) I = Obliczenie dokładnej macierzy ranzycyjnej w środowisku Mahcad sprowadza się do zaimplemenowania zamknięego wzoru Sylvesera []. W rozparywanym przypadku dla czerech warości własnych wyznaczono macierz ranzycyjną, dla kórej w środowisku Mahcad przyjęo nazwę Asylves. ( ) ( A λ I 3 )( ) A λ I A λ I A λ I A λ I 4 4 Sylv := Sylv := ( λ λ ) ( λ λ 3 )( λ λ 4 ) ( λ λ ) ( λ λ 3 ) ( λ λ 4) ( ) ( A λ I )( ) e A ( ) ( A λ I 3 )( ) ( ) ( A λ I )( ) A λ I A λ I A λ I A λ I 4 3 Sylv := Sylv := 3 ( λ λ 3 ) ( λ λ 3 ) ( λ λ 3 4) 4 ( λ λ 4 ) ( λ λ 4 ) ( λ λ 4 3) Asylves() Sylv e λ i := i i Rozwiązanie niejednorodnego równania (4) można przedsawić w posaci wzoru [5]: A A( τ) e x + e Be ( τ)dτ (8) Rozwiązanie równania jednorodnego orzymano, mnożąc wyznaczoną macierz ranzycyjną e A przez wekor warunków począkowych uzyskanych z roz- wiązania sanu usalonego przed komuacją: Ponieważ wynikiem ego mnożenia jes wekor funkcji, funkcje sanu sanowią poszczególne elemeny ego wekora: usyl( ) := XS() usyl( ) := XS() isyl( ) := XS() 3 i4syl( ) := XS() 4

7 3 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 Na rysunku 5 przedsawiono przebiegi poszczególnych zmiennych sanu dla równania (7) oraz powyżej przedsawionego wekora warunków począkowych x T. Rozwiązaniem niejednorodnego równania sanu zgodnie ze wzorem (8) jes suma powyższych funkcji oraz całek sploowych o posaci [5]: ( τ) A Be e ( τ)dτ W środowisku Mahcad powyższe całki należy liczyć dla każdej funkcji: e z ( τ) e ( τ) e ( τ) := hτ (, ) := Asylves( τ) B e z ( τ) usyl [V] isyl [A] usyl [V] i4syl [A] Rys. 5. Przebiegi obliczonych zmiennych sanu dla równania jednorodnego Fig. 5. The waveforms of he sae variables calculaed for he homogeneous equaion Po scałkowaniu kolejnych elemenów wekora h(, τ) orzymano odpowiednie składowe dla rozwiązania niejednorodnego równania sanu: J () J 3 () := hτ (, ) dτ J () := := hτ (, ) 3 dτ J 4 () := hτ (, ) dτ hτ (, ) 4 dτ

8 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 33 un( ) := usyl() + J () un( ) := usyl() + J () in( ) := isyl() + J 3 () i4n( ) := i4syl() + J 4 () Na rysunku 6 zmiennych sanu na le uzyskanego wcześniej (rys. 4) rozwiązania numerycznego. Jak wynika z rysunków, obydwa przebiegi się pokrywają, co dowodzi poprawności orzymanego rozwiązania u, un [V] u, un [V] i, in [A].6.4. i4, i4n [A] Rys. 6. Przebiegi zmiennych sanu z rozwiązania analiycznego i numerycznego Fig. 6. Waveforms of he sae variables of he analyical and numerical soluions 3. METODA SUPERPOZYCJI Dla złożonych układów opisywanych dużą liczbą równań czas rozwiązania przy zasosowaniu meody przedsawionej w punkcie może być nieprakycznie długi, przede wszyskim z powodu obliczeń całek sploowych. Dlaego, zwłaszcza w przypadku wymuszeń sinusoidalnych, zasadne jes zasosowanie meody superpozycji sanów polegającej na oddzielnym wyznaczaniu składowej swobodnej i wymuszonej rozwiązania. Meoda a zdecydowanie skróci czas obliczeń ze względu na możliwość wykorzysania klasycznej meody symbolicznej. Meoda

9 34 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 Sylvesera zakłada brak wielokronych warości własnych macierzy głównej, sąd ławiejsze wydaje się być rozwinięcie macierzy ranzycyjnej w szereg Taylora [5], ponieważ nie wymaga wyznaczania warości własnych. Przy sosowaniu ej meody zwrócono uwagę na ciekawy aspek zaobserwowany przy wyznaczaniu macierzy ranzycyjnej w środowisku Mahcad. W wielu pozycjach lieraury [,, 3, 5, 7] podkreśla się, że dla każdej macierzy A i dla dowolnego argumenu jes o szereg zbieżny. Oznacza o, że można uzyskać przybliżenie macierzy ranzycyjnej z określoną dokładnością przy użyciu odpowiednio dużego rozwinięcia. Poniżej przedsawiono rozwiązanie jednorodnego równania sanu z użyciem rozwinięcia macierzy ranzycyjnej w szereg Taylora dla rozparywanego obwodu z rysunku. K :=.. 7 A Taylor () ( A ) K := XT() := A K! Taylor ()x K uayl( ) := XT() uayl( ) := XT() Wyniki przedsawione na rysunku 7 pokazują, że dla większych warości czasu rozwiązanie uzyskane przy zasosowaniu szeregu Taylora raci zbieżność nawe dla liczby wyrazów szeregu równej K = 7. uayl, usyl [V] uayl, usyl [V] czas[s] Rys. 7. Porównanie przebiegów zmiennych sanu dla rozwiązania równania jednorodnego dla macierzy ranzycyjnej uzyskanej ze wzoru Sylvesera i szeregu Taylora Fig. 7. Comparison of he sae variables for soluion of he homogeneous equaion for he ransiion marix obained from Sylveser s formula and Taylor series Poniżej pokazano macierze ranzycyjne dla obu meod i dla czasu =, s, dla kórego wszyskie elemeny ych macierzy isonie się różnią: A Taylor (.) =

10 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 35 Asylves (. ) = Próba dalszego zwiększania liczby K nie powiodła się, gdyż w procesie obliczeniowym pojawiają się liczby większe od największej liczby inerpreowanej w środowisku Mahcad, co objawia się komunikaem: Found a number wih a magniude greaer han ^37 while rying o evaluae his expression. Z ego powodu zdecydowanie bardziej zbieżną meodą wyznaczającą rozwiązanie równania sanu na podsawie szeregu Taylora jes meoda dyskrena [], w kórej macierz ranzycyjna w każdym kroku procedury numerycznej jes wyznaczana ylko raz dla czasu Δ = T sanowiącego krok procedury: zak lba := 35 κ :=.. lba zak :=. T k := lba M N M := A T k N :=.. fm ( ) := N! N x κ+ fm ( ) x κ+ := u_dys( κ) ( x T ) := κ+ Na rysunku 8 przedsawiono w celu porównania wybraną zmienną sanu (napięcie na kondensaorze C ) uzyskaną z powyższej dyskrenej procedury przy zasosowaniu rozwinięcia w szereg Taylora z wcześniej orzymanym rozwiązaniem meodą Sylvesera. Jak wynika z porównania przebiegów na rysunku 8, ym razem bardzo dobra zgodność zosała uzyskana już przy liczbie składników rozwinięcia K =. Należy jednak zwrócić uwagę, że procedura a dla uzyskania ej samej zbieżności przy dwukronie większym kroku ΔT wymagała użycia K = składników rozwinięcia w szereg Taylora. u_dys, usyl [V] Rys. 8. Porównanie przebiegów napięcia Uc z rozwiązania równania jednorodnego dla macierzy ranzycyjnej uzyskanej ze wzoru Sylvesera i meody dyskrenej Fig. 8. Comparison of he waveforms Uc from he soluion of he homogeneous equaion for he ransiion marix obained from he Sylveser s formula and discree mehod

11 36 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 Osaecznie rozwiązanie równania niejednorodnego można orzymać, dodając (superponując) do rozwiązania równania jednorodnego rozwiązanie sanu usalonego. Należy jednak pamięać o modyfikacji warunków począkowych polegającej na odjęciu od pierwonych warunków począkowych warości sanu usalonego po komuacji w chwili. Modyfikacja warunków począkowych: ( ) upk us ( ) u us _ 3.97 u us ( _ ) upk us ( ) x mod.9 := x i us ( _ ) ipk us ( ) mod =.58 i4 us ( _ ) i4pk us (.334 ) XS mod ( ) := Asylves ()x mod Ucsyl mod () := XS mod () Ucsyl mod () := XS mod () Isyl mod () := XS mod () 3 I4syl mod () := XS mod () 4 umod( ) := Ucsyl mod ( ) + upk us () 6 u, umod Rys. 9. Przebiegi napięcia na kondensaorze C z rozwiązania numerycznego i meodą superpozycji sanów Fig. 9. Waveforms of volage across capacior C from numerical soluion and superposiion of sae mehod Jak widać z rysunku 9, uzyskano bardzo dobrą zgodność przebiegów (również dla pozosałych zmiennych sanu) orzymanych z meody numerycznej (rys. ) i superpozycji sanów zaimplemenowanych w środowisku Mahcad.

12 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad METODA OPERATOROWA Przedsawiona powyżej meoda zmiennych sanu w środowisku Mahcad nie pokazuje rozwiązania w pełni w posaci analiycznej ze względu na całki sploowe obliczane numerycznie. Dzięki procesorowi symbolicznemu, możliwe jes uzyskanie w Mahcadzie złożonego rozwiązania analiycznego z wykorzysaniem meody operaorowej. Poniżej przedsawiono rozwiązanie ą meodą obwodu z rysunku w środowisku Mahcad, kóre zosanie dodakowo wykorzysane jako osaeczne powierdzenie poprawności orzymanych wyników. Na rysunku przedsawiono zmodyfikowany schema obwodu z rysunku uwzględniający warunki począkowe. I(s) I(s) I(s) 3 R 3 I(s) 4 I(s) 5 E(s) s L L i () s L s L L i 4() Uc () s sc R R Uc () s R 4 sc E(s) Rys.. Operaorowy schema obwodu z rysunku z uwzględnieniem warunków począkowych Fig.. Operaional diagram of circui from figure aking ino accoun he iniial condiions Transformay obu wymuszeń sinusoidalnych mają posać: ω ω e() s := E s + ω e() s := E s + ω Impedancje operaorowe poprzecznych gałęzi są nasępujące: Z ( s ) := R + sl Z ( s ) := s L + Z sc 3 ( s ) := R 4 + sc Meodą zwijania orzymano rozwiązanie operaorowe: u c E L () s := i ( ) L E LC () s := i 4 ( ) L E s Ce ( s) := e() s ( ) u c ( ) s

13 38 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 E T ( s) ( Z ( s ) Z 3 ( s ) ) Z T ( s ) := ( Z ( s ) + Z 3 ( s ) + R ) 3 Z T ( s) := ( E LC ( s) Z 3 ( s ) + E Ce ( s) Z ( s ) ) := E Z ( s) + Z 3 ( s) T ( s) := ( Z ( s) Z T ( s ) ) ( Z ( s) + Z T ( s ) ) ( E L ( s) Z T ( s ) + E T ( s) Z ( s ) ) Z ( s) + Z T ( s) Prądy w poszczególnych gałęziach obwodu są nasępujące: I () s E T ( s) + e() s := I Z T () s + R () s := ( I() s R + e() s ) + E L () s Z () s I 3 () s := I () s I () s I 4 () s := ( E LC () s E L () s I 3 ()R s 3 + I()Z s () s ) Z () s I 5 () s := I 3 () s I 4 () s W celu wyznaczenia rozwiązania w posaci operaorowej użyo insrukcji simplify procesora symbolicznego środowiska Mahcad: I ( s) simplify.43 s s s s +.63 s ( s ) ( s ) ( s ) s s ( ) Rozwiązanie w funkcji czasu (oryginał) orzymano, sosując insrukcje invlaplace (przekszałcenie odwrone) procesora symbolicznego w posaci: iop() := I ( s) invlaplaces, e +.58 e 3.35 e cos( 34 )... + (.98 5 sin( 34 ) ).7 4 cos( ) e sin( ) e 6.7 i4op() := I 4 ( s) invlaplace, s e e cos ( 34 ) sin( 34 ).335 cos ( ) e sin( ) e 6.7 u Cs () s Napięcia na kondensaorach C i C (rys. ) wyrażają się nasępująco: ( ) u c := I C s 4 () s + u s Cs () s := C s I 5 () s + u c ( ) U Cop () := u Cs ( s) invlaplace, s sin ( 34 ).68 e cos ( 34 ) e... ( 6.7. cos ( ) e ) sin ( ) e s

14 P. Jankowski, Implemenacja wybranych meod analizy sanów nieusalonych w środowisku Mahcad 39 U Cop () := u Cs ( s) invlaplace, s 4.79 sin ( 34 ).74 e cos ( 34 ) e cos ( ) e sin ( ) e 6.7 Należy podkreślić, że przy wyznaczaniu oryginałów funkcji, procesor symboliczny programu Mahcad pokazuje wyniki z pełną precyzją (używając pełnego 7-znakowego wiersza). Dla wygodnego zredukowania długości wyświelanych liczb należy odznaczyć opcję Forma/resuls/apply o symbolic resuls. Na rysunku przedsawiono porównanie przebiegów prądu i (rys. ) uzyskanych z rzech meod: numerycznej, zmiennych sanu oraz operaorowej..8.6 i, imod, iop [A] Rys.. Przebiegi prądu i (meoda numeryczna, zmiennych sanu, operaorowa) Fig.. Waveforms of curren i (numerical, sae variables and operaional mehod) Zgodność wszyskich rzech przebiegów osaecznie powierdza poprawność uzyskanych rozwiązań. Zgodność przebiegów orzymanych z rozparywanych meod uzyskano oczywiście dla wszyskich rozparywanych zmiennych sanu. PODSUMOWANIE Podczas analizy złożonych obwodów elekrycznych w sanie nieusalonym bardzo duże znaczenie, akże ze względu na czas obliczeń, może mieć zarówno wybranie odpowiedniej meody, jak i dobór paramerów w niej wysępujących. Z ego punku widzenia wydaje się, że ważny wniosek wynika z faku, że na zbieżność rozwiązania w meodzie dyskrenej zdecydowanie większy wpływ ma zasosowany krok czasowy niż liczba składników rozwinięcia macierzy ranzycyjnej w szereg Taylora. Jes o isone zwłaszcza w przypadku niesacjonarnym, gdy macierz ranzycyjna musi być obliczana w każdym kroku procedury i duża liczba składników szeregu może spowodować radykalne wydłużenie czasu obliczeń. Innym bardzo isonym aspekem jes zwrócenie uwagi na brak możliwości uzyskania zbieżności (w środowisku Mahcad) ego szeregu dla dużego argumenu

15 4 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 85, grudzień 4 (czasu). Jes o o yle ineresujące, ponieważ w lieraurze na ogół swierdza się, że rozwinięcie w szereg Taylora macierzy ranzycyjnej jes zbieżne dla dowolnej warości czasu i dla dowolnej nieosobliwej macierzy A [,, 3, 5, 6, 7]. Wydaje się, że zaobserwowana rozbieżność może być wynikiem ograniczenia prezenacji liczby w środowisku Mahcad do 7 znaków. Przedsawione w niniejszej pracy implemenacje w środowisku Mahcad niekórych meod analizy złożonych układów w sanach przejściowych nie wyczerpują wszyskich możliwości ego środowiska w części meod zarówno numerycznych, jak i analiycznych. Pominięo na przykład rozwiązanie równań sanu meodą Cayleya-Hamilona lub z zasosowaniem wekorów własnych macierzy głównej (funkcja eigenvec w środowisku Mahcad). LITERATURA. Bolkowski S., Teoria obwodów elekrycznych, WNT, Warszawa 5.. Chua Leon Ong, Lin Pak Ming, Kompuerowa Analiza układów elekronicznych, algorymy i meody obliczeniowe, WNT, Warszawa Direkor S., Rohrer A., Podsawy eorii układów elekrycznych, PWN, Warszawa Jankowski P., Wybrane zagadnienia elekroechniki w środowisku Mahcad, Wydawnicwo Akademii Morskiej w Gdyni, Gdynia. 5. Krakowski M., Elekroechnika eoreyczna. Obwody liniowe i nieliniowe, PWN, Warszawa Noble B., Applied Linear Algebra, Englewood Cliffs, Prenice Hall, Inc., New Jersey Osiowski J., Szabain J., Podsawy eorii obwodów,. III, WNT, Warszawa 995. IMPLEMENTATION OF SELECTED METHODS OF TRANSIENT STATE SOLUTIONS IN MATHCAD ENVIRONMENT Summary The paper presens he possibiliies (and limiaions) Mahcad environmen for he analysis of complex sysems in a ransien sae. As an example he linear circui was solved, using he numerical, Laplace and sae variables mehod in his environmen. In order o deermine of he ransiional marix Sylveser accurae mehod using a symbolic processor and he approximae Taylor was applied. All resuls were verified by comparison wih he operaor mehod soluion.

ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM

ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM Budownicwo Mariusz Poński ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM Wprowadzenie Coraz większe ograniczenia czasowe podczas wykonywania projeków

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych Rozdział Wprowadzenie.. Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych jes formą zmiany paramerów wielkości fizycznych charakeryzujących energię elekryczną

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW Udosępnione na prawach rękopisu, 8.04.014r. Publikacja: Knyziak P., "Propozycja nowej meody określania zuzycia echnicznego budynków" (Proposal Of New Mehod For Calculaing he echnical Deerioraion Of Buildings),

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

licencjat Pytania teoretyczne:

licencjat Pytania teoretyczne: Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm analizy sygnału na podstawie niewielkiej liczby próbek

Równoległy algorytm analizy sygnału na podstawie niewielkiej liczby próbek Nauka Zezwala się na korzysanie z arykułu na warunkach licencji Creaive Commons Uznanie auorswa 3.0 Równoległy algorym analizy sygnału na podsawie niewielkiej liczby próbek Pior Kardasz Wydział Elekryczny,

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO Marek Pękała i Jadwiga Szydłowska Procesy rozładowania kondensaora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy

Bardziej szczegółowo

Analityczny opis łączeniowych strat energii w wysokonapięciowych tranzystorach MOSFET pracujących w mostku

Analityczny opis łączeniowych strat energii w wysokonapięciowych tranzystorach MOSFET pracujących w mostku Pior GRZEJSZCZK, Roman BRLIK Wydział Elekryczny, Poliechnika Warszawska doi:1.15199/48.215.9.12 naliyczny opis łączeniowych sra energii w wysokonapięciowych ranzysorach MOSFET pracujących w mosku Sreszczenie.

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA BIPOLARNEGO DYNAMICZNEGO MODELU DIAGNOSTYCZNEGO MONITOROWANIA WYPOSAśENIA ELEKTRYCZNEGO SAMOCHODU

ANALIZA BIPOLARNEGO DYNAMICZNEGO MODELU DIAGNOSTYCZNEGO MONITOROWANIA WYPOSAśENIA ELEKTRYCZNEGO SAMOCHODU LOGITRANS - VII KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA LOGISTYKA, SYSTEMY TRANSPORTOWE, BEZPIECZEŃSTWO W TRANSPORCIE Radosław GAD 1 Moniorowanie diagnosyczne, model dynamiczny, diagnosyka pojazdowa ANALIZA BIPOLARNEGO

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH

ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH Pior KISIELEWSKI, Łukasz SOBOTA ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH W arykule przedsawiono zasosowanie eorii masowej obsługi do analizy i modelowania wybranych sysemów

Bardziej szczegółowo

POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K

POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 37, s. 97-104, Gliwice 2009 POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K MARIUSZ GIERGIEL, PIOTR MAŁKA Kaedra Roboyki i Mecharoniki, Akademia Górniczo-Hunicza

Bardziej szczegółowo

Metody rachunku kosztów Metoda rachunku kosztu działań Podstawowe pojęcia metody ABC Kalkulacja obiektów kosztowych metodą ABC Zasobowy rachunek

Metody rachunku kosztów Metoda rachunku kosztu działań Podstawowe pojęcia metody ABC Kalkulacja obiektów kosztowych metodą ABC Zasobowy rachunek Meody rachunku koszów Meoda rachunku koszu Podsawowe pojęcia meody ABC Kalkulacja obieków koszowych meodą ABC Zasobowy rachunek koszów Kalkulacja koszów meodą ABC podsawową informacja dla rachunkowości

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza przepływów turbulentnych i indeksu Dow Jones

Komputerowa analiza przepływów turbulentnych i indeksu Dow Jones Kompuerowa analiza przepływów urbulennych i indeksu Dow Jones Rafał Ogrodowczyk Pańswowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie Wiesław A. Kamiński Uniwersye Marii Curie-Skłodowskie w Lublinie W badaniach porównano

Bardziej szczegółowo

Ocena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1

Ocena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1 Bogdan Ludwiczak Wprowadzenie Ocena płynności wybranymi meodami szacowania osadu W ubiegłym roku zaszły znaczące zmiany doyczące pomiaru i zarządzania ryzykiem bankowym. Są one konsekwencją nowowprowadzonych

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 211 220 Pierwsza wersja złożona 25 października 2011 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 3 grudnia 2012 2080-0339

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE

SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Engineering 2013 Piotr FRĄCZAK* SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.

EKONOMETRIA wykład 2. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar. EKONOMERIA wykład Prof. dr hab. Eugeniusz Ganar eganar@mail.wz.uw.edu.pl Przedziały ufności Dla paramerów srukuralnych modelu: P bˆ j S( bˆ z prawdopodobieńswem parameru b bˆ S( bˆ, ( m j j j, ( m j b

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH

DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH Franciszek SPYRA ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian URBAŃCZYK Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 15 Barbara Baóg Iwona Foryś PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH Wsęp Koszy dosarczenia wody

Bardziej szczegółowo

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO PROBLEY NIEONWENCJONALNYCH ŁADÓW ŁOŻYSOWYCH Łódź, 4 maja 999 r. Jadwiga Janowska, Waldemar Oleksiuk Insyu ikromechaniki i Fooniki, Poliechnika Warszawska ETROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTE BADAWCZEGO SŁOWA LCZOWE:

Bardziej szczegółowo

Silniki cieplne i rekurencje

Silniki cieplne i rekurencje 6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie technologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK

Zastosowanie technologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK Jan M. KELNER, Cezary ZIÓŁKOWSKI Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Elekroniki, Insyu Telekomunikacji doi:1.15199/48.15.3.14 Zasosowanie echnologii SDF do lokalizowania źródeł emisji BPSK i QPSK Sreszczenie.

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński Ćwiczenia 2 mgr Dawid Doliński Modele szeregów czasowych sały poziom rend sezonowość Y Y Y Czas Czas Czas Modele naiwny Modele średniej arymeycznej Model Browna Modele ARMA Model Hola Modele analiyczne

Bardziej szczegółowo

POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH

POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH Program ćwiczeń: Pomiary częsoliwości i przesunięcia fazowego sygnałów okresowych POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes poznanie: podsawowych

Bardziej szczegółowo

Estymacja stopy NAIRU dla Polski *

Estymacja stopy NAIRU dla Polski * Michał Owerczuk * Pior Śpiewanowski Esymacja sopy NAIRU dla Polski * * Sudenci, Szkoła Główna Handlowa, Sudenckie Koło Naukowe Ekonomii Teoreycznej przy kaedrze Ekonomii I. Auorzy będą bardzo wdzięczni

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie.

Krzywe na płaszczyźnie. Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,

Bardziej szczegółowo

Regulatory. Zadania regulatorów. Regulator

Regulatory. Zadania regulatorów. Regulator Regulaory Regulaor Urządzenie, kórego podsawowym zadaniem jes na podsawie sygnału uchybu (odchyłki regulacji) ukszałowanie sygnału serującego umożliwiającego uzyskanie pożądanego przebiegu wielkości regulowanej

Bardziej szczegółowo

dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG

dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Insyu Technik Innowacyjnych EMAG Wykorzysanie opycznej meody pomiaru sężenia pyłu do wspomagania oceny paramerów wpływających na możliwość zaisnienia wybuchu osiadłego pyłu węglowego

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 87 Transpor 01 Jarosław Poznański Danua Żebrak Poliechnika Warszawska, Wydział Transporu ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Spis treści ZASTOSOWANIE PAKIETU MATLAB W OBLICZENIACH ZAGADNIEŃ ELEKTRYCZNYCH I41

Spis treści ZASTOSOWANIE PAKIETU MATLAB W OBLICZENIACH ZAGADNIEŃ ELEKTRYCZNYCH I41 Ćwiczenie I4 Poliechnika Białosocka Wydział Elekryczny Kaedra Elekroechniki Teoreycznej i Merologii Spis reści Insrukcja do pracowni specjalisycznej INFORMTYK Kod zajęć ESC 9 Tyuł ćwiczenia ZSTOSOWNIE

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ Ćwiczenie 8 ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ. Cel ćwiczenia Analiza złożonego przebiegu drgań maszyny i wyznaczenie częsoliwości składowych harmonicznych ego przebiegu.. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

TEORIA PRZEKSZTAŁTNIKÓW. Kurs elementarny Zakres przedmiotu: ( 7 dwugodzinnych wykładów :) W4. Złożone i specjalne układy przekształtników sieciowych

TEORIA PRZEKSZTAŁTNIKÓW. Kurs elementarny Zakres przedmiotu: ( 7 dwugodzinnych wykładów :) W4. Złożone i specjalne układy przekształtników sieciowych EORA PRZEKSZAŁNKÓW W1. Wiadomości wsępne W. Przekszałniki sieciowe 1 W3. Przekszałniki sieciowe Kurs elemenarny Zakres przedmiou: ( 7 dwugodzinnych wykładów :) W4. Złożone i specjalne układy przekszałników

Bardziej szczegółowo

Ćw. S-II.2 CHARAKTERYSTYKI SKOKOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI

Ćw. S-II.2 CHARAKTERYSTYKI SKOKOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI Dr inż. Michał Chłędowski PODSAWY AUOMAYKI I ROBOYKI LABORAORIUM Ćw. S-II. CHARAKERYSYKI SKOKOWE ELEMENÓW AUOMAYKI Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z pojęciem charakerysyki skokowej h(),

Bardziej szczegółowo

ZJAWISKA SZOKOWE W ROZWOJU GOSPODARCZYM WYBRANYCH KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ

ZJAWISKA SZOKOWE W ROZWOJU GOSPODARCZYM WYBRANYCH KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ Anna Janiga-Ćmiel Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Zarządzania Kaedra Maemayki anna.janiga-cmiel@ue.kaowice.pl ZJAWISKA SZOKOWE W ROZWOJU GOSPODARCZYM WYBRANYCH KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ Sreszczenie:

Bardziej szczegółowo

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: = ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Analiza rynku projekt

Analiza rynku projekt Analiza rynku projek A. Układ projeku 1. Srona yułowa Tema Auor 2. Spis reści 3. Treść projeku 1 B. Treść projeku 1. Wsęp Po co? Na co? Dlaczego? Dlaczego robię badania? Jakimi meodami? Dla Kogo o jes

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW

Bardziej szczegółowo

zestaw laboratoryjny (generator przebiegu prostokątnego + zasilacz + częstościomierz), oscyloskop 2-kanałowy z pamięcią, komputer z drukarką,

zestaw laboratoryjny (generator przebiegu prostokątnego + zasilacz + częstościomierz), oscyloskop 2-kanałowy z pamięcią, komputer z drukarką, - Ćwiczenie 4. el ćwiczenia Zapoznanie się z budową i działaniem przerzunika asabilnego (muliwibraora) wykonanego w echnice dyskrenej oraz TTL a akże zapoznanie się z działaniem przerzunika T (zwanego

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW

MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE WŁASNOŚCI SZEREGÓW STÓP ZWROTU SKOŚNOŚĆ ROZKŁADÓW Wprowadzenie Współczesne zarządzanie ryzykiem

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z ELEKTRONIKI

LABORATORIUM Z ELEKTRONIKI LABORAORIM Z ELEKRONIKI PROSOWNIKI Józef Boksa WA 01 1. PROSOWANIKI...3 1.1. CEL ĆWICZENIA...3 1.. WPROWADZENIE...3 1..1. Prosowanie...3 1.3. PROSOWNIKI NAPIĘCIA...3 1.4. SCHEMAY BLOKOWE KŁADÓW POMIAROWYCH...5

Bardziej szczegółowo

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych** Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: mgr inż. ŻANETA PRUSKA DODATEK SOLVER 2 Sprawdzić czy w zakładce Dane znajduję się Solver 1. Kliknij przycisk Microsof Office, a nasępnie kliknij przycisk Opcje

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI

LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI ZESPÓŁ LABORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PROSTOWNIKI DO UŻYTKU

Bardziej szczegółowo

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin., Oeconomica 2015, 323(81)4,

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin., Oeconomica 2015, 323(81)4, FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Sein., Oeconomica 205, 323(8)4, 25 32 Joanna PERZYŃSKA WYBRANE MIERNIKI TRAFNOŚCI PROGNOZ EX POST W WYZNACZANIU PROGNOZ

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Transformata Laplace a

Wykład 4: Transformata Laplace a Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym

Bardziej szczegółowo

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej Mariusz Markowski, Marian Trafczyński Poliechnika Warszawska Zakład Aparaury Przemysłowe ul. Jachowicza 2/4, 09-402 Płock Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w rakcie eksploaaci insalaci

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WDZIAŁ INŻNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTRUKCJA LABORATORJNA Tema ćwiczenia: WZNACZANIE WSPÓŁCZNNIKA PRZEWODZENIA CIEPŁA CIAŁ STAŁCH METODĄ STANU UPORZĄDKOWANEGO

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie E-5 UKŁADY PROSTUJĄCE

Ćwiczenie E-5 UKŁADY PROSTUJĄCE KŁADY PROSJĄCE I. Cel ćwiczenia: pomiar podsawowych paramerów prosownika jedno- i dwupołówkowego oraz najprosszych filrów. II. Przyrządy: płyka monaŝowa, wolomierz magneoelekryczny, wolomierz elekrodynamiczny

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

LINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA

LINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA LINIA DŁUGA Z Z, τ e u u Z L l Konspek do ćwiczeń laboraoryjnych z przedmiou TECHNIKA CYFOWA SPIS TEŚCI. Definicja linii dłuiej... 3. Schema zasępczy linii dłuiej przedsawiony za pomocą elemenów o sałych

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II

Bardziej szczegółowo

Pracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 2. Analiza obwodów liniowych przy wymuszeniach stałych

Pracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 2. Analiza obwodów liniowych przy wymuszeniach stałych Pracownia Automatyki i lektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie ĆWCZN Analiza obwodów liniowych przy wymuszeniach stałych. CL ĆWCZNA Celem ćwiczenia jest praktyczno-analityczna ocena złożonych

Bardziej szczegółowo

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION

PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre

Bardziej szczegółowo

AMD. Wykład Elektrotechnika z elektroniką

AMD. Wykład Elektrotechnika z elektroniką Andrzej M. Dąbrowski AGH Universiy of Science and Technology Kaedra Elekroechniki i Elekroenergeyki e-mail: amd@agh.edu.pl Wykład Elekroechnika z elekroniką Wykład. Informacje wsępne i organizacyjne, zaliczenie

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk PROJEKT nr 1 Projek spawanego węzła kraownicy Sporządził: Andrzej Wölk Projek pojedynczego węzła spawnego kraownicy Siły: 1 = 10 3 = -10 Kąy: α = 5 o β = 75 o γ = 75 o Schema węzła kraownicy Dane: Grubość

Bardziej szczegółowo

Metody oceny stanu technicznego budynków w aspekcie ich praktycznego zastosowania

Metody oceny stanu technicznego budynków w aspekcie ich praktycznego zastosowania Meody oceny sanu echnicznego budynków w aspekcie ich prakycznego zasosowania Dr inż. Wojciech Drozd Poliechnika Krakowska 1. Wprowadzenie Budynki mieszkalne są podsawowym składnikiem mająku każdego człowieka.

Bardziej szczegółowo

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY

PREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2004 Aleksandra MAUSZEWSKA Doroa WIKOWSKA PREDKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WKORZSANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WBRANE MODELE EKONOMERCZNE I PERCEPRON WIELOWARSWOW

Bardziej szczegółowo

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro Rozdział i. Srukura sekorowa finansowania wydaków na B+R w krajach srefy euro Rober W. Włodarczyk 1 Sreszczenie W arykule podjęo próbę oceny srukury sekorowej (sekor przedsiębiorsw, sekor rządowy, sekor

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE

O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl

Bardziej szczegółowo

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

OeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu OeconomiA copernicana 2011 Nr 4 Małgorzaa Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu TESTOWANIE PRZYCZYNOWOŚCI W WARIANCJI MIĘDZY WYBRANYMI INDEKSAMI RYNKÓW AKCJI NA ŚWIECIE

Bardziej szczegółowo

Statyczny test Osterberga zastosowany dla pali o dużej nośności

Statyczny test Osterberga zastosowany dla pali o dużej nośności ayczny es Oserberga zasosowany dla pali o dużej nośności Prof. dr hab. inż. Zygmun Meyer Zachodniopomorski Uniwersye echnologiczny w zczecinie, Kaedra Geoechniki r inż. Mariusz Kowalów Geoechnical onsuling

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR

Krzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Wsęp Konieczność

Bardziej szczegółowo