POMIAR RYZYKA RYNKOWEGO OPCJI NA PRZYKŁADZIE OPCJI NA WIG20

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 450 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR KATARZYNA KUZIAK Akademia Ekonomiczna Wrocław POMIAR RYZYKA RYNKOWEGO OPCJI NA PRZYKŁADZIE OPCJI NA WIG20 Wprowadzenie Celem arykułu jes analiza kszałowania się ryzyka rynkowego opcji na WIG20. Ogólnie ryzyko rynkowe jes spowodowane zmianami cen na rynku (np. sóp procenowych, kursów walu, cen akcji). Ryzyko rynkowe zwiększa się wówczas, gdy jes wykorzysywana dźwignia (zwiększa się zmienność cen). Z wieloma insrumenami pochodnymi (na przykład z opcjami) jes związane wyŝsze ryzyko rynkowe z uwagi na efek dźwigni, niŝ z insrumenami niewykorzysującymi dźwigni, jak na przykład akcjami czy obligacjami. W przypadku opcji egzoycznych, pozagiełdowych, częso konieczne jes usalanie warości pozycji na podsawie modelu (zw. mark-o-model) z powodu braku cen rynkowych. Z wykorzysaniem modeli w przypadku insrumenów pochodnych (w szczególności opcji) wiąŝe się akŝe sosowanie zaawansowanych echnik esymacji. Zagadnienia e są związane z ryzykiem rynkowym opcji i powierdzają waŝność rozwaŝanego emau. Opcje są rozparywane dlaego, Ŝe zmienność cen na rynku akcji jes ilusrowana zmianami indeksu giełdowego, naomias anycypacja ych zmian nasępuje na podsawie oczekiwań inwesorów na rynku konraków fuures i opcji na indeks giełdowy. Analiza ryzyka opcji indeksowych pozwoli zaem rozszerzyć ocenę syuacji na rynku akcji.

2 336 Kaarzyna Kuziak 1. Pomiar ryzyka rynkowego opcji WyróŜnia się dwie podsawowe grupy miar ryzyka rynkowego: a) opare na rozkładzie, czyli: miary rozproszenia, kwanyle; b) wraŝliwości. W przypadku opcji do pomiaru ryzyka rynkowego częso wykorzysuje się miary wraŝliwości, czyli współczynniki greckie, wywodzące się z modelu wyceny opcji (pierwsza grupa miar nie będzie analizowana w ym przypadku). Ogólnie warość kaŝdej opcji zaleŝy od pięciu czynników, kórymi są: cena wykonania, cena insrumenu podsawowego, zmienność cen insrumenu podsawowego, sopa wolna od ryzyka oraz długość okresu do erminu wygaśnięcia (w ym przypadku w pomiarze ryzyka rynkowego nie będzie analizowany czynnik czasu). Miara wraŝliwości jes o pierwsza pochodna warości opcji względem kaŝdego z czynników. PoniewaŜ model wyceny opcji jes nieliniowy, dla lepszego przybliŝenia wraŝliwości moŝna rozparywać równieŝ drugie pochodne względem kaŝdego czynnika. Współczynniki greckie opare na czynnikach rynkowych odpowiadają na nasępujące pyania: 1. O ile zmieni się warość opcji w wyniku: zmiany warości indeksu podsawowego współczynnik dela; zmiany zmienności indeksu podsawowego współczynnik vega; zmiany wolnej od ryzyka sopy procenowej współczynnik rho? 2. O ile zmieni się warość współczynnika dela w wyniku zmiany warości indeksu podsawowego współczynnik gamma?

3 Pomiar ryzyka rynkowego opcji na przykładzie opcji na WIG Analiycznie współczynniki greckie dla opcji indeksowej moŝna wyznaczyć z modelu wyceny opcji BSM 1, w kórym: warość opcji kupna: gdzie: warość opcji sprzedaŝy: rt c = Se N( d) Xe N( d σ T ), rt p = Xe N( d + σ T ) Se N( d), 2 S σ ln + r q + T X 2 d =, σ T S warość zamknięcia indeksu, X cena wykonania opcji, r wolna od ryzyka sopa procenowa, q roczna sopa dywidendy dla indeksu, σ zmienność indeksu, T czas do wygaśnięcia. Współczynniki greckie wyznacza się z nasępujących wzorów: a) dela call = e N( d), dela pu = e N( d) ; b) S T e N ' ( d) ' 1 vega =, gdzie N ( d) = e 2 ; 100 2π d 2 c) rt X T e N( d) rho call =, 100 rho rt X T e N( d) pu = ; Zob. [1].

4 338 Kaarzyna Kuziak d) e N ' ( d) gamma =. S σ T Współczynniki greckie moŝna równieŝ wyznaczać z definicji pochodnej jako iloraz róŝnicowy. Do pomiaru ryzyka rynkowego wykorzysano oprócz współczynników greckich elasyczność, czyli miarę procenowej zmiany w cenie opcji wskuek jednoprocenowej zmiany w czynniku ryzyka. Elasyczność względem ceny indeksu podsawowego wyraŝa się nasępującym wzorem (jes o zw. współczynnik lambda): c( S ) S lambda. S c( S ) RozwaŜono nasępujące procesy dla sóp zwrou r indeksu w dwóch wybranych modelach wyceny opcji indeksowej (sosując kryerium Akaike a w przypadku modeli klasy GARCH do analizy wybrano jeden 2 ). a) w modelu Blacka-Scholesa-Merona (BSM): gdzie: µ oczekiwana sopa zwrou, r = µ + σ ε, ε ~ N(0,1), σ zmienność (odchylenie sandardowe sopy zwrou); b) proces AR(1)-GJR-GARCH(1, 1) 3 : r = µ + ϕr + ε, 1 2 Por. równieŝ [7]. 3 W dalszej części arykułu będzie sosowany skró GJR-GARCH. Zob. [5].

5 Pomiar ryzyka rynkowego opcji na przykładzie opcji na WIG h ω ε β, 2 = + ( α + α Ι( ) ) ε < h 1 ω 1 V =, 2 1 α β 1 ϕ gdzie: µ, ϕ, α, α -, β, ω paramery procesu sóp zwrou, h warunkowa wariancja, V bezwarunkowa wariancja procesu (długoerminowa wariancja procesu). Proces en umoŝliwia uwzględnienie grubych ogonów rozkładów, skupiania zmienności, auokorelacji sóp zwrou i efeku dźwigni (asymerycznej reakcji inwesorów na dobre i złe wiadomości). W modelu wyceny opcji BSM znana jes posać analiyczna modelu, naomias w przypadku drugiego modelu warość opcji jes usalana za pomocą symulacji Mone Carlo, w ym przypadku w meodzie zaproponowanej w pracy [4] nie ma posaci analiycznej modelu. 3. Analiza pomiaru ryzyka rynkowego Analiza pomiaru ryzyka rynkowego opcji za pomocą współczynników wraŝliwości zosanie przedsawiona dla opcji wysawionych na indeks WIG20 na dwóch przykładach. Przykład 1. Przedsawia on poziom współczynnika vega dla rzeczywisych opcji na WIG20 noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie. Obliczenia współczynników vega przeprowadzono na losowo wybrany dzień, czyli 22 sierpnia 2005 roku, dla 12 opcji o symbolu I, U oraz

6 340 Kaarzyna Kuziak 12 o symbolu L, X 4. Przyjęo poziom indeksu WIG20 równy 2211 pk, zmienność obliczano na podsawie 250 dni, sopę wolną od ryzyka = 4,56% (dla opcji I, U o erminie wygaśnięcia 25 dni) i 4,49% (dla opcji L, X o erminie wygaśnięcia za 116 dni). Obliczono współczynniki dela, gamma, vega i elasyczność (współczynnik lambda). Wyniki zesawiono w abeli 1. Wynika z nich, Ŝe: a) największym ryzykiem wskuek zmiany indeksu obarczone są opcje call OTM, a empo ych zmian jes największe w przypadku opcji ATM (call i pu); b) największym ryzykiem wskuek zmian zmienności obarczone są opcje ATM (call i pu); c) największym ryzykiem wskuek zmian sopy procenowej obarczone są opcje call OTM; d) największa elasyczność cenowa jes w przypadku opcji pu ITM. Tabela 1 Współczynniki wraŝliwości dla opcji na WIG20 Dela Gamma Vega Lambda OW20I5200 0,9948 0,0002 8, ,1272 OTM OW20I5210 0,9134 0, , ,6934 OTM OW20I5220 0,5861 0, , ,6588 ATM OW20I5230 0,1904 0, , ,5378 ITM OW20I5240 0,0272 0, , ,2997 ITM OW20U5170 0,0000 0,0000 0, ,5199 ITM OW20U5180 0,0000 0,0000 0, ,5547 ITM OW20U5190 0,0001 0,0000 0, ,167 ITM OW20U5200 0,0052 0,0002 8, ,6308 ITM OW20U5210 0,0866 0, , ,5978 ITM 4 Symbole I, U oznaczają opcje wygasające we wrześniu, I call, U pu, naomias L, X opcje wygasające w grudniu, L call, X pu.

7 Pomiar ryzyka rynkowego opcji na przykładzie opcji na WIG OW20U5220 0,4139 0, , ,1929 ATM OW20U5230 0,8096 0, , ,6051 OTM OW20L5190 0,9737 0, ,1183 6,3366 OTM OW20L5200 0,9117 0, ,5047 8,1506 OTM OW20L5210 0,7864 0, , ,5324 OTM OW20L5220 0,6036 0, , ,4452 ATM OW20L5230 0,4032 0, , ,7879 ITM OW20L5240 0,2323 0, , ,4389 ITM OW20X5180 0,0053 0, , ,0062 ITM OW20X5190 0,0263 0, , ,1180 ITM OW20X5200 0,0883 0, , ,8568 ITM OW20X5210 0,2136 0, , ,2426 ITM OW20X5220 0,3964 0, , ,2961 ATM OW20X5230 0,5968 0, , ,0255 OTM Źródło: obliczenia własne. Przykład 2. Analizie poddano współczynniki dela. Poza współczynnikami dela orzymanymi z modelu BSM i GJR-GARCH, do wyznaczenia del w modelu BSM wykorzysano długoerminową zmienność procesu GJR- -GARCH (wyniki oznaczone BSM*). Dla porównania współczynników dela wyznaczonych dla warości orzymanych z modelu wyceny jako pochodna obliczono współczynniki dela na podsawie cen rynkowych. Jes o ak zwany współczynnik dela empiryczny, usalony jako zmiana w cenie opcji w sosunku do zmiany ceny insrumenu podsawowego (iloraz róŝnicowy). Wyniki symulacji ych współczynników przedsawiono w abeli 2. Na ich podsawie swierdzono: ogólnie większe warości opcji call niŝ pu, największe warości opcji call OTM i ATM (model GJR), najmniejsze róŝnice dla opcji ATM, malejące róŝnice dla opcji ITM, największe róŝnice dla opcji OTM,

8 342 Kaarzyna Kuziak brak prawidłowości dla współczynników dela orzymywanych empirycznie, współczynnik dela empiryczny znacznie się róŝni od poziomu współczynników obliczonych na podsawie modeli. Wyniki symulacji współczynnika dela Tabela 2 Opcja Dela emp Dela(GJR) Dela(BSM) Dela(BSM*) OW20I5200 0, ,9599 0,8535 0,8704 OTM OW20I5210 0,8005 0,7216 0,7346 OTM OW20I5220 0, ,6683 0,5577 0,5591 ATM OW20I5230 0, ,3658 0,3906 0,3790 ITM OW20I5240 0, ,0837 0,2474 0,2280 ITM OW20U5170 0, ,0031 0,0047 0,0026 ITM OW20U5180 0, ,0021 0,0200 0,0135 ITM OW20U5190 0,0268 0,0618 0,0490 ITM OW20U5200 0, ,0401 0,1465 0,1296 ITM OW20U5210 0, ,1995 0,2784 0,2654 ITM OW20U5220 0,3317 0,4423 0,4409 ATM OW20U5230 0,6342 0,6094 0,6210 OTM OW20L5190 0,9407 0,8092 0,8232 OTM OW20L5200 0,5704 0,7416 0,7526 OTM OW20L5210 0, ,1786 0,6675 0,6737 OTM OW20L5220 0, ,7665 0,5900 0,5903 ATM OW20L5230 0,3217 0,0000 0,000 ITM OW20L5240 0, ,4369 0,4377 0,4259 ITM OW20X5180 0, ,2686 0,1327 0,1179 ITM OW20X5190 0, ,0593 0,1908 0,1768 ITM OW20X5200 0, ,4296 0,2584 0,2474 ITM OW20X5210 0,8214 0,3325 0,3263 ITM OW20X5220 0,2335 0,4100 0,4097 ATM OW20X5230 0, ,6783 1,0000 1,0000 OTM Źródło: obliczenia własne.

9 Pomiar ryzyka rynkowego opcji na przykładzie opcji na WIG Podsumowanie Pomiar ryzyka rynkowego za pomocą współczynników wraŝliwości, czyli współczynników greckich, moŝe być pomocny nie ylko w zarządzaniu ryzykiem pozycji w opcjach, kszałowaniu oczekiwań co do endencji rynku akcji (opcje indeksowe), ale równieŝ w analizie modeli wyceny. Przeprowadzone badania powierdzają właściwości współczynników greckich (j. są zgodne z wynikającymi z eorii), naomias dla współczynników dela orzymywanych empirycznie nie widać Ŝadnych prawidłowości. Brak ych prawidłowości i zgodności z kszałowaniem się współczynników dela obliczanych na podsawie róŝnych modeli moŝe być wynikiem odmiennego podejścia uczesników rynku do szacowania poziomu ryzyka i niską jakością modeli wyceny (jes mała płynność na rynku opcji). Lieraura 1. Black F., Scholes M.: The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. Journal of Poliical Economy 1973, No Bollerslev T.: Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy. Journal of Economerics 1986, No Crouhy M., Galai D., Mark R.: Risk Managemen. McGraw-Hill, New York Duan J.: The GARCH Opion Pricing Model. Mahemaical Finance 1995, nr Glosen L.R., Jagannahan R., Runkle D.E.: On he Relaion Beween he Expeced Value and he Volailiy of he Nominal Excess Reurn on Socks. Journal of Finance 1973, No Meron R.: Theory of Raional Opion Pricing. Bell Journal Economics and Managemen Science 1973, No Pionek, K.: Wycena opcji w modelu uwzględniającym efek AR-GARCH. Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 990. Wrocław 2003.

10 344 Kaarzyna Kuziak OPTION MARKET RISK MEASUREMENT FOR OPTIONS ON THE WIG INDEX EXAMPLE Summary The paper presens analysis of marke risk measuremen for index opions lised on Warsaw Sock Exchange opions on he WIG20 index. Measures of sensiiviies are aken advanage in case of opion for measuremen of marke risk. There are so called greek raios, which are defined as firs derivaive value of opion wih respec o risk facor. Empirical evidence of greeks (dela, vega, gamma) has been presened. Dela coefficiens have been calculaed based on marke prices also. So called empirical coefficiens did no show any regulariies and were no characerized by he same properies as coefficiens which were calculaed from he models. Translaed by Kaarzyna Kuziak