Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona

Transkrypt

1 Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu wynika abela całek funkcji elemenarnych: Całki funkcji elemenarnych: n d = n+ +C dla n, w szczególności: n + d =, d =, d =, d = e d = e, a d = a ln a, d = ln sin d = cos, cos d = sin, d = arcsin, d = arc an + d = g, cos d sin = cg Podobnie jak przy pochodnych mamy eż wzory: (f() + g())d = f()d + g()d, af()d = a f()d Wszyskie inne całki będziemy sarali się sprowadzić do całek z funkcji elemenarnych. Dwa główne narzędzia, kóre do ego służą o całkowanie przez części oraz całkowanie przez podsawienie. Całkowanie przez części Wzór na całkowanie przez części: u v = uv uv Jego sosowanie ma sens wedy gdy całka po prawej sronie równości będzie ławiejsza do policzenia niż a po lewej. cos d = u = cos u = sin v = v = = sin sin = = sin + cos Gdybyśmy przyjęli odwronie, zn. u =, v = cos, o nową całką byłaby sin, czyli byłaby rudniejsza niż wyjściowa. Całkowanie przez podsawianie Całkowanie przez podsawienie odbywa się według schemau: f (g())g = g() ()d = d = g ()d = = f ()d = f() = f(g()) Prakyczna wskazówka jes aka, żeby w funkcji podcałkowej szukać pary: funkcja i jej pochodna sojąca przy d. O ile w przypadku liczenia pochodnych na wszysko jes algorym, o yle przy całkowaniu porzebna jes odrobina inwencji: po pierwsze rzeba wybrać meodę całkowania, a po drugie przy podsawieniu rzeba znaleźć odpowiednie podsawienie. Nie ma innej meody na nauczenie się ego niż samodzielne policzenie n całek dla dosaecznie dużych n (proponowałbym n 00). e d = d ln d + 4 = = d = d d = d = ln = d = d = d = d = d = d = d = e d = e = e = ln = ln ln d + = arc an = arc an

2 Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Oblicz całki sosując meodę całkowania przez części: a) cos d b) e d c) ln d arc an d d) ln d e) f) + arc an d g) ln d h) e cos d Oblicz całki sosując meodę całkowania przed podsawienie: a) cos d b) ( 5) 0 arc an d d c) + d) ln d d e) ln f) d 6 + g) h) e sin e cos e d d e +e Oblicz całki: a) 3 e d b) e sin e d c) + sin d d) arcsin d e) arccos sin d d f) cos 4 + ln d g) h) 3 cos d Całkowanie funkcji wymiernych Funkcje wymierne o funkcje posaci wielomian przez wielomian. Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernych są zw. ułamki prose czyli funkcje wymierne posaci: A (a+b) n oraz A+B (a +b+) n przy czym w mianowniku < 0 Całkowanie ułamków prosych Każdy yp ułamka prosego umiemy scałkować, co ławo widać na przykładach: 4 d = d = ln 4 4 d = ( ) 4 ( ) 4 d = ( ) d =... W pamięci liczymy, że pochodną mianownika jes + 4, a nasępnie chcemy wyodrębnić ę +4+8 pochodną w liczniku:... = 3(+4) d = d d W pierwszej całce możemy skorzysać z faku, że f d = ln f, f co oznacza, że a całka jes równa ln( +4+8). Naomias drugą całkę policzymy korzysając ze wzoru d = +a a arc an a : +4+8 d = d = + arc an Osaecznie więc nasza całka o: (+) + 3 ln( ) 7 + arc an 6+5 W akim wypadku przekszałcamy nawias z mianownika do posaci + : ( +4+8) = ( + ) + 4 = 4 (( + ) + ) więc nasza całka jes równa: d i eraz podsawiamy + =, skąd d = d oraz =, więc mamy: (( + ) +) d = 6 ( +) 3 3 d 7 ( +) 3 3 sprawdzić, że: d = ( +) 3 du = u 3 = = u ( +) ( +) 3 d W pierwszej całce wysarczy eraz podsawić + = u i d = du, by (( + )+) Naomias w drugiej całce możemy użyć wzoru rekurencyjnego - jeśli oznaczymy I n = I n = n 3 + (n )( + ) n n I n ( +) n d, o: Widać więc, że nasze szukane I 3 możemy sprowadzić do liczenia I, a o z kolei możemy sprowadzić do liczenia I, kóre oczywiście jes równe arc an. Policzenie szukanej całki jes więc wykonalne, ale bardzo żmudne. Skoro umiemy całkować każdy ułamek prosy, o gdyby dowolną funkcję wymierną dało się przedsawić jako sumę ułamków prosych, o udałoby się eż ją scałkować. Okazuje się, że akie przedsawienie jes możliwe, o czym mówi nam wierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki prose. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki prose Aby rozłożyć funkcję wymierną na ułamki prose najpierw musimy zadbać o o by sopień wielomianu w liczniku był niższy niż sopień wielomianu w mianowniku. Jeśli ak nie jes, o zaczynamy od podzielenia (pisemnie) wielomianu z licznika przez wielomian z mianownika: = ( +)( +3) 7+ = ( +3) 7 Gdybyśmy całkowali wyjściową funkcję, o powyższe przekszałcenie sprowadza nam problem do scałkowania wielomianu + 3 (co umiemy) oraz scałkowania nowej funkcji wymiernej, w

3 Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr 3 kórej już jes ak jak chcemy, czyli sopień wielomianu z licznika jes mniejszy niż sopień wielomianu z mianownika. Jeśli już ak jes, o możemy rozłożyć aką funkcję wymierną posępując według schemau: ˆ Rozkładamy wielomian z mianownika na czynniki. Jak wiadomo każdy wielomian daje się rozłożyć na iloczyn wielomianów sopnia co najwyżej drugiego. ˆ Zależnie od posaci czynników przewidujemy jakiego ypu ułamki prose znajdą się w rozkładzie: Przykładowo: ( 3)(+) = A 3 + B + Rodzaj czynnika Posać ułamka prosego A ( ) 3 A B + + ( + ) 3 A+B ( ) A+B ++ 3 ( +) = A + B + E+F 3 + ˆ Znajdujemy warości sałych A, B, C,... z ułamków prosych: Sprowadzamy ułamki prose do wspólnego mianownika. C ( ) 3 +D ( +) + E+F ( +) 3 Porównujemy licznik ego co wyszło z licznikiem wyjściowej funkcji wymiernej. Wsawiamy w miejsce yle różnych warości ile mamy sałych A, B, C,... do znalezienia (przy czym warości e wybieramy ak, by liczyło się najwygodniej) Rozwiązujemy orzymany układ równań liniowych Rozkładamy funkcję na ułamki prose: = ( )( ) = A + B = A( )+B( ) Porównujemy liczniki: = A( ) + B( ) i wsawiając kolejno = ( )( ) i = orzymujemy = A (czyli A = ) oraz B =. Tak więc nasza całka o: 3+ = + ( ) = ln + ln == ln Oblicz całki z funkcji wymiernych: a) + d b) 3 + d d) d e) d c) f) d d ( +4+5) Całkowanie funkcji niewymiernych Przez funkcje niewymierne będziemy rozumieć uaj ylko funkcje, w kórych wysępuje pierwiasek bądź z rójmianu kwadraowego, bądź eż z funkcji homograficznej. Oczywiście w isocie klasa funkcji niewymiernych jes o wiele szersza (w szczególności można by do ego działu dorzucić całkowanie wyrażeń dwumiennych oraz całki elipyczne), ale dla naszych porzeb wysarczą ylko wymienione ypy. Całki z funkcji z a + b + c Kluczowe są uaj dwa wzory: lub ogólniej: ( p) +q d = ln p + ( p) + q, p d = arcsin q ( p) q +q d = ln + + q, q d = arcsin q d Jeśli więc liczymy całkę posaci, o wysarczy sprowadzić rójmian z mianownika do posaci kanonicznej. a +b+c 3d = 3d = 3 d 4(+ ) +8 == 3 (+ ) + ln + + ( + ) + Jeśli w liczniku mamy wyrażenie liniowe, o możemy wyodrębnić z licznika pochodną rójmianu z mianownika i podzielić szukaną całkę na dwie całki. +3 d = (8+4)+ d == d d Druga całka o a z poprzedniego przykładu. Naomias, żeby policzyć pierwszą wysarczy scałkować przez podsawienie:

4 Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr d = = d = (8 + 4)d = d = == Jeśli naomias w liczniku mamy wielomian sopnia wyższego niż jeden, o możemy przewidzieć posać rozwiązania. Jeśli W n () jes wielomianem n-ego sopnia, o dla pewnego wielomianu V n () sopnia n i dla pewnej sałej A zachodzi równość: Wn()d = a +b+c Ad a +b+c V n () a + b + c + Osanią całkę już umiemy policzyć, wysarczy zaem znaleźć wielomian V n () i sałą A. Można o zrobić licząc pochodną obu sron, porządkując obie srony i porównując współczynniki przy odpowiednich poęgach wielomianów. Całki z funkcji z n a+b c+d Jeśli w funkcji podcałkowej wysępują wyrażenia posaci n a+b c+d, m a+b c+d,..., o używamy podsawienia = r a+b c+d, gdzie r o najmniejsza wspólna wielokroność liczb n, m,.... Przykładowo: ˆ W całce d podsawilibyśmy = ˆ W całce +4 d podsawilibyśmy = +4 ˆ W całce d + 3 podsawilibyśmy = 6 Ideą akiego podsawienia jes sprowadzenie naszej całki do całki z funkcji wymiernej przez pozbycie się pierwiasków. = d = = = d d = d + d = = =... Z podsawienia wyznaczamy : + = +, + =, = +, = + 6 i obliczamy, że d = d, więc nasza całka o: ( )... = + 6 d czyli dosajemy zwykłą całkę z funkcji wymiernej (choć akura uaj skomplikowaną rachunkowo). ( ) Oblicz całki z funkcji niewymiernych: 3 a) b) d) d d c)* d ++ d + 3 d e) d f) Całkowanie funkcji rygonomerycznych Najskueczniejszą (choć nie zawsze najszybszą) meodą całkowania funkcji w kórych pojawiają się funkcje rygonomeryczne jes zasosowanie podsawienia uniwersalnego: Jeśli = g o d = d, sin =, cos = To podsawienie pozwala pozbyć się z funkcji podcałkowej funkcji rygonomerycznych, jeśli więc wyjściowa funkcja podcałkowa była funkcją wymierną od sinusa i cosinusa, o nowa całka będzie całką ze zwykłej funkcji wymiernej. sin +3 cos d = = g = d = + co sprowadza liczenie do akiej całki jaką już umiemy d Czasem jednak można liczyć prościej. Najbardziej ypowym przykładem są całki posaci: sin n cos m d Posępujemy wówczas według schemau: ˆ Jeśli n, m są nieparzyse, o podsawiamy = sin lub = cos ˆ Jeśli n jes nieparzyse, a m parzyse, o podsawiamy = cos ˆ Jeśli n jes parzyse, a m nieparzyse, o podsawiamy = sin ˆ Jeśli n, m są parzyse, o mamy rzy możliwości: Użyć podsawienia podobnego do uniwersalnego, zn.: Jeśli = g o d = d +, sin = sin +cos Użyć wzorów sin cos = i cos = Pozbyć się jednej z funkcji sin, cos i zasosować wzory rekurencyjne +, cos = +

5 Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr 5 sin cos 3 d = sin ( sin ) cos d = = sin d = cos d = ( 4 )d = + (+ ) = = sin3 sin5 3 5 sin cos 4 d d = = g = W en sposób orzymujemy całkę z + funkcji wymiernej, a o już umiemy (choć akura w ym przypadku rzeba się mocno nagimnasykować ze wzorami na I n ) sin cos 4 d = (sin cos ) cos d = 4 sin ( + cos )d = = = d = d = 8 (sin + sin cos )d Scałkować sin cos oczywiście umiemy, naomias w przypadku całki z sin wysarczy zasosować: sin d = + sin cos, cos d = sin cos Oblicz całki z funkcji rygonomerycznych: +sin a) sin (+cos ) d b) sin 3 d c) sin 5 cos 4 d d) sin cos d