Modelowanie Rynków Finansowych

Transkrypt

1 Modelowanie Rynków Finansowych Modelowanie zmienności, modele GARCH Zajęcia 6 Katarzyna Lada, Paweł Sakowski, Paweł Strawiński 23 marca, 2009

2 Literatura na dziś Engle (2001), The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics, The Journal of Economic Perspectives, Vol. 15, No. 4, (Autumn, 2001), pp Engle, Patton (2003), What Good Is a Volatility Model? NYU Stern School of Business Engle (2003), Risk and Volatility: Econometric Models and Financial Practice, Nobel Lecture Diebold (2004), The Nobel Memorial Prize for Robert F. Engle, Wharton WP 04-09

3 Motywacja (1/2) Typowe modele zmienności, np. postaci: y t = γ 0 + γ 1 x 1t + + γ k x kt + u t zakładają homoskedastyczność czynnika losowego: u t IID(0, σ 2 ) W praktyce wygodniej jest zakładać, że: u t N(0, σ 2 )

4 Motywacja (2/2) Jeśli założenie to nie jest spełnione to oceny błędów standardowych parametrów mogą być nieprawidłowe! Zatem czy wariancja jest stała w czasie? Dla danych finansowych najczęściej nie jest! Poza tym liniowe modele strukturalne nie są w stanie wyjaśnić innych charakterystycznych własności szeregów czasowych. Owe własności określane są jako stylizowane fakty.

5 Leptokurtyczność rozkładu warunkowego Należą do nich: Leptokurtyczność (łac. leptokurthosis) rozkłady stóp zwrotu z aktywów, w porównaniu z rozkładem normalnym, mają grube ogony i wyższy szczyt funkcji gęstości. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia nietypowych zmian kursów (ang. outliers) jest większe, niż w przypadku, gdyby miały one rozkład normalny. Ponadto, wartości są bardziej skupione wokół swojej średniej.

6 Rozkład leptokurtyczny

7 Grupowanie wariancji Grupowanie wariancji (ang. volatility clustering) zarówno małe jak i duże zmiany kursów akcji mają tendencję do występowania seriami, okresy charakteryzujące się niską wariancją poprzedzają okresy z wysoką wariancją, jeśli zmienność jest wysoka to występuje duże prawdopodobieństwo, że będzie nadal wysoka!

8 Grupowanie wariancji

9 Efekt dźwigni Efekt dźwigni (ang. leverage effect) tendencja wariancji do większego wzrostu na skutek dużego spadku cen, lecz jednocześnie niższego wzrostu w przypadku wzrostu cen o tę samą wielkość. Oznacza to, że spadek kursu akcji przyczyni się do wzrostu niepewności na rynku w większym stopniu, niż wzrost kursu akcji tej samej wielkości. Zjawisko to nazywane jest asymetrią warunkowej wariancji.

10 Motywacja I Modelujemy zmienność ponieważ możemy uzyskać lepsze oszacowania i prognozy zmienności niż w przypadku stosowania odchylenia standardowego czy wariancji stóp zwrotu! Ma to istotne znaczenie w sytuacji kiedy zmienność jest wykorzystywana jako parametr m. in.: w modelach wyceny instrumentów (przykład: formuła Blacka-Scholesa w wycenie opcji) w modelach stosowanych do szacowania ryzyka na rynku (przykład: modele Value-at-Risk) Zmienność cen/stóp zwrotu aktywów odzwierciedla niepewność na rynku.

11 Motywacja II Często dokonując prognoz badacz jest zainteresowany nie tylko poziomem analizowanej zmiennej, lecz także związanym z tym ryzykiem, czyli prawdopodobieństwem wystąpienia dużych zmian cen.

12 ARCH (1) ARCH AutoRegressive Conditional Heteroscedastic Models, Robert Engle (1982), UCSD y t = γ 0 + γ 1 x 1t + + γ kt x kt + u t u t N(0, σ 2 t ) gdzie zmiennymi x 1,..., x k często są opóźnione wartosći zmiennej zależnej, Najprostszy model ARCH(1): σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t 1

13 ARCH (q) Model ARCH(q) σt 2 = α 0 + α 1 ut α 2 ut α q ut q 2 Warunek stacjonarności procesów ARCH: q α i < 1 i=1

14 Test LM Oszacować reszty z równania średniej (mean equation): y t = γ 0 + γ 1 x 1t + + γ k x kt + u t (1) Oszacować regresję pomocniczą: û 2 t = a 0 + a 1 û 2 t 1 + a 2 û 2 t a q û 2 t q + ν t (2) Hipotezę zerową H 0 : a 0 = a 1 = = a q = 0 przeciwko H 1 : a 0 0 a 1 0 a q 0 możemy przetestować za pomocą statystyki: TR 2 χ 2 (q), gdzie R 2 - współczynnik determinacji w regresji (2), a T - długość szeregu czasowego.

15 Test Q Jest to także test na autokorelację wśród kwadratów oszacowanych reszt: gdzie: r(i, û 2 t ) = Q(q) = T (T + 2) q i=1 T t=i+1 (û2 t ˆσ2 )(û 2 t i ˆσ2 ) T t=1 (û2 t ˆσ2 ) r(i, û 2 t ) T i oraz σ 2 = 1 T T t=1 û2 t Jeśli wśród kwadratów reszt nie występuje autokorelacja to statystyka ta ma rozkład asymptotyczny: Q(q) χ 2 (q)

16 Test JB Test JB pozwala wykryć zjawisko leptokurtozy w szeregu (grube ogony). Oparty jest na współczynnikach skośności i kurtozy: JB(T ) = T 6 b2 1 + T 24 (b 2 3) 3 gdzie: b 1 = T T t=1 û3 t ( T t=1 û2 t )3/2 oraz b 2 = T T t=1 û4 t (. T t=1 û2 t )2 Jeśli wśród kwadratów reszt nie występuje autokorelacja to statystyka ta ma rozkład asymptotyczny: JB(T ) χ 2 (2)

17 Wady ARCH Oceny parametrów muszą być nieujemne, tak aby wariancja była dodatnia. α 0 0, α 1 0,... α q 0 Niestety - w estymowanych modelach zdarzają się ujemne oceny parametrów. Często trzeba szacować dużą liczbę parametrów.

18 GARCH (1/2) GARCH Generalized Autoregressive Contitional Heteroscedasticity, Tim Bollerslev (1986), UCSD. GARCH(1, 1) GARCH(p, q) σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t 1 + β 1 σ 2 t 1 σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t α q u 2 t q + β 1 σ 2 t β p σ 2 t p

19 GARCH (2/2) Są to modele bardzo oszczędne w parametrach, co jest ich dużą zaletą! W modelu GARCH(1, 1) mamy do oszacowania tylko trzy parametry W większości przypadków model GARCH(1, 1) sprawdza się doskonale.

20 Wariancja bezwarunkowa (1/2) Wariancja warunkowa zmienia się w czasie ale bezwarunkowa jest stała! ARCH(1): jeśli 0 < α 1 < 1 GARCH(1, 1): jeśli (α 1 + β 1 ) < 1 Var(u t ) = Var(u t ) = α 0 (1 α 1 ), α 0 1 (α 1 + β 1 ),

21 Wariancja bezwarunkowa (2/2) jeśli α 1 + β 1 > 1 to model nie jest stacjonarny w wariancji. jeśli α 1 + β 1 = 1 to model jest zintegrowany (IGARCH, Integrated GARCH). Warunek stacjonarności procesów GARCH: q α i + i=1 p β i < 1 i=1 W przypadku niestacjonarności w wariancji, prognozy warunkowej wariancji nie będą zbiegały do wariancji bezwarunkowej!

22 Wady GARCH Oszacowane oceny parametrów w równaniu warunkowej wariancji nie zawsze gwarantują jej nieujemność. Modele GARCH wyłapują zjawisko grupowania wariancji lecz nie radzą sobie z efektem dźwigni (asymetrycznymi reakcjami wariancji na szoki). Warunkowy rozkład reszt nie jest normalny. Brak bezpośredniej zależności między warunkową wariancją a warunkową średnią (co jest obserwowane w danych).

23 Jak znaleźć najlepszy model kryteria AIC i SBC im mniejsze wartości tym lepszy model zasada oszczędności w parametrach w większości przypadków GARCH(1, 1) będzie lepszy od np. ARCH(8) wystandaryzowane reszty nie mogą podlegać autokorelacji!

24 Wystandaryzowane reszty (1/2) Jak wiemy: u t N(µ, σ 2 ) z t = u t µ σ N(0, 1) Ponieważ E(u t ) = 0 to w przypadku procesów GARCH wystandaryzowane reszty to: z t = u t σ 2 t Czy wystandaryzowane reszty mają rozkład normalny? Dla danych finansowych przeważnie nie mają (grube ogony).

25 Wystandaryzowane reszty (2/2) Istotnie różne od zera wartości ACF dla wystandaryzowanych reszt świadczą o występowaniu wśród nich autokorelacji. Gdy mamy istotne wartości ACF dla kwadratów wystandaryzowanych reszt - występują wśród nich efekty ARCH!

26 Zastosowania GARCH Modelowanie zjawiska grupowania wariancji z uwagi na autoregresyjność warunkowej wariancji. Dzięki temu możemy prognozować przyszłą wariancję! Można pokazać, że: Var(y t y t 1, y t 2,... ) = Var(u t u t 1, u t 2,... ) Dlatego dzięki modelowaniu σ 2 t możemy także otrzymać prognozy y t Prognozy wariancji są addytywne w czasie!

27 Prognozy wariancji Wycena opcji C = f (S, X, σ 2, T, r) gdzie: S - cena akcji, na którą wystawiona jest opcja, X - cena wykonania opcji, σ 2 - zmienność cen akcji, T - termin wygaśnięcia opcji, r - stopa procentowa wolna od ryzyka Warunkowe współczynniki beta (model CAPM) β i,t = σ im,t σ 2 m,t Dynamiczne strategie zabezpieczające tzw. hedge ratio - ile kontraktów futures należy kupić/sprzedać na jednostkę instrumentu bazowego.

28 Rozszerzenia ARCH (1/2) W latach 80-tych i 90-tych opracowano wiele modeli uzupełniających właściwości standardowego modelu ARCH(1). Niektóre z nich to: EGARCH, GJR-GARCH, TGARCH, IGARCH, STARCH, AARCH, NARCH, MARCH, SWARCH, SNPARCH, APARCH, FIGARCH, FIEGARCH, QGARCH, SQGARCH, CESGARCH, SPARCH, GARCH-t, GARCH-in-Mean Oczywiście najważniejszym rozszerzeniem ARCH(1) jest GARCH(1, 1)

29

30 Rozszerzenia ARCH (2/2) Szczegółowy przegląd modeli można znaleźć w: Bera A. K. and M. L. Higgins (1993) On ARCH Models: Properties, Estimation and Testing, Journal of Economic Surveys, 7, Bollerslev Tim, Ray Y. Chou, and Kenneth F. Kroner (1992) ARCH Modeling in Finance: A Review of the Theory and Empirical Evidence, Journal of Econometrics, 52, 5?59.

31 Exponential GARCH ln(σt 2 ) = ω + βln(σt 1) 2 + γ u t 1 σt α u t 1 σt π Modelujemy logarytm wariancji, zatem niezależnie od wartości parametrów wariancja będzie dodatnia. Dopuszczamy występowanie asymetrycznej reakcji wariancji na szoki. Ujemna wartość parametru γ świadczy o występowaniu asymetrii!

32 Zmienność a wzrosty/spadki na rynku

33 Zmienność a wzrosty/spadki na rynku

34 News Impact Curve

35 GARCH-M GARCH-in-Mean y t = γ 0 + aγx 1t + + γ k x kt + δσ t + u t u t N(0, σ 2 t ) σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t α q u 2 t q + β 1 σ 2 t β p σ 2 t p Ocena parametru δ powinna być dodatnia i statystycznie istotna zgodnie z zależnością: im większe ryzyko, tym wyższa premia!

36 GARCH - t GARCH-t zakłada, że u t ma rozkład t-studenta zamiast rozkładu normalnego! Rozkład t-studenta z małą liczbą stopni swobody (tutaj 2) ma grubsze ogony. Im więcej stopni swobody tym bardziej rozkład t-studenta jest zbliżony do rozkładu normalnego.

37 Rozkład t-studenta a rozkład normalny

38 Dalsze rozszerzenia W dalszym ciągu można tworzyć bardziej skomplikowane modele, np. przez łączenie modeli już istniejących, np. ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)-M ARMA(2,0)-TGARCH(1)

39 Dziękujemy za uwagę!