Studia ekonomiczne 1 Economic studies nr 1 (LXXVI) Witold Kwaśnicki * w ekonomii

Transkrypt

1 Sudia ekoomicze 1 Ecoomic sudies r 1 (LXXVI) 13 Wiold Kwaśicki, Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii Wiold Kwaśicki * Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii Ekoomia główego uru (a zwłaszcza ekoomia eoklasycza) uzaje fizykę za swój meodologiczy wzorzec. Jeśli ak, o wykorzysując formalizm maemayczy do opisu zjawisk gospodarczych, ekoomiści główego uru powii eż przesrzegać aalizy wymiarowej (czyli dokoywać zw. rachuku mia). W isocie każdy z as (świadomie albo ieświadomie) sosuje, lub sosował, aalizę wymiarową 1. Przypomijmy sobie asze zmagaia z fizyką w szkole średiej czy a sudiach. Kiedy zdarzało się am zapomieć jakiegoś wzoru fizyczego, ale widzieliśmy jego kszał w zarysach (wiedzieliśmy p. jakiego rodzaju zmiee wysępują we wzorze), o do prawidłowej posaci ego wzoru dochodziliśmy iejako od yłu, sosując rachuek mia, ak by wymiary po jedej i po drugiej sroie zaku rówości am się zgadzały. Dlaczego zaem ekoomiści ak bardzo sroią od aalizy wymiarowej? Problem braku aalizy wymiarowej w aalizie ekoomiczej przedsawił William Bare II w swoim arykule z 3 r., opublikowaym w Quarerly Joural of Ausria Ecoomics. W roku 6 wspólie z Krzyszofem Kosro zaprosiliśmy polskich ekoomisów do zabraia głosu w ej sprawie, zadając im pyaia: Czy zideyfikowaa przez Barea iekosekwecja i iespójość w sosowaiu wymiarów przez ekoomisów aprawdę saowi poważą barierę do aśladowaia meod auk ścisłych i sosowaia w ekoomii maemayki? Czy deprecjouje oa wcześiejsze osiągięcia eoreycze, czy eż jes o może sprawa błaha, kóra ie podważa gmachu auk ekoomiczych? Czy wymiary mają w ekoomii akie samo zaczeie jak w fizyce czy iżyierii? Czy w związku * Isyu Nauk Ekoomiczych, Uiwersye Wrocławski. 1 Aaliza wymiarowa, fiz. meoda posępowaia przy sprawdzaiu rówań lub wyzaczaiu posaci wzorów wiążących róże wielkości fiz. a podsawie daych z doświadczeń lub w wyiku eksperymeów myślowych (Ecykopedia PWN).

2 148 Wiold Kwaśicki z ym bezwzględie muszą być sosowae kosekweie i prawidłowo? Czy bagaelizowaie ego problemu ie jes przejawem przysłowiowego chowaia głowy w piasek? Czy Bare sam jes geialym idioą (akiego określeia używa w swoim arykule), kóry cierpi a dyskalkulię (co zarzuca swoim recezeom), czy eż jes pierwszym odważym, kóry ie zawahał się powiedzieć: król jes agi? Odpowiedzi udzieliło ośmiu ekoomisów, a ich wypowiedzi zosały opublikowae w Sudiach Ekoomiczych. W arykule (kóry jes pokłosiem spokaia w ramach Leiego Semiarium Ekoomiczego 11) 3 chciałbym wrócić do dyskusji zaiicjowaej w 6 r., dokoać kryyczej aalizy eksów opublikowaych w Sudiach Ekoomiczych oraz skomeować je w koekście orygialej publikacji Charlesa Wiggisa Cobba i Paula Howarda Douglasa z 198 roku 4. Zaieresowaym zasosowaiom aalizy wymiarowej polecić moża książki polskich auorów: Wacława Kasprzaka i Berolda Lysika (1978) oraz Wacława Kasprzaka, Berolda Lysika, Marka Rybaczuka (199), am eż moża pozać podsawy eoreycze aalizy wymiarowej. Szukając lieraury odoszącej się do aalizy wymiarowej, dowiedziałem się o książce Frisa De Joga (1967), Dimesioal Aalysis for Ecoomiss 5. Jak widać, kwesie aalizy wymiarowej w ekoomii były przedmioem dyskusji a kilkadziesią la przed ym, jak posawił e problem William Bare. Książka a, dzięki szczęśliwemu zbiegowi okoliczości, przysłaa ze Saów Zjedoczoych, doarła do mie iedawo. Ogromą jej zaleą jes samo posawieie problemu aalizy wymiarowej w ekoomii. Szkoda, że książka a ie zosała zauważoa przez ekoomisów i ie sała się zaczyem poważej dyskusji. Niesey problem aalizy wymiarowej w ekoo- Sudia Ekoomicze, r 3/6: Wprowadzeie do dyskusji: Krzyszof KOSTRO, Bare, szkoła ausriacka a wymiary w ekoomii; Wiliam BARNETT II, Wymiary a ekoomia; iekóre problemy; Wiold KWAŚNICKI, Marci ZIELIŃSKI, Uwagi do arykułu Barea Wymiary a ekoomia ; Tadeusz BEDNARSKI, Głos polemiczy do arykułu Williama Barea; Adrzej MALAWSKI, Nieco hałasu o coś, czyli kilka uwag ad hoc o wymiarowości w ekoomii; Tomasz ŻYLICZ, Czy w ekoomii jedoski pomiaru coś zaczą?; Emil PANEK, Uwagi a margiesie arykułu W. Barea Dimesios ad ecoomics: some problems ; Zbigiew CZERWIŃSKI, Kilka słów o sprawie wymiarów w ekoomii; Zbigiew HOCKUBA, Złożoość a ekoomia: wybrae problemy. Uwagi a margiesie arykułu Williama Barea II. Sudia Ekoomicze 7, r 1 : Krzyszof Maciej PRZYŁUSKI, Wymiary a ekoomia: ie ma problemu. 3 hp://mises.pl/projeky/leie-semiarium-ausriackie/leie-semiarium-ekoomicze-11/ 4 Cobb C.W. ad Douglas P.H. (198), A Theory of Producio, America Ecoomic Review 18(1), Suppleme, Papers ad Proceedigs of he Forieh Aual Meeig of he America Ecoomic Associaio. 5 F.J. Jog (De), W. Quade, 1967, Dimesioal Aalysis for Ecoomiss, By Fris J. De Jog, Wih a Mahemaical Appedix o he Algebraic Srucure of Dimesioal Aalysis by Wilhelm Quade.

3 Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii 149 mii zosał porakoway przez De Joga bardzo formalie i rochę po iżyiersku. W zasadzie ie iepokoją go problemy posawioe przez Barea, p. iewymiere warości wykładików w fukcji produkcji Cobba-Douglasa, prowadzące do dziwych wymiarów iekórych paramerów ej fukcji (parz p. s ). De Jog (1967, s. 47) zwraca jedak uwagę, że wykładiki w fukcji produkcji, kóre ie są liczbami całkowiymi, ie spełiają wymogów eorii algebraiczej srukury aalizy wymiarowej. Wiele wskazuje a o, że posrzegaie przez ekoomisów fizyki jako wardej auki jes ie do końca słusze. Rozwój fizyki związay jes ie ylko z rozwojem aalizy formalej. Alber Eisei swoim gabiecie w Isiue for Advaced Sudies miał wywieszoe moo: Nie wszysko, co się liczy, może zosać policzoe i ie wszysko co może zosać policzoe, się liczy. Naomias Richard Feyma powiedział swego czasu, że rozumieie sesu maemayczego rówań ie ozacza rozumieia fizyki. Czy ak lubiący formale, maemaycze podejście ekoomiści główego uru ie powii wziąć sobie do serca przesłaia Feymaa: zaim zaczę szukać rozwiązaia, ajpierw muszę miej więcej zrozumieć, jak oo wygląda. (...) muszę mieć jakościowe wyobrażeie zjawiska, żeby móc je opisać a poziomie ilościowym? (Feyma, 5). Fakem jes, że fizycy w odróżieiu od ekoomisów, po wielu dekadach dyskusji, doszli do kosesu, że wymiary wszyskich zmieych przez ich używaych mogą być wyrażoe jako pochode siedmiu wielkości fizyczych: długość, masa, czas, aężeie prądu elekryczego, emperaura, aężeie świała (świałość) i liczość maerii (w zw. międzyarodowym układzie miar SI (Sysème Ieraioal d Uiés) odpowiadają im asępujące jedoski fizycze: mer, kilogram, sekuda, amper, kelwi, kadela i mol). Dwie jedoski pochode, miaowicie radia i seradia (będące miarami kąa płaskiego i kąa bryłowego) ie mają wymiarów (są liczbami iemiaowaymi parz Załączik). Wymiary wszyskich iych wielkości (zmieych) wyikają z odpowiedich rówań, p. fizycy wyrażają moc w waach (W), kórego wymiar wyikający z defiicji mocy jes rówy [kg m s 3 ], a przewodość elekryczą w simesach (S) o wymiarze [kg 1 m s 3 A ]. Każde poprawe rówaie musi być wymiarowo spóje, z. wymiary lewej i prawej sroy muszą być akie same, czyli [lewa sroa] = [prawa sroa] Przykładowo, modelowaie siły arcia spowodowaej oporem powierza prowadzi do zależości Skąd MLT = [k][lt 1 ] = [k]l T, czyli [k] = ML 1, z. k musi by mierzoe w kg/m. F = kv ; [F] = [kv ].

4 15 Wiold Kwaśicki Przypuśćmy, że budujemy model, kóry będzie określał okres wahadła. Lisa czyików wpływających a może obejmować długość wahadła l, jego masę m, przyspieszeie ziemskie g i ką maksymalego wychyleia i. Załóżmy, że = kl a m b g c i d gdzie: a, b, c, d oraz k liczby rzeczywise. Dla wymiarów musi zachodzić [] = [kl a m b g c i d ]. Zaem T = L a M b (LT ) c czyli T = L a+c M b T c k i i są wielkościami bezwymiarowymi. Przyrówaie poęg przy odpowiedich zmieych po lewej i prawej sroie rówaia daje: skąd = kl 1/ g 1/ i d. a + c =, b =, c = 1, W powyższym wzorze d może przyjąć dowolą warość, zaem możemy zapisać, że: 1 = f( i). g Fukcję f(i) ależy zaleźć w iy sposób. 1 Dla małych wahań (małego i) = r. okres ie zależy od ampliudy, ie zależy eż g 1od masy i jak wiemy z kursu fizyki, = f( i). okres wahań może być wyrażoy wzorem: mmg 1 F = k. r 1 = r 1. = f( i) g. m3 cm3 k = 667, $ 1g -11 = 6, 67 $ 1-8 > H > H. Dla sławego rówaia kg s g s 1grawiacji Isaaka mm 1 Newoa $ opisującego siłę, $ z jaką F = k. przyciągają się dwie = masy f( i) m 6 r 1 i. m -, kórych 1środki ciężkości są odległe od siebie g = r U =. o r, mamy: g ql r+ c; m3 r cm3 1 - k 6 r 667, U = $ 1-11 q lr+ lr = q 6 l, 67 $ 1-8 = r. mm 1 > H ^ h c m; > H. kg s r g s g F = k.. $ $ r 1 6 Zgodie z posulaami mm 1aalizy - a r Ud l = Fql r+ c; F = k. wymiarowej wymiar =, m3sałej grawiacji k cm (kórej 3 kk= 667, d $ 1-11 K = 6, 67 $ r1-8 warość określoa zosała r eksperymealie) jes rówy: > H > H. - 6rU = q^lrkg + l $ s rh = ql c m; g$ s a m3d l F cm3 r k = 667, $ = ru=. = 6, 67 ql $ r1-8 > H + c; > H. L1 kg - $ as d L dl F g$ s =, r Podążając za - podejściem 6rU = ql eoklasyczym, r- K R dk pv + 6 = c; ru = q T, ^lr pv ależałoby + lr = RT, h = ql podobą c m; r aalizę dokoywać w badaiach ekoomiczych a d l F akże =. r w przypadku powszechie używaej w ekoomii - 6eoklasyczej ru = q^lr1l + - fukcji la rdl dl F fm f3() \ 3 f( ) fx (). f = h = produkcji ql () + f, c m; l () r 6 określającej maksymale K x R dk rozmiary produkcji Q, jakie są możliwe do osiągięcia przy różym 6poziomie! akładów (czyików 1 - aprodukcji) dl F pv = l T, pv = RT, =, xa 1, x, d Fx, df() x K dk fl () = x =. L L $ x Q = f(x d dx. ( x = ) fm f3() \ 3 f( ) a dl F fx 1, x (),, x. Rf() i,, x + fl () ). x =. pv = Y T (), 6z / T = RT Y,() 6! 6 a() Zapropoowaej L po raz dlpierwszy aw () 1894 = roku przez Kua = Wicksella. 6T-1^z ) 1- df() h@ ax () K () z Ka() R fl () x = $ x () () () dx fm f3() \ 3 f( ) pv = T, pv fx = RT. f, + k. ( fx l= () ) 1x- + k p L C 6! = b Y () p fz / Tp. Y () p () L 6 () a = fm () df \() x f3 = 3 6T-1f ( ) ^z () ) 1 -\ fx () f() f () a. + l h@ fl () x + x = + a() K () z Ka() $ x ()!

5 Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii 151 Jeśli akimi podsawowymi czyikami są kapiał (K) i praca (L), o zw. fukcja produkcji Cobba-Douglasa przyjmuje posać: Q = AK a L b. gdzie A sała określająca zdolości echologicze sysemu. Bare (3, 6) w swojej pracy propouje dokoaie akiej aalizy wymiarowej dla produkcji pewego specyficzego dobra, kóre azwiemy wihajsrami. Jak dalej pisze: Jeżeli wymiary zosały zasosowae prawidłowo, o produkcja, kapiał i praca muszą mieć zarówo wielkość, jak i wymiar (-y), a a i b są samymi liczbami. Załóżmy, a przykład, że: (1) Q jes mierzoe w wihajsrach/czas [whj/rok]; () K jes mierzoe w maszyogodziach/czas [mg/rok]; (3) L jes mierzoe w roboczogodziach/czas [rg/rok]. Zaem aaliza wymiarowa fukcji produkcji Q = AK a Lb pozwala usalić, że A (= Q/K a Lb) jes mierzoe w: [wihajsry/czas]/[(maszyogodziy/czas) a (roboczogodziy/czas)b]; j. w: [whj rok a+ b 1 ]/[mg a rgb]. Bare w swoim arykule sawia dwa podsawowe zarzuy w sosuku do eoklasyczej fukcji produkcji: że prawidłowe użycie wymiarów prowadzi do używaia wymiarów ie mających uzasadieia lub sesu ekoomiczego oraz że e same sałe lub zmiee posiadają róże wymiary, czyli ak jakby prędkość mierzyć raz w merach a sekudę, a kiedy idziej w samych merach lub w merach do kwadrau a sekudę. Jeśli chodzi o pierwszy zarzu, o fakyczie iekiedy wymiary iekórych zmieych ekoomiczych mogą sprawiać dziwe wrażeie i rudo iekiedy zaleźć jakieś sesowe ich uzasadieie. Możemy jedak powiedzieć, że akie dziwe wymiary mogą mieć zmiee fizycze (poparzmy choćby a wymiary iekórych z ich przedsawioych w Załącziku). Duży iepokój aomias musi budzić o, że przy dowolych rzeczywisych warościach a i b w wymiarach mogą wysępować poęgi iewymiere (i pod ym względem ależy zgodzić się z Bareem). Jeśli w fizyce wysępują wymiary z dziwymi poęgami o zwykle są o liczby wymiere, a ajczęściej liczby całkowie. Drugi zarzu Barea o iesałości wymiarów jes, według mie, zaczie poważiejszy. Jeśli porówamy p. wymiary sałych proporcjoalości w prawie grawiacji (k) oraz w fukcji Cobba-Douglasa (A), o zgodzić się rzeba z Bareem, że dla sałej grawiacji k wyik jes iezmiey dla iezliczoych pomiarów od przeszło rzech wieków: iezależie od warości, wymiary zawsze miały posać odległość 3 /(masa czas ); j. w układzie mks [m 3 /(kg s )].Naomias w aalizie ekoomiczej jes odmieie. Warości a i b zmieiają się ie ylko w przypadku zasosowaia jej do różych produków czy różych krajów, ale różią się akże w zależości od ego, jaki okres do ich określaia jes wybieray.

6 15 Wiold Kwaśicki Jeśli zaem w ekoomii eoklasyczej prawidłowo użyjemy aalizy wymiarowej, o uzyskamy iesałe wymiary. Jak pisze Bare, problem e saje się jedak oczywisy ylko wedy, gdy wymiary są poprawie zaware w modelu, co jes rzadkim przypadkiem w modelowaiu ekoomiczym. Przykładowo (przy sadardowym eoklasyczym założeiu subsyucyjości kapiału i pracy, czyli założeiu, że a + b = 1, szacukowe warości a podawae przez Coe, Helpmaa (1995) dla krajów OECD (a podsawie daych z la ) o,335, dla Niemiec,41 i Szwajcarii,11. Naomias dla Polski szacuki L. Ziekowskiego (dla okresu 199 ) wskazują, że a =,47,5, aomias R. Rapacki podaje, że (dla la 199 ) a =,35, a W. Welfe uważa, że a =,48 7. Zdaiem Barea saowi o poważy problem, gdyż A posiada zarówo warość, jak i wymiary, o róże warości a i b ozaczają róże wymiary A i mimo że wymiary, w jakich dokouje się pomiaru Q, K i L są sałe, o wymiary A są zmiee. Trafa jes eż uwaga Barea, że [p]rzyszłe pokoleia ekoomisów są kszałcoe w błędej radycji, poieważ ich młode umysły są kszałowae przez właśie akie publikacje. I dopóki się o ie zmiei, a ekoomiści ie zaczą używać wymiarów w sposób kosekwey i prawidłowy (o ile o w ogóle możliwe), o ekoomia maemaycza i jej empirycze aler ego ekoomeria adal pozosaą akademickimi gierkami i»rygorysyczymi«pseudoaukami. Z powodu wpływu, jakie koomiści wywierają a poliykę rządu, akie pseudoaukowe gierki ie odbywają się jedak bez koszów, kóre poosi się w realym świecie. Bare wysłał e arykuł do jedego z ajzakomiszych czasopism główego uru, The America Ecoomic Review, gdzie częso są publikowae prace, w kórych pukem wyjścia jes fukcja Cobba-Douglasa. Waro przeczyać zamieszczoą przez Barea korespodecję z wydawcą i recezeami (parz załączik do arykułu Barea zamieszczoego w Sudiach Ekoomiczych ). Tuaj przypomimy ylko rzy fragmey. Jede z recezeów wierdzi, że [a]aliza wymiarowa ma zasosowaie ylko w przypadku praw, zaem ieuzasadioe jes kryykowaie fukcji produkcji z puku widzeia aalizy wymiarowej. W iym miejscu receze wierdzi, że podoby brak dbałości o kosekwee sosowaie wymiarów obece jes akże w fizyce. Podaje przykład: ( ) rozwiązaie problemu [ruchu harmoiczego prosego] saowi ( ), że x = 1/3cos(8), gdzie x jes długością łuku ( ) mierzoą w merach, a jes czasem mierzoym w sekudach. Więc dokładie jakiego rodzaju sałej przeliczeiowej chce pa użyć, żeby zamieić czas a długość? Z pewością ie jes o sała, gdyż musi przejść przez wyrażeie cosiusowe (podobie jedoski pracy i kapiału muszą przejść przez wykładiki poęgi w przykładzie [Q = AK a L b ] powyżej). Aż dziw bierze, że moża coś akiego apisać. Przypomieie sobie ego, czego uczyliśmy się a lekcjach fizyki w szkole średiej, od razu pokazuje, 7 Co ciekawsze, w większości prac ekoomisów eoklasyczych przyjmuje się (ie wiedzieć dlaczego), że a =,3 (a warość eż jes częso podawaa w podręczikach do makroekoomii).

7 Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii 153 gdzie kwi błąd akiego rozumowaia. Ogóly wzór a ruch harmoiczy o x = Acos(~); w podaym przykładzie ampliuda A rówa się 1/3, a częsoliwość ~ jes rówa 8; częsoliwość ma wymiar odwroości czasu, zaem ~ jes warością bezwymiarową. Więc gdzie u błąd? Drugi przykład podaway przez 1 recezea z America Ecoomic Review, świadczący, jego zdaiem, = feż ( i) o ym,. g że fizycy ie dbają o wymiary, jes zaczerpięy z zadaia w jedym ze zaych podręczików fizyki, miaowicie przypadek doyczący przewodości 1 = r. cieplej w rurach. Rozwiązaiem jes U = l(r), gdzie r o godległość w ceymerach, a U o emperaura w sopiach. Jakiego współczyika mm 1 kowersji chce pa eraz użyć, żeby przekszałcić odległość a sopie? F = k Wioskuję,. r że fizyka zawiera akie same»defeky«, gdy badamy pewe układy. I zów świadczy o ylko, o idolecji m3 recezea., Prosy cm3 k = 667$ 1-11 = 6 67 $ 1-8 > H > zapis H. rozwiązaia ego zadaia przedsawioo w posaci ogólej kg $ s (a ie kokreych g$ s liczb) jako: - 6rU = ql r+ c; r - 6rU = q^lr+ lrh = ql c m; r pokazuje, że uwzględieie 1 - a w dogólym F rozwiązaiu promieia odiesieie r powoduje, że wyrażeie, K pod = d logarymem K jes bezwymiarowe (jes liczbą rzeczywisą), czyli zgodie z aalizą wymiarową. a dl F =. L dl Króka kryycza R aaliza uwag zawarych pv = T, pv = RT, w arykułach polskich ekoomisów fm f3() \ 3 f( ) Polscy ekoomiści, kórzy fx () wzięli. f() udział + fl () w xdyskusji + ad + arykułem + Barea, + zgadzają się z opiią, że aaliza wymiarowa jes ważym meodologiczym eleme-. 6! em badań aukowych df() x fl i () że x powio = się $ ją x sosować w aalizie ekoomiczej. W większości arykułów są jedak dx. ( zaware x = ) zasrzeżeia do wiosków Barea lub próba pokazaia, że w isocie Y () 6z o, / T co przedsawił Bare, ie jes Y () a() problemem. Przyjrzyjmy a() się = ym argumeom. = 6T-1^z ) 1- h@ a() K () z Ka() () k 1 - k Tadeusz p Bedarski, L C Głos polemiczy = bf p f p. do parykułu L Williama C Barea Trzeba się zgodzić z opiią p Q = a Tadeusza a. Bedarskiego, że w ekoomii brak jes c m podsawowych i iezależych zmieych, p kóre pozwalałyby dosaeczie dokładie wyrazić warości iych ieresujących K a L b zmieych ekoomiczych. Oware pozosaje pyaie, czy isieje Q = Aaw. Kogóle k a L możliwość k zdefiiowaia w ekoomii bazowych zmieych (wymiarów), podobie jak uczyili o fizycy propoując p. układ SI? Dosyć korowersyja, ale bardzo wórcza, wydaje się opiia T. Bedarskiego odośie do relacji badacza i rzeczywisości: Fizyk pozaje rzeczywisość aką,

8 154 Wiold Kwaśicki jaka oa jes iezależie od aszego isieia. Iaczej jes w sferze pozaia ekoomiczego, gdzie obserwuje się sprzężeie zwroe pomiędzy poziomem wiedzy i»saem ekoomii«. Dla przykładu, określeie czyików warukujących sabily rozwój gospodarczy wpływa a uwarukowaia prawo-isyucjoale, kóre z kolei modyfikują procesy rozwojowe. Tak więc wiedza ekoomicza, do pewego sopia modyfikuje»aurale prawa«samej ekoomii, prawa wyikające z ludzkich zachowań. Trudo byłoby uwierzyć, żeby poziom wiedzy w aukach fizyczych miał wpływ a kszał obiekywych praw fizyki. Z jedej sroy jes fakem, że ekoomia ym różi się od fizyki (i iych auk przyrodiczych), że obiekem jej aalizy jes działający człowiek, świadomy swoich celów i mający wolą wolę. Dyskuowałbym jedak z ezą, że, w odróżieiu od fizyki, w ekoomii poziom wiedzy ma wpływ a kszał obiekywych praw ekoomii. Jak pokazuje Mises (choćby w swoim magum opus: Ludzkie działaie (Mises, 7)), w ekoomii isieją, ak samo jak w fizyce, obiekywe prawa, iezmiee w czasie i przesrzei, i iezależe od ludzkiej akywości (choć ie są o prawa formułowae w języku maemayki). Odośie do aszego główego problemu aalizy wymiarowej Tadeusz Bedarski przyzaje, że dla przejrzysości wiosków isoe jes każdorazowe usaleie i opis jedosek dla poszczególych zmieych. Jedakże, po pokazaiu przykładu (o kórym poiżej) swierdza, że w isocie rzeczy posać fukcji wiążącej produkcję, kapiał i pracę ie zależy od przyjęych jedosek, jeśli ylko zachowaa będzie zasada proporcjoalości przy wymiaie zmieych. Z ym wioskiem ie mogę się zgodzić. T. Bedarski przedsawia asępujące rozumowaie: 1 Niech więc wielkość produkcji Y = opisuje f( i) fukcja. F(K, L), zależa od kapiału K i pracy L. Przyjmijmy, że kapiał K * (r, w, gp) i praca L * (r, w, p) są fukcjami poziomu ce p, sawki płac w i sopy zwrou 1 z kapiału (capial real rae) r. By maksymalizować zysk określay rówaiem = r. g pf(k, L) rk wl, rzeba policzyć pochode cząskowe zysku względem kapiału i pracy, i przyrówać je do zera, mm 1 mamy sąd: F = k. r pf K (K *, L * ) = r, pf L (K *, L * ) = w. m3 cm3 Waruek sałego udziału płac kw = przychodzie, 667, $ 1-11 kóry uaj = 6przyjmujemy,, 67 $ 1-8 > H > rówy H. a, moża zapisać asępująco: wl * = apf(k * kg, L * $ s g$ s ). Podobie dla kapiału: rk * = (1 a)pf(k *, L * ). - 6rU = ql r+ c; Dzieląc każde z rówań pierwszej pary przez odpowiedie rówie r drugiej pary orzymujemy elemeary układ rówań - 6rU różiczkowych, = q^lr+ lrhiezależych = ql c m; r od wyjściowych zmieych r, w, p 1 - a dl F =, K dk a dl F =. L dl Jedyym rozwiązaiem ego układu Rjes fukcja: pv = T, pv = RT, F(K, L) = AK 1 a L a. fm f3() \ 3 f( ) fx (). f() + fl () x ! df() x fl () x = dx. ( x = ) $ x

9 Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii 155 Trudo mi zgodzić się z wioskiem wyikającym, zdaiem T. Bedarskiego, z powyższego rozumowaia, że rudo w powyższym rozumowaiu, wolym w zasadzie od wymiarowości, doparzyć się logiczej luki. W isocie rzeczy posać fukcji wiążącej produkcję, kapiał i pracę ie zależy od przyjęych jedosek, jeśli ylko zachowaa będzie zasada proporcjoalości przy wymiaie zmieych. Dla przykładu: warość produkcji w daym okresie, wielkość produkcji w oach lub szukach (ip.) w ym samym okresie o zmiee proporcjoale, ich zmiaa wpłyie jedyie a warość współczyika A, a ie a posać fukcji produkcji. Wymiarowość w powyższym rówaiu, według mie, jedak isieje, choć ie jes explicie wymieioa, miaowicie w co ajmiej rzech rówaiach: zysku pf(k, L) rk wl, oraz w obu warukach: wl * = apf(k *, L * ) i rk * = (1 a) pf(k *, L * ). We wszyskich ych rówaiach wymiar musi być zachoway poprzez odpowiedi wymiar fukcji F(K, L). Nieprawdą jes, że zmiaa wymiarów (p. z o a szuki) wpłyie jedyie a warość współczyika A, a ie a posać fukcji produkcji. Według mie zmieią się zarówo warości, jak i wymiary współczyika A. Adrzej Malawski, Nieco hałasu o coś, czyli kilka uwag ad hoc o wymiarowości w ekoomii Adrzej Malawski już a począku swoich uwag dezawuuje pracę Barea, pisząc, że problem wymiarowości w ekoomii ie saowi jakiegoś ovum, i wskazując licze przykłady polskich auorów, gdzie problem e, zdaiem A. Malawskiego, był i jes posrzegay. Nie wyjaśia jedak, a ile ok rozumowaia Barea jes podoby (lub iy) od podaych przez iego auorów. W dalszej części auor usawia sobie problem ak, aby było mu wygodie dojść do kokluzji końcowej. Pisze: Pogląd Barea ( ), że brak wymiarów wielkości ekoomiczych i ich jedosek maemayczo-saysyczej aalizy zjawisk procesów gospodarczych, zaś w przypadku ich uwzględieia wskazywaa iespójość bądź zmieość saowi jej poważe adużycie, czy wręcz dyskwalifikuje jako arzędzie badawcze a grucie ekoomii uważamy za skrajy i ieuzasadioy. Należy u bowiem odróżić co ajmiej dwie kwesie: zaczeie badaego problemu w ekoomii eoreyczej i empiryczej oraz źródła ich maemayzacji. W pierwszej z ich zaczeie omawiaego problemu rudo przeceić w badaiach empiryczych, domagających się pomiaru obserwowaych wielkości, co bez usaloej jedoski (miaa, wymiaru) jes wykluczoe. Nie wydaje się aomias ak koiecze w aalizie eoreyczej, gdzie modele maemaycze worzące eorie ekoomicze ie muszą przyjmować formy rówań czy ich układów, ale są w posaci aksjomayczych sysemów dedukcyjych, jak m.i. eoria rówowagi ogólej, kóra ie preeduje wpros do weryfikacji empiryczej, a jedyie poprzez swoje dalekosięże implikacje logicze ( ). Kryyka owa ie uwzględia bowiem ie ylko rozwarswieia badań ekoomiczych a czyso eoreycze i empirycze, ale eż zróżicowaia eoriopozawczych ierpreacji eorii eko-

10 156 Wiold Kwaśicki omiczych co rzuuje a osrość czy eż zaczeie dyskuowaego u problemu wymiarowości i ich relaywizację z uwagi a przyjęą perspekywę badawczą i filozoficzą. W e sposób Adrzej Malawski dochodzi do kokluzji, że praca Barea ie saowi jedak wiele hałasu o ic i zasługuje a uwagę, sąd yułowe ieco hałasu o coś. Szkoda jedak, że brak w iej części pozyywej, co czyi ją mało kosrukywą. Całość ego eksu moża by zakończyć ak, jak kończą swój wywód maemaycy: c.b.d.o. Mam jedak wąpliwości, że ego ypu uwagi cokolwiek wyjaśiają. Naprawdę ie wysarczy ex cahedra swierdzić, że kryyka ie uwzględia ( ) ie ylko rozwarswieia badań ekoomiczych a czyso eoreycze i empirycze, ale eż zróżicowaia eoriopozawczych ierpreacji eorii ekoomiczych i zamkąć sprawę. Tomasz Żylicz, Czy w ekoomii jedoski pomiaru coś zaczą? Tomasz Żylicz zaczya swój arykuł dosyć opymisyczie, pisząc, że: Różica między rówaiami ekoomiczymi i fizyczymi polega a ym, że e osaie bywają rzeeliej podbudowae empiryczie, a więc rzadziej się zdarza, iż wyrażający je wzór maemayczy jes błędy. Aaliza wymiarowa pomaga zaleźć e błędy, ale ie gwarauje ich elimiacji. Arykuł Williama Barea rzeczywiście zwraca uwagę a pewe iefrasobliwości ekoomisów, choć jego auor przesadza, wierdząc, że dorobek eorii ekoomii wymaga gruowego przeglądu pod ym kąem. Z puku widzeia Barea dalszy wywód T. Żylicza moża przyjąć pozyywie. Pisze o bowiem: W fizyce akie przeliczeia [mia W.K.] są a porządku dzieym, więc rudo sobie wyobrazić, że koś mógłby posługiwać się wzorem, kórego i lewa, i prawa sroa wyrażoe są w iych jedoskach. Iaczej jes w ekoomii. Tuaj pomiar eksperymealy bywa częso problemayczy, więc i posługiwaie się wzorami zosaje zryualizowae ak, że użykowik częso dobrze ie rozumie, jak ierpreować obliczeia. Dalej auor pisze, że we wzorze Y = AK a L b, jeśli Y wyrazić w szukach, K w złoówkach i L w diówkach o A powio mieć wymiar [szuk zł a diówka b] i swierdza, że: Z pewością wielu ekoomisów ie zasaawiało się ad wymiarem parameru A, zadowalając się jedyie sposrzeżeiem, że jego zmieość wyraża działaie posępu echiczego. Jeszcze miej badaczy było zapewe zaiepokojoych fakem, że wymiar e ie jes możliwy do aprioryczego określeia, poieważ paramery a i b bywają wyikiem oszacowaia a podsawie daych empiryczych. ( ) Auor [j. Bare W.K.] sugeruje, że w fizyce o się ie może zdarzyć. Tu kończy się w miarę pozyywy sosuek Tomasza Żylicza do arykułu Barea. Drugą część swojego arykułu T. Żylicz zaczya od ozajmieia: Oóż może się zdarzyć! i podaje przykłady. Jede z ich, zaczerpięy z popularego podręczika do auki fizyki, doyczący przemiay adiabayczej

11 1 = f( i). g Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii gazów, kiedy o zmieia się objęość = r i. g emperaura gazu (przy ściskaiu) przy braku wymiay ciepła z ooczeiem. mm Wedy: 1 F = k. pv l r= cos, gdzie p i V o odpowiedio ciśieie i objęość mgazu, 3 a l o paramer, cm3 kórego warość ie jes z góry określoa k = 667 (może, $ 1-11 mieć róże warości = 6, 67 $ (akże 1-8 > H > iecałkowie H. kg $ s g$ s i awe iewymiere) wyikające z eoreyczych modeli budowy cząseczkowej gazów i weryfikowae empiryczie). - 6rUJak = ql mogę r+ cmiemać, ; z pewym zadowoleiem T. Żylicz swierdza, że sała wysępująca po prawej sroie r ie ma żadego usaloego a priori wymiaru. - Tak 6r więc U = kryyka q^lr+ l fukcji rh = q Cobba-Douglasa l c m; r sosuje się rówież i do modelu fizyczego adiabayczej przemiay gazów, czego Bare zdaje się ie dosrzegać. 1 - a dl F =, To jedak ie jes akie prose. K Pozwolę dk sobie zaem a komearz. Własość pv l = cos aławo dl Fwyprowadzić z rówaia Medelejewa- =. Clapeyroa: L dl R pv = T, pv = RT, gdzie: 1 f () f3() 3 f( ) () = f( i). m \ \ \ p ciśieie, g fx (). f() + fl () x ! v objęość właściwa 1 gazu, R uiwersala = r sała. gazowa, df() x g fl () x = $ x m masa cząseczkowa, dx. ( x = ) T emperaura, mm 1 F = k. Y () 6z / T@ Y () a() a() = = T-1 z ) 1- V objęość kilomola r gazu. 6 ^ h@ a() K () z Ka() () Nie rzeba wspomiać, że m3 w rówaiu Medelejewa-Clapeyroa cm3 k = 667, $ 1-11 k 1 - k p = 6L, 67 $ 1-8 wszyskie > H jedoski (wymiary) się zgadzają. C > H. kg $ s = Jak bf ajczęściej p f p wykorzysujemy g. $ s własości ypu pv l = cos? Kiedy badamy pdwa say L gazu Cjede przy objęości V 1 i drugi przy - 6rU = ql r+ c; objęości V, zając ciśieie p 1 w pierwszym p a saie, pyamy się, jakie będzie ciśieie w drugim saie. QZaem = ac m. p mamy: r - 6 p 1 (V 1 ) l = p (V ) l. Sąd wyliczamy p = p 1 (V 1 /V ) l ru = q^lr+ lrh = ql c m;. Wyrażeie V 1 /V jes liczbą r rzeczywisa (bezwymiarową), l może K a L b być zaem 1 dowolą - a dl liczba F i Qwbrew = Aa emu. K k a co L k wierdzi T. Żylicz, ie ma żadej sprzeczości i ym = bardziej, podobieńswa z fukcją Cobba-Douglasa. K dk Jako drugi przykład podobej iefrasobliwości w sosowaiu wymiarów przez maemayków a i dfizyków l F =. (co miałoby ich upodabiać do ekoomisów) T. Żylicz podaje zay L wzór dla przybliżeie warości fukcji. Pisze o: W wielu zasosowaiach korzysamy R p. ze wzoru Maclauria przybliżającego warość fukcji za pomocą pochodych pv = T, ejże pv fukcji = RT, obliczoych w pukcie : fm f3() \ 3 f( ) fx (). f() + fl () x ! Aby e wzór miał df ses, () x ależy rozumieć, że przy wszyskich składikach sumy fl () x = $ x po prawej sroie soją dx sałe 1 o odpowiedim wymiarze (j. akim, żeby po. ( x = ) pomożeiu przez x w odpowiediej poędze orzymać wymiar ideyczy jak dla Y () 6z / T@ Y () a() a() = = 6T-1^z ) 1- h@ a() K () z Ka() () p p k L = bf p f L C C 1 - k p.

12 158 =, K dk a dl F =. L dl Wiold Kwaśicki R pv = T, pv = RT, lewej sroy). Jes o zasada oczywisa, kórej ie uwzględia się zazwyczaj przy fm f3() \ 3 f( ) zasosowaiu wzoru Maclauria. fx (). f() + fl () x Oóż moim zdaiem i uaj Tomasz Żylicz się myli, bo f () () 6 ma e właśie! df() x posuloway wymiar; p. fl () x = $ x, dx ma e sam wymiar co x, zaem dx. ( x = ) całość ego wyrażeia ma wymiar Y f(x). () 6z Podobie / T@ jes Y () z wyższymi pochodymi f(x). a() a() = = T-1 z ) 1- Zaem, moim zdaiem, całkowicie ieuzasadioy 6 jes ^osaeczy h@ wiosek a() K () z Ka() T. Żylicza, że []ie moża jedak zgodzić się z ezą () auora [Barea W.K.], iż dosrzeżoy przez iego problem k 1 - k p każe L odrzucić C zaczą część dorobku ekoomii, włączie z fukcją produkcji = bf p f p. p Cobba-Douglasa. L C Taka reakcja jes moco przesadzoa, zaś argumey sosowae przeciwko fukcji Cobba-Douglasa mogłyby być p a wysuięe przeciw wielu Qrówaiom = ac m. sosowaym w aukach przyrodiczych. Pozyywe jes jedak o, że podsumowując p Tomasz Żylicz swierdza, iż arykuł [Barea W.K.] zwraca uwagę Ka a pewie L b aspek modelowaia maemayczego, kóry jes częso igoroway Q = Aa. K kw a Lbadaiach k ekoomiczych. W ym sesie jes o arykuł, z kórym ekoomisa powiie się zapozać. Emil Paek, Uwagi a margiesie arykułu W. Barea Dimesios ad ecoomics: some problems W arykule ym auor przyjmuje podobą sraegię, ajpierw pochwalić Barea, a poem pokazać, że w isocie ie ma racji. Emil Paek pisze a począku, że problem wymiarów w zw. ekoomii ilościowej jes oczywiście waży, jak zreszą problem wymiarów w każdej auce, w kórej posługujemy się miaami. Ekoomia ie różi się pod ym względem od fizyki, chemii i asroomii. ( ) W ekoomii, i w ogóle w aukach społeczych, liczba czyików wpływających a przebieg procesów jes ak duża, że paramerów ekoomiczych w ścisłym ego słowa zaczeiu (iezmieych w czasie i przesrzei) po prosu ie ma. ( ) Model maemayczy w ekoomii różi się ym od modelu maemayczego w fizyce, że fizyka (klasycza) ma do czyieia z relaywie prosymi obiekami i prawami, czego ie moża powiedzieć o ekoomii. ( ) Weryfikacja założeń w ekoomii jes ruda lub iekiedy iemożliwa. Zmieość, złożoość procesów ekoomiczych sprawia, że»poadczasowe«,»poadprzesrzee«prawa ekoomicze ie isieją w odróżieiu od»odwieczych«praw fizyki czy asroomii. Już jedak po apisaiu, iż ma rację prof. Bare, że warukiem koieczym poprawości (formalej) eorii czy modelu maemayczego w fizyce, ekoomii, czy każdej iej dziedziie auki jes zgodość wymiarów, Emil Paek pisze: Nie zgadzam się aomias ze swierdzeiem, że wymiary w ekoomii ie mają uzasadieia i sesu (ekoomiczego), podczas gdy w fizyce mają. Wymiary w fizyce są częso rówie»dziwacze«i skomplikowae, jak w ekoomii (zwłaszcza w fizyce współczesej). Rówie ierafy jes zarzu iesałości wymiarów. E. Paek propouje rozważeie fukcji produkcji Cobba-Douglasa w posaci iesywej y() = ak a() (). Według iego wymiar współczyika a zmieia się w zależości od a ie dlaego, że fukcja opisuje proces ekoomiczy (a ie

13 K = dk a dl F =. L dl, Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii 159 R pv = T, pv = RT, fizyczy), ale z ego powodu, że opisywaa zależość ma charaker ieliiowy. fm f3() \ 3 f( ) To, że chodzi u o zależości fx (). fekoomicze, () + fl () x + a ie fizycze, + ie ma + żadego + zaczeia. Nieliiowe procesy fizycze geerują zmiee. wymiary 6 ak samo jak ieliiowe procesy w ekoomii. df() x! fl () x = $ x W aszym przykładzie: dx. ( x = ) Y () 6zł/ T@ Y () a() a() = = 6T-1^zł) 1- h@ a() K () zł Ka() () k 1 - k i, jak widać, wymiar a zmieia p się Lw czasie C wraz ze zmiaą warości (bezwymiarowego = bf p f p. z założeia) współczyika p elasyczości L C produkcji względem kapiału a. Tuaj pozwolę sobie ie zgodzić p a się ze swierdzeiem, że ieliiowe procesy fizycze geerują zmiee Q = awymiary c m. ak samo jak ieliiowe procesy w ekoomii. Trudo mi zaleźć akie p przypadki w fizyce, szkoda zaem, że Emil Paek ie podał kokreych przykładów a b K akich L ieliiowych procesów fizyczych. Dlaego eż iezby Qzrozumiały = Af p f p K jes L dla mie posula i swierdzeie E. Paka, że spełioe musi być bezwzględie Korayowskie kryerium prawdy logiczej. Doyczy o w szczególości zgodości wymiarów. Ale ylko yle!»niesałość wymiarów«,»brak uzasadieia dla wymiarów«o ie są poważe zarzuy aukowe. ( ) Reasumując, wymiary muszą być zgode. A czy są prose, czy złożoe, czy sałe, czy iesałe, o ie ma większego zaczeia ai w ekoomii, ai w żadej iej auce. W ekoomii pukem wyjścia przy kosruowaiu wymiarów są zasoby i srumieie. Wszyskie ie wymiary są ich pochodymi. Zbigiew Czerwiński, Kilka słów w sprawie wymiarów w ekoomii I zów a począku pochwały i wyzaie Zbigiewa Czerwińskiego: Zgadzam się z W. Bareem, że wymiary wielkości wysępujących w modelach ekoomiczych (ekoomeryczych) powiy być saraie defiiowae. ( ) Czyelik powiie wiedzieć, czy chodzi p. o złoe, czy o złoe a czas, czy o liczbę roboików lub liczbę roboczogodzi ip. Wymiar paramerów jes zdeermioway przez wymiar zmieych i gdy wymiar zmieych ie budzi wąpliwości, ie powiie ich eż budzić wymiar paramerów. ( ) Waże jes aomias, aby gdy zapisuje się rówaia (czyso eoreycze lub szacowae empiryczie) wymiary prawej i lewej sroy były jedakowe. W pracach ekoomisów (ekoomeryków) moża zaleźć przykłady łamaia ej zasady. Z ego powodu domagaie się jej przesrzegaia jes słusze. Poem jedak Auor bagaelizuje problem, pisząc: Barea gębi problem iesałych wymiarów w ekoomii (ekoomerii) w przeciwieńswie do ich sałości w fizyce. Tak rzeczywiście jes, ale o zmarwieie ylko ych, kórzy oczekują, że auki społecze mogą (powiy) dokładie aśladować auki przyrodicze. Nie jes o jedak możliwe. Nauki przyrodicze, w szczególości fizyka, są w saie formułować prawa uiwersale, sprawdzające się (przy sałych paramerach) iezależie od miejsca i czasu. Zjawiska społecze akim prawom ie podlegają

14 16 Wiold Kwaśicki chyba, że za prawa uzamy eż pewe iewiele zaczące ogóliki w rodzaju»gdy cea rośie, o popy spada«, co sprawdza się lub ie w zależości od okoliczości owarzyszących wzrosowi ce (ceeris paribus). ( ) Paramery elasyczości i TFP o charakerysyki procesu produkcji, kóre są róże w różych krajach i w różych epokach. Dlaczego miałoby być iaczej? Z. Czerwiński dosyć oszalacko rozprawia się z problemem, pisząc: Wymiary paramerów fukcji produkcji ie mogą być sałe. Powód, dlaczego ak jes, o kwesia filozoficza, kórej ie będę rozważał. Czy uzaie, że jakiś problem jes kwesią filozoficzą jes dosaeczym uzasadieiem uikaia poszukiwaia odpowiedzi? Chyba ie. Moim zdaiem, całkowicie ie do przyjęcia jes argume Auora, że gdyby w Europie grawiacja była odwroie proporcjoala do kwadrau odległości ( ), a w Ameryce była odwroie proporcjoala do rzeciej poęgi odległości, o»amerykański«wymiar sałej grawiacji byłby odmiey od»europejskiego«. ( ) W sferze fizyki a rozbieżość jes iemożliwa, ale w ekoomii wydaje się być całkiem aurala. Zamias uiwersalych praw mamy ylko lokale, saysycze prawidłowości, sprawdzające się»a ogół«i ylko z pewym przybliżeiem. Czym zaem jes auka? Jeśli w e sposób rakowalibyśmy aalizę ekoomiczą, o czy uzasadioe byłoby uzawaie ekoomii za aukę? K. Maciej Przyłuski, Wymiary a ekoomia: ie ma problemu Maciej Przyłuski a począku chwali Barea, pisząc, że auor pracy posuluje, że koiecze jes kosekwee i prawidłowe posługiwaie się wymiarami. Trudo się z ym ie zgodzić. Zaraz po ym dodaje jedak, że swoje swierdzeia auor wspiera dwoma przykładami, kóre moim zdaiem ie pozwalają a sformułowaie żadych ikwizyorskich osądów. Dalej jes w podobym sylu. K.M. Przyłuski pisze, że przedsawioe przez Barea zarzuy wskazują raczej a podsawowe iezrozumieie przez iego arymeyki liczb kardyalych: dla Barea z rówości 3+ 3 = 3 wyika (po skróceiu w obu sroach ej rówości 3), że 3 = ; właśie argumey a ym poziomie się pojawiają. Dla Macieja Przyłuskiego problem posawioy przez Barea ie jes jakimkolwiek problemem. Podążając za swoim poglądem, że [u]kład jedosek o przyjęy (dość arbiralie) zbiór wielkości podsawowych oraz pochodych wraz z jedoskami miar wielkości pochodych, K.M. Przyłuski zadaje pyaie i udziela aychmias odpowiedzi: jak są mierzoe odpowiadające im wielkości wysępujące w aszych rozważaiach doyczących fukcji produkcji. Odpowiedź jes prosa: e wielkości reprezeują czas; wszyskie z ich mierzyć moża za pomocą ego samego zegara! Nie używamy specjalego zegara do pomiaru upływającego czasu produkcji, czasu pracy maszy i czasu pracy ludzi. Rok o zwykle 876 godzi, jeda maszyogodzia rwa godzię, a jeda roboczogodzia, awe jak am się dłuży, eż rwa godzię. ( ) K jes mierzoe w maszyogodziach/czas, ak więc jedak K jes wielkością bezwymiarową, po

15 Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii 161 prosu, bo jej prawdziwy wymiar o czas/czas. Podobie L jes mierzoe w roboczogodziach/czas, więc akże L jes wielkością bezwymiarową. Oczywiście, iepokojące Barea wielkości K a oraz L b są akże bezwymiarowe.rozważmy eraz wymiar współczyika A. Jes o zgode z ym, co zauważa Bare [wihajsry/ czas]/[maszyogodziy/czas] a. [roboczogodziy/czas] b. ( ) wymiar współczyika A jes aki sam, jak srumieia Q, co chcieliśmy uzasadić. Moża i ak. Przyjąć dość arbiralie jedoski podsawowe i problem zika. Co jedak, jeśli dość arbiralie przyjmiemy (jak o częso jes w saysykach), że kapiał mierzymy w jedoskach moearych, a czas w roboczogodziach? Zreszą o ie jes jedya wypowiedź K.M. Przyłuskiego w ym krókim arykule, w kórym iczym Aleksader Macedoński rozwiązuje gordyjski węzeł. Na zakończeie ego arykułu obwieszcza, że ekoomisom się wydaje, że rozparują bardziej skomplikowae procesy iż e, z kórymi mamy do czyieia w biologii, chemii, fizyce (p. w geofizyce, merologii) lub w iekórych aukach echiczych (p. iżyierii procesowej). To jes jedak pogląd myly. Po prosu ww. auki rozwijały się zawsze sprawiej od eorii ekoomii. Prose, prawda? ZAJRZYJMY DO ORYGINAŁU! Po ej poowej lekurze eksów odoszących się do arykułu Barea zrobiłem coś, co powiieem zrobić co ajmiej pięć la emu, a czego ie uczyiłem (ale, jak miemam, ie zrobiła ego eż większość (jeśli ie wszyscy) auorów, łączie z Bareem). Sięgąłem do orygialej pracy Cobba i Douglasa z 198 roku 8. Jakież było moje zdziwieie, kiedy skosaowałem, że o co używae jes jako fukcja Cobba-Douglasa we współczesej lieraurze i w podręczikach ekoomii ie ma wiele wspólego z orygialą propozycją Cobba i Douglasa. Co zrobili Cobb i Douglas? Zebrali dae saysycze doyczące wielkości zaagażowaego kapiału i pracy oraz wielkości produkcji w gospodarce amerykańskiej (w sekorze produkcji przemysłowej) z la Te orygiale dae saysycze, kórymi posługiwali się Cobb i Douglas, są przedsawioe w rzech kolejych abelach (rysuki 1, i 3 zawierają odpowiedio abele II, III i IV z orygialej wersji arykułu z 198 r.). Tak a margiesie: dae e obejmują eż okres kryzysu w laach , co widać chociażby po dużym spadku iwesycji w laach 191 i 19 parz pierwsza koluma w Table II (rys. 1) oraz spadku produkcji w 191 r. (parz Table IV, rys. 3).Ware podkreśleia i gode zauważeia jes o, że już w 19 r. produkcja wyraźie wzrosła. Głębokość depresji była podoba jak depresji z 199 r., różica jes jedyie w ym, że wyjście z depresji la dokoało się główie dzięki spoaiczym siłom rykowych, a wyjście z depresji 199 r. odbywało się przy dużej ierwecji pańswa. Gospodarka amerykańska wyszła z kryzysu bardzo szybko, a z kryzysu w 199 r. wychodziła przez asępe 1 la. Dlaego eż częso kryzys azyway jes kryzysem, o kórym ie słyszeliście albo zapomiaym kryzysem. 8 Cobb, Douglas (198).

16 16 Wiold Kwaśicki Rysuek 1. Orygiala abela z arykułu Cobba i Douglasa (198) zawierająca dae saysycze o zaagażowaym kapiale w sekorze produkcyjym Saów Zjedoczoych w laach Rysuek. Orygiala abela z arykułu Cobba i Douglasa (198) zawierająca dae saysycze o zaagażowaej liczbie pracowików w sekorze produkcyjym Saów Zjedoczoych w laach

17 Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii 163 Rysuek 3. Orygiala abela z arykułu Cobba i Douglasa (198) zawierająca dae saysycze o wielkości produkcji maerialej Saów Zjedoczoych w laach Rysuek 4. Orygialy rysuek z arykułu Cobba i Douglasa (198) obrazującego zmiay względe kapiału, wielkości zarudieia i wielkości produkcji w Saach Zjedoczoych w laach Najisoiejsze jes jedak o, że przy esymacji paramerów fukcji produkcji Cobb i Douglas posługiwali się ie warościami bezwzględymi, a warościami względymi (wskaźikami). Dlaego w abelach podae są e warości względe: a rysuku 1 (Table II) wskaźik zmia zaagażowaego kapiału przedsawioy jes w osaiej kolumie (w laach kapiał e wzrósł 4,31 razy), a rysukach i 3 (Table III i Table IV) auorzy podali ylko same warości wskaźików zaagażowaej pracy i wielkości produkcji. Na rysuku 4 przedsawioo orygiale wykresy zmia wskaźików zaagażowaego kapiału, zarudieia i wielkości produkcji. Na rysuku 5 przedsawioo fragme orygialego eksu Cobba i Douglasa doyczącego osaeczego wyboru posaci fukcji produkcji do esymacji para-

18 164 Wiold Kwaśicki Rysuek 5. Fragme orygialego eksu arykułu Cobba i Douglasa z 198 roku Rysuek 6. Orygiale wykresy z arykułu Cobba i Douglasa (198) obrazującego jakość dopasowaia fukcji produkcji do rzeczywisych daych o wielkości produkcji w Saach Zjedoczoych w laach

19 F = k r. m3 cm3 k = 667, $ 1-11 = 6, 67 $ 1-8 > H > H. Problemy aalizy wymiarowej kg $ s w ekoomii g$ s 165-6r U = ql r+ c; r merów i aproksymacji rzeczywisej - 6rwielkości U = q^lprodukcji r+ lrh = w qsaach l c m; Zjedoczoych. Waro zauważyć, że auorzy są świadomi porzeby zachowaia r wielkiej osrożości w wyborze posaci fukcji 1 - aprodukcji dl F (jak sami piszą: rezerwując sobie prawo iego wyboru, jeśli sobie ego = zażyczymy );, K dk P, L i C ozaczają odpowiedio wskaźiki wielkości produkcji, wielkości zarudieia i zaagażowaego a dl F kapiału. Cobb i Douglas dokoują = esymacji. paramerów b i k, przyjmując za kryerium dopasowaia do daych L d rzeczywisych L miarę błędu średiokwadraowego. R pv = T, pv = RT, Z ych esymacji wyika im, że b = 1,1 oraz k = 3/4 o opymale warości 9. Jakość ego dopasowaia pokazaa jes a rysuku f6 m () (orygialy \ f3() wykres \ 3 z arykułu Cobba i Douglasa). Zasaawia fx (). f() mie + f(a l () może x + i iepokoi) + orzymaa + dosyć +. f( ) 6! okrągła warość parameru k (= 3/4). Z reguły przy esymacji paramerów jakiejkolwiek fukcji wielkości () opymale df() f x paramerów x l = $ x są warościami rzeczywisymi, kórych warości zwykle zaokrągla dx. się ( x = a ) kórymś am (p. czwarym) zaczącym miejscu. Y () 6z / T@ Y () a() Waro zaem zapisać w ajawy () = sposób posać = fukcji 6produkcji T-1^z ) 1- sosowaej h@ a() przez Cobba i Douglasa: K () z Ka() () k 1 - k p L C = bf p f p. p L C p a Sosując aką posać fukcji Q = produkcji, ac m. Cobb i Douglas uikają wszelkich problemów związaych z aalizą wymiarową, p gdyż wszelkie używae przez ich zmiee są bezwymiarowymi wskaźikami. K a LMoża b by zaem powiedzieć, że przyajmiej w przypadku fukcji Q = produkcji Aa. K k acobba-douglasa L k problem posawioy przez Barea samoisie zika. Nie ozacza o, że posulowaa przez Barea koieczość rygorysyczego sosowaia aalizy wymiarowej w ekoomii akże przesaje być zasada. Problem adal isieje i porzeba a jes ak samo waża jak w fizyce oraz we wszelkich iych aukach. Kiedy pięć la emu pisaliśmy komearz do arykułu Barea (Kwaśicki, Zieliński, 6) ie zajrzeliśmy (iesey, chciałoby się powiedzieć) do orygialego arykułu Cobba i Douglasa z 198 roku. Teraz dopiero widzimy, jak wiele by o zmieiło, gdybyśmy o uczyili. Iuicyjie jedak wyczuwaliśmy ok myśleia Cobba i Douglasa. Napisaliśmy wedy: Weźmy jako przykład fukcję popyu o sałej elasyczości ceowej: Q = ap a. Elasyczość a jes liczbą, kóra zmieia się w zależości od aalizowaego ryku, może być róża w różych okresach czasowych. Jeśli cea jes wyrażoa w złoówkach, Q w szukach (p. wihajsrów, elewizorów, samochodów), o a powio mieć wymiar [sz. zł a ]. Napoykamy uaj problem posawioy przez Barea. W odróżieiu od syuacji w fizyce (p. przy rówaiu a siłę przyciągaia grawiacyjego), gdzie wykładik poęgi jes z reguły sały (w rówaiu a 9 Te paramery b i k odpowiadają we współczesej oacji paramerom A i 1 a.

20 =. L dl - 6rU = ql r+ c; R r pv = T, pv = RT,- 6rU = q^lr+ lrh = ql c m; r 166 Wiold Kwaśicki fm1 () - a\ dfl 3() F \ 3 f( ) fx (). f() + fl () x + = +, + +. K dk6! siłę grawiacji wykładik przy odległości r jes dfrówy () x ). Zaem a dl sała F grawiacji G ma iezmiey wymiar iezależie fl () od x = ego, dx czy aalizujemy $ x =. L siły dlprzyciągaia. ( x = ) się mikrocząsek a ziemi czy siły przyciągaia się plae. W syuacji fukcji popyu już ak ie jes. Wymiar parameru Y () () a musiałby 6z / T@ się Y zmieiać () R T 1w z zależości () a = = pv = a 6 - T, ^ ) 1- pv = h@ RT, od ego, jaki ryek i w jakim czasie aalizujemy K ()(bo a z a () ie jes Ka() sałą).rozwiązaiem, () kóre w akiej syuacji moża zasosować, jes wybór k 1jakiejś - k cey referecyjej p fm f i odiesieie cey bieżącej do cey p referecyjej, L C fx (). f() + fl () x + + = bf p f czyli p zapisaie. fukcji popyu w posaci: p L C df() x p a fl () x = $ x Q = ac m. dx. ( x = ) p Y () 6z / T@ Y () K a L b a() = = 6T-1^ Wówczas wymiar parameru a Qjes = rówy Aa. K k[sz.] a L ki iezależy od a, () bo p/p a() K jes Ka() () bezwymiarową liczbą rzeczywisą. Moża zarzucić emu podejściu, że jes oo k 1 - k swego rodzaju proezą, ale a obecym eapie aalizy ekoomiczej, p L C = bf p f kiedy p. chcemy sosować apara maemayczy, jes o pewe wyjście, p kóre L umożliwia C uikięcie problemów meodologiczych, a awe problemów aury p fudamealej. Q = ac m. p a Podobie moża posąpić w przypadku fukcji produkcji, odosząc bieżący K a L b kapiał i pracę do kapiału i pracy referecyjej (K i L ): Q = Aa k a k. K L A więc a zapropoowaa przez as posać fukcji produkcji jes ożsama z ą zapropoowaą przez Cobba i Douglasa w 198 roku 1. Jak już jeseśmy przy hisorii związaej ze zmiaą ierpreacji pewych klasyczych pojęć, o wspomę o, moim zdaiem, jedym z ajważiejszych akich przypadków 11. W końcu la 5. A.W. Phillips bawił się daymi saysyczymi, dopasowując dae z rozwoju Wielkiej Bryaii w laach , i określił zależość między bezrobociem (U) i sopą zmia płac omialych (W). Opublikował e rozważaia w sławym arykule Relaioship bewee Uemployme ad he Rae of Chage of Moey Wages i he Uied Kigdom Na rysuku 7 przedsawioo orygialy wykres z ej publikacji. Arykuł Phillipsa jes przykładem dobrej, solidej pracy ekoomisy-rzemieślika (w pozyywym słowa ego zaczeiu). Jedakże w 196 r. Paul Samuelso i Rober Solow zamieścili w presiżowym America Ecoomic Review opracowaie p. Aalyical Aspecs of Ai-Iflaio Policy. W arykule ym dokoali reierpreacji (słowo adużycie byłoby lepsze) krzywej zapropoowaej przez Phillipsa i przedsawili ją jako zależość między wielkością bezrobocia i iflacji. Swierdzili oi, że isieje wymieość pomiędzy iflacją a bezrobociem (wyso- 1 Moża sądzić, że De Jog (1967) eż ie czyał orygialego arykułu Cobba i Douglasa, bo w przeczyaej przeze mie dopiero eraz książce zalazłem podobą propozycje ormalizacji zmieych w fukcji Cobba-Douglasa do referecyjych warości kapiału i pracy (K i L ). De Jog (1967, s. 48) pisze, że a owa posać fukcji produkcji będzie azywaa»zrewidowaą wersją«fukcji produkcji Cobba-Douglasa (he revised versio of he Cobb-Douglas producio fucio). 11 Na co od wielu la zwracam uwagę sudeom, kiedy omawiamy zw. krzywą Phillipsa. 3

21 Problemy aalizy wymiarowej w ekoomii 167 kiej iflacji owarzyszy iskie bezrobocie i odwroie, gdy chcielibyśmy zmiejszyć iflację, o musimy zgodzić się a o, aby wzrosło bezrobocie). Orygialy wykres z pracy Samuelsoa i Solowa, reierpreujący krzywą Philipsa, przedsawia rysuek 8. W roku 1961 Paul Samuelso włączył ak zreierpreowaą krzywą Phillipsa do piąego wydaia swojego podręczika Ecoomics, a że podręczik e był w amym czasie rakoway jako wzorcowy, o i wielu iych auorów podręczików (i arykułów aukowych) dokoało ego samego w asępych laach. W e sposób koleje pokoleia sudeów uczoe są ej błędej posaci krzywej Phillipsa, ale co gorsze uczei są przekoai, że aka krzywa może być podsawą prowadzeia poliyki gospodarczej rządów (w ej posaci weszła do sadardowego zesawu arzędzi poliyki gospodarczej keyesisów i eoklasyków). Nawiasem mówiąc, rzeba wykazać się aprawdę dobrą wolą, by a podsawie daych saysyczych (zebraych czy o przez Phillipsa, czy przez Samuelsoa i Solowa), ak bardzo rozrzucoych (p. rys. 7) zapropoować gładką krzywą (rys. 8) obrazującą zamieość iflacji i bezrobocia, kóra o krzywa bez zasrzeżeń zosała przyjęa przez poliyków gospodarczych. Rysuek 7. Orygialy rysuek z pracy A.W. Phillipsa obrazujący zależość między wielkością bezrobocia a sopą zmia płac

22 168 Wiold Kwaśicki Rysuek 8. Reierpreacja krzywej Phillipsa dokoaa przez Samuelsoa i Solowa PODSUMOWANIE Jeżeli w aalizie ekoomiczej sosujemy modele formale (maemaycze), o bezwzględie, ak jak o jes p. w fizyce, powiiśmy przesrzegać zgodości wymiarów we wszyskich sosowaych rówaiach. Jeśli w ych rówaiach wysępują paramery posiadające jakieś wymiary, o wymiary ych paramerów powiy być iezmiee w czasie oraz iezależe od regiou, kraju, sekora, gałęzi przemysłu (geeralie miejsca), do kórego e rówaie się sosuje. Ekoomiści w swoich pracach powii przyajmiej zasygalizować czyelikowi, że są świadomi problemu wymiarowości w sosowaej przez ich aalizie. Waro jedak powiedzieć, że powszecha dążość ekoomii orodoksyjej do opisu ilościowego zjawisk gospodarczych ie ozacza, że opis aki jes peły i adekway. W ekoomii (ale akże w iych aukach, p. fizyce, o czym pisał p. Feyma) opis ilościowy czy formaly ie jes ożsamy ze zrozumieiem zjawiska. W ym koekście waro zacyować opiię Daiela Yakelowicha (eoreyka, profesora psychologii, ale akże prakyka założyciela zaej firmy badającej ryki) o admierej ufości pokładaej w liczbach i liczeiu: Krok pierwszy o zmierzyć i policzyć o, co może być ławo zmierzoe i policzoe. I o jes całkiem okej. Krok drugi o pomiąć o, czego ie da się zmierzyć i policzyć albo przypisać emu czemuś jakąś arbiralą warość liczbową. To jes posuięcie szucze, kóre wprowa-