Spis treści Przedmowa... 4 Wykaz niektórych oznaczeń ,, Liczby losowe" Generatory liczb losowych o rozkładzie równomiernym

Transkrypt

1

2 Spis reści Przedmowa... 4 Wykaz iekórych ozaczeń... 5.,, Liczby losowe" Geeraory liczb losowych o rozkładzie rówomierym Wprowadzeie Geeraory liiowe Opis Okres geeraora Srukura przesrzea Ogóle geeraory liiowe Paramery saysycze Wybór paramerów dla geeraorów liiowych Geeraory opare a rejesrach przesuwych Geeraory Fiboacciego Kombiacje geeraorów Uiwersaly geeraor liczb losowych o rozkładzie rówomierym Geeraory opare a odejmowaiu z pożyczką i geeraor ULTRA Geeraory opare a możeiu z przeiesieiem Geeraory ieliiowe Uwagi o implemeacji umeryczej Przykładowe implemeacje w języku C Iicjowaie geeraorów Ogóly geeraor liiowy Geeraor Tausworha z podrozdziału Geeraor uiwersaly z podrozdziału Geeraory liczb losowych o dowolych rozkładach prawdopodobieńswa Ogóle meody kosrukcji geeraorów liczb losowych o dowolych rozkładach prawdopodobieńswa Meoda odwracaia dysrybuay Meoda elimiacji Meoda superpozycji rozkładów Meoda ROU Rozkłady dyskree Meody kosrukcji geeraorów dla podsawowych rozkładów prawdopodobieńswa Rozkłady dyskree Rozkład wykładiczy Rozkład ormaly Rozkład gamma Rozkład bea Rozkład Cauchy'ego Rozkłady α-sabile Związki między rozkładami Geeraory liczb losowych o rozkładach wielowymiarowych Przypadek ogóly Rozkłady rówomiere w R m Uwagi ogóle Rozkład rówomiery a sferze i a kuli w R m Rozkład rówomiery a sympleksie i a powierzchi sympleksu Wielowymiarowy rozkład ormaly Tesowaie geeraorów liczb losowych Meodyka esowaia geeraorów Tesy zgodości z rozkładem U(0, Tes chi-kwadra Tes zgodości z rozkładem wielowymiarowym Tes OPSO Tes Kołmogorowa Tesy zgodości rozkładów saysyk Wprowadzeie Tesy opare a saysykach pozycyjych Tes sum Tes d Tes urodzi dla spacji... 97

3 Tes ajmiejszej odległości w parach Tesy serii Tesy kombiaorycze Tes pokerowy Tes kolekcjoera Tes kolizji i es liczby pusych cel Tes permuacji Tes opary a rzędzie losowych macierzy biarych Tesowaie geeraorów za pomocą zadań korolych Prace cyowae... 06

4 Przedmowa Losowaie prób w koekście badań saysyczych (badaia reprezeacyje, symulacyje badaia esymaorów, esów i saysyczych reguł decyzyjych oraz w koekście obliczeń umeryczych (meody Moe Carlo, klasycze dla całek i rówań z operaorami liiowymi i owsze dla zadań opymalizacji, jak rówież symulacyje badaia modeli probabilisyczych w echice, ekoomii, aukach przyrodiczych i prakyczie we wszyskich dziedziach wiedzy, wymagają wyposażeia współczesego kompuera w odpowiedie arzędzia. Takimi arzędziami są geeraory liczb losowych. Kompuery rafiły pod srzechy i fala publikacji poświęcoych różym aspekom ich wykorzysaia ie opada. Jeseśmy przekoai, że w czasie, jaki upłyie między posawieiem przez as osaiej kropki w kompueropisie ej książki a jej doarciem do pierwszych Czyelików, pojawi się co ajmiej kilkadziesią owych publikacji i programów bezpośredio związaych z emayką geeraorów liczb losowych. Wierzymy jedak, że o co propoujemy Czyelikom, będzie jeszcze przez pewie czas akuale, a przyajmiej uławi Im, i jeszcze długo będzie uławiało, poruszaie się w gąszczu coraz o owych osiągięć w ej dziedziie. Warszawa, maj 997 Auorzy

5 Wykaz iekórych ozaczeń raspozycja wekora a [a] ajwiększa liczba całkowia, miejsza lub rówa a {a} ułamkowa część liczby a a orma (długość wekora a a mod b resza z dzieleia liczby a przez b a or b operacja biara (a + b mod A c dopełieie zbioru A Cov(X, Y kowariacja zmieych losowych X i Y D (X wariacja zmieej losowej X E(X warość oczekiwaa zmieej losowej X A fukcja charakerysycza zbioru A l m (A miara (Lebesgue'a zbioru A w R m I a logarym auraly liczby a P{A} prawdopodobieńswo zdarzeia A R zbiór liczb rzeczywisych R przesrzeń euklidesowa -wymiarowa sig fukcja zaku Ž(p fukcja gamma Eulera Φ dysrybuaa rozkładu ormalego N(0, ω zdarzeie elemeare Ω przesrzeń zdarzeń elemearych koiec przykładu koiec lemau lub wierdzeia a T

6 Ay oe who cosiders arihmeical mehods ofpro-ducig radom digis is, ofcourse, i a sae ofsi. For, as has bee poied ou severa/ imes, here is o suci hig as a radom umber - here are oly mehods o pro-duce radom umbers, ad a sric arihmeic procedure ofcourse is o such a mehod. ' JOHN VON NEUMANN, 95.,, Liczby losowe" Wykoajmy serię iezależych rzuów moeą i zaoujmy obserwowae wyiki, pisząc, O - gdy wyikiem rzuu jes reszka, lub l - gdy wyikiem rzuu jes orzeł. Poieważ prawdopodobieńswo zaobserwowaia orla jes akie samo jak prawdopodobieńswo zaobserwowaia reszki i rówe /, więc zmiea losowa wyik rzuu ma rozkład dwupukowy i przyjmuje warości O lub l z jedakowym prawdopodobieńswem. Mówimy, że a zmiea losowa ma rozkład rówomiery a zbiorze {0,}. W wyiku opisaego posępowaia orzymamy, więc p. asępujący ciąg liczb:,0,0,,,... Taki ciąg przyjęo azywać ciągiem liczb losowych o rozkładzie rówomierym a zbiorze {0,}. Moeę, za pomocą, kórej orzymujemy ego ypu ciągi, azywamy geeraorem liczb losowych o rozkładzie rówomierym a zbiorze {0,}. Przygoujmy 0000 jedakowych karek i poumerujmy je kolejymi liczbami czerocyfrowymi: 0000,000,000,..., Wrzućmy wszyskie karki do ury. Losujmy z ury po jedej karce, ak żeby w każdym losowaiu każda z ich miała jedakową szasę a wyjęcie z ury. Zmiea losowa wylosoway umer ma rozkład rówomiery a zbiorze {0000,000,000, Jawie grzeszy, ko opowiada o arymeyczych procedurach geerowaia liczb losowych. Nie ma bowiem, jak o już ieraz mówioo, czegoś akiego, jak liczba losowa. Isieją meody losowego wywarzaia liczb, ale oczywiście żada deermiisycza procedura arymeycza ie jes aką meodą. (Tłumaczeie auora

7 ..., 9999}. Jeżeli opisae losowaie powórzymy wielokroie (po każdymi z ich zwracając wylosowaą karkę z powroem do ury, o orzymamy p. asępujący ciąg liczb: 7,4355, 034,... Taki ciąg będziemy azywać ciągiem liczb losowych o rozkładzie rówomierym a zbiorze {0000,000, 000,..., 9999}, a urę z poumerowaymi karkami - geeraorem liczb losowych o rozkładzie rówomierym a ym zbiorze. Weźmy pod uwagę rulekę z kołem o obwodzie rówym l i iech A będzie wyróżioym pukem a obwodzie arczy ej ruleki. Tarczę wprawiaj się w ruch obroowy i rzuca a ią kulkę K, kóra, dzięki odpowiediej kosrukcji ruleki, zarzymuje się zawsze a brzegu arczy. Niech U będzie długością łuku AK. Załóżmy, że zmiea losowa U ma rozkład rówomiery a przedziale (0, - rozkład e będziemy ozaczali przez U(0,. W wyiki kilku eksperymeów z ruleką orzymamy p. asępujący ciąg liczb: 0.7, , 0.340,... Taki ciąg przyjęo azywać ciągiem liczb losowych o rozkładzie rówomierym a przedziale (0,, a rulekę - geeraorem liczb losowych o rozkładzie rówomierym U(0,. Zadaia, w kórych do rozwiązywaia używa się ciągów liczb losowych, moża podzielić a rzy grupy. Grupę pierwszą (rówież pierwszą hisoryczie worzą zadaia związaej z badaiami reprezeacyjymi. Problem opisu różych zbiorów (populacji za pomocą próbek losowaych z ych zbiorów jes ypowym problemem saysyczym. Przykładami są u badaia różych zjawisk społeczych przez szczegółowy opis jedosek wybraych losowo z populacji ieresujących badacza obieków (ludzi, zakładów pracy, środowisk, szkół, ip. lub zadaia ze saysyczej koroli jakości, w kórych parie różych owarów opisuje się a podsawie badaia losowo wybraych próbek ych owarów. W prakyce sosuje się u ie ylko akie schemay losowaia, jak poday wyżej przykład losowaia prosego z ury; obszery przegląd różych meod geerowaia prób losowych w akich syuacjach moża zaleźć p. w książce Zasępy (96 i w książce Brachy (996. Grupę drugą saowią zadaia umerycze rozwiązywae meodami Moe Carlo. Zadaie umerycze (ypowym przykładem jes zadaie obliczaia warości daej całki zasępuje się wówczas zadaiem rachuku prawdopodobieńswa, kóre z kolei rozwiązuje się a drodze eksperymeu saysyczego. Podsawową częścią ego eksperymeu jes losowaie próbki z odpowiediej populacji, a więc geerowaie odpowiediego ciągu liczb losowych. Obszery wykład różych sposobów posępowaia w akich syuacjach moża zaleźć w książkach: Hammersleya i Hadscomba (96, Zielińskiego (970, Jermakowa (976, Niederreiera i Shiue (995. Najowsze meody ego ypu doyczą sochasyczych algorymów szukaia miimum globalego daej fukcji, czemu poświęcoa jes miimoografia Zielińskiego i Neumaa (986 oraz licze prace doyczące symulowaego wyżarzaia (ag. simulaed aealig z osaiego dziesięciolecia; akuale wyiki a e ema moża zaleźć w pracy Wieczorkowskiego (995. Grupę rzecią saowią zadaia związae z badaiem różych zjawisk i procesów (echiczych, ekoomiczych, przyrodiczych za pomocą ich kompuerowej symulacji (modelowaia. O przebiegu akich procesów de-dują ajczęściej czyiki losowe, a modelowaie wpływu ych czyików sprowadza się do losowaia próbek z odpowiedich rozkładów prawdopodobieńswa, czyli do geerowaia odpowiedich ciągów liczb losowych. W syuacjach realych korzysaie z opisaych wyżej geeraorów liczb losowych (moea, ura lub ruleka jes, oczywiście, ajczęściej iemożliwe j w prakyce akie prawdziwe" geeraory są zasępowae pewymi ich amiaskami. Jeszcze do iedawa powszechie posługiwao się ablicami liczb losowych, obecie sosuje się odpowiedie programy kompuerowe. Wszędzie dalej w ej książce mówiąc o geeraorach liczb losowych mamy właśie a myśli akie programy. Podsawową rolę odgrywają geeraory liczb losowych o rozkładzie rówomierym U(0, - omawiamy je w rozdz.. Liczby orzymywae w wyiku obliczeń wykoywaych za pomocą programów kompuerowych ie są oczywiście ak losowe" jak liczby uzyskiwae przez rzuy moeą, losowaie z ury lub obracaie koła ruleki. W celu podkreśleia ego faku używa się częso azw liczby pseudolosowe lub liczby ąuasi-losowe, ale ie będziemy

8 uaj rygorysyczie rzymali się ych azw; dalej mówimy po prosu o programowych geeraorach liczb losowych. Jak już wspomieliśmy, w zasosowaiach porzebe są liczby losowe o różych rozkładach prawdopodobieńswa, p. liczby o rozkładzie ormalym lub liczby opisujące realizacje procesu Poissoa. Wszyskie akie liczby losowe moża orzymać przez odpowiedie maipulacje liczbami z geeraora liczb losowych o rozkładzie rówomierym U(0,. Mówimy o ym dokładie w rozdz. 3. (przypadek rozkładów jedowymiarowych i w rozdz. 4. (rozkłady wielowymiarowe. W związku ze sosowaiem różych geeraorów liczb losowych powsaje problem esowaia ych geeraorów. Ogólie mówiąc, sprowadza się o do esowaia odpowiedich hipoez saysyczych o geeraorze, co omówimy w rozdz. 5. Kompuerowe geeraory liczb losowych są w dzisiejszych czasach jedym z ajczęściej używaych arzędzi każdego badacza: maemayka, lekarza, iżyiera, ekoomisy, socjologa, chemika i fizyka - do symulacji procesów losowych. Użykowik ego kompuerowego arzędzia zwykle bardzo szybko zaczya doceiać jego poęże możliwości, a zarazem, posługując się im, odczuwa przyjemość i saysfakcję. Życzymy ego aszym Czyelikom.. Geeraory liczb losowych o rozkładzie rówomierym.. Wprowadzeie Najprosszymi geeraorami liczb losowych są oczywiście geeraory fizycze, jak p. wymieioe w rozdz.. moea, ura lub ruleka. Są o w ścisłym zaczeiu ego słowa urządzeia losowe. Geeraory akie mają jedak iewielkie zasosowaie prakycze i mogą być przydae ylko do losowaia iedużych próbek do badań reprezeacyjych. Moża zbudować ego ypu urządzeia współpracujące z kompuerem, p. w przeszłości wielokroie kosruowao urządzeia wykorzysujące zjawisko promieiowórczości lub zjawisko szumów elemeów elekroiczych. Isoym problemem jes u jedak problem sabilości akich geeraorów: iewielkie zmiay własości fizyczych źródła lub zmiay waruków ooczeia mogą pociągąć za sobą isoe zmiay własości probabilisyczych orzymywaych ciągów liczb losowych. W związku z ym geeraory fizycze wymagają dodakowych urządzeń esujących i eweualie korygujących, co zaczie komplikuje ich budowę. Pojawia się rudy problem sychroizacji okresów esowaia i okresów eksploaacji akich geeraorów. Wszyskie e kłopoy z jedej sroy i ławość eksploaacji geeraorów programowych z drugiej sroy spowodowały, że współcześie e osaie całkowicie wyparły geeraory fizycze, a pewe amiaski geeraorów fizyczych (p. zegar sysemowy używae są ylko do iicjowaia geeraora programowego. Wszyskie geeraory programowe (poieważ dalej mówimy ylko o akich geeraorach, więc przymioik programowe" będziemy opuszczali, jakie prezeujemy w ym rozdziale, produkują dodaie liczby całkowie lub biy (liczby O lub. Nieujeme całkowie liczby losowe produkowae przez rozważay geeraor będziemy ozaczali w zasadzie dużymi lierami X,X,X,., X,,, ale czasami użyjemy iej liery, p. Y lub Z. Te liczby będą zawsze miejsze od pewej usaloej dodaiej liczby całkowiej m co oczywiście jes związae z arymeyką kompuera: p. w kompuerze 3-biowym mamy m = 3. Losowe biy będziemy zwykle

9 ozaczali przez b, b,. Liczby z przedziału (0,, kóre mają reprezeować liczby losowe o rozkładzie rówomierym a przedziale (0,, będziemy ozaczali lierą U (lub V, eweualie z odpowiedimi ideksami. Orzymujemy je zawsze w wyiku operacji dzieleia U = X/m lub operacji składaia biów losowych w liczbę ułamkową: U =0. b, b,. Za ajwcześiejszy algorym programowego geerowaia liczb losowych jes uważay zw. algorym kwadraowy vo Neumaa (Hammer(95. Podsawowa idea geeraora vo Neumaa polega a geerowaiu kolejych N-cyfrowych (N - parzyse ieujemych całkowiych liczb losowych X za pomocą prosej formuły X = f(x -, gdzie fukcja f jes określoa w asępujący sposób: oblicza się kwadra liczby X - i, eweualie dopisując odpowiedią liczbę zer a począku, orzymuje się wyik będący liczbą N-cyfrową. Za koleją liczbę X przyjmuje się liczbę uworzoą z N środkowych cyfr ego wyiku. Okazało się jedak, że geeraor vo Neumaa produkuje zby krókie ablice liczb losowych (parz p. Gajewski i Zieliński (965 i z ego powodu zosał zaiechay. Idea vo Neumaa zajduje zasosowaie i rozwiięcie we współcześie sosowaych geeraorach: obecie używae geeraory programowe liczb losowych produkują ciągi liczb X 0,X,..., przy czym każdy eleme akiego ciągu jes obliczay za pomocą ściśle określoej formuły maemayczej, zasosowaej do pewej liczby poprzedich elemeów. Odoujmy od razu, że ak worzoe ciągi liczb muszą być ciągami okresowymi, co rażąco koliduje z losowością. Ozacza o, że isieją liczby aurale v i P akie, że dla i v mamy X i = X i+jp,j =,,... Fragme ciągu X 0,X i,...;x v+p - azywamy okresem aperiodyczości ciągu, aomias liczbę P okresem ciągu. Wprowadzoe pojęcia moża zilusrować asępująco: okres ciągu X 0,X,,X v, X v+,,x v+p-, X v+p, Okres ciągu zwykle daje się wyzaczyć eoreyczie, chociaż w iekórych Przypadkach może o być rude. Mówimy o ym dokładiej przy szczegółowej prezeacji wybraych geeraorów. Obecie ajczęściej sosowaymi geeraorami są: geeraory liiowe, geeraory opare a rejesrach przesuwych, uogólioe geeraory Fiboacciego, geeraory opare a odejmowaiu z pożyczką, a możeiu przeiesieiem oraz geeraory ieliiowe. Przedsawimy dokładiej wymieioe klasy geeraorów. W ej prezeacji położymy acisk a podsawowe idee kosrukcji, kóre zilusrujemy przykładami pochodzącymi z ajowszej lieraury. Liczba publikacji z ej dziedziy rośie lawiowo. Wśród osaio wydaych pozycji przeglądowych poświęcoych geeraorom liczb losowych o rozkładzie rówomierym chcielibyśmy wyróżić książkę Tezuki (995. Najowsze iformacje a ema geeraorów (w posaci opisów owych echik, pakieów programów w różych językach programowaia oraz odośików do lieraury zawiera świaowa sieć kompuerowa Iere (poprzez serwery WWW, fp, lisy dyskusyje ip.. Poruszaie się w ym gąszczu iformacji uławiają specjale serwery wyszukujące; jeżeli chodzi o ieresującą as emaykę geeraorów liczb losowych, mogą o być p. akie słowa kluczowe jak: mdom umber geeraors, simulaio, Moe--Carlo.

10 Geeraory liiowe o geeraory posaci.. Geeraory liiowe... Opis X + = (a X + a X a k X - k+ + c mod m (. gdzie do, a 0, a,..., a k, c i m są usaloymi liczbami całkowiymi (paramerami geeraora, aomias a mod b ozacza reszę z dzieleia liczby a przez liczbę b. Iicjując działaie geeraora, użykowik dosarcza dae począkowe: X 0,X,...,X k. W ypowych implemeacjach (p. Pascal, C i C++ przyjmuje się k = l, co prowadzi do geeraora X + = (ax + c mod m (. po raz pierwszy zapropoowaego przez Lehmera (95. Jeśli c = O, o orzymujemy zw. geeraor muliplikaywy, a jeśli c O, mówimy o geeraorze mieszaym. W dalszym ciągu dokładiej omówimy geeraory liiowe posaci (., gdyż z obszerej klasy geeraorów liiowych oe właśie są sadardowo używae we współczesych kompuerach. Iformacje a ema ogólego geeraora liiowego (. przedsawimy w p...4. Zauważmy przede wszyskim, że ciągi (. są dość prosymi ciągami deermiisyczymi i wobec ego raczej ylko w wyjąkowych przypadkach możemy udawać", że mamy u do czyieia z ciągami liczb losowych. Okazuje się, że a drodze czyso arymeyczych rozważań iekóre z akich ciągów moża od razu zdyskwalifikować. Po pierwsze, ciągi produkowae przez geeraory liiowe są ciągami okresowymi. Na przykład, jeżeli w ciągu (. pewa liczba pojawi się po raz drugi (a musi o asąpić wcześiej lub późiej, bo isieje ylko m różych resz z dzieleia przez m, o od ej pory cały ciąg będzie już ylko reprodukcją swojego poprzediego odcika. Jeżeli okres ciągu jes zby mały, o liczby C i = X i /m,i =,,..., będą zby rzadko wypełiały przedział(0, i ciąg akich liczb ie będzie mógł być zaakcepoway jako ciąg symulowaych realizacji zmieej losowej o rozkładzie rówomierym U(0,. O ym jak wybierać paramery geeraora, żeby zagwaraować dosaeczie duży jego okres, powiemy w p.... Po drugie, okazuje się, że przy usaloej liczbie d l puky jak rówież puky (U, U,, U d, (U, U 3,, U d+, (.3 (U, U,, U d, (U d+, U d+,, U d, (.4 bardzo ielosowo" wypełiają koskę jedoskową Ί d (z. przedział [0,] d w d-wymiarowej przesrzei R d. Tu zowu moża przez odpowiedie maipulacje paramerami geeraora uzyskać miej lub bardziej zadowalające wypełieia; mówimy o ym w p...3. Po rzecie, jeżeli wyikowy ciąg U, U,... ma udawać realizację ciągu iezależych zmieych losowych o rozkładzie rówomierym U(0,, o średia produkowaych przez geeraor liczb powia być rówa /, ich wariacja /, a współczyiki auokorelacji w ciągu ych liczb powiy być rówe zeru. Dla ciągów (. zae są eoreycze wzory opisujące e wielkości - zależą oe od paramerów geeraora. Więcej iformacji a e ema podamy w p...5.

11 Po czware, jeżeli wyikowy ciąg U, U,... ma udawać realizację ciągu iezależych zmieych losowych o rozkładzie rówomierym U(0,, o ciągi liczb produkowae przez geeraor powiy spełiać róże esy saysycze. Sprawie esowaia geeraorów poświęcamy cały odręby rozdział 5. W pukcie..6 podamy przykładowo kilka geeraorów, kóre pozyywie przeszły róże kryeria eoreycze i esy saysycze.... Okres geeraora Okres geeraora liiowego (. jes rówy P = mi{i: X i = X o,i > 0} (zauważmy, że paramer aperiodyczości v = 0. Okres e ie może oczywiście przekraczać liczby m. Taki okres przy odpowiedim wyborze paramerów może osiągąć geeraor mieszay, ale ie może go osiągąć geeraor muliplikaywy. Jeżeli p. m = L, o okres geeraora muliplikaywego ie przekracza liczby L-, a jeżeli m jes liczbą pierwszą, o maksymaly okres geeraora muliplikaywego jes rówy m -. Geeraor muliplikaywy ze sałą m = L, L 4, osiąga maksymaly okres ylko wedy, gdy X 0 jes liczbą ieparzysą oraz a = 3 mod 8 lub a = 5 mod 8 (zauważmy, że fak osiągaia maksymalego okresu ie zależy od liczby L, kóra ylko decyduje o ym, jak długi jes e maksymaly okres. Przykładem geeraora o maksymalym okresie jes geeraor RANDU z paramerami a = i m = 3, kóry był sadardowo używay w kompuerach IBM360/370 i PDP. Ma o jedak bardzo króki okres, a poado ie spełia iekórych esów saysyczych. Iym przykładem jes geeraor RNB z paramerami a = i m = 3, opisay, uzasadioy i saysyczie przeesoway w pracy Zielińskiego (966. Geeraor muliplikaywy z liczbą pierwszą m osiąga maksymaly okres ylko wedy, gdy a (m-/p mod m dla każdego czyika pierwszego p liczby m. Przykładem akiego geeraora jes geeraor z paramerami a = 7 5 oraz m = 3 - l (m jes przykładem zw. liczby Mersee'a, czyli liczby posaci P - l, gdzie p jes liczbą pierwszą. Geeraor mieszay osiąga peły okres m wedy, gdy jedocześie są spełioe rzy asępujące waruki: a liczby c i m ie mają wspólych dzielików, b a = l mod p dla każdego czyika pierwszego liczby m, c a = l mod 4, jeżeli 4 jes dzielikiem liczby m. Przykład akiego geeraora uzyskujemy przyjmując: a = 69069, c = l, m = 3. Dowody odpowiedich wierdzeń moża zaleźć w moografiach Jassoa (966, Kuha (98 i Ripleya (987. Zwracamy uwagę jeszcze a jedą własość związaą z okresowością ciągów liczb produkowaych przez geeraory liiowe w przypadku parameru m ie będącego liczbą pierwszą. Miaowicie, jeżeli liczby X orzymywae z akiego geeraora zapiszemy w pewym sysemie pozycyjym, w szczególości w sysemie biarym, w posaci X = b b b L i asępie przez obcięcie począkowych (ajsarszych biów uworzymy owe liczby, p. X' = b l b l+ b L, o e owe liczby akże uworzą ciąg okresowy, a okres owego ciągu będzie krószy od okresu ciągu wyjściowego. W szczególości dla c = 0, m = L, końcowe (ajmłodsze biy worzą ciąg o okresie rówym ; p. jeśli a = 8k+5, X 0 = 4s + l (gdzie k, s są pewymi liczbami całkowiymi oraz m = L, o rzy końcowe (ajmłodsze biy worzą ciąg o warościach posaci 00 i 0 (Zieliński (979, Aderse (990. Wyika sąd, że liczby losowe z omawiaego geeraora liiowego mogą być używae ylko w akich obliczeiach, w kórych końcowe biy liczb ie odgrywają isoej roli; w szczególości poszczególe cyfry liczb ie mogą być rakowae jak cyfry losowe, chociaż w przypadku prawdziwych" ciągów iezależych zmieych losowych o rozkładzie

12 rówomierym U(0, akie posępowaie jes w pełi uzasadioe...3. Srukura przesrzea Jeżeli U,U,... jes ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie rówomierym U(0,, o puky losowe (.3 i (.4 mają rozkład rówomiery a koskach jedoskowych Ί d w d-wymiarowej przesrzei R d. Jeżeli aomias puky (.3 i (.4 są uworzoe przez liczby U,U,... produkowae przez geeraor liiowy, o po pierwsze ie wypełiają oe ych kosek dosaeczie gęso i po drugie - układają się w ych koskach w regulare srukury geomerycze. Zbiór puków (.3 jes zawary w zbiorze posaci L d ( gdzie,,... d, 0, c/ m, i ai c/ m, i 3..., d oraz jes kraą, czyli zbiorem wekorów posaci e + + d e d dla pewych liiowo iezależych wekorów bazowych e,e,...,e d i liczb,,..., d przebiegających zbiór liczb całkowiych Z. Przykładowe zbiory L d ( wraz z wekorami bazowymi, przedsawioo a rys... Zbiór puków (.4 jes oczywiście pewym podzbiorem zbioru (.3. Szczególą rolę w opisie rozkładu puków (.3 w kosce Ί d odgrywa zw. baza fizycza {e,e,...,e d }, charakeryzująca się ym, że e jes ajkrószym wekorem w oraz dla i e i, jes ajkrószym wekorem w podprzesrzei orogoalej do podprzesrzei rozpięej a wekorach e,e,...,e i- (por. rys... Jedą z miar zagęszczeia puków (.3 w Ί d jes wedy długość l d ajdłuższego wekora bazy fizyczej, a jedą z miar rówomierości rozkładu ych puków jes iloraz l d /l, gdzie l jes długością ajkrószego wekora ej bazy. Ią miarą gęsości wypełieia koski Ί d pukami (.3 jes maksymala odległość D d między hiperpłaszczyzami, a kórych leżą e puky. Pomysł obliczaia wielkości D d pochodzi z pracy Coveyou i MacPhersoa (967, gdzie zasosowao meodę aalizy Fouriera, sąd w lieraurze problem wyzaczaia D d jes azyway esem spekralym. Zae są asępujące ierówości wiążące wprowadzoe wielkości (Ripley (987, Tezuka (995: l l d d d / D, md dla d d d gdzie γ d jes zw. sałą Hermie`a; a dokłade warości ej sałej są zae ylko dla 8 d d D,4/ 3,,4,8,64/ 3,64,56, d,,...,8 d (Kuh (98. Odległość D d moża rówoważie zdefiiować jako długość ajkrószego iezerowego * wekora zw. bazy dualej do bazy {e, e,..., e d }. Bazę dualą e * *, e,... ed określa się za d d

13 T * pomocą zależości: ei e j ij (gdzie δ ij jes delą Kroeckera: δ ij = dla i = j, δ ij = O dla i j. Podaa defiicja sprowadza obliczaie D d do problemu miimalizacji całkowioliczbowej z kwadraową fukcją celu. Więcej szczegółów oraz wybrae algorymy umerycze związae z badaiem srukury geomeryczej geeraorów liiowych moża zaleźć w obszerej lieraurze (Coveyou i Mac Pherso (967, Kuh (98, ASerbach i Grohe (985, Ficke i Pohs (985. Pewe oszacowaia z góry wielkości l i I d moża uzyskać przez obliczeie długości odpowiedich wekorów dowolej bazy. Taką bazą może być p. baza zawierająca wekor e = (l, a, a,..., a d- /m i wekory e i,i, o i-ej składowej rówej jedości i pozosałych składowych rówych zeru. Lepsze przybliżeie orzymuje się poprawiając ę bazę w jede z asępujących sposobów: ( W każdej parze wekorów e i,e j wekor dłuższy, p. e j, zasępujemy wekorem e j -se i, T T gdzie s jes zaokrągleiem liczby ei e j /( ei ei do ajbliższej liczby całkowiej, kóra jedocześie bliższa jes zeru. Koyuujemy ę procedurę dopóy, dopóki moża jeszcze uzyskać redukcję długości rozważaych wekorów (Marsaglia (97. ( Wekory e i porządkujemy według długości i każdy z ich zasępujemy ajkrószym wekorem posaci e c e gdzie c {0,, } (Ripley (983. i ji j j, j Sosując powyższe algorymy, zawsze po skończoej liczbie kroków osiągamy bazę, kórej już ie moża poprawić, gdyż współrzęde wekorów bazowych są pewymi wielokroościami warości l /m. Na rysuku. dla dwóch przykładowych geeraorów liiowych zazaczoo wekory bazowe zbioru. Wekory e uzyskao wykoując jede krok zgodie z algorymem (, przy czym baza począkowa miała posać: e = (l/m, a/m, e = (0,...4. Ogóle geeraory liiowe Jako aurale uogólieie geeraorów (. rozważa się rówież geeraory posaci X + = AX mod m (.5 gdzie X,X,... są wekorami w R k, k > l, A jes macierzą. Operacja mod jes wykoywaa po współrzędych". Te ogóliejsze geeraory umożliwiają symulowaie wielowymiarowych zmieych losowych o rozkładzie rówomierym a koskach Ί k, a możliwość wyboru macierzy A pozwala a maipulowaie zależościami między składowymi geerowaych wekorów. Nie będziemy uaj rozwijali ej problemayki; zaieresowaego Czyelika odsyłamy do lieraury (L'Ecuyer (990, 996a, Eicheauer-Herma, Grohe i Leh ( Paramery saysycze Jak już podkreślaliśmy, ciągi liczb z geeraora liiowego (. są ciągami deermiisyczymi i ylko pewe ich własości ieuporządkowaia" usprawiedliwiają sosowaie ich do symulacji ciągów losowych: jeżeli wyikowy ciąg U,U,... ma udawać realizację ciągu iezależych zmieych losowych o rozkładzie rówomierym U(0,, o średia produkowaych przez geeraor liczb powia być rówa /, ich wariacja /, a współczyiki auokorelacji w ciągu orzymaych liczb powiy być rówe zeru. Dla ciągów produkowaych przez geeraory liiowe (. zae są wzory eoreycze dla ych wielkości (Jasso 966; zależą oe od paramerów geeraora. Podamy kilka akich wzorów dla kokreej klasy geeraorów muliplikaywych w celu zilusrowaia zagadieia. Weźmy pod uwagę dowoly muliplikaywy geeraor liczb L-biowych o maksymalym okresie,

14 z. o okresie L-. Geeraor aki produkuje ylko czery rodzaje ciągów: ( jeśli c = 3 mod 8 oraz X 0 =,3,9 lub mód 6, o ciąg X 0, X,X,... jes permuacją liczb posaci 8j + i 8j + 3, j = O, l,,..., L-3 -; ( jeśli c = l mod 8 oraz X 0 = 5,7,3 lub 5mod 6, o ciąg X 0, X,X,... jes permuacją liczb posaci 8j + 5 i 8j + 7, j = O, l,,..., L-3 - ; (3 jeśli c = 5 mod 8 oraz X 0 = l mod 4, o ciąg X 0, X, X,... jes permuacją liczb posaci 4j + l, j = O, l,,..., L- - ; (4 jeśli c = 5 mod 8 oraz X 0 = 3 mod 4, o ciąg X 0, X, X, jes permuacją liczb posaci 4j + 3, j = O, l,,..., L- -. Rozważmy p. ciąg posaci (. Średia wszyskich liczb U i = X i / L produkowaych przez geeraor jes rówa / - (/ L-, a ich wariacja / 3/(3 m. Wyika sąd, że aki ciąg jako całość wypełia, przy odpowiedio dużym L, przedział (0, prawie ak dobrze jak ciąg prawdziwych" liczb losowych. Wzory dla współczyików auokorelacji są ieco bardziej zawiłe, ale wykoaie obliczeń według ych wzorów ie asręcza większych rudości; p. dla geeraora muliplikaywego X + = ax mod L mamy L L3 j0 X j X jr ar m 6* m 3 3 L3 j0 L3 j0 a j a j r r j a L3 r j 3a L3 /8 4 r L3 j0 /8 L3 a j j0 r a j j a L3 r r j 3a L3 /8 r /8 gdzie a r = a r mod L. Odpowiedie algorymy obliczeiowe, a akże ablice już obliczoych współczyików auokorelacji w sadardowych geeraorach liiowych, moża zaleźć w moografii Jassoa (966. Zae są rówież miej dokłade, ale wygodiejsze w projekowaiu geeraorów wzory, p. warość współczyika auokorelacji między 6c dwiema kolejymi liczbami z geeraora c a mieszaego (. zajduje się w przedziale (Greeberger (96, 96. a am m m..6. Wybór paramerów dla geeraorów liiowych Osaeczym kryerium zaakcepowaia geeraora jes o, że ie zosał o zakwesiooway przez żade z zasosowaych esów saysyczych. Meody esowaia omówimy dokładie w rozdz. 5., gdzie rówież opiszemy licze esy saysycze. Tuaj, mówiąc o geeraorach liiowych, zwracamy uwagę, że jeżeli warości pewych paramerów, jak p. średia i wariacja produkowaych liczb, okres ciągu lub współczyiki auokorelacji w ciągu

15 liczb produkowaych przez geeraor, mogą dla daego geeraora być wyzaczoe eoreyczie w sposób ścisły, o oczywiście ie ma żadego sesu esowaie hipoez o akich paramerach za pomocą esów saysyczych. W obszerej, liczącej już poad 40 la, lieraurze poświęcoej geeraorom muliplikaywym i mieszaym, moża zaleźć licze rapory z wykoaych aaliz eoreyczych oraz esów saysyczych i wyróżić geeraory, kóre ajlepiej spełiały przyjęe kryeria porówawcze. W abeli. przedsawiamy kilka akich geeraorów posaci (.; odośiki do wielu wcześiejszych prac zaleźć moża w książce Zielińskiego (979. Wszykie podae w abeli geeraory osiągają maksymale okresy. Popularość paramerów m posaci 3 lub 3 l wyika z ławości implemeacji akich geeraorów we współczesych sysemach kompuerowych. Wiele geeraorów z abeli adal saowi sadardowe wyposażeie szeroko używaych sysemów operacyjych, języków programowaia, a awe specjalisyczych pakieów oprogramowaia do obliczeń aukowych. Należy uaj podkreślić, że w obecie realizowaych obliczeiach symulacyjych z użyciem liczb pseudolosowych okres geeraora rzędu 3 jes zby mały, gdyż zużycie wszyskich liczb z akiego geeraora asępuje za szybko. Wielu auorów sugeruje, aby liczba N liczb z geeraora używaych w symulacji była dużo miejsza iż okres geeraora P. W pracy Maclarea (99 uzasadiao, że liczba N ie powia przekraczać liczby P / 3 ; odpowiedie ograiczeie w przypadku geeraorów liiowych, podae przez Ripleya (987, wyosi P /. Geeraory liiowe posaci (. ie spełiają pewych owszych esów saysyczych, p. esu OPSO (parz rozdz. 5.. Eksperymey umerycze powierdziły rówież (p. Marsaglia (984,995 lepsze własości saysycze geeraorów liiowych kosruowaych z paramerem m będącym liczbą pierwszą (jedak komplikuje o implemeację geeraora oraz wpływa a jego szybkość. Tabela. a c m Źródło Zieliński ( Marsaglia ( Park, Miller (980 Cara ( l -l Fishma, Moore ( Borosh, Niederreier ( Fishma, Moore ( L'Ecuyer ( Fishma ( Fishma (990 Z ogóliejszych geeraorów liiowych (. dobrą oceę saysyczą (w ym we wspomiaych owszych esach uzyskały m.i. asępujące geeraory (Marsaglia (995:

16 X = (76X X - + l776x - 3 mod ( 3-5 X = 3 (X - + X - + X -3 mod ( X = (995X X X -3 mod ( X = 9 (X - + X - + X -3 mod ( Geeraory e osiągają maksymale okresy rówe m 3 l, gdzie liczba m jes odpowiedim modułem: dla pierwszego i drugiego z powyższych geeraorów rówym 3-5, dla rzeciego oraz dla czwarego Przedsawioe geeraory mogą być ławo zaimplemeowae a współczesych kompuerach w każdym języku programowaia. Przykładową implemeację ogólego geeraora liiowego zamieszczamy w podrozdz.. (parz rówież uwagi w podrozdz Geeraory opare a rejesrach przesuwych Przyjmijmy, że k jes usaloą liczbą auralą i weźmy pod uwagę ciąg biów zdefiioway wzorem rekurecyjym b i = (a i b i a k b i - k mod, i = k +,k +,... (.6 gdzie współczyiki a,a..., a k są sałymi biarymi, z. liczbami 0 lub l, oraz b,b,..., b k jes usaloym ciągiem iicjującym. Zależość (.6 moża opisać za pomocą operaora logiczego or, zwaego różicą symeryczą lub aleraywą wyłączającą, o asępującej abelce działań: a b a or b Iaczej o ujmując, dla zmieych boolowskich mamy po prosu a or 6 = (a + 6 mód Dalej będziemy używać ego operaora rówież w odiesieiu do liczb całkowiych; w akim przypadku wyik jes liczbą całkowią złożoą z biów powsałych w wyiku działaia operaora a poszczególych pozycjach reprezeacji biarej argumeów. Wzór (.6 przyjmuje wedy rówoważą posać: jeśli a j =...=aj,= l, a pozosałe współczyiki są rówe zeru, o b i = b i-ji or b i-j or... or b i-j, Ciąg biów (.6 jes oczywiście ciągiem okresowym. Poieważ isieje k różych układów k- elemeowych (b,b,...,b k, okres ciągu (.6 ie może być większy od k. Fakyczie może o być rówy co ajwyżej k - l, bo gdyby pojawiło się w im k kolejych zer, o cały ciąg musiałby składać się z samych zer. Mówiąc dalej o ciągu o maksymalym okresie, mamy a myśli ciąg o okresie k -. Meodami algebraiczymi moża badać, dla jakich współczyików a, a,..., a k ciąg (.6 ma maksymaly okres. Nie będziemy uaj rozwijali ego echiczego wąku (odsyłamy Czyelika p. do pracy Golomba (967, ograiczymy się aomias do prosszego, ale dla as arakcyjego przypadku, gdy w formule rekurecyjej (.6 ylko dwa współczyiki a są róże od zera. Schema ieracyjy (.6 ma wedy posać b i = b i - p or bi- q (.7

17 dla pewych usaloych liczb auralych p oraz q. Bez zmiejszaia ogólości rozważań przyjmijmy, że p > q. W abeli. podajemy przykładowe warości paramerów p i q, dla kórych ciąg (.7 ma maksymaly okres. Tabelę ę uworzoo a podsawie abeli z książki Ripleya (987, gdzie podao warości (p,q zapewiające maksymaly okres dla p < 36 oraz abeli z Berdikova, Turii i Compagera (996, w kórej z kolei zawaro zae warości (p,q, dające maksymaly Tabela. P q P q , 7, 5, 30, 63 7,3 5 3, 48, 58, , 47, , , 95, 09 5,4, , ,5, , 369, 370, 649, , 49, , 47, 836, 444, , 7083, , 669, , , , , , 9, , 339, 4469, , , 6, 7, 3 okres ciągu (.7 dla liczb p < 3049, gdzie P - l są liczbami pierwszymi (założeie o zaczie upraszcza obliczeia. Dodakowo moża rozważać pary współczyików (p,p q, gdyż jeśli ciąg (.7 ma maksymaly okres dla pewych p i q, o własość ę ma rówież schema ieracyjy z paramerami p i p q. Isieje wiele sposobów uzyskiwaia L-biowych liczb losowych o warościach w przedziale (0, a podsawie ciągu biów (b j,i =,,... Najprosszy polega a kosruowaiu ich za pomocą wzoru. Geeraory o rozkładzie rówomierym U i L j b 0. is j b... is bisl, i0,,,... (.8 j

18 gdzie s jes usaloą dodaią liczbą całkowią oraz s L. Jeżeli s < L, o koleje liczby U i wykorzysują e same podciągi biów, a jeżeli s L, o liczby U i i U i+ uworzoe są z rozłączych fragmeów ciągu (b i =,,... Liczby U i orzymuje się ławo za pomocą rejesrów przesuwych oraz bramek logiczych, realizujących operaor or (e fak uzasadia azwę rozważaej klasy geeraorów. Geeraor (.8 jes zay w lieraurze jako geeraor Tausworha, gdyż po raz pierwszy był aalizoway w pracy Tausworha (965. Jeżeli liczba s jes ak wybraa, że ie ma wspólych dzielików z liczbą k - l, o ciąg (.8 jes ciągiem o maksymalym okresie, kóry jes rówy k -. Efekywy algorym geerowaia ak zdefiiowaych ciągów (U i, i=,,... za pomocą ciągu biów (.7, w przypadku, gdy q < p/ oraz O < s < p - q, podał w swojej moografii Tezuka (995. W formalym zapisie ego algorymu użyjemy asępujących symboli: A << k ozacza przesuięcie biów reprezeacji biarej liczby A o k pozycji w lewo, aomias A >> k ozacza akie przesuięcie w prawo. Przy przesuwaiu w lewo młodsze (zwaliae biy są zapełiae zerami. Przy przesuwaiu w prawo zwaliae sarsze biy są rówież zapełiae zerami. Zwracamy jedak uwagę a o, że w kokreej implemeacji działaie operaora przesuięcia biowego w prawo może zależeć od zadeklarowaego ypu liczby całkowiej. W poiższym algorymie A jes L-biową liczbą całkowią o biach począkowych bi,..., &l (są o biy składające się a liczbę C/o, aomias B jes L-biową zmieą pomociczą. ALGORYTM T:IMPLEMENTACJA SCHEMATU TAUSWORTHA (.8 DLA 0 < s p-q : B = ((A «q or A «(L - p : A=(A«s or (B» (L - s 3: Reur A; goo l Algorym e jes bardzo ławy w realizacji p. w języku C, kóry zawiera operaory przesuwaia biowego oraz operaor or. W podrozdziale. zamieszczamy przykładową implemeację w ym języku. Podaa am realizacja używa dodakowo kombiacji rzech geeraorów omawiaego ypu za pomocą operaora or (parz podrozdz..6. W książce Tezuki (995 jes zawara aaliza srukury puków w kosce (O, d, d =,3,...,0, worzoych z kolejych liczb z geeraora. Lewis i Paye (973 zapropoowali iy schema geerowaia L-biowych liczb całkowiych Y i a podsawie ciągu (.6, według zależości Y i = b i b i-l b i-ll gdzie l, l L są usaloymi paramerami przesuięcia. Dla ciągu (.7 orzymujemy sąd schema Y i = Y i-p or Y i-q. Geeraory realizujące e schema są azywae uogólioymi geeraorami oparymi a rejesrach przesuwych. Wymagają oe odpowiediego wyboru puków sarowych (Y 0,Y i,..,y P (Lewis i Paye (973, Colligs i Hembree (986. Ieresujące przykłady efekywej implemeacji w omawiaej klasie geeraorów zawierają arykuły: Kirkparicka i Solla (98 (dla p = 50, q = 47 oraz Ripleya (990 (dla p = 5, q = 3. W pracy Berdikova, Compagera i Turii (996 zapropoowao kombiacje (parz podrozdz..5 kilku geeraorów z omawiaej klasy, dla odpowiedio dobraych paramerów p i q. Gwarauje o bardzo duży okres geeraora (p. dla kokreej kombiacji czerech geeraorów składowych uzyskao okres rzędu Poado wykazao, że aka kosrukcja zapewia

19 bardzo dobre własości doyczące iezależości kolejych długich (rzędu kilkuasu ysięcy ciągów liczb z geeraora (parz rówież Com-pager i Wag (993, Compager (995. Kody źródłowe w języku C omawiaych geeraorów moża zaleźć w Ierecie (p. hp:// lub fp.ca.l. Ciąg rekurecyjy.4. Geeraory Fiboacciego f = f - + f -l,, f 0 = f = badał już Fiboacci (Leoardo z Pizy i wyiki swoich badań opublikował w pracy Liber abaci w 0 roku. Ciąg resz, przy usaloej dodaiej liczbie całkowiej m, zdefiioway wzorem X = X - + X -l mod m,, (.9 zachowuje się a yle bezładie, że już dawo zaieresował maemayków poszukujących prosych modeli dla procesów losowych. Wydaje się, że pierwsze wyiki sprawdzaia ego ciągu za pomocą esów saysyczych zosały opublikowae w pracy Taussky i Todd (956. Okazało się, że ciągi (.9 spełiają esy rówomierości rozkładu, ale ie spełiają esów iezależości, a więc akże wielu iych esów (p. esów serii, gdzie iezależość odgrywa kluczową rolę. Tej wady moża było się pozbyć, uogóliając ciąg (.9: X = X -r + X -8 mod m, r, r>s> (.0 ale odbywało się o koszem czasu, co czyiło akie geeraory mało kokurecyjymi dla rozpowszechioych geeraorów muliplikaywych. Argume, że akie uogólioe geeraory miały dużo dłuższy okres od geeraorów muliplikaywych, ie był przekoujący, bo a sosukowo wolych kompuerach rzadko dochodziło do wyczerpaia okresu ciągów muliplikaywych. Trudo się aomias dziwić, że w dzisiejszej dobie szybkich kompuerów geeraory Fiboacciego, w różych wersjach uogólień, przeżywają prawdziwy reesas. Nasępy krok w ych uogólieiach polega a zasąpieiu dodawaia w (.0 jakąś ią operacją. Ogólie, wybraą operację ozaczamy symbolem o i zakładamy, że jes oa wykoywaa modulo m. Uogólioy geeraor Fiboacciego przyjmuje wedy posać X = X -r X -s, r, r > s l (. i jes ozaczay przez F(r, s,. Jeżeli m = L, o maksymaly okres geeraorów F(r,s,+ oraz F(r,s,- jes rówy ( r - l L- ; dla F(r,s,*, gdzie * ozacza u (i w całej książce możeie, wyosi o ( r - -3, aomias dla geeraora F(r,s, or wyosi r -. Dowodzi się ego, korzysając z pewych własości odpowiedich macierzy; szczegóły moża zaleźć w pracach Marsaglii (984 oraz Marsaglii i Tsaya (985. Geeraory F(r,s,or dla m = L opisaliśmy już w poprzedim podrozdziale, w klasie geeraorów oparych a rejesrach przesuwych. Poiżej podajemy abelkę z przykładowymi paramerami, zapewiającymi maksymaly okres geeraora (.:

20 r s Na przykład, geeraory F(7,5,+ oraz F(7,5,- dla m = 3 dają ciągi o okresie ( 7-3, geeraor F(7,5,* osiąga okres ( 7-9, aomias F(7,5, or osiąga okres 7 - = 307. Omawiae geeraory są ławe w implemeacji..5. Kombiacje geeraorów Doświadczeia z użyciem geeraorów skosruowaych przez łączeie dwóch lub większej liczby prosszych geeraorów wykazały, że geeraory akie mają lepsze własości saysycze iż geeraory wyjściowe. Przyoczymy wyiki, kóre powierdzają e obserwacje. Załóżmy, że mamy zmiee losowe X i Y, określoe a zbiorze S = {,,..., }, o rozkładach prawdopodobieńswa P{X=i}=p i, P{Y = i} = q i, i =,,..., Niech p = l,..., będzie dowolą usaloą liczbą i iech = (,,..., będzie usaloym wekorem. Weźmy pod uwagę p-ormę ego wekora, zdefiiowaą wzorem / p p i Dla zdefiiowaej wyżej zmieej losowej X wprowadźmy miarę δ(x bliskości" rozkładu ej zmieej do rozkładu rówomierego a zbiorze S δ(x = (p l,p,...,p - (l/, l/,..., l/ Rozparzmy dwuargumeowe działaie o a zbiorze S akie, kórego abelka worzy kwadra łaciński (z. każdy jej wiersz i koluma jes pewą permuacją elemeów zbioru S. Moża udowodić (p. Brow i Solomo (979, że rozkład zmieej losowej X o Y jes bliższy rozkładowi rówomieremu a zbiorze S w ym sesie, że δ(x mi {δ(x,δ(y} W odiesieiu do ciągów produkowaych przez geeraory liczb losowych e wyik eoreyczy moża ierpreować w asępujący sposób: jeśli ablica działań operaora o jes kwadraem łacińskim, o owy ciąg (X o Y, X o Y, powiie być bardziej rówomierie (a przyajmiej ie miej rówomierie rozłożoy iż każdy z ciągów X, X,...i Y, Y, Najczęściej za operaor o przyjmuje się rozważae wcześiej operaory +, -, *, or. Poado okazuje się, że kombiacje

21 geeraorów produkują ciągi, kóre są ie ylko bardziej rówomiere", ale rówież bardziej iezależe". Podaą kosrukcję dla dwóch geeraorów w auraly sposób uogólia się a większą liczbę geeraorów składowych. Poado kombiacje geeraorów produkują ciągi o większym okresie iż okresy ciągów składowych. W szczególości wiadomo, że jeśli ciąg X, X,... ma okres P oraz ciąg Y,Y, ma okres P, gdzie P i P są liczbami względie pierwszymi, o okres ciągu X oy,x o Y,... wyosi P P. Fak e jes prosym wioskiem z zw. chińskiego wierdzeia o reszach (parz p. Graham, Kuh, Paashik (996. Idea kombiowaia geeraorów w celu zwiększeia okresu i polepszeia własości saysyczych ma już swoją hisorię za sobą, ale ciągle jes bardzo częso sosowaa w ajowszych kosrukcjach geeraorów. Pierwsze pomysły doyczące kombiacji geeraorów pojawiły się w pracach Mac Larea i Marsaglii (965 oraz Marsaglii i Braya (968. Dużą popularością wśród użykowików cieszył się pomysł kombiowaia geeraorów za pomocą dodawaia modulo l w dziedziie liczb rzeczywisych, zapropooway w pracy Wichmaa i Hilla (98. Wyiki eoreycze związae z kombiacjami geeraorów moża zaleźć rówież w pracach: Brow i Solomo (979, Marsaglia (984, Deg (990, L'Ecuyer i Tezuka (99. Najowsze rezulay zawiera p. praca L'Ecuyera (996b..6. Uiwersaly geeraor liczb losowych o rozkładzie rówomierym Przez geeraor uiwersaly rozumiemy geeraor dający ideycze wyiki a kompuerach, w kórych liczby całkowie są reprezeowae, przez co ajmiej 6 biów, a liczby w arymeyce zmieopozycyjej mają przyajmiej 4-biową reprezeację maysy. Przedsawimy uaj szczegółowo geeraor liczb losowych o rozkładzie rówomierym a przedziale [0,, opublikoway w pracy Marsaglii, Zamaa i Tsaga (990. Będziemy go azywali geeraorem MZT. Spełia o wszyskie zae esy saysycze i ma duży okres, rówy 44. Geeraor e jes kombiacją dwóch prosszych geeraorów. Pierwszy z ich jes geeraorem ypu F(97, 33, o (parz podrozdz..4 i produkuje liczby V z przedziału [0, według wzoru rekurecyjego: V = V -97 o V -33 gdzie o y = - y dla y oraz o y = -y + l dla < y. Zaiicjowaie geeraora polega a wyzaczeiu liczb V, V,,V 97 za pomocą ciągu biów (b w aki sposób, że V = 0.b b... b 4, V = 0.b 5 b 6 b 48, id. Z kolei ciąg biów jes geeroway za pomocą kombiacji dwóch różych i ławych w implemeacji geeraorów zadaych ciągami liczb całkowiych (y i (z : y = (y -3 *y - *y - mod 79 z = (5z - + mod 69 b = { b 0, jeśli y z mod 64 < 3 = w przeciwym wypadku

22 Wybór małych warości 79 i 69 zapewia uiwersalość geeraora. Użykowik musi dosarczyć procedurze iicjowaia czerech warości całkowiych: y y y 3 Є {l,,..., 78} (ie wszyskie rówe, z Є {O, l,..., 68} Okres ego geeraora jes rówy 0. Drugim geeraorem jes geeraor liczb losowych z przedziału (0,: c = c - o (76543/67776,, c l = 36436/67776 gdzie c o d = c - d dla c d oraz c o d = c - d + (67773/67776 dla c < d, c, d Є [0,. Okres ego geeraora jes rówy 4-3. Osaeczie geeraor MZT przyjmuje posać U = V o c Przykładową implemeację (w języku C geeraora MZT podamy w podrozdz Geeraory opare a odejmowaiu z pożyczką i geeraor ULTRA W pracy Marsaglii i Zamaa (99 wprowadzoo ową klasę geeraorów wykorzysującą operację zw. odejmowaia z pożyczką (SWB - ag. subsrac wih borrow. W ej operacji (ozaczymy ją przez Ө bierze dodakowo udział paramer c, przyjmujący warości O lub l, zway biem przeiesieia. Wyikiem operacji Ө y mod m są liczby - y - c + m oraz c = l, gdy - y - c < O lub - y - c oraz c = O w przeciwym przypadku, a począkową warością biu przeiesieia c jes 0. Omawiaa klasa geeraorów zosała wykorzysaa przez Marsaglię i Zamaa do kosrukcji geeraora ULTRA. Paramerami geeraora ULTRA są dodaie liczby całkowie L 3, s, r (r > s. Wygodie jes używać ozaczeia m = L. W eapie iicjowaia geeraora worzy się ciąg liczb całkowiych X,,X r є (O, m oraz usala się c = 0. W eapie roboczym wyzacza się koleje liczby X według wzoru X = X -r Ө X -s mod m (. Eap iicjowaia polega a uworzeiu L-biowych liczb X, X,...,X r : X = b L b L- b

23 X = b L b L- b L+ Gdzie b,b, jes ciągiem uworzoym z biów zaków liczb w,w,..., orzymywaych w asępujący sposób: użykowik geeraora podaje dwie liczby u 0,v o є (O,m, a asępie są obliczae kolejo liczby: u = λu i- mod m v i = (v i >> k or v i v i = (v i << k or v i w i = u i or v i gdzie k, k są usaloymi dodaimi liczbami całkowiymi, a operacje: or, <<, >> zdefiiowao w podrozdz..3. Geeraor ULTRA jes bardzo szybki, gdy operację (. programuje się z użyciem języka maszyowego daego procesora. Tak skosruoway geeraor ma dobre własości saysycze oraz długi okres, kóry moża obliczyć eoreyczie, korzysając z asępującego wierdzeia: Jeśli M = m r m 8 + l jes liczbą pierwszą, o okres geeraora SWB jes rówy ajmiejszej liczbie auralej k, akiej że m k mod M =. W sworzoym przez Marsaglię i Zamaa pakiecie ULTRA przyjęo L = 3, r = 37, s = 4, a do iicjowaia λ = Tak skosruoway geeraor ma okres rzędu Odpowiedie wywołaia geeraora ULTRA pozwalają a bezpośredie orzymywaie dodaich całkowiych liczb losowych: 3-, 3-, 8-, 7-, a awe -biowych (w ym osaim przypadku -biów losowych, jak rówież liczb losowych z przedziału (0, lub (-,, o pojedyczej lub podwójej precyzji..8. Geeraory opare a możeiu z przeiesieiem Marsaglia rozwiął ideę kosrukcji geeraorów klasy omówioej w podrozdz..7, wprowadzając ową rodzię geeraorów oparych a zw. możeiu z przeiesieiem (MWC - ag. muliply wih curry. Klasa a daje możliwości ławej implemeacji szybkich geeraorów o dużych okresach, przy czym wszyskie grupy biów uzyskiwaych ciągów liczb całkowiych spełiają wiele zaych esów losowości. Dokładiejszy opis i przykłady implemeacji zaleźć moża w Ierecie, w 604 arykule grupy dyskusyjej sci.mah.um-aalysis oraz a wydaym przez Marsaglię CD-ROMie (995. Poiżej przedsawimy główe idee ej owej meody geerowaia liczb pseudolosowych. Algorym ypu możeia z przeiesieiem jes opary a zależości X = (a X -i + a X a r X -r + c mod m gdzie a,...,a r są usaloymi paramerami oraz X,...,X r i c iicjujemy dowolymi warościami począkowymi; owa warość zmieej c (zw. warość przeiesieia jes liczbą całkowią, określoą wzorem [(a X - + a X a r X -r + c/m] (gdzie [ ] ozacza część całkowią.

24 Wprowadźmy ozaczeie M = a r m r + + a m -. Okres geeraora MWC jes rówy ajmiejszej liczbie auralej k, akiej że m k mod M =. W prakyce przyjmuje się m = 6 lub m = 3, wedy owa warość X i owe przeiesieie c są po prosu dolą i górą częścią odpowiedio 3- lub 64-biowej liiowej kombiacji 6- lub 3-biowych liczb całkowiych. Jeśli dobierze się liczbę m ak, aby M i (M - l/ były liczbami pierwszymi, o okres będzie rówy (M - l/ (szczegółowe wyiki doyczące okresu geeraora MWC moża zaleźć w pracy Koca (995. Marsaglii: Przykładem efekywej realizacji omawiaego geeraora jes asępująca propozycja X = (03X X X X X X X X - + c mod 6 Orzymuje się sąd liczby całkowie 6-biowe. Aby uzyskać zakres 3 biów i okres rzędu 50, dokouje się połączeia biów z iego geeraora: X = (97X X X X X X -3 + X - + X - + c mod 6 Opisay geeraor wymaga zaiicjowaia w posaci 6 liczb całkowiych 6-biowych, co ławo zrealizować, p. za pomocą jakiegoś klasyczego geeraora liiowego. Iym przykładem połączeia dwóch geeraorów ypu MWC jes kosrukcja ciągu liczb całkowiych 3-biowych za pomocą dwóch ciągów 6--biowych X = 8000X - + c mod 6 Y = Y - + c mod 6 Okres akiego geeraora jes rzędu 60. W eapie iicjowaia użykowik podaje dwie liczby całkowie 3-biowe, z kórych formuje się 6-biowe warości X 0,Y 0 oraz c,c. Geeraor e jes bardzo szybki i ławo go zaprogramować, używając języka maszyowego. Przykładowa implemeacja w języku C może być podaa w szczególie prosej posaci: = 8000 * (& ( >> 6; y = * (y& (y >> 6; reur (( << 6 + (y&65535; gdzie zmiee oraz y ozaczają liczby 3-biowe, zawierające w swych sarszych i młodszych 6- biowych częściach odpowiedio warości X,c oraz Y,c, aomias & jes sadardowym operaorem języka C..9. Geeraory ieliiowe Przedsawioe w poprzedich podrozdziałach klasy geeraorów są opare a liiowych wzorach rekurecyjych. Niepożądaą kosekwecją ej liiowości jes fak, że odpowiedie puky (.3 i (.4 w przesrzei wielowymiarowej skupiają się ylko a pewej liczbie hiperpłaszczyz, co rażąco odbiega od aszych oczekiwań wobec puków losowych (por. p...3.

25 Na przezwyciężeie przeszkód auralym pomysłem wydaje się zaem rozważeie ciągów oparych a formułach, kóre ie są liiowe. Te kieruek badań ad geeraorami rozwija się dopiero od iedawa i adal jes owary. Przedsawimy uaj pewe wyiki, kóre doyczą geeraorów oparych a obliczaiu odwroości oraz kwadraów. W pracy Eicheauera i Leha (986 zapropoowao geeraor X + = (ax - + b mod m, = 0,,... (.3 gdzie m jes liczbą pierwszą. Odwroość modulo m jes defiiowaa asępująco: jeśli c = 0, o c - mod m = 0, w przeciwym przypadku c - mod m jes aką liczbą całkowią, że c*c - mod m = l, czyli c - = c m- mod m. W e sposób uzyskujemy ciąg o warościach w zbiorze {O, l,...,m - }, kóry moża w zwykły sposób przekszałcić a ciąg liczb w przedziale [0, za pomocą wzoru U = X /m. Iym wariaem geeraora oparego a odwroości jes zapropooway w pracy Eicheauera-Hermaa (993a geeraor X = (a( + 0 +b - mod m, = 0,,... (.4 kóry wyróżia się ym, że koleja warość X może być uzyskaa iezależie od iych elemeów produkowaego ciągu. Taki geeraor może być szczególie użyeczy w obliczeiach prowadzoych a kompuerach rówoległych. Okazuje się, że dla każdej liczby a є {,,..., m jego okres jes rówy m, a więc jes o geeraor o okresie maksymalym. Waruek a o, aby geeraor (.3 osiągał maksymaly okres rówy m, jes ieco bardziej skomplikoway: ak się dzieje wedy, gdy m - l jes ajmiejszą liczbą całkowią aką, że z m- - l mod (z - bz -a. Srukury przesrzee worzoe przez odpowiedie ciągi w przesrzeiach wielowymiarowych dla omawiaych geeraorów są opisae przez Eicheauera-Hermaa (99 oraz Niederreiera (994. Poado wiele eksperymeów obliczeiowych powierdziło dobre własości saysycze ej owej klasy geeraorów. W pracach Eicheauera- Hermaa (993b, 994, 995 aalizuje się kombiacje kilku geeraorów posaci (.3 lub (.4 (parz rówież podrozdz..5. Przypuśćmy, że mamy r 5 akich geeraorów X (j, j =,,r z paramerami m j, j = l,, r, kóre są liczbami pierwszymi. Zdefiiujmy owy ciąg U = (U (j + + U (r mod, = 0,,,... gdzie U (j = X (j /m j, j= l,,, r. Okres ego ciągu jes rówy m = m m r. Pozwala o a efekywą kosrukcję geeraora o długim okresie, przy czym - jak się okazuje - e wyikowy geeraor zachowuje dobre własości srukurale geeraorów składowych. Iym przykładem geeraora ieliiowego jes rozważay w pracy Bluma (L., Bluma (M. i Shuba (986 geeraor liczb losowych posaci X + = X mod m, = O, l,... W cyowaej pracy pokazao zasosowaia akiego geeraora w krypologii (jes o dziedzia badań zajmująca się meodami szyfrowaia iformacji. Bardziej szczegółowe iformacje