VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

Transkrypt

1 KOOF Szczeci: VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski Nazwa zadaia: Działy: Słowa kluczowe: Płytka o zmieym współczyiku załamaia Optyka współczyik załamaia, bieg promieia, promień światła, płytki płaskorówoległe, grubość płytki Zadaie teoretycze T3, VII MOF. Na płytkę płaskorówoległą, której współczyik załamaia zmieia się zgodie ze wzorem: 0 x 1 w pukcie A (o współrzędej x 0) prostopadle do płytki pada wąski promień światła. Promień te wychodzi z płytki w pukcie pod kątem α do kieruku pierwotego (rys. 1). y d A x ys. 1 1) Ile wyosi współczyik załamaia w pukcie, w którym promień opuszcza płytkę? ) Ile wyosi współrzęda x puktu? 3) Ile wyosi grubość płytki d? Dae: 0 1, 13 cm α 30 Oprac. PDFiA US, 008-1/6 -

2 ozwiązaie ozpatrzmy promień światła przechodzący przez szereg płytek płaskorówoległych o różych współczyikach załamaia (rys. ). Prawo Selliusa si β si β 1 1 moża apisać w postaci si β 1 si β 1 W podoby sposób dostajemy 3 si β 3 si β, itd. Zatem i si β i cost. Związek powyższy, jak wyika z wyprowadzeia, zachodzi iezależie od ilości i grubości poszczególych warstw. Możemy więc z iego korzystać rówież w przypadku ciągłej zmiay współczyika załamaia w jedym kieruku (w aszym przypadku w kieruku x) A ys. ys. 3 ozpatrzmy teraz sytuację pokazaą a rysuku 3. W pukcie A kąt β A wyosi 90, a współczyik załamaia rówa się 0. Z podaego wyżej wyprowadzeia wyika, że czyli 0 si β A si β, 0 A si β. Oprac. PDFiA US, /6 -

3 Z prawa Selliusa dla załamaia w pukcie mamy poadto siα. si 90 β ) ( Stąd siα 1 si β Zastępując w ostatim wzorze si β przez 0 otrzymujemy ( siβ ). siα 0. Zatem + si α. 0 Liczbowo: , Współrzędą x wyzaczamy ze zaej zależości od x: 0 (x ) x 1 Liczbowo: x 1 0. x 13 cm 1, 1 1 cm. 1, 3 Odpowiedź a pytaie zawarte w pukcie 3 wymaga wyzaczeia kształtu toru promieia. Z podaego a wstępie rozumowaia zamy kąt β(x) w każdym pukcie toru (rys. 4): Czyli (x) si β(x) 0, si β(x) 0 ( x) x. Zbadajmy kieruek promieia, który zalazł się w pukcie C leżącym a obwodzie koła o promieiu i środku w pukcie O. Z rysuku widzimy, że si< CO C x si β(x), Oprac. PDFiA US, 008-3/6 -

4 <COC' rówa się więc kątowi β(x), jaki promień światła musi tworzyć w pukcie C z kieruku odcika CC'! Ozacza to, że kieruek promieia, który zalazł się w dowolym pukcie C rozpatrywaego okręgu musi być styczy do tego okręgu. Zatem zalazłszy się raz a obwodzie rozpatrywaego koła promień światła ie może już go opuścić. Jedak w pukcie A promień już zalazł się a rozpatrywaym okręgu, a więc ie może go opuścić aż do wyjścia z płytki w pukcie. Poieważ A' 1 cm, więc ' 1 cm i z trójkąta prostokątego 'O zajdujemy d O 13 1 cm 5 cm. Kształt toru y(x) wewątrz płytki moża wyzaczyć i w bardziej rzemieśliczy sposób. Mając si β(x) wyzaczamy tg β(x). Otrzymujemy tg β(x) x ( x). Ale tg β(x) y'(x) Zatem: y'(x) x ( x) ( ) ( x). Stąd y ( x) + stała Wartość stałej określamy z waruku y(0) 0. Otrzymujemy wtedy, że stała ta rówa się zeru. Mamy więc y ( x ), czyli ( x ) + y Ozacza to, że wewątrz płytki tor promieia jest okręgiem rozpatrywaym już poprzedio. A oto jeszcze jede sposób wyzaczaia drogi promieia wewątrz płytki. Jeśli przez pukt o współrzędych (,0) poprowadzimy prostą przechodzącą przez pukt oraz kilka prostych przeciających drogę promieia wewątrz płytki, to a każdej z tych prostych współczyik załamaia będzie zmieiał się odwrotie proporcjoalie do odległości od puktu (, 0). zecz jasa, że dla każdej z tych prostych współczyik proporcjoalości będzie iy. Poprowadźmy teraz kilka okręgów o środku w pukcie (, 0). Łatwo zauważyć, że droga optycza wzdłuż każdego okręgu od jedej prostej do drugiej prostej bę- Oprac. PDFiA US, 008-4/6 -

5 dzie taka sama. Dzięki tej właściwości rozważaej płytki bardzo łatwo udowodić, że wewątrz płytki promień musi biec po okręgu. Przede wszystkim zauważmy, że tak aprawdę, to promień światła jest tylko pewą idealizacją. W praktyce mamy co ajwyżej wąskie wiązki, a więc w grucie rzeczy fale płaskie. Załóżmy więc, że a aszą płytkę pada fala płaska rys. 4. Wewątrz płytki fala ta ulega ugięciu. y x ys. 4 Załóżmy, że w pewym momecie czoło fali dotarło do którejś z prostych przechodzących przez pukt (, 0). Na rysuku prosta tę zazaczoo poprzeczymi kreskami. Fale wtóre wysyłae przez czoło fali w tym momecie w ciągu jedakowych odstępów czasu przebywają jedakowe drogi optycze. Zgodie z tym, co powiedzieliśmy poprzedio, ozacza to, że obwiedia czół fal wtórych po iewielkim czasie Δt zów będzie jeda z prostych przechodzących przez pukt (, 0). Poieważ czoło fali w chwili, gdy wiązka pada a płytkę, pokrywa się z osią x przechodzącą przez pukt (, 0), więc wewątrz płytki czoło fali będzie cały czas pokrywać się z którąś z rozważaych prostych, a to właśie ozacza, że wewątrz płytki promień będzie biegł po łuku okręgu o środku w pukcie (, 0). Oprac. PDFiA US, 008-5/6 -

6 Propoowaa puktacja (usuń jeśli brak puktacji) 1. za dowód, że si β cost pkt.. za prawidłowy opis waruków a brzegach płytki pkt. 3. za obliczeie x 1 pkt. 4. za obliczeie d 5 pkt. Wskazówki dla orgaizatorów Jak zwykle uzawao tylko obliczeia wykoywae a podstawie udowodioych założeń. W szczególości za wyzaczeie grubości d stawiao zero puktów, a ie pięć, jeśli zawodik przyjął, że promień biegie po okręgu, lecz ie udowodił tego. Oprac. PDFiA US, 008-6/6 -