21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

Transkrypt

1 CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre ie zikają rówocześie w przedziale [a,b], b) różym warościom parameru odpowiadają róże puky krzywej Puk A((a), y(a)) azywamy począkiem łuku, zaś puk B((b), y(b)) azywamy końcem łuku rzywą, kóra daje się podzielić a skończoą ilość łuków regularych azywamy krzywą regularą (krzywą częściami gładką) Niech f(,y) będzie fukcją określoą i ciągłą wzdłuż krzywej regularej : = (), y = y(), a < < b, rzywą dzielimy a części o długościach l k i w każdej z ich wybieramy dowoly puk A, y ), k =,,, k ( k k

2 Rozważmy ciąg sum całkowych fukcji f(,y) S = f k = ( k, y k ) l k dla kórego lim d =, gdzie d = ma lk Jeżeli isieje graica lim f k = ( k, yk ) l k iezależa od dokoaego podziału i od wyboru puków A k, o azywamy ją całką ieskierowaą fukcji f(,y) po łuku i ozaczamy f (, y) dl, z df k= ( k, yk ) l k f (, y ) dl = lim f Jeżeli fukcja f(,y) jes ciągła wzdłuż krzywej regularej o rówaiach: = (), y = y(), a < < b, o b f (, y ) dl = f [ ( ), y( ) ] [ ' ( ) ] + [ y' ( ) ] a d Gdy krzywa daa jes w posaci jawej: y = y(), a < < b, o powyższy wzór przyjmie posać: f b, y ) dl = f [, y( ) ] + [ y' ( ) ] a ( d

3 Przykład Obliczyć całkę krzywoliiową ieskierowaą + y dl, gdzie o krzywa opisaa rówaiami dla < < ( ) = cos + si, y( ) = si cos Rozwiązaie Poieważ ' ( ) = cos, y' ( ) = si i + y = + ( ' ) + ( y' ) = o,, [ + ] = dl = d = + y + Ierpreacja geomerycza całki krzywoliiowej ieskierowaej Całka = dl przedsawia długość łuku Przykład Obliczyć długość łuku paraboli y = dla < <

4 Rozwiązaie Dla krzywej : y = mamy ' i ( y ) = + y = + ' 4 Zaem = Poieważ = dl = + 4 d = + d 4 a + ad = + a + l + + a + C, o l + + = l 4 ( + 5) Ierpreacja fizycza całki krzywoliiowej ieskierowaej Jeżeli fukcja ρ(,z) jes gęsością liiową masy łuku, o Masę łuku przedsawia całka m = ρ (, y ) dl Momey saycze oraz bezwładości łuku względem odpowiedich osi przedsawioe są w abeli: 4

5 Względem Momey Saycze łuku Bezwładości łuku Osi OX M = yρ (, y ) dl B = y ρ(, y ) dl Osi OY M y = ρ (, y ) dl B y = ρ(, y ) dl Puku (,) ( ) M = + y ρ(, y ) d B = + y ρ(, y ) dl Współrzęde środka ciężkości dae są wzorami: = M y m, y = M m Jeżeli fukcja δ (, y) jes gęsością liiową ładuku rozłożoego a krzywej, o całka L = δ (, y ) dl przedsawia całkowiy ładuek elekryczy rozłożoy a krzywej 5

6 Przykład Obliczyć masę łuku krzywej L: y = l, <, 8 >, jeżeli gęsość liiowa w każdym pukcie rówa się kwadraowi odcięej ego puku Rozwiązaie Poieważ więc m = dl dy ρ =, m = ρ (, y ) dl oraz dl = + = + d = 8 + = d = 8 d = + = + = d = d d = = = = 8 = = 9 Przykład Obliczyć mome bezwładości względem osi OX jedorodego półokręgu + y = R dla y > Rozwiązaie Rozważay półokrąg moża przedsawić parameryczie = Rcos, y = Rsi, gdzie < < π Poieważ ' = Rsi, y' = Rcos i ( ' ) + ( y' ) = R, zaem 6

7 B = π y ρ(, y ) dl = ρ R si d gdzie ρ =cos jes gęsością liiową rozważaego półokręgu Wiedząc, że d = si cos + + C si mamy B = ρr si cos + π π = ρr Całka krzywoliiowa ieskierowaa w przesrzei rójwymiarowej Niech będzie day łuk regulary określoy rówaiami parameryczymi = (), y = y(), z = z(), a < < b, oraz fukcja ciągła f (, z ) określoa a ym łuku Całkę krzywoliiową w przesrzei, ieskierowaą fukcji f (, z ) po łuku, kórą zapisujemy f (, z ) dl defiiujemy w sposób aalogiczy jak całkę krzywoliiową a płaszczyźie: 7

8 rzywą dzielimy a części o długościach l k i w każdej z ich wybieramy dowoly puk A, y, z ), k =,,, k( k k k Rozważmy ciąg sum całkowych fukcji f(,y) S = f k= (, y, z ) l k dla kórego lim d =, gdzie d = ma lk k k k Jeżeli isieje graica lim f k= ( k, yk, zk ) l k iezależa od dokoaego podziału i od wyboru puków A k, o azywamy ją całką ieskierowaą fukcji f(,z) po łuku i ozaczamy f (, z ) dl, z df k= ( k, yk, zk ) l k f (, z ) dl = lim f Jeżeli fukcja f(,z) jes ciągła wzdłuż krzywej regularej o rówaiach: = (), y = y(), z = z(), a < < b, 8

9 b = a ( ( ), y( ), z( ) ) [ ' ( ) ] + [ y' ( ) ] [ z' ( ) ] d f (, z ) dl f + 4 Zadaia Obliczyć całki krzywoliiowe: + a) ( y) dl, gdzie jes odcikiem prosej y =, łączącym puky A(, ) i B(, ), b) dl, gdzie jes brzegiem rójkąa o wierzchołkach A(, ), B(, ), C(, ), c) ydl, gdzie jes łukiem paraboli parabolę 4 y =, y = 4 wycięym przez d) + y dl, gdzie jes okręgiem o rówaiu + y = 4, y e) ydl, gdzie jes łukiem elipsy + = a b pierwszej ćwiarce układu, f) ( a + by cz ) leżącym w + dl, gdzie jes odcikiem łączącym puky A(,, ) i B(a, b, c), g) dl, gdzie jes odcikiem łączącym puky A(,, + y + z ) i B(,, ) Obliczyć całki krzywoliiowe: 9

10 a) ( y ) + dl, dzie jes krzywą daa rówaiami parameryczymi = 4si, y = 4cos, [,π ], b) ye dl,gdzie jes krzywą daa rówaiami parameryczymi =, c) + y e y =, l, dl, gdzie jes krzywą daa rówaiami parameryczymi = si cos, y = cos + si, [,π ], d) ( + y z ) + dl, gdzie jes krzywą daa rówaiami parameryczymi = Rcos, y = Rsi, z = R, [,π ], e) zdl, gdzie jes krzywą daa rówaiami parameryczymi = cos, y = si, z =, Obliczyć długość łuku krzywej : a) y = dla, b) y = l dla 8, c) daego rówaiami parameryczymi: = asi + a, y = acos a,, π, a >, d) daego rówaiami parameryczymi: = cos cos, y = si si, z = 4,, π

11 4 Obliczyć masę części krzywej y = l zawarej między pukami A ( ; l ) i ( ; l ) B, jeżeli gęsość liiowa w każdym pukcie krzywej jes proporcjoala do kwadrau odległości ego puku od osi OY 5 Wyzaczyć całkowiy ładuek elekryczy krzywej, jeżeli gęsość ładuku elekryczego rozłożoego a krzywej wyosi ρ: a) : y = dla i ρ (, y) =, y b) : = si, y = cos, [, ] i ρ (, y) =, c) : =, y =, z =, i ρ (, y) = y 6 Wyzaczyć współrzęde środka ciężkości oraz momey bezwładości względem osi układu i począku układu współrzędych jedorodego półokręgu o promieiu R 7 Zaleźć momey bezwładości względem osi układu oraz względem począku układu współrzędych jedorodego odcika o rówaiu y = + łączącego puky A(, ) i B(, )